文档内容
第十六章 二次根式易错与压轴训练
01 思维导图
目录
【易错题型】.................................................................................................................................................................1
易错题型一 根据二次根式的定义求字母的值........................................................................................................1
易错题型二 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式................................................................................3
易错题型三 含隐含条件的参数范围化简二次根式................................................................................................4
易错题型四 已知最简二次根式求参数....................................................................................................................6
易错题型五 已知同类二次根式求参数....................................................................................................................7
【压轴题型】.................................................................................................................................................................9
压轴题型一 复杂的复合二次根式化简....................................................................................................................9
压轴题型二 二次根式中的分母有理化..................................................................................................................13
压轴题型三 二次根式中的规律探究问题..............................................................................................................17
压轴题型四 二次根式中的应用问题......................................................................................................................24
压轴题型五 二次根式中的新定义型问题..............................................................................................................27
02 易错题型
【易错题型】
易错题型一 根据二次根式的定义求字母的值
例题：（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知 是整数， 是正整数，则 的所有可能的取值的和是
（ ）
A．11 B．12 C．15 D．19
巩固训练
1.（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知 是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
2.（22-23八年级上·福建福州·期末）若 是一个整数，则正整数m的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是（ ）A．0 B．4 C．5 D．20
易错题型二 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
例题：（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简： ．
巩固训练
1.（23-24九年级上·全国·单元测试）当 时，化简： ．
2.（2024·四川乐山·模拟预测）已知 的三边分别为 ，化简 ．
3.（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：
化简： ．
易错题型三 含隐含条件的参数范围化简二次根式
例题：（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式 化简结果正确的为（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1.（23-24八年级下·河南安阳·期中）当 时，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24八年级下·天津·期中）已知， ，化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简： ．易错题型四 已知最简二次根式求参数
例题：（23-24八年级下·山东日照·期中）已知 是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a
的值 ．
巩固训练
1.（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知 是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值：
．
2.（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使 是最简二次根式，则n可以是 ．
3.若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数a为 ．
易错题型五 已知同类二次根式求参数
例题：（23-24八年级下·山东东营·开学考试）如果 与最简二次根式 是同类二次根式，那么
．
巩固训练
1.（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）当 时， 最简二次根式 与
可以合并．
2.（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若最简二次根式 与 可以合并，则 ， ．
3.（23-24八年级下·山东烟台·期末）若 与最简二次根式 能合并，则 的值为 ．
03 压轴题型
【压轴题型】
压轴题型一 复杂的复合二次根式化简
例题：（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料．
把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是 且 ，则把 变成开方，从而使得 化简．
如：
解答问题：
(1)填空： ______， ______．
(2)
巩固训练
1.（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 、 ，
使 且 ，则将 将变成 ，即变成 开方，从而使得 化
简．
例如， ，
请仿照上例解下列问题：
(1) ；
(2) ．
2.（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）观察、思考、解答：
反之
(1)仿上例，化简： ______， ______．(2)若 ，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由；
3.（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像 ，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复
合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：
如： ，
再如： ，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若 ，且 为正整数，求 的值．
压轴题型二 二次根式中的分母有理化
例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）[核心素养]阅读下面的解答过程：
；
；
……
根据以上解答过程解决下列问题：
(1) ；
(2)试求 的值．
巩固训练1.（23-24八年级下·陕西延安·期末）阅读材料：在解决问题“若 ，求 的值”时，小
俊是这样分析与解答的：
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
∴ ．
请你根据小俊的解答过程，解决如下问题：
(1)化简： ；
(2)若 ，求 的值．
2.（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料：
像 两个含有二次根式的代数式相
乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如， 与 、 与 、 与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，
利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
根据以上阅读材料回答下列问题：
(1)计算： ；
(2)计算： ．
3.（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会
碰上如 、 、 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（Ⅰ）（Ⅱ）
（Ⅲ）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
（Ⅳ）
(1)请用不同的方法化简
①参照（Ⅲ）式得 ；
②参照（Ⅳ）式得 ；
(2)化简：
压轴题型三 二次根式中的规律探究问题
例题：（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）观察下列各式并解答问题：
； ； ……
(1)计算： ；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）．
巩固训练
1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”
的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：
等式①： ；等式②： ；等式③： ；等式④：______________；……
(1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整；
(2)【归纳猜想】若 为正整数，用含 的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；
(3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式 （ 均为正整数），若该等式符合上述规律，则
的值为______．
2．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）观察下列等式，解答下列问题：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ……
(1)请直接写出第4个等式： （不用化简）；
(2)根据上述规律猜想：若 为正整数，请用含 的式子表示第 个等式给予证明；
(3)利用（2）的结论计算： ．
3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题：
① ；
② ；
③ ；
…(1)请你利用上述规律计算 （仿照上式写出过程）；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________；
(3)请你利用发现的规律，计算：
4．（23-24八年级下·全国·单元测试）观察下列各式及验证过程： ，
验证 ； ，
验证 ，
验证
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想 的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用 为任意的自然数，且 表示的等式，并给出证明．
5．（23-24八年级下·江西赣州·期中）课本再现
（1）判断下列各式是否成立，并从中选择一个进行验证：
， ，
（2）用字母n（n是正整数， ）表示这一规律是：____________；
类比猜想
（3）爱思考的小开同学在解决上面问题时，注意到 ， ，猜想如果
根号里的式子加法改为减法，也会有一系列有类似规律的式子．经过一番尝试，他写出了以下两个式子，请你帮助他求出x，y的值： ， ．
压轴题型四 二次根式中的应用问题
例题：（22-23八年级上·四川凉山·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给
出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为 ， ， ，则该三角形的面
积 满足公式： ．现已知 的三边长分别为1，3， ，求 的面
积．
巩固训练
1.（23-24八年级下·陕西安康·期末）在一个长为 ，宽为 的长方体塑料容器中装满水，然后将
这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为 的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中
的水面下降了 ．求圆柱形玻璃容器的底面半径．
2.（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为 和
的正方形木板．
(1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简）
(2)求原长方形木料的面积；
(3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是 ，请说明理
由．
3.（23-24八年级下·陕西安康·期中）实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，
运算律同样适合于实数，请根据实数的相关知识，解决下列问题：(1)如图①，数轴上表示1， 的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点
C所表示的数为x，求 的值；
(2)如图②，在一个长方形中无重叠放入面积分别为 和 的两张正方形纸片，求图中阴影部分的面
积．
压轴题型五 二次根式中的新定义型问题
例题：（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将 与 称为一对“对偶式”．因为
，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶
式”来解决．
例如：已知 ，求 的值，可以这样解答：
因为 ，
所以 ．
(1)已知： ，求 的值；
(2)结合已知条件和第①问的结果，解方程： ；
(3)计算： ．
巩固训练
1.（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“ ”如下： ．如：
．(1) ______， ______；
(2)已知 ，求 的值．
2.（23-24八年级下·吉林·阶段练习）定义：若两个二次根式a、b满足 ，且c是有理数，则称a与b
是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与 是关于10的共轭二次根式，则 ；
(2)若 与 是关于12的共轭二次根式，求m的值．
3.（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）定义：任意两个数 ， ，按规则 扩充得到一个新数 ，
称所得的新数 为“如意数”．
(1)若 ， ，求出 ， 的“如意数” ．
(2)如果 ， ，求 ， 的“如意数” ，并证明“如意数” ．
(3)已知 ，且 ， 的“如意数” ，求 的值．
