文档内容
第十七章 勾股定理（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．13，14，15 B．3，4，5 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，11
【答案】B
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股
数是解题的关键．根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解．
【详解】解：A、∵ ，∴ 不是勾股数，不符合题意；
B、∵ ，∴3，4，5是勾股数，符合题意；
C、∵ 都不是整数，∴ 不是勾股数，不符合题意；
D、∵ ，∴ 不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
2．如图，两个大正方形的面积分别为 和 ，则小正方形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握以直角三角形的三边为边长的图形面积计算方法是解题的关键．利
用两个大正方形的面积分别为 和 ，得出 ， ，再利用勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】解：如图，
∵两个大正方形的面积分别为 和 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴小正方形 的面积为 ，
故选：D．
3．在 中， 、 、 的对边分别是 、 、 ，下列条件不能判断 是直角三角形的是
（ ）
A． ， ， B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查直角三角形的知识，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，根据勾
股定理的逆定理，直角三角形的性质，进行解答，即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，b2=2， ，
∴ ，
∴A可以判定 是直角三角形，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴B可以判定 是直角三角形，不符合题意；∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，
∴C可以判定 是直角三角形，不符合题意；
∵ ，
∴ ， ， ，
∴D不可以判定 是直角三角形，符合题意．
故选：D．
4．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1，则在网格上的 中，边长为有理数的有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】B
【知识点】勾股定理与网格问题、有理数的定义
【分析】本题主要考查勾股定理以及有理数的分类，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行
计算求出边长，进行分类即可．
【详解】解： ，为有理数，
，不是有理数，
，不是有理数，
故有一条边长为有理数，
故选B．
5．如图，在 中， ， ， ，则 的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、二次根式的混合运算、含30度角的直角三角
形
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，含 角直角三角形的性质，勾股定理等知识．过点A作
，垂足为D．在 中和 中，分别用 表示出 、 ，根据 的长求出 ，
再求三角形的面积．
【详解】解：如图，过点A作 ，垂足为D．
在 中， ，
∴
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
故选：A．
6．一个台阶如图所示，阶梯每一层高 ，宽 ，长 ，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】此题主要考查了平面展开 最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段
最短进行解答 ．
【详解】解：如图所示：
台阶平面展开图为长方形， ， ，
则蚂蚁沿台阶面爬行到 点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得： ，
故选：B．
7．如图， 和 的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】延长 到E，连接 ，先利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，从而可得
，然后利用等边对等角及三角形的内角和定理可得 ，最后利用邻补角互补
即可得出答案．
【详解】解：如图，延长 到E，连接 ，由题意可得： ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，等边对等角，三角形的内角和定理，
利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，书中有“折竹抵地”问题，今有竹高一丈，末折抵
地，去本六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断、竹梢恰
好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列
方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查列方程解决古代问题，涉及勾股定理，读懂题意，熟记勾股定理是解决问题的关键．
设折断处离地而高 尺，由勾股定理列方程即可得到答案．
【详解】解：设折断处离地而高 尺，则 ，
在 中， ，即 ，
故选：D．9．如图，这是由若干个边长为1的正方形拼成的图形，沿过点P的一条直线剪一刀，会将这个图形分成面
积相等的两部分，则剪痕的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，过 作过格点的直线 ，补全图构成 ，由勾股定理即可求解；
找出剪痕是解题的关键．
【详解】解：如图，过 作过格点的直线 ，补全图构成 ，
直线 将此图形分成面积相等的两部分，
；
故选：D．
10．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求
积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图， 是锐角 的高，则 ．若 ， ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】以弦图为背景的计算题
【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，理解并掌握勾股定理的计算是解题的关键．
根据材料提示可得 ，由 ，即可求解．
【详解】解：根据题意， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．点 ， 是平面直角坐标系中的两点，则线段 ．
【答案】
【知识点】已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查了坐标系中求两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题关键；根据两点间距离
公式计算即可．
【详解】解： ， ，
则线段 ，
故答案为： ．12．如图，直线l上有三个正方形，若a，b的面积分别为9和16，则c的面积为 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．先
证明 ，得到 ，再根据勾股定理，得到 ，即可求出c的面积．
【详解】解： ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
a，b的面积分别为9和16，
， ，
在 中， ，
，
c的面积为 ，
故答案为：
13．若三角形的三边长 、 、 满足 ，则这个三角形的面积是 ．
【答案】
【知识点】运用完全平方公式进行运算、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆
定理进行判定三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解： ，
，
，
三角形是直角三角形．
∵ ，
∴ ，
∴这个三角形的面积是 ，
故答案为： ．
14．如图，教室的墙面 与地面 垂直，点P在墙面上．若 米，点P到 的距离是
3米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它爬行的最短行程是 米．
【答案】
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理 最短路径问题，，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．
可将教室的墙面 与地面 展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将教室的墙面 与地面 展成一个平面，
过P作 于G，连接 ，
∵ 米， 米，
∴ （米）．
∴ 米，∴ （米）．
故这只蚂蚁的最短行程应该是 米．
故答案为： ．
15．如图，有一张直角三角形纸片 ，两直角边 ， ，现将 折叠，使点 与点
重合，得到折痕 ，则 的面积为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可得： ，
设 ，则 ，在 中，根据勾股定理列方程求出 ，最后根据三角形的面积
公式求解即可．
【详解】解：由折叠可得： ，
，
设 ，则 ，
， ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
即 ，
，
故答案为： ．
16．在 中， ， ， ，过点B的直线把 分割成两个三角形，使其中
只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ．
【答案】 或 或
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形【分析】在 中，通过解直角三角形可得出 ，找出所有可能的分割方法，并求出
剪出的等腰三角形的面积即可．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等
腰三角形的面积是解题的关键．
【详解】解：在 中， ， ，
则： ，
沿过点B的直线把 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，
设该直线与边 交于点P．以下有三种情况：
①当 时，
∴
②当 时，
③当 且点P在边 上时，过点B作 ，垂足为D．∴
∴
∴
∴ ．
综上所述：等腰三角形的面积可能为 或 或 ，
故答案为： 或 或
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．如图，在 中， 于点D， ．
(1)分别求出 、 、 的长．
(2)猜想 是什么三角形，并证明你的猜想．
【答案】(1) ， ， ；
(2) 是直角三角形，证明见解析．
【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解题的关键．
（1）在 中，根据勾股定理求出 ，在 中，根据勾股定理求出 ，再根据
即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理可得到 是直角三角形．【详解】（1）解：∵ 于点D，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
，
；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
是直角三角形．
18．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点．现要求用无刻度的
直尺在网格内作图：
(1)画一个直角三角形，要求各顶点都在格点上，且三边长都是无理数；
(2)作出（1）中直角三角形斜边上的中线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】在网格中判断直角三角形、无刻度直尺作图、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）、勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由勾股定理可求 ，则由勾股定理逆定理可得 ，故 即为所求；
（2）取格点 ，连接 与 交于点 ，连接 ，则 即为所求，因为可证明 ，则
，则 为斜边中线．
【详解】（1）解：如图， 即为所求
（2）解：如图， 即为所求，
19．我区某校校园有一块四边形的空地 ，如图所示，为了绿化环境，学校拟对空地进行美化施工，
已知 米， 米， ， 米， 米，学校欲在此空地上铺草坪．
(1)求四边形的空地 的面积；
(2)已知草坪每平方米160元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
【答案】(1)24
(2)3840
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题
的关键；
连接 ，根据勾股定理求出 ，根据勾股定理的逆定理求出 ，求出区域的面积，即可求出答案．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
在 中， ， 米， 米，
由勾股定理得 米，
∵ 米， 米，
， ，
∴ ，
∴ ，
该区域面积 (平方米)，
（2）用该草坪铺满这块空地共需花费 元．
答：用该草坪铺满这块空地共需花费3840元．
20．已知： 的三边长 、 、 满足 ．
(1)求 、 、 的值；
(2)试判断三角形的形状，请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)等腰直角三角形，理由见解析
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、绝对值非负性、等腰三角形的定义
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，绝对值、平方的非负性，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股
定理的逆定理是解题的关键；
（1）根据绝对值、平方的非负性，即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理就可以证明是等腰直角三角形，
【详解】（1）解： ．
∴ ， ， ．， ， ．
（2）解： ，
，即 ，
，
∴以 、 、 为边能构成三角形，
，且 ，
三角形的形状是等腰直角三角形；
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，有一块三角形菜园 ，其中 ， ， ．
(1)判断菜园的边 与 是否垂直，并说明理由；
(2)现要扩大菜园，在边 的延长上找一点 ，使边 的长为 ，求菜园的面积扩大了多少．
【答案】(1)垂直，理由见解析；
(2)菜园的面积扩大了 ．
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，得出 是解题关键．
（1）利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）由勾股定理可得 ，进而求出 的差值即可．
【详解】（1）解：垂直，理由如下：
， ， ，
，
，
；
（2）解：由（1）可知， ，， ，
，
，
即菜园的面积扩大了 ．
22．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的
金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A． B． C． D．
(2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
(3)现有一个长、宽、高分别为 的无盖长方体木箱（如图3，
）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种
捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计）
【答案】(1)A
(2)
(3)最短为 ，方案见解析
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键．
（1）结合图形即可得出结果；
（2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解；
（3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意，
故选：A；
（2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，
则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为： ，
∴最短长度是 ；
（3）①把 展开，如图此时总路程为 ，
②把 展开，如图
此时的总路程为 ；
③如图所示，把 展开，
此时的总路程为 ，由于 ，所以第三种方案路程更短，最短路程为 ．
23．综合与实践
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图 是著名的赵爽弦图，
由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在 年构造发现了一个新的证法：把两
个全等的直角三角形 和 如图 放置，其三边长分别为 ， ， ， ，显然
．
(1)请用 ， ， 分别表示出四边形 ，梯形 ， 的面积，再探究这三个图形面积之间的
关系，证明勾股定理 ．
(2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图 ，小正方形边长为 ，连接小正方形的三个顶点，可得
，则 边上的高为______．
(3)如图4，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】勾股定理的证明方法、以直角三角形三边为边长的图形面积、勾股定理与网格问题
【分析】此题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明是解
本题的关键．
（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证；
（2）利用割补法求出 的面积，勾股定理求出 ，再利用三角形的面积公式即可求出 边上的高；
（3）运用勾股定理在 和 中表示出 ，列出方程求解即可．
【详解】（1）证明： ， ， ，，
，
，
；
（2） ， ，
，
，
即 边上的高是 ；
（3）在 中，由勾股定理得：
，
，
，
在 中，由勾股定理得：
，
．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．一个三角形被一条中线分割成两个三角形，如果分成的这两个三角形中至少有一个为等腰三角形，则
称这个三角形为奇妙三角形，这条中线为奇妙线．(1)如图1，在 中，已知 ， ， ，AD为一条奇妙线，则 的周长为 ．
(2)如图2，已知 ， 于点D， ， ，求证： 为奇妙三角形．
(3)已知 为奇妙三角形，且AD为奇妙线， ， ，求 的长．
【答案】(1)13，14
(2)见解析
(3) ，6，
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）由题可分为以下几种情况讨论：当 时；当 时；当
时看 和 是否至少有一个是等腰三角形，从而求得 的周长；
（2）取 的中点E，连接 ，由 ， ，证明 ，从而得到答案；
（3）由题可分为以下几种情况讨论：
①当 为等腰三角形时，若 ，求得 ；当 为等腰三角形时，②当 为等腰三角
形时，若 ，则作 交 于点，求得 ；
③当 为等腰三角形时，若 ，求得 ；
④当 为等腰三角形时，若 ，求得 等，
综上所有情况，可得答案．
【详解】（1）解： 为一条奇妙线， D是 中点且 ，
，
和 至少有一个是等腰三角形，
当 ， 是等腰三角形，但 ，不符合题意舍去；
当 ， 是等腰三角形，符合题意， 的周长为 ；
当 ， 和 都是等腰三角形，符合题意， 的周长为 ，
综上所述： 的周长可能为13，14，
故答案为：13，14；
（2）证明：如图：取 的中点E，连接 ，
，
，
，
，
∴AD是 的垂直平分线，
，
为奇妙三角形．
（3）解：由题可分为以下几种情况讨论：
① 为等腰三角形时，若 ，如图，
D是 中点，
，
②当 为等腰三角形时，若 ，如图，
是等腰三角形， ，
设 ，
为奇妙三角形，且AD为奇妙线，
，
作 交 于E，
，，
，
在直角 和直角 中，
，
，
，
解得 ，
∴ ；
③当 为等腰三角形时，若 ，如图，
且D是 中点，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
④ 为等腰三角形时，若 同③，
⑤其他情况，不存在
综上所述， 的值为 ，6， ．
【点睛】本题属于新定义的等腰三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，中线定义的综
合应用等，解决问题的关键是运用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理进行计算求解．解题时注意：分类讨论所有的可能性，不要遗漏．
25．学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题．大家知道，长方形的对边相
等，对边平行，四个角都是直角，即长方形 中， ， ，
， ， ．
请你运用所学知识，解决下面的问题：
(1)如图1，长方形纸片 中， ， ，将纸片折叠，使 落在对角线 上，折痕为
（点E在边 上），点B落在点 处，求 的长度；
(2)如图2，有一张长方形纸片 ， ， ，F为 边上一点， ，E为 上一点．
将纸片折叠，折痕为 ，使点B恰好落在线段 上的点 处，点A落在点 处．求线段 的长度．
【答案】(1)
(2)5
【知识点】根据等角对等边求边长、勾股定理与折叠问题
【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理与折叠的问题，等角对等边等知识．
（1）由长方体形的性质可知 ， ，由勾股定理得出 ，由折叠的性质可得出
， ， ，进一步可得出 ，
，再利用勾股定理可得出 ，代入求解即可得出 ．
（2）由长方体形的性质可知 ， ， ， ，
，进而可得出 ，由折叠得 ， ，等量代
换可得出 ，由等角对等边可得出 ，由勾股定理可得出 ，进一步可得出
，最后根据线段的和差即可得出答案．
【详解】（1）解：∵四边形 是长方形， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
由折叠得 ， ， ，∴ ， ，
在 中， ，
即
解得：
∴ 的长是 ．
（2）解：∵四边形 是长方形， ， ， ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
由折叠得 ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长是5．
