第十六章二次根式（知识归纳+题型突破）（教师版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_知识点汇总-U105_2024版

第十六章 二次根式（知识归纳+题型突破） 1.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如 的式子叫做二次根式，如 等式子，都叫做二次根式. 特别说明：二次根式 有意义的条件是 ，即只有被开方数 时，式子 才是二次根式， 才有意义. 2.二次根式的性质 a a ( a)2 a0 特别说明：（1） 一个非负数 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 （ ），如 1 1 2( 2)2; ( )2;x( x)2 3 3 x0 （ ）. a2 a a a2 （2） 中 的取值范围可以是任意实数，即不论 取何值， 一定有意义. a2 a （3）化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简. a2 ( a)2 （4） 与 的异同a2 a ( a)2 a a2 a ( a)2 a a0 不同点： 中 可以取任何实数，而 中的 必须取非负数； = ， = （ ）. a a2 ( a)2 相同点：被开方数都是非负数，当 取非负数时， = . 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 2, ab,3 x, a2 b2 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如 等都是最简二次根式. 特别说明：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小 于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断. 2 8 8 2 2 2 8 如 与 ，由于 = ， 与 显然是同类二次根式. 知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 积的算术平方根化简公式： 二次根式的乘法 a  b  ab(a0,b0) ab  a  b(a0,b0) 商的算术平方根化简公式： a a 二次根式的除法 = (a0,b0) a a b b  (a0,b0) b b 特别说明： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 a bc d ac bd . (4)(9)  4 9 （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合 23 25 2 (135) 2  2 并同类二次根式.如 【题型一 二次根式的定义】 例题：（2023下·浙江丽水·八年级期末）下列式子一定不是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如 的式子叫二次根式进行判断． 【详解】解： ． 是二次根式，故本选项不符合题意； B． 是二次根式，故本选项不符合题意； C． 是二次根式，故本选项不符合题意； D． 中 ，不是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）下列式子是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的概念． 根据二次根式的定义：形如 的式子逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数 ，不符合二次根式的定义，故本选项不符合题意； B、 为三次根式，不符合二次根式的定义，故本选项不符合题意；C、 中，条件 ，是二次根式，故本选项符合题意； D、 ， 不符合二次根式的定义，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．下列式子是二次根式的有（ ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，逐一判断． 【详解】当 时， 是二次根式； 是二次根式， 不是二次根式， 中 ，不是二次根式， ，是二次根式， ，是二次根式， ∴ ， ， 是二次根式，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式的定义（一般形如 的代数式叫做二次 根式）会判断被开方数的正负是解答关键． 3．给出下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中二次根式的个数是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据二次根式的定义即可作出判断． 【详解】解：①∵ ，∴ 是二次根式； ②6不是二次根式； ②∵ ，∴ 不是二次根式； ④∵ ，∴ ，∴ 是二次根式； ⑤∵ ，∴ 是二次根式； ⑥ 是三次根式，不是二次根式． 所以二次根式有3个． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次根式的定义，解题时，要注意：一般地，我们把形如 的式子叫做二 次根式． 【题型二 二次根式有意义的条件】 例题：（2023上·安徽宿州·八年级校考阶段练习）二次根式 中 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数大于等于零可得 ，求解即 可，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于零是解此题的关键． 【详解】解：由题意得： ， 解得： ， 故选：C． 【变式训练】 1．（2023上·河北石家庄·八年级校考期中）要使二次根式 有意义，则 的值可以取（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开负数为非负数，即可作答．【详解】解：依题意： ， 则 ， A、B、C、D四个选项，满足 这个条件的只有D， 故选：D． 2．（2023上·四川成都·八年级校联考期中）如果二次根式 有意义，那么 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于零及分母不为零得到 ，进而 求解即可，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】由题意得 ， 解得 ， 故选：D． 3．（2023·广东云浮·统考二模）若式子 有意义，则x的取值范围是（ ） A． B． 且 C． 且 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，根据分母不为0，被开方数大于或等于0，解不等式即可． 【详解】解：依题意得： 且 ， 解得 且 ． 故选C． 【题型三 求二次根式的值】 例题：（2023下·浙江丽水·八年级校联考期中）当 时， 的值为 ． 【答案】4 【分析】直接把x的值代入化简即可．【详解】解：当 时， ． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了二次根式的求值，熟记二次根式的性质是解决此题的关键． 【变式训练】 1．当 时，二次根式 的值是_________． 【答案】4 【分析】把x=2代入二次根式计算可得答案． 【详解】解：∵x=2， ∴ = =4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了二次根式的计算求值，解题的关键是正确代入数值计算． 2．（2023下·浙江温州·八年级校考期中）当 时，二次根式 的值是 ． 【答案】 【分析】将 代入原式即可求出答案． 【详解】解：当 时， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查求二次根式的值，二次根式的性质．解题的关键是掌握二次根式的性质． 3．已知 ，则 ________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论【详解】求解． 解：∵ ， ∴ 与 同号， ①当 ， 时， 原式 ； ②当 ， 时， 原式 ， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 【题型四 求二次根式中的参数】 例题：如果 是一个整数，那么最小正整数 ___________． 【答案】2 【分析】根据二次根式的定义，可得答案． 【详解】解：由二次根式 是一个整数，那么正整数a最小值是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的性质是解题关键．【变式训练】 1．已知有理数满足 ，则 的值是______. 【答案】 【分析】将已知等式整理得 ，由a，b为有理数，得到 ，求出 a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵a，b为有理数， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的 关键． 2．已知n是正整数， 是整数，则满足条件的所有n的值为__________． 【答案】 或 或 【分析】先利用算数平方根有意义的条件求得正整数 的取值范围，然后令 等于所有可能的平方数 即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得 ， ∵n是正整数， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ，∵ 是整数， ∴ 或 或 或 或 ， 解得 或 或 或 或 ， ∵n是正整数， ∴ 或 或 ， 故答案为： 或 或 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键． 【题型五 利用二次根式的性质化简】 例题：计算： ______． 【答案】 ## 【分析】根据二次根式的性质直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查二次根式的性质： ，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式训练】 1．化简： ______， ______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解： ，， 故答案为： ； ． 【点睛】本题考查二次根式的性质，会利用二次根式的性质正确化简是解答的关键． 2．化简： (1) ． (2) ． (3) ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将被开方数的分子分母分别写成平方的形式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先将被开方数化成假分数，再将分母有理化即可； （3）直接将分母有理化即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，熟练分母有理化的方法是解题的关键． 【题型六 二次根式的乘除运算】 例题：（2023上·四川乐山·九年级乐山市实验中学校考期中）计算： ． 【答案】【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 【变式训练】 1．（2023上·上海浦东新·八年级统考期中）计算： 【答案】 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 2．（2023上·上海闵行·八年级统考期中）计算： 【答案】24 【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校考阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算，然后合并即可； 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决 问题的关键．4．（2023上·上海闵行·八年级校联考期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法．根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 5．（2023上·全国·八年级专题练习）计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． （2）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【点睛】本题主要考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． 【题型七 最简二次根式的判断】 例题：下面是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A． ， 的被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B． ， 的被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C． 分母中含有二次根号，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D． 是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．理解和掌握最简二次根式的定义是解题的关键，注意：满足下列 两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数不能含有分母；②被开方数不含有能开得尽方的因数 或因式． 【变式训练】 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件： （1） 被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最 简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、 ，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； B、 ，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； C、 ，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； D、 属于最简二次根式，故本选项符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键． 2．在二次根式 、 、 、 、 中，最简二次根式的个数是（ ）个A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或 因式，解答即可． 【详解】解： ， ， ， 最简二次根式有： 、 共两个． 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式，熟练掌握最简二次根的性质是解题关键． 【题型八 同类二次根式】 例题：下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答． 【详解】解：A、 ，与 不是同类二次根式，不符合题意； B、 与 不是同类二次根式，不符合题意； C、 与 是同类二次根式，符合题意； D、 与 不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根 式叫做同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义． 【变式训练】 1．下列二次根式中，能与 合并的是（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可． 【详解】解：A、 ，故 与 不能合并，故A不符合题意； B、 ，故 与 能合并，故B符合题意； C、 与 不能合并，故C不符合题意； D、 ，故 与 不能合并，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义和二次根式的性质，掌握同类二次根式的定义是解题的关 键． 2．下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（ ） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的概念逐个判断即可． 【详解】A： ， 故 和 不是同类二次根式，故A选项不符合题意； B： ，故 和 ，故B选项不符合题意； C： ， 故 和 是同类二次根式，故C选项符合题意； D： 和 不是同类二次根式，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查同类二次根式，正确理解同类二次根式的概念是解题的关键．【题型九 已知同类二次根式求参数】 例题：最简二次根式 能与 进行合并，则 ________． 【答案】2 【分析】根据题意可判断最简二次根式 和 是同类二次根式，即得出 ，解出m即可． 【详解】根据题意可知 ， 解得： ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的判断．由题意判断出 和 是同类二次根式 是解题关键． 【变式训练】 1．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 的值为______． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可列出关于a的等式，解出a即可． 【详解】由题意可知 ， 解得： ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义．掌握化成最简二次根式后，如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次根式是解题关键． 2．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则m =_____________． 【答案】3 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得 ，再解出m即可． 【详解】由题意得： ， 解得： ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义．掌握几个最简二次根式的被开方数相同，这几个 最简二次根式就叫做同类二次根式是解题关键．【题型十 二次根式混合运算】 例题：计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ； (2) ． 【分析】（1）先化简，再算二次根式的加减法即可； （2）先化简，再算括号里的加减法，最后算除法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是掌握二次根式的运算法则和性质． 【变式训练】 1．（2023上·河南焦作·八年级统考期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则是解题关键． （1）先进行二次根式的乘法运算以及化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式，完全平方公式去括号，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ．2．（2023下·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）计算下列各题： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【分析】根据二次根式的性质以及混合运算法则化简计算即可 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键 3．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）计算题： (1) ； (2) (3) ； (4) (5) (6)【答案】(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； 【分析】（1）分别将各部分化简，再合并即可； （2）先将除法转化成乘法，然后进行乘法运算，再合并即可； （3）分别化简二次根式、负指数幂、利用平方差公式化简二次根式，再合并即可； （4）分别求出立方根、化简绝对值、负指数幂、计算二次根式乘法，再合并即可； （5）分别化简二次根式再进行处罚运算，再合并即可； （6）分别把各部分化简，再合并即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 【点睛】本题考查了负指数幂、二次根式的混合运算，解答关键是熟练掌握相关运算法则．【题型十一 已知字母的值，化简求值】 例题：（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知 ， ，求下列代数式的值. (1) ； (2) . 【答案】(1) (2)49 【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算． （1）根据平方差公式将原式整理成 ，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； （2）根据完全平方公式将原式整理成 ，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ， 则 ． （2）解：∵ ， ， ∴ ， ， 则 ． 【变式训练】 1．（2023上·辽宁朝阳·七年级校考期中）已知 ， ，求 的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质，灵活进行公式变形是解题的关键． 先求出 ， 的值，然后把 变形后整体代入求解即可．【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ． 2．（2023下·江苏盐城·八年级校考阶段练习）已知 ， ，求下列代数式的值． (1) ； (2) ． 【答案】(1)12 (2)14 【分析】（1）利用完全平方公式分解因式，再代入进行计算即可得； （2）先求出 的值，将 变形为 再结合（1）的结果求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ，． 【点睛】本题考查了乘法公式、因式分解、二次根式的乘法与加法，熟练掌握各运算法则和公式是解题关 键． 3．（2023上·四川成都·八年级树德中学校考期中）已知 ， ． (1)求 的值； (2)求 ． 【答案】(1) ； (2) ． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值和分母有理化，先根据分母有理化求出 ， ， 即可求出 ， ，即可得出答案，解题的关键是掌握分母有理化． 【详解】（1） ， ， ∴ ； （2）∵ ， ∴ ，， ， ． 【题型十二 比较二次根式的大小】 例题：比较大小： ______ （填上“＞”或“＜”） 【答案】＞ 【分析】利用它们的倒数来进行比较． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ． 故答案为：＞ 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是通过比较它们的倒数进行比较大小． 【变式训练】 1．比较大小： __ ．（选填“ ”、“ ”或“ ”） 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了二次根式的比较，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 2．比较大小： ______ ． 【答案】＞ 【分析】先求出 与 的倒数，然后进行大小比较．【详解】∵ 而 ， ∴ ． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小．