文档内容
第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除（4个知识点+6大题型+15道拓展培优题） 分层作业
题型目录
考查题型一 二次根式的乘法
考查题型二 二次根式的除法
考查题型三 二次根式的乘除混合运算
考查题型四 最简二次根式的判断
考查题型五 化为最简二次根式
考查题型六 已知最简二次根式求参数
【知识梳理】
知识点一、二次根式的乘法
二次根式的乘法 · ＝ ．（a≥0，b≥0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.
推广：
知识点二、二次根式的除法
二次根式的除法： = （a≥0，b>0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根.
考查题型一 二次根式的乘法
1．（2024下·全国·八年级假期作业）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2．（2023上·山西临汾·九年级校联考阶段练习）若 ， ，则 可以表示为（）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
首先化简二次根式 ，进而得出答案．
【详解】解；∵ ，
∴ 可以表示为； ．
故选：B．
3．（2023上·四川成都·九年级校考阶段练习）计算： ．
【答案】 /
【分析】根据平方差公式计算即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的运算及平方差公式，熟练掌握相关知识是解题关键．
4．（2024下·全国·八年级假期作业）若一个长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，则它
的体积为 ．
【答案】
5．（2023上·山西晋中·八年级统考期中）按要求填空：
(1)填表并观察规律：
a 4 400
(2)根据你发现的规律填空：
已知： ，则 ______；已知： ， ，则 ______；
(3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明；
【答案】(1)见解析
(2) ，3800
(3)求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍
【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，二次根式的乘法运算，根据解题过程找出一般规律是
解题关键．
（1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可；
（2）根据二次根式的乘法法则计算，即可得到答案；
（3）根据解题过程找出规律即可．
【详解】（1）解： ， ， ， ，
填表如下：
a
（2）解：
；
，
，
，
；
（3）解：由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方
根扩大或缩小10倍（意思正确即可）．
考查题型二 二次根式的除法
1．（2023上·四川遂宁·九年级射洪中学校考期中）设 ， ，则下列运算中错误的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的乘除法．直接利用二次根式的性质直接化简得出即可．
【详解】解：A、 ，正确，本选项不合题意；
B、 ，无法化简，错误，本选项符合题意；
C、 ，正确，本选项不合题意；
D、 ，正确，本选项不合题意；
故选：B．
2．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）下列各式的计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质化简和二次根式除法依次计算各项后即可解答，
熟练掌握二次根式的化简和二次根式除法运算法则是解题的关键．
【详解】 、 ，此选项计算错误，不符合题意；
、 ，此选项计算错误，不符合题意；
、 ，此选项计算错误，不符合题意；
、 ，此选项计算正确，符合题意；
故选： ．3．（2023下·云南红河·八年级统考期末）计算并把结果化为最简二次根式： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的除法进行计算即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法运算是解题的关键．
4．（2024下·全国·八年级假期作业）已知一个三角形的面积为 ，一条边长为 ，则这条边上
的高为 cm．
【答案】
5．（2023·上海·八年级假期作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)【分析】（1）根据二次乘法法则计算即可；
（2）根据二次除法法则计算即可；
（3）根据二次乘法法则计算即可；
（4）根据二次除法法则计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．
考查题型三 二次根式的乘除混合运算
1．（2023下·湖北孝感·八年级校考阶段练习）以下各式：① ，②
，③ ，④ ，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质，二次根式有意义的条件判断；
【详解】解： ， 无意义，①错误； ，②错误；
成立的前提是 ，③错误；④ ，④正确；
故选：B
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的化简；掌握二次根式的性质是解题的关键．2．（2023下·河北保定·八年级校考期中）在解决如下问题“已知 ， ，用含 ， 的代数式
表示 ”时，甲、乙两个同学分别给出不同解法：
甲： ．
乙： 因为 ，所以 ．
对于这两种解法，正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对
【答案】C
【分析】仔细阅读两同学的解题过程，然后判断．
【详解】甲： ，
∴甲正确；
乙： ，
∵ ，
∴ ．
∴乙正确；
综上所述，甲、乙均对．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握仔细阅读题目，灵活解题．
3．（2024下·全国·八年级假期作业）计算：
（1） ．
（2） ．【答案】
4．（2023上·山西临汾·九年级校联考阶段练习）计算 的结果是 .
【答案】1
【分析】根据二次根式的运算法则直接求解即可得到答案；
【详解】解：原式 ，
故答案为：1；
【点睛】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练掌握： ．
5．（2023上·河南焦作·八年级统考期中）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则是解题关键．
（1）先进行二次根式的乘法运算以及化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差公式，完全平方公式去括号，最后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；（2）
．
考查题型四 最简二次根式的判断
1．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）若 是最简二次根式，则a的值可能是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式的定义、二次根式有意义的条件，掌握最简二次根式的概念是解题的关
键．
【详解】解：A． 无意义，故该选项不符合题意；
B． ，故该选项不符合题意；
C． 是最简二次根式，故该选项符合题意；
D． ，故该选项不符合题意．
故选：C．
2．（2023上·河北邢台·八年级校考阶段练习）若 是最简二次根式，则 的值可以是（ ）
A．6 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】此题考查了最简二次根式，直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【详解】解：A. ，不是最简二次根式，不合题意；B. ，不是最简二次根式，不合题意；
C. ，是最简二次根式，符合题意；
D. ，不是最简二次根式，不合题意；
故选：C．
3．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）在 、 、 、 中最简二次根式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数
中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．据此即可解
答．
【详解】解： 是最简二次根式，符合题意；
，不是最简二次根式，不符合题意；
，不是最简二次根式，不符合题意；
，不是最简二次根式，不符合题意；
综上：最简二次根式有 ，
故答案为： ．
4．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）下列各式 中，是最简二次根式的有 ．
【答案】
【分析】根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可．【详解】解： ，被开方数含有分母不是最简二次根式，
是最简二次根式，
，不是最简二次根式，
，不是最简二次根式，
故答案为： ．
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟记最简二次根式的特征．
5．（2022·全国·八年级假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ．
【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式；
（2） 不是最简二次根式，被开方数含分母．
（3） 是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
（4） 是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
（5） 不是最简二次根式，被开方数含分母．
（6） 不是最简二次根式，被开方数含分母．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数
不含能开得尽方的因数或因式．
考查题型五 化为最简二次根式1．（2023上·上海金山·八年级校考期中）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查最简二次根式．“被开方数不含分母或被开方数不含开得尽方的因数或因式，这样的二
次根式即为最简二次根式”，据此进行判断即可．
【详解】解： 含有c3可以开方，则A不符合题意；
符合最简二次根式的定义，则B符合题意；
，则C不符合题意；
中被开方数含有分母，不是最简二次根式，则D不符合题意；
故选：B．
2．（2023上·山西太原·八年级统考期中）将 化成最简二次根式的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式，如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的
因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式，根据最简二次根
式的定义化简即可得到答案．
【详解】解：将 化成最简二次根式的结果为 ，
故选：A．
3．（2023上·广东茂名·八年级统考期中）若单项式 与 是同类项，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同类项，最简二次根式，根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指
数也相同即可求解．【详解】解：∵单项式 与 是同类项，，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（2022下·广东惠州·八年级统考期末）若 为正整数，则满足条件的 的最小正整数值为 ．
【答案】5
【分析】先将已知二次根式化简，然后根据题意找出最小被开方数即可得到结果．
【详解】解： ，且结果为正整数，
是某数的平方，
又 ， 是根号内满足条件的最小被开方数， 为正整数，
当 时满足题意．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式的化简，首先知道被开方数为平方数的时候开方的结果才是正整数．将本题先
化简再探讨是解决本题的关键．
5．（2023·上海·八年级假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式：
(1) ；
(2) ；
(3) （ ）
(4) （ ， ， ）．
【答案】(1)
(2)(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解；
（2）将小数化为分数，根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解；
（3）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解；
（4）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解．
【详解】（1）解： ．
（2）解：
（3）解： ．
（4）解： ．
【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，掌握二次根式的性质，二次根式分母有理化的计算
方法是解题的关键．
考查题型六 已知最简二次根式求参数
1．（2023下·山东泰安·八年级校考阶段练习）若 是最简二次根式，则m，n的值为（ ）
A．0， B． ，0 C．1， D．0，0
【答案】A
【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可．
【详解】解：∵ 是最简二次根式，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．
．
2．（2021下·浙江杭州·八年级校考期中）我们把形如a +b（a，b为有理数， 为最简二次根式）的
数叫做 型无理数，如3 +1是 型无理数，则 是（ ）
A． 型无理数 B． 型无理数 C． 型无理数 D． 型无理数
【答案】B
【分析】先利用完全平方公式计算，再化简得到原式 ，然后利用新定义对各选项进行判断．
【详解】解： ，
所以 是 型无理数，
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或
因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数．
3．（2023下·山东临沂·八年级统考期中）若两个最简二次根式 与 能合并，则 ．
【答案】1
【分析】由最简二次根式 与 能合并可得 ，计算即可.
【详解】解： 最简二次根式 与 能合并，
∴ ，
解得 ,
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式及最简二次根式，熟记定义并能灵活运用是解决本题的关键.
4．（2023下·湖北咸宁·八年级统考期末）当 时， 和 两个最简二次根式是同
类二次根式．
【答案】3
【分析】根据同类二次根式的定义列一元一次方程求解即可．【详解】解：∵ 和 两个最简二次根式是同类二次根式，
∴ ，解得： ．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义列出一元一次方程是解答本题的
关键．
5．（2022·全国·八年级假期作业）已知最简二次根式 与 是同类二次根式，求 的值．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可；
【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
解得： ，
∴（a+b）a＝（0+2）0＝1；
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能
开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键．
1．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）估计 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的
估算即可．
【详解】解：，
，
，即 ，
的值应在4和5之间．
故选：A．
2．（2023上·四川乐山·九年级乐山市实验中学校考期中）下列各式① ，② ，③ ，④ ，
⑤ （ ＞0）中是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断
即可．能理解最简二次根式的定义是解题的关键．
【详解】解：① 是最简根式；② ，故不是最简根式；③ 是最简根式；④ ，
故不是最简根式；⑤ ，故不是最简根式．所以最简根式有：①、③，共2个．
故选：B．
3．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市雨田实验中学校考期中）将1， ， ， 按图中所示的方式排
列，若规定 表示第 排从左到右第 个数，则 与 表示的两数的积是（ ）A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的乘法，数字类规律探究；首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排
有2个数，第3排有3个数，然后抽象出第4排第2个数，第15排第1个数，然后可以得到答案．
【详解】解： 表示的数字是 ，
表示第 个数，
∵
∴ 表示
∴ ，
故选：C．
4．（2023上·福建泉州·九年级福建省永春第三中学校联考期中）设 的小数部分为a，则
的值为（ ）
A．22 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据无理数的估算，求 的小数部分为 ，然后代入，根据二次根式的乘法，利用二
次根式的性质进行化简，计算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 的整数部分为3，则小数部分 ，∴
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法，利用二次根式的性质进行化简，代数式求值等知识．
解题的关键在于熟练掌握各知识的运用．
5．（2022下·广东汕头·八年级广东省汕头市聿怀初级中学校考阶段练习）观察数据并寻找规律： ， ，
， ， ……，则第2021个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给出的数列可以看出第奇数个数为正，第偶数个数为负，第n个数的绝对值是 ，即可确
定第n个数为 ，据此即可求得．
【详解】解：观察这列数： ，
，
，
，
，
……，
根据规律可知，第n个数为 ，∴第2021个数是 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，归纳总结出数字的变化规律是解题的关键．
6．（2023上·湖南邵阳·八年级统考阶段练习）能使等式 成立的x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的除法，关键是掌握二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数
是非负数，且分母不能为零，据此即可解答．
【详解】解：∵ 成立，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
7．（2023上·河南驻马店·九年级校考阶段练习）若 ， ，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式运算等知识，首先根据题意可得 ，
，然后根据二次根式的性质和运算法则求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
故答案为：2．
8．（2022下·湖北武汉·九年级武汉市常青第一中学校考自主招生）已知 ，则
.
【答案】10【分析】设 ，则 ，可得 ，然后根据平
方差公式可得 ，然后代入计算即可解答．
【详解】设 ，则 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
故答案为10．
【点睛】本题主要考查了换元法、乘方、平方差公式等知识点，掌握换元法是解答本题的关键．
9．（2023·山东潍坊·统考中考真题）从 、 ， 中任意选择两个数，分别填在算式 里
面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
【答案】 （或 或 ，写出一种结果即可）
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【详解】解：①选择 和 ，
则
．
②选择 和 ，
则．
③选择 和 ，
则
．
故答案为： （或 或 ，写出一种结果即可）．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
10．（2023下·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知 ， ， ，
其中A，B为最简二次根式，且 ，则 的值为 ．
【答案】68
【分析】根据题意得出 ，求出 ，进而得出 ，求出 ，再代入求
值即可．
【详解】∵A，B为最简二次根式，且 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：68．
【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出 是解题的关键．11．（2024下·全国·八年级假期作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】解：（1）原式 ．
（2）原式 ．
（3）原式 ．
12．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）先化简，再求代数式 的值，其中
．
【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的除法运算，先进行分式的混合运算，再代入即可求解．
【详解】解：，
当 时，
原式 ．
13．（2023下·广东湛江·八年级校考期中）请阅读下列材料：
问题：已知 ，求代数式 的值．小敏的做法是：根据 得 ，∴
，得 ．把 作为整体代入得 ．即：把已知条件适当变形，
再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知 ，求代数式 的值；
(2)已知 ，求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）本题主要考查了完全平方公式的应用、整体思想等知识点，根据完全平方公式求出
，然后代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键；
（2）本题主要考查了二次根式的乘法、完全平方公式等知识点根据二次根式的乘法法则、完全平方公式
计算可得 ， ，然后整体代入计算即可；灵活运用相关运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
14．（2023上·江西吉安·八年级统考阶段练习）我们知道，任意一个二次根式 （ 为正整数），都可以
进行这样的分解： （ ， 是正整数，且 ），在 的所有这种分解中，如果 最
小，我们就称 是 的最佳分解，并规定： ．例如 可以分解成 ， 或
，显然 是 的最佳分解，此时 ．
(1)直接写出 的最佳分解：________， ________；
(2)若正整数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了新定义，二次根式的乘法，理解新定义的含义是解答本题的关键．
（1）先求出 的最佳分解，再求 即可；
（2）可设 ，其中 为正整数．由 可得 ，由 可求出，进而可求出 的值．
【详解】（1） 可以分解为 ，
显然 是 的最佳分解，此时 ．
故答案为： ， ；
（2）∵ ，
∴可设 ，其中 为正整数．
得 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是一个正整数的平方数．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
15．（2022浙江杭州·九年级）仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边
的边长为 ， ，则面积为 ，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得： ，当且仅当
时取等号．在 中，若 ， ，用 、 代替 ， 得， ，即
（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们
以“已知 ，求 的最小值”为例给同学们介绍．解：由题知 ，∵ ， ，
∴ ，当且仅当 时取等号，即当 时，
函数的最小值为 ．
总结：利用基本不等式 求最值，若 为定值，则 有最小值．
请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应 的取值．
（1）若 ，求函数 的最小值；
（2）若 ，求 的最小值；
（3）若 ，求函数 的最小值．
【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3） ，
【分析】（1）仿照上面的例子变形得到 ，求出最小值即可；
（2）仿照上面的例子变形得到 ，求出最小值即可；
（3）仿照上面的例子变形得到 ，求出最小值即可.
【详解】解：（1）由题知 ，∵ ，
∴
∴ ，当且仅当 时取等号，
即当 时，函数的最小值为4；
（2）由题知 ，
∵ ，
∴
∴ ，当且仅当 时取等号，
即当 时，函数的最小值为4；
（3）由题知 ，
∵ ，
∴
∴ ，当且仅当 时取等号，
即当 时，函数的最小值为6.
【点睛】本题是对二次根式和不等式的综合考查，读懂题意，准确变形是解决本题的关键.
