文档内容
2024年高考数学模拟卷03（新题型）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是
符合题目要求的．
1．样本数据 的中位数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】样本数据从小到大排列为 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
所以样本数据的中位数为 .故选：B
2．椭圆 与椭圆 的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
【答案】D
【解析】椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，离心率为 ，
椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ，
焦距为 ，离心率为 ，
所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等.故选：D.
3．在正项等比数列 中， 为其前 项和，若 ， ，则 的值为（ ）
A．50 B．70 C．90 D．110
【答案】B
【解析】由等比数列的片段和性质得 ， ， 成等比数列
所以 ，所以 ，解得 .故选：B.
4．已知直线 为异面直线， 为不重合的两个平面，则（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】C
【解析】若 ， ，则可能 ，故A错误；
若 ， ，则可能 ，故B错误；
若 ， ，则 ，故C正确；
若 ， ，则 ，故D错误.故选：C .
5．某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男
生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生 不去同一处景点游玩，女生 与女生 去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（ ）
A．564 B．484 C．386 D．640
【答案】A
【解析】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况.
第一种情况分成2人，2人，4人：女生 去同一处景点，当 成2人组时，
其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生 不同组，有 种方法；
当 在4人组时，有 种方法.
第二种情况分成2人，3人，3人：当 成2人组时，有 种方法；
当 在3人组时，有 种方法.
故这8名同学游玩行程的方法数为 .故选：A.
6．在平面直角坐标系 中，点 ，直线 ，点 关于直线 的对称点为 ，则
的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点 ，因为 ， 关于直线 对称，
所以 ，可得： .
所以 ， ，所以 .
当 时， ；
当 时， ，此时 ，所以 .
当 时， ，此时 ，
所以 ，故 .
综上所述： ，故 的最大值为 .故选：D.
7．若 为锐角，且 ，则 （ ）
A．10° B．20° C．70° D．80°
【答案】C【解析】由
，
又 为锐角，∴ ．故选：C．
8．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，过点 与双曲线 的一条渐近线平行的直线 交
于 ，且 ，当 时，双曲线 离心率的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】如下图所示：不妨取渐近线方程为 ，又易知 ，
则直线 的方程为 ，
联立直线 与双曲线 ，可得 ，
所以 ；
且 ，由双曲线定义可得 ，
当 时，可得 ，
所以 ，解得 ；
因此双曲线 离心率的最大值为 .故选：A
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 的图象经过点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．
C．函数 的图象关于点 中心对称D．函数 在区间 单调递减
【答案】ABD
【解析】对选项A，依题意函数 的周期为 ，所以选项A正确；
对选项B，因为 ，即 ，又 ，所以 ，所以选项B正确；
对选项C，因为 ，又 ，
所以点 不是 的中心对称，所以选项C错误；
对选项D，因为 ，所以 ，因为 在 单调递减，
所以函数 在区间 单调递减，所以选项D正确.故选:ABD.
10．已知复数 ， ，下列结论正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ， 则
C．若复数 ， 满足 ，则
D．若 ，则 的最大值为3
【答案】AD
【解析】设 、 ；
对A：若 ，则有 ，
即 ，
，即有 ，
故A正确；
对B：若 ，则有 ，即 ，不能得到 ，故B错误；
对C：若复数 ， 满足 ，则有 ，
即 ，化简得 ，
，故C错误；
对D：若 ，则有 ，即 ，其中 ，即有 ，
则 ，
故当 时， 有最大值且最大值为 ，即D正确.故选：AD.
11．已知函数 满足 ， ，则（ ）
A． B． C． 的定义域为R D． 的周期为4
【答案】ABD
【解析】令 ，则 ，即 ，A正确，
令 ，则 无意义，即 的定义域不为R，C错误；
由 可知 ，
令 ，则 ，即 ，故 ，B正确；
，
故 ，即 的周期为4，D正确，故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合 ， ，则 的元素个数是 .
【答案】
【解析】联立 可得 ，则 ，
得原方程组有两组解，即 中有 个元素.
13．如图，表面积为 的球面上有四点 ， ， ， ， 是等边三角形，球心 到平面 的
距离为3，若平面 平面 ，则三棱锥 体积的最大值为 ．【答案】
【解析】球的表面积为 ，球的半径为 ，
设 的中心为 ， 则 ，且 平面 ，
的外接圆半径 ，
连接 并延长交 于 ，则 为 的中点，且 ，
显然 ，而平面 平面 ，平面 平面
，
平面 ，则 平面 ，
令 的外接圆圆心为 ，则 平面 ，有 ，
又 平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ，则 平面 ，
平面 ， ，
而平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，则 平面 ，
有 ，因此四边形 为平行四边形，
则 ， ，
的外接圆半径 ，
的外接圆上点 到直线 距离的最大值为 ，
而点 在平面 上的射影落在直线 上，
于是 到平面 的距离最大值 ，
是等边三角形，外接圆半径为4，由正弦定理 的边长为 ， 的面积为
，
棱锥 体积的最大值为 .
14．定义 表示 、 、 、 中的最小值， 表示 、 、 、 中
的最大值，设 ，已知 或 ，则 的值为
．
【答案】
【解析】设 ， ， ，且 ，则 ， ， ，
所以， ，
若 ，则 ，故 ，设 ，因此， ，故 ，即 ，
若 ，则 ，即 ，
则 ，故 ，当且仅当 时，等号成立，
综上所述， 的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
设函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值．
【答案】（1） ；（2） ，
【解析】（1）因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2） ， 函数的定义域为 ，
，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 ，
对 列表如下：
0
单调递减 单调递增
极小值又 ，且 ，
所以 ，即 ，所以 ，
故函数 在区间 上的 ， .
16．（15分）
袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各 2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相
等.
（1）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；
（2）用X 表示取出的 2个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望.
【答案】（1） ；（2）分布列见解析， .
【解析】（1）设一次取出的2个小球上的数字互不相同的事件记为 ，
则 为一次取出的2个小球数字相同，
所以 ，所以 .
（2）由题意 所有可能的取值为：2， ， ， .
； ；
； ．
所以随机变量 的分布列为
2 3 4 5
随机变量 的均值为
．
17．（15分）
如图，在三棱台 中， 在 边上，平面 平面 ， ， ，
， ， ．（1）证明： ；
（2）若 且 的面积为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，解得 ，
又 ，即 ，得 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面ACFD，
所以 平面ABC，而 平面ABC，则 ，
又 ， ， 平面BDH， 平面BDH，
所以 平面BDH，而 平面 ，则 ，
因为 ，所以 ；
（2）在 中， ， ， ，
所以 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
则 ，
由（1）知， 平面ABC，
所以可以H为原点， 为y轴， 为z轴，建系如图所示
，
设平面ABD法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，则 ，得平面的一个法向量为 ，设CF与平面ABD所成角为 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值
18．（17分）
已知抛物线 的焦点 到双曲线 的渐近线的距离为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 任意作互相垂直的两条直线 ， 分别交曲线 于点A，B和M，N.设线段 ， 的中点
分别为P，Q，求证：直线 恒过一个定点.
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）因为抛物线的焦点F为 ，
双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
则 ，解得 ，故抛物线的方程为： .
（2）设A，B两点坐标分别为 ， ，则点P的坐标为 .
由题意可设直线 的方程为 ，
由 得 ， ，
因为直线 与曲线C交于A，B两点，所以 ， ，
所以点P的坐标为 .由题知，直线 的斜率为 ，同理可得点Q的坐标为 .
当 时，有 ，此时直线PQ的斜率 ，
所以直线PQ的方程为 ，整理得 ，
于是直线PQ恒过定点 .
当 时，直线PQ的方程为 ，也过定点 .
综上，直线PQ恒过定点 .
19．（17分）
已知数列 与数列 满足下列条件：① ， ；② ， ；③
， ，记数列 的前 项积为 .
（1）若 ， ， ， ，求 ；
（2）是否存在 ， ， ， ，使得 ， ， ， 成等比数列？若存在，请写出一组 ， ， ，
；若不存在，请说明理由；
（3）若 ，求 的最大值.
【答案】（1） ；（2）不存在，理由见解析；（3） .
【解析】（1）由 ，得 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 .
（2）不存在.
假设存在，设 公比为 ，若 ，则 ，公比 ，矛盾，
若 ，则 ，公比 ，矛盾，
因此假设不成立，所以不存在.
（3）依题意， ，且 ， ，
设 ，则 ，得 ，
于是 ，显然 的值从大到小依次为 ，
若 ，则 且 ，当数列 为 或 ，可以取得，
显然当 时， 最大，此时 ，则 ，
，
从而
，又 ，
所以 .
