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第十六章 二次根式（压轴题专练）
目录
【考点一 化简含字母的二次根式】..................................................................................................................1
【考点二 利用二次根式的非负性求值】..........................................................................................................3
【考点三 新定义型二次根式的运算】..............................................................................................................5
【考点四 二次根式的分母有理化】..................................................................................................................9
【考点五 复合二次根式的化简】....................................................................................................................15
【考点六 二次根式中的规律探究问题】........................................................................................................19
【考点一 化简含字母的二次根式】
例题：（2023上·河南焦作·八年级统考期中）已知 ，则化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查二次根式的性质及化简．首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再
利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：根据题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
故选：A
【变式训练】
1．（2023上·全国·八年级专题练习）把 根号外的因数移到根号内，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式有意义，先由被开方数 ，得 ，再结合二次根式的性质，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
故选：C．
2．（2023上·四川乐山·九年级乐山市实验中学校考期中）若 ，则代数式 可化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，先根据二次根式有意义的条件和已知条件推出 ，再
根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
3．（2023上·河南郑州·八年级校联考阶段练习）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意判断出a的符号，再把二次根式进行化简即可．
【详解】解：∵ 有意义，则∴ ，
故选：B．
4．（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）化简二次根式 ，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据 ，再由二次根式的性质即可得出结论，熟知二
次根式具有非负性是解题的关键．
【详解】解： ，
故选： ．
【考点二 利用二次根式的非负性求值】
例题：已知 ，则 的值是（ ）
A．2022 B．1 C．－1 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据算术平方根的非负性即可求得 的值，进而求得 的值，代入代数式即可求解．
【详解】
解：∵ ，
则 ，
∴ ，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．
【变式训练】
1．已知x、y都是实数，且 ，则xy=______________．
【答案】6
【解析】
【分析】
利用算术平方根的非负性求出x值，再代入求出y值，即可求解．
【详解】
解： ， ，
， ，
，
将 代入 ，
得： ，
．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性，代数式的求值，熟练掌握并灵活运用算术平方根的非负性是解题的关键．
2．已知实数 满足 ，则 的值为_______．
【答案】16
【解析】
【分析】
先对 进行变形，然后根据算术平方根的非负性和平方的非负性，求出x、y的值，
然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了算术平方根和平方的非负性，熟练掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，是解题
的关键．
3．已知实数a，b，c满足(a﹣2)2+|2b+6|+ ＝0．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1)a＝2，b＝﹣3，c＝5
(2) 的平方根为±2
【解析】
【分析】
（1）根据非负性可知，(a﹣2)2=0，|2b+6|=0， ＝0，求出a，b，c的值；
（2）由（1）得a＝2，b＝﹣3，c＝5，将a，b，c代入求解即可．
(1)
解：∵（a﹣2）2+|2b+6|+ ＝0，
∴(a﹣2)2=0，|2b+6|=0， ，
∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，c＝5；
(2)
解：由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，则 ＝ ＝4，而 ，
故 的平方根为±2．
【点睛】
本题考查了平方的非负性，绝对值的非负性以及算术平方根的非负性，以及求一个数的平方根，熟练地运
用以上知识是解决问题的关键．
【考点三 新定义型二次根式的运算】
例题：对任意的正数 ， ，定义运算“*”如下： 计算 的结果为
______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据新定义，将所给数值代入计算即可．
【详解】
解：∵ ，
∴
=
=
故答案为： ．
【点睛】
本题考查实数的计算，解题的关键是读懂新定义的运算法则．
【变式训练】
1．对于任意两个不相等的实数 、 ，定义运算“※”如下： ※ ，如3※ ，那么6※ __．
【答案】
【解析】
【分析】
按新定义的运算规定化简求值．
【详解】
解：6※ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了实数的运算，掌握、理解新定义的规定是解决本题的关键．
2．已知a，b都是实数，现定义新运算： ，例： ．
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据定义新运算：a*b＝3a﹣b2，进行计算即可解答；
（2）根据定义新运算：a*b＝3a﹣b2，得到 ，代入数值进行计算即可解答．
(1)
解：∵ ，
∴(2)
解：∵ ， ，
∴
＝
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，理解定义新运算a*b＝3a﹣b2是解题的关键．
3．用 定义一种新运算：对于任意实数 和 ，规定 ．
(1)求 的值．
(2) _____________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新运算 计算 即可
（2）根据新运算先计算 ，然后将 和 计算的结果再次用新运算计算即可
【详解】（1）∵ ，
∴
（2）∵ ，
∴ ，
∴故答案为：
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算和实数的混合运算，解决问题的关键就是根据新定义按照运算规
则计算
4．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下：
，如 ．
(1)填空： ___________．
(2)若 ，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据新定义进行运算，即可求得结果；
(2)首先根据新定义进行运算，可求得 ，再解方程即可求解．
【详解】（1）解： ，
故答案为：3；
（2）解： ，
，
．
【点睛】本题考查了新定义运算及解一元一次方程，分母有理化，理解新定义运算是解决本题的关键．【考点四 二次根式的分母有理化】
例题：像 、 、 …两个含有二次根式的
代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， 和 、 与 、
与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母
中的根号．请完成下列问题：
(1)计算：① ______，② ______；
(2)计算： ；
(3)已知有理数 、 满足 ，则 ______， ______．
【答案】(1) ， ；
(2)1
(3)-1，1
【解析】
【分析】
（1）①分子、分母都乘以 即可；②分子、分母都乘以 ；
（2）第一项分子、分母都乘以 ，第二项分子、分母都乘以 ，再计算即可；
（3）将等式左边分母有理化，得到 ，根据a、b都是有理数，得到2a+b=-1，
b-a=2，即可求出a=-1，b=1．
(1)
解：① ，故答案为： ；
② ，
故答案为： ；
(2)
=
=
=1；
(3)
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵a、b都是有理数，
∴2a+b=-1，b-a=2，
解得a=-1，b=1，
故答案为：-1，1．
【点睛】
此题考查了分母有理化计算，正确掌握各式子的有理化因式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·宁夏中卫·八年级校考阶段练习）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：例1： ，
例2： ， ，
利用以上结论解答以下问题：（不必证明）
(1) ； ；
(2)利用上面的结论，求下列式子的值．（有过程）
【答案】(1) ；
(2)9
【分析】本题考查了分母有理化：涉及二次根式的性质化简、平方差公式的运用：
（1）根据例1的过程，仿写即可作答．
（2）逐个化简，得 ， ， ， ，……，
然后进行合并同类二次根式，即可作答．
【详解】（1）解：∵
∴ ；
∴ ；
（2）解：∵ ， ， ， ，……，∴
.
2．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末） ，两个含有二
次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如
， ，其中 与 与
都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以将分母有理化．请完成下
列问题：
(1)计算： ， ；
(2)已知有理数a、b满足 ，则 ， ；
(3)计算 ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)
【分析】本题主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键；
（1）把分子分母同时乘以 即可把 有理化；分子分母同时乘以 ，即可对 进行有理化；（2）把式子 的左边分母有理化得到 ，进而得到方程
组 ，解方程组即可得到答案；
（3）先证明 ，再对所求式子进行分母有理化，然后合并即可得到答案．
【详解】（1）解： ；
．
故答案为： ； ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵a、b都是有理数，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ； ；
（3）解：
，
∴
．
3．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）先阅读材料，然后回答问题．在进行二次根式化同时，我们有时会遇到形如 ， ， 的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
① ；② ；③ ．
以上这种化简的方法叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
④
(1)请用不同的方法化简 ．
(2)化简： ．
【答案】(1)方法见解析，结果为
(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）先根据分母有理化的方法推出 ，再把所求式子按照上述形式进行裂项，然
后合并化简即可．
【详解】（1）解：；
；
（2）解：
，
∴
．【考点五 复合二次根式的化简】
例题：先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．
例如：
．
解决问题：化简下列各式
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将根号里面的7拆分成4和3，4写成2的平方，3写成 的平方，进而逆用完全平方和公式，最后
将算式整体开方；
（2）将根号里面的9拆分成4和5，4写成2的平方，5写成 的平方，进而逆用完全平方差公式，最后
将算式整体开方．
(1)
解：
(2)
解：
【点睛】
本题考查乘法公式的逆用，能够快速的寻找，归纳，总结，并应用规律是解决本题的关键．
【变式训练】1．（1）填空： ______； ______；
（2）例题：化简
解：因为
所以
仿照上例的方法，化简下列各式：
① ②
【答案】（1） ； ； （2）① ；②
【解析】
【分析】
（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算，即可求解；
（2）①把原式化为 ，再根据二次根式的性质化简，即可求解；②把原式化为
，再根据二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】
解：（1）
；
；
故答案为： ；（2）①
；
②
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合
运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键．
2．我们已知学过完全平方公式 ，知道所有的非负数都可以看作一个数的平方，如
等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求 的算术平方根．
解： = ，所以 的算术平方根是 ．你看明白了吗？
请根据上面的方法解答下列问题：
(1)填空： = ；
= ；(2)化简： + + + + ．
【答案】(1) ； ；
(2) ；
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式的结构，对根号下的式子进行化简配凑，凑完全平方式求解；
（2）对每一项进行配凑，使之成为完全平方式的结构，然后进行化简计算．
(1)
解： ；
；
(2)
解： ，
，
，
，
．
．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式的应用，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
【考点六 二次根式中的规律探究问题】例题：观察下列各式及其验证过程： ， ， ，…验证：
；
(1)请仿照上面的方法来验证 ；
(2)根据上面反映的规律，请将猜到的规律用含自然数 的代数式表示出来．并写出过程．
【答案】(1)见解析
(2) ，过程见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知计算过程求出即可；
（2）求出一般式子都是 ，根据已知算式的计算过程求出即可．
(1)
解：验证： ，
故 成立；
(2)
解： ，
．．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质的应用，数字规律型，主要考查学生的计算能力和阅读能力，难度适中．
【变式训练】
1．观察下列各式及其验证过程：
，验证： ；
，验证： ；
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件写出 ，再化简二次根式 进行验证即可；
（2）根据已知条件总结规律 ，再化简 进行验证即可．
(1)
解：∵ ， ，∴ ，
验证： ，正确．
(2)
解： ，
验证： ，正确．
【点睛】
本题考查了找规律及二次根式的化简，掌握二次根式的相关性质是解题的关键．
2．观察下列各式及验证过程：
＝ ，验证 ＝ ＝ ＝ ；
＝ ，验证 ＝ ＝ ＝ ；
＝ ，验证 ＝ ＝ ＝ …
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想 的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，不需要证明．
【答案】(1) ＝ ，验证见解析
(2) ＝ （n≥1的整数）
【解析】
【分析】
（1）类比题目所给的解题方法即可解答；（2）根据上述变形过程的规律，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系即可得出一般规律，再
类比题目所给的解题方法验证即可．
(1)
解： ＝ ；
验证： ＝ ＝ ．
(2)
；
验证：
（n≥1的整数）
【点睛】
本题考查了二次根式的性质及化简，同时也考查了学生由特殊到一般的归纳和推理能力．
3．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1： ，
特例2： ，特例3： ，
特例4： ，
特例5： ____________（填写运算结果）；
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________；
(3)证明你的猜想．
(4)应用运算规律：
①化简： ____________；
②若 （a，b均为正整数），则 的值为____________．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)① ；②
【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5；
（2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；
（3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题；
（4）①②根据（2）中的规律即可求解．
【详解】（1）解： ，故答案是： ；
（2） ，
故答案是： ；
（3）证明：
左边 ，
又 右边 ，
左边 右边，
成立；
（4）① ，
故答案是： ；
② ，
根据 ，
得 ，
解得： ， （舍去），
，
故答案是： ．
【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式
总结一般规律并应用规律解题．4．观察下列等式，解答后面的问题：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
(1)请直接写出第5个等式 ___________；
(2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；
(3)利用（2）的结论化简： ．
【答案】(1)
(2) （n为正整数），证明见解析
(3)2022
【分析】（1）根据题目规律写出第五个等式即可；
（2）根据题目规律，写出等式；将根号下的数通分，化简即可证明；
（3）根据规律计算即可．
（1）
解：由题意，第五个等式为： ；
故答案为：
（2）（n为正整数），
证明：∵n为正整数，
∴
∴ （n是正整数）
又∵ ，
∴左边=右边，
∴猜想成立；
（3）
原
．
【点睛】本题考查二次根式的规律探索，理解题目中的规律是解题的关键．
