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第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减（3个知识点+8大题型+15道拓展培优题）
分层作业
题型目录
考查题型一 同类二次根式
考查题型二 二次根式的加减计算
考查题型三 二次根式的混合运算
考查题型四 分母有理化
考查题型五 已知字母的值，化简求值
考查题型六 已知条件式，化简求值
考查题型七 比较二次根式的大小
考查题型八 二次根式的应用
【知识梳理】
知识点1： 同类二次根式
1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并
m√a+n√a=(m+n)√a(a≥0)
的依据式乘法分配律，如
知识点2： 二次根式的加减
1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进
行合并。
2. 二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方
数保持不变。
知识点3：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括
号里面的（或先去掉括号）考查题型一 同类二次根式
1．（上海市黄浦区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）下列二次根式中，与 是同类二次根式
的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）己知 与最简二次根式 是同类二次根式，则a的值
为（ ）
A．16 B．0 C．2 D．不确定
3．（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）若最简二次根式 和 是同类二次根式，则
．
4．（2024下·全国·八年级假期作业）下列各式：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，
⑦ ，⑧ ，其中化简后可以与 合并的有 ．（填序号）
5．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）若最简二次根式 与 可以合并，求 的值．
考查题型二 二次根式的加减计算
1．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期中）下列计算正确的是（ ）A． B．
C． D．
3．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）计算： ．
4．（2022下·湖北宜昌·八年级校考期中）化简
5．（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期末）化简
(1)
(2)
考查题型三 二次根式的混合运算
1．（2024上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）估计 的值应该在（ ）
A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．5和6之间
2．（2023上·陕西西安·八年级交大附中分校校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024下·全国·八年级假期作业）计算：（1） ；（2）
；（3） ．
4．（2024下·全国·八年级假期作业）若 ， ，则 的值是 ．
5．（2023上·黑龙江绥化·八年级统考期末）计算(1)①
②
(2)先化简，再求值： ，其中 ．
考查题型四 分母有理化
1．（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）下面运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·河北邢台·八年级校考阶段练习）甲、乙两位同学对式子 分别作了如下变形：
甲： ．
乙： ．
下列关于甲、乙两位同学作的变形过程，说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确D．甲不正确，乙正确
3．（2023上·上海奉贤·八年级校考期中）分母有理化： ．
4．（2023上·河南郑州·八年级校考期中）在一次探究性学习课中，数学老师给出如下运算，请大家观察：
① ；
② ；③ ；
……
请利用你发现的规律，计算：
，
其结果为： ．
5．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式去处时，我
们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）
（二）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：
（三）
请用不同的方法化简 ．
(1)参照（二）式得 ______；
(2)参照（三）式得 ______．
(3)化简： ．考查题型五 已知字母的值，化简求值
1．（2023上·湖南邵阳·八年级统考阶段练习）先化简再求值：当 时，求 的值，甲乙两
人的解答如下：
甲的解答为：原式 ；
乙的解答为：原式 ，在两人的解法中（ ）
A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定
2．（2023上·河南南阳·九年级统考阶段练习）若 ，则代数式 的值为（ ）
A．7 B． C． D．5
3．（2022上·四川成都·八年级四川省成都市石室联合中学校联考期末）若 ，则
．
4．（2022下·广东佛山·八年级校考期末）已知 ，则 ．
5．（2023上·广东深圳·八年级校联考期中）当 时，求 的值，如图是小亮和小芳的
解答过程：
(1)______的解法是错误的；
(2)当 时，求 的值．
考查题型六 已知条件式，化简求值
1．（2023上·湖南岳阳·八年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）若 ，则代数式
的值是（ ）．A．2006 B．2005 C．2004 D．2003
2．（2024下·全国·八年级假期作业）若 ，则代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．2
3．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）已知 ，
那么 ．
4．（2023下·北京西城·八年级北京市第三十五中学校考期中）若 ， ，则 的值为
．
5．（2023上·山东菏泽·八年级校考阶段练习）小明在解决问题：已知 ，求 的值，他
是这样分析与解答的：
∵ ．
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ，∴ ．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： ______；
(2)计算： ；
(3)若 ，求 的值．考查题型七 比较二次根式的大小
1．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）若 ，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
2、（2021上·八年级校考单元测试）2 、 、15三个数的大小关系是（ ）
A．2 ＜15＜ B． ＜15＜2
C．2 ＜ ＜15 D． ＜2 ＜15
3．（2023上·黑龙江绥化·八年级统考期末）比较大小： (填“ ”、“ ”或“
”）
4．（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）比较大小： ．（填“
”、“ ”或“ ”）
5．（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知 ， ．
(1)比较a，b的大小，并写出比较过程；
(2)求代数式 的值．
考查题型八 二次根式的应用
1．（2023上·浙江温州·七年级校考期中）如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中
较大的正方形的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为 ，则较小的正方形面积为
（ ）
A．4 B． C．9 D．2、（2023上·上海黄浦·八年级统考期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影
响，高空抛物的物体所在高度 （单位：m）和下落的时间 （单位：s）近似满足自由落体公式 ，
其中 ，那么从 高空抛物到落地的时间 与从 高空抛物到落地的时间 之比 的值
为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·江苏常州·八年级校考期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为9和25，
则图中阴影部分面积为 ．
4．（2023上·山东枣庄·八年级统考期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是： ，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示
三边之长，p表示周长之半，即 ．
请你利用公式解答：在 中，己知 ， ， ，则 的面积为 ．
5．（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）如图，从一张面积为 的正方形纸板的四个角上各剪掉一个
面积为 的小正方形，将剩余部分制作成一个无盖的长方体盒子．
(1)原来大正方形的边长为________ ；剪掉的四个小正方形的边长为________ ．（结果用最简二次根
式表示）
(2)分别求这个长方体盒子的底面边长和体积．（结果精确到0.1，参考数据： ， ，）
1．（2024上·河北石家庄·八年级校考期末）已知 ， ，则 与 的关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·河北石家庄·八年级校考期末）已知 ，则 的平方根为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·辽宁朝阳·七年级校考期中）若 的整数部分为x，小数部分为y，则 的值
是（ ）
A． B．3 C． D．－3
4．（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）若 ，则a的值所在
的范围为（ ）
A． B． C． D．5．（2023上·广东深圳·八年级校考期中）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．
古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：
，其中 ①
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：
．②
若一个三角形的三边长依次为 ， ， ，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）比较大小： ； ．
7．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知 ，则 ．
8．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）已知 是实数，且满足 ．
（1） ；
（2） ．
9．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，正方形 和 的边长分别为 ，
点 、 分别在边 、 上，若 ， ，则图中阴影部分图形的面积的和为 ．
10．（2023上·四川成都·八年级校联考期中）阅读下列材料：我们知道 ，因此将的分子分母同时乘以 ，分母就变成了4，即 ，从而
可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：
若 ，则代数式 的值是 ．
11．（2024上·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
12．（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）先化简，再求值： ，其中 ，
.
13．（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）先阅读，后解答： ，
．像上述解题过程中， 与 相乘、 与
相乘，积不含有二次根式，我们可将这样的两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分
母有理化．
(1) 的有理化因式是________； 的有理化因式是________．(2)计算： ．
14．（2024上·辽宁辽阳·八年级统考期末）数学活动课上，同学们以“分母有理化”为主题开展探究活动．
【发现问题】在进行二次根式的化简时，有时会碰上如 这样的式子，其分母中含有无理数．
【提出问题】在进行二次根式的化简时，分母中含有无理数如何化简．
【分析问题】同学们认为要想把分母中的无理数去掉，可根据所学公式 和
来解决．
【解决问题】一部分同学认为可以如下方法化简：
．
另一部分同学认为还可以如下方法化简：
．
以上这两种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)选择合适的方法化简： （n为正整数）；
(2)求 的值．15．（2023上·山东枣庄·八年级统考期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子
可以化成另一个式子的平方，如：
；
．
【类比归纳】（1）请你仿照小明的方法将 化成另一个式子的平方；
（2）请运用小明的方法化简： ．
【变式探究】（3）若 ，且a，m，n均为正整数，求a的值．
