第十六章二次根式（知识归纳+题型突破）（学生版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_知识点汇总-U105_2024版

第十六章 二次根式（知识归纳+题型突破） 1.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如 的式子叫做二次根式，如 等式子，都叫做二次根式. 特别说明：二次根式 有意义的条件是 ，即只有被开方数 时，式子 才是二次根式， 才有意义. 2.二次根式的性质 a a ( a)2 a0 特别说明：（1） 一个非负数 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 （ ），如 1 1 2( 2)2; ( )2;x( x)2 3 3 x0 （ ）. a2 a a a2 （2） 中 的取值范围可以是任意实数，即不论 取何值， 一定有意义. a2 a （3）化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简. a2 ( a)2 （4） 与 的异同a2 a ( a)2 a a2 a ( a)2 a a0 不同点： 中 可以取任何实数，而 中的 必须取非负数； = ， = （ ）. a a2 ( a)2 相同点：被开方数都是非负数，当 取非负数时， = . 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 2, ab,3 x, a2 b2 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如 等都是最简二次根式. 特别说明：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小 于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断. 2 8 8 2 2 2 8 如 与 ，由于 = ， 与 显然是同类二次根式. 知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 积的算术平方根化简公式： 二次根式的乘法 a  b  ab(a0,b0) ab  a  b(a0,b0) 商的算术平方根化简公式： a a 二次根式的除法 = (a0,b0) a a b b  (a0,b0) b b 特别说明： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 a bc d ac bd . (4)(9)  4 9 （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合 23 25 2 (135) 2  2 并同类二次根式.如 【题型一 二次根式的定义】 例题：（2023下·浙江丽水·八年级期末）下列式子一定不是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）下列式子是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．下列式子是二次根式的有（ ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 3．给出下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中二次根式的个数是 （ ） A． B． C． D． 【题型二 二次根式有意义的条件】 例题：（2023上·安徽宿州·八年级校考阶段练习）二次根式 中 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023上·河北石家庄·八年级校考期中）要使二次根式 有意义，则 的值可以取（ ） A．5 B．4 C．3 D．22．（2023上·四川成都·八年级校联考期中）如果二次根式 有意义，那么 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2023·广东云浮·统考二模）若式子 有意义，则x的取值范围是（ ） A． B． 且 C． 且 D． 【题型三 求二次根式的值】 例题：（2023下·浙江丽水·八年级校联考期中）当 时， 的值为 ． 【变式训练】 1．当 时，二次根式 的值是_________． 2．（2023下·浙江温州·八年级校考期中）当 时，二次根式 的值是 ． 3．已知 ，则 ________． 【题型四 求二次根式中的参数】 例题：如果 是一个整数，那么最小正整数 ___________． 【变式训练】 1．已知有理数满足 ，则 的值是______. 2．已知n是正整数， 是整数，则满足条件的所有n的值为__________． 【题型五 利用二次根式的性质化简】 例题：计算： ______． 【变式训练】 1．化简： ______， ______．2．化简： (1) ． (2) ． (3) ． 【题型六 二次根式的乘除运算】 例题：（2023上·四川乐山·九年级乐山市实验中学校考期中）计算： ． 【变式训练】 1．（2023上·上海浦东新·八年级统考期中）计算： 2．（2023上·上海闵行·八年级统考期中）计算： 3．（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校考阶段练习）计算： ． 4．（2023上·上海闵行·八年级校联考期中）计算：5．（2023上·全国·八年级专题练习）计算： (1) ； (2) ． 【题型七 最简二次根式的判断】 例题：下面是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．在二次根式 、 、 、 、 中，最简二次根式的个数是（ ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【题型八 同类二次根式】 例题：下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）． A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列二次根式中，能与 合并的是（ ）A． B． C． D． 2．下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（ ） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【题型九 已知同类二次根式求参数】 例题：最简二次根式 能与 进行合并，则 ________． 【变式训练】 1．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 的值为______． 2．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则m =_____________． 【题型十 二次根式混合运算】 例题：计算： (1) ； (2) ． 【变式训练】 1．（2023上·河南焦作·八年级统考期中）计算 (1) (2) 2．（2023下·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）计算下列各题： (1) ； (2) ；(3) ； (4) ． 3．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）计算题： (1) ； (2) (3) ； (4) (5) (6) 【题型十一 已知字母的值，化简求值】 例题：（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知 ， ，求下列代数式的值. (1) ； (2) . 【变式训练】 1．（2023上·辽宁朝阳·七年级校考期中）已知 ， ，求 的值．2．（2023下·江苏盐城·八年级校考阶段练习）已知 ， ，求下列代数式的值． (1) ； (2) ． 3．（2023上·四川成都·八年级树德中学校考期中）已知 ， ． (1)求 的值； (2)求 ． 【题型十二 比较二次根式的大小】 例题：比较大小： ______ （填上“＞”或“＜”） 【变式训练】 1．比较大小： __ ．（选填“ ”、“ ”或“ ”） 2．比较大小： ______ ．