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第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除（4个知识点+6大题型+15道拓展培优题） 分层作业
题型目录
考查题型一 二次根式的乘法
考查题型二 二次根式的除法
考查题型三 二次根式的乘除混合运算
考查题型四 最简二次根式的判断
考查题型五 化为最简二次根式
考查题型六 已知最简二次根式求参数
【知识梳理】
知识点一、二次根式的乘法
二次根式的乘法 · ＝ ．（a≥0，b≥0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.
推广：
知识点二、二次根式的除法
二次根式的除法： = （a≥0，b>0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根.
考查题型一 二次根式的乘法
1．（2024下·全国·八年级假期作业）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山西临汾·九年级校联考阶段练习）若 ， ，则 可以表示为（）
A． B． C． D．3．（2023上·四川成都·九年级校考阶段练习）计算： ．
4．（2024下·全国·八年级假期作业）若一个长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，则它
的体积为 ．
5．（2023上·山西晋中·八年级统考期中）按要求填空：
(1)填表并观察规律：
a 4 400
(2)根据你发现的规律填空：
已知： ，则 ______；
已知： ， ，则 ______；
(3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明；
考查题型二 二次根式的除法
1．（2023上·四川遂宁·九年级射洪中学校考期中）设 ， ，则下列运算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）下列各式的计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023下·云南红河·八年级统考期末）计算并把结果化为最简二次根式： ．4．（2024下·全国·八年级假期作业）已知一个三角形的面积为 ，一条边长为 ，则这条边上
的高为 cm．
5．（2023·上海·八年级假期作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
考查题型三 二次根式的乘除混合运算
1．（2023下·湖北孝感·八年级校考阶段练习）以下各式：① ，②
，③ ，④ ，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2023下·河北保定·八年级校考期中）在解决如下问题“已知 ， ，用含 ， 的代数式
表示 ”时，甲、乙两个同学分别给出不同解法：
甲： ．
乙： 因为 ，所以 ．
对于这两种解法，正确的是（ ）A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对
3．（2024下·全国·八年级假期作业）计算：
（1） ．
（2） ．
4．（2023上·山西临汾·九年级校联考阶段练习）计算 的结果是 .
5．（2023上·河南焦作·八年级统考期中）计算
(1)
(2)
考查题型四 最简二次根式的判断
1．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）若 是最简二次根式，则a的值可能是（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2023上·河北邢台·八年级校考阶段练习）若 是最简二次根式，则 的值可以是（ ）
A．6 B． C．2 D．
3．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）在 、 、 、 中最简二次根式是 ．
4．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）下列各式 中，是最简二次根式的有 ．
5．（2022·全国·八年级假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ．考查题型五 化为最简二次根式
1．（2023上·上海金山·八年级校考期中）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山西太原·八年级统考期中）将 化成最简二次根式的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·广东茂名·八年级统考期中）若单项式 与 是同类项，则 的值为 ．
4．（2022下·广东惠州·八年级统考期末）若 为正整数，则满足条件的 的最小正整数值为 ．
5．（2023·上海·八年级假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式：
(1) ；
(2) ；
(3) （ ）
(4) （ ， ， ）．
考查题型六 已知最简二次根式求参数
1．（2023下·山东泰安·八年级校考阶段练习）若 是最简二次根式，则m，n的值为（ ）
A．0， B． ，0 C．1， D．0，0
2．（2021下·浙江杭州·八年级校考期中）我们把形如a +b（a，b为有理数， 为最简二次根式）的
数叫做 型无理数，如3 +1是 型无理数，则 是（ ）
A． 型无理数 B． 型无理数 C． 型无理数 D． 型无理数3．（2023下·山东临沂·八年级统考期中）若两个最简二次根式 与 能合并，则 ．
4．（2023下·湖北咸宁·八年级统考期末）当 时， 和 两个最简二次根式是同
类二次根式．
5．（2022·全国·八年级假期作业）已知最简二次根式 与 是同类二次根式，求 的值．
1．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）估计 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
2．（2023上·四川乐山·九年级乐山市实验中学校考期中）下列各式① ，② ，③ ，④ ，⑤ （ ＞0）中是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市雨田实验中学校考期中）将1， ， ， 按图中所示的方式排
列，若规定 表示第 排从左到右第 个数，则 与 表示的两数的积是（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2023上·福建泉州·九年级福建省永春第三中学校联考期中）设 的小数部分为a，则
的值为（ ）
A．22 B． C． D．
5．（2022下·广东汕头·八年级广东省汕头市聿怀初级中学校考阶段练习）观察数据并寻找规律： ， ，
， ， ……，则第2021个数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·湖南邵阳·八年级统考阶段练习）能使等式 成立的x的取值范围是 ．
7．（2023上·河南驻马店·九年级校考阶段练习）若 ， ，则 ．
8．（2022下·湖北武汉·九年级武汉市常青第一中学校考自主招生）已知 ，则.
9．（2023·山东潍坊·统考中考真题）从 、 ， 中任意选择两个数，分别填在算式 里
面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
10．（2023下·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知 ， ， ，
其中A，B为最简二次根式，且 ，则 的值为 ．
11．（2024下·全国·八年级假期作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
12．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）先化简，再求代数式 的值，其中
．
13．（2023下·广东湛江·八年级校考期中）请阅读下列材料：
问题：已知 ，求代数式 的值．小敏的做法是：根据 得 ，∴
，得 ．把 作为整体代入得 ．即：把已知条件适当变形，
再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：(1)已知 ，求代数式 的值；
(2)已知 ，求代数式 的值．
14．（2023上·江西吉安·八年级统考阶段练习）我们知道，任意一个二次根式 （ 为正整数），都可以
进行这样的分解： （ ， 是正整数，且 ），在 的所有这种分解中，如果 最
小，我们就称 是 的最佳分解，并规定： ．例如 可以分解成 ， 或
，显然 是 的最佳分解，此时 ．
(1)直接写出 的最佳分解：________， ________；
(2)若正整数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
15．（2022浙江杭州·九年级）仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边
的边长为 ， ，则面积为 ，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得： ，当且仅当
时取等号．在 中，若 ， ，用 、 代替 ， 得， ，即
（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们
以“已知 ，求 的最小值”为例给同学们介绍．解：由题知 ，∵ ， ，
∴ ，当且仅当 时取等号，即当 时，
函数的最小值为 ．
总结：利用基本不等式 求最值，若 为定值，则 有最小值．
请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应 的取值．
（1）若 ，求函数 的最小值；
（2）若 ，求 的最小值；
（3）若，求函数的最小值．
