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第十六章 二次根式全章题型总结【7 个知识点 13 个题型】
【人教版】
【知识点1 二次根式的定义】
【二次根式的定义】
形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式.其中“❑√❑”叫做二次根号，a叫做被开方数.形如m❑√a（a≥0）的式子
也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数；
注：判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:
①是否含有二次根号“❑√❑”;
②被开方数是否为非负数.
若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.
【二次根式有意义条件】
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围;
根据二次根式有意义的条件,若二次根式❑√A−B与❑√B−A都有意义,则有A=B.【题型1 二次根式的判断】
√ 1
【例1】在式子❑√5，√38，❑√−2，❑√(x+3) 2，❑ 中，是二次根式的有（ ）
x2 +5
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．
√ 1
【解答】解：❑√5，❑√(x+3) 2，❑ 是二次根式，共3个．
x2 +5
故选：B．
√a
【变式1】若❑ 是二次根式，则a，b应满足的条件是（ ）
b
A．a，b均为非负数 B．a，b同号
C．a≥0，b＞0 D．a≥0，b＞0或a≤0，b＜0
【分析】根据二次根式有意义的条件解答即可．
√a
【解答】解：∵❑ 是二次根式，
b
a
∴ ≥0，
b
∴a≥0，b＞0或a≤0，b＜0．
故选：D．
√x
【变式2】下列代数式❑ （x＞0），❑√2，33，❑√x2 +1，❑√−3x（x＞0）中，二次根式有（ ）
2
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】形如❑√a(a≥0)的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式．
【解答】解：形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式．
√x
在❑ （x＞0），❑√2，33，❑√x2 +1，❑√−3x(x＞0)中，
2
33不含根号，❑√−3x（x＞0）被开方数小于0，不符合要求，不是二次根式，其余3个是二次根式，
所以，二次根式有3个．
故选：C．
√1 √ 1 2
【变式3】在式子：①❑ ；②❑√−3；③−❑√x2 +1；④√38；⑤❑(− ) ；⑥❑√−x(x＞1)中，二次根
3 3式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次根式的定义，逐个进行判断，即可进行解答．
√1 ❑√3
【解答】解：①❑ = ，是二次根式，符合题意；
3 3
②∵﹣3＜0，∴❑√−3不是二次根式，不符合题意；
③∵x2≥0，∴x2+1≥1，则−❑√x2 +1是二次根式，符合题意；
④√38=2，是三次根式，不符合题意；
√ 1 2 1 √ 1 2
⑤❑(− ) = ，故❑(− ) 是二次根式，符合题意；
3 3 3
⑥∵x＞1，∴﹣x＜﹣1，则❑√−x(x＞1)不是二次根式，不符合题意；
综上：①③⑤是二次根式，共3个；
故选：C．
【题型2 根据二次根式的定义求参】
【例1】已知化简❑√75⋅❑√a的结果是一个整数，则正整数a的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【分析】直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式乘法运算法则求出答案．
【解答】解：❑√75⋅❑√a=❑√25×3×❑√a=❑√25×❑√3a=5❑√3a，
要使5❑√3a为整数，则3a为完全平方数，
所以a的最小正整数为3．
故选：C．
【变式1】若❑√48⋅❑√2a的值是一个整数，则正整数a的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【分析】根据二次根式的乘法法则计算得到4❑√6a，再根据已知条件即可确定正整数a的最小值．
【解答】解：∵❑√48⋅❑√2a=4❑√6a是一个整数，
∴❑√6a是一个整数，
∴正整数a的最小值为6，
故选：D．
【变式2】已知❑√6n+4是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【分析】因为❑√6n+4是整数，则（6n+4）是完全平方数，然后求满足条件的最小正整数n
【解答】解：∵❑√6n+4是整数，
∴（6n+4）是完全平方数，且6n+4≥0，
2
∴n≥− ，
3
∴n的最小正整数值是2．
故选：A．
【变式 3】在进行实数的化简时，我们可以用“❑√ab=❑√a•❑√b（a≥0，b≥0）”．如，
❑√12=❑√2×2×3=❑√22×❑√3=2❑√3，利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式．
（1）已知m为正整数，若❑√189m是整数，求m的最小值 ；
√200
（2）设n为正整数，若y=❑ ，y是大于1的整数，则y的最大值与y的最小值的差为 ．
n
【分析】（1）先把❑√189m写成3❑√21m，再根据m为正整数，❑√189m是整数即可求出m的最小值；
（2）根据二次根式的性质找出y的最大值与最小值，即可得出答案．
【解答】解：（1）❑√189m=❑√9×21m=3❑√21m，
因为m为正整数，❑√189m是整数，
所以m的最小值是21，
故答案为：21；
√200 √100×2 √2
（2）∵y=❑ =❑ =10❑ ，且y是大于1的整数，
n n n
∴n的最小值是2，
即y的最大值是10，
√200 200
易知❑ 越小， 越小，则n越大，
n n
√200
∵❑ 是大于1的整数，
n
√200
∴❑ 的最小值是2，即y的最小值是2，
n
∴y的最大值与y最小值的差为10﹣2＝8，
故答案为：8．【题型3 二次根式有意义的条件】
❑√x−1
【例1】要使式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
2x−1
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数大于或等于 0），分式有意义的条件（分母不等于0）
可得答案．
【解答】解：由题可知，
可得，x﹣1≥0且2x﹣1≠0，
1
解得x≥1且x≠ ，
2
即x≥1．
故选：C．
1
【变式1】使函数y= +❑√4−3x有意义的所有整数x的和是（ ）
❑√x+3
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据二次根式有意义的条件、分母不为0，列出不等式解答即可．
【解答】解：由题意可知：x+3＞0，4﹣3x≥0，
4
解得﹣3＜x≤ ，
3
∴使得原式有意义的所有整数有﹣2、﹣1、0、1，
∴使得原式有意义的所有整数和为﹣2+（﹣1）+0+1＝﹣2．
故选：A．
(x−1) 0
【变式2】若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
❑√x−1
A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≠1
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件和零指数幂的定义得出x﹣1≠0且x﹣1＞0，
再求出答案即可．
(x−1) 0
【解答】解：要使分式 有意义，必须x﹣1≠0且x﹣1＞0，
❑√x−1
解得：x＞1，
所以x的取值范围是x＞1．故选：A．
【变式3】若❑√x(x−6)=❑√x⋅❑√x−6则（ ）
A．x≥6 B．x≥0
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
【分析】利用二次根式的乘法法则和二次根式有意义的条件得到x≥0且x﹣6≥0，然后求出两不等式的
公共部分即可．
【解答】解：根据题意得x≥0且x﹣6≥0，
所以x≥6．
故选：A．
√ x ❑√x
【变式4】等式❑ = 成立的条件是（ ）
x−2024 ❑√x−2024
A．x≠2024 B．x≥0
C．x≥0且x≠2024 D．x＞2024
❑√a
【分析】根据代数式 有意义的条件是a≥0、b＞0可得关于x的一元一次不等式组，解不等式组求出
❑√b
x的取值范围．
{ x≥0① )
【解答】解：由条件可知 ，
x−2024＞0②
解不等式①得：x≥0，
解不等式②得：x＞2024，
∴不等式组的解集为x＞2024．
故选：D．
【知识点2 二次根式的性质】
（1）❑√a≥0；a≥0（双重非负性）.
（2）(❑√a) 2 =a；a≥0（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.
{ a (a>0)
（3） ❑√a2 =|a|= 0 (a=0) （算术平方根的意义）.
−a (a<0)
【题型4 二次根式的性质与化简】
【例1】实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简❑√c2 +|a+b|−❑√(a−c) 2得（ ）A．﹣2a﹣b﹣2c B．﹣2a﹣b C．b D．﹣2a+b
【分析】先根据数轴得到b＜c＜0＜a，|a|＜|b|，则a+b＜0，a﹣c＞0，据此化简绝对值和计算算术平方
根，再根据整式的加减计算法则求解即可．
【解答】解：由数轴可知a+b＜0，a﹣c＞0，
∴原式＝﹣c﹣a﹣b﹣（a﹣c）
＝﹣c﹣a﹣b﹣a+c
＝﹣2a﹣b，
故选：B．
√ y
【例2】已知xy＜0，则化简二次根式x❑ 的结果是（ ）
x2
A．❑√y B．❑√−y C．−❑√y D．−❑√−y
【分析】根据二次根式有意义，可知y≥0，从而x＜0，再由二次根式的性质解答．
y
【解答】解：∵xy＜0， ≥0，
x2
∴y≥0，x＜0，
√ y
∴原式=x❑ =−❑√y．
x2
故选：C．
√ 1 1
【变式1】当0＜a＜1时，化简❑(a− ) 2− =（ ）
a a
2 2
A．a B．﹣a C．a− D． −a
a a
1
【分析】首先根据已知确定a＜ ，再利用绝对值以及二次根式的性质化简求出即可．
a
【解答】解：∵0＜a＜1，
1
∴a＜ ，
a
√ 1 1 1 1
∴❑(a− ) 2− =| −a|− =−a，
a a a a
故选：B．【变式2】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简❑√(a+1) 2 +❑√(b+1) 2−❑√(a−b) 2的结果是（ ）
A．0 B．﹣2 C．﹣2a D．2b
【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可
求出答案．
【解答】解：由数轴可知﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b+1＞0，a﹣b＜0，
∴❑√(a+1) 2 +❑√(b+1) 2−❑√(a−b) 2
＝|a+1|+|b+1|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+1）+（b+1）﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣1+b+1﹣b+a
＝0，
故选：A．
√ a+1
【变式3】化简二次根式a❑− 的结果是（ ）
a2
A．❑√−a−1 B．−❑√−a−1 C．❑√a−1 D．−❑√a−1
【分析】由二次根式的性质可得：﹣（a+1）＞0，从而有a+1＜0，即a＜﹣1，再化简得出结果．
【解答】解：∵a2＞0，
∴﹣（a+1）＞0，
得a＜﹣1，
√ a+1
∴a❑−
a2
❑√−a−1
＝a
−a
=−❑√−a−1．
故选：B．
【变式4】阅读下列解题过程
例：若代数式 ❑√(a−1) 2 +❑√(a−3) 2的值是2，求a的取值范围．解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得 a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得 a＝3（舍去）
所以，a的取值范围是1≤a≤3
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题
（1）当2≤a≤3时，化简，❑√(a−2) 2 +❑√(a−5) 2 = ．
（2）若等式 ❑√(3−a) 2 +❑√(a−7) 2 =4 成立，则a的取值范围是 ．
（3）若 ❑√(a+1) 2 +❑√(a−5) 2 =8，求a的取值．
【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案；
（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
（3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
【解答】解：（1）∵2≤a≤3，
∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|
＝a﹣2﹣（a﹣5）
＝3，
故答案为：3；
（2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，
当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，
∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，
∴a＝3，符合题意；
当3＜a＜7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，
∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，
∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；
当a≥7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，
∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，∴a＝7，符合题意；
综上所述，3≤a≤7，
故答案为：3≤a≤7；
（3）原方程可化为：|a+11+|a﹣5|＝8，
当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0，
.原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8，
∴a＝﹣2，符合题意；
当﹣1＜a＜5 时，
∴a+1＞0，a﹣5＜0，
∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8，
.此方程无解，故﹣1＜a＜5 不符合题意；
当a≥5时，
∴a+1＞0，a﹣5≥0，
∴a+1+a﹣5＝8，
∴a＝6，符合题意；
综上所述，a＝﹣2 或a＝6．
【知识点3 二次根式的乘法】
【二次根式的乘法法则】
两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即❑√a·❑√b=❑√ab，（a≥0，b≥0）.
【二次根式的乘法法则的拓展】
（1）二次根式的乘法公式可以推广到多个二次根式相乘的运算，即❑√a·❑√b·❑√c=❑√abc，（a≥0，b≥0，
c≥0）.
（2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，
即m❑√a·n❑√b=mn❑√ab，（a≥0，b≥0）.
【积的算术平方根】
积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即❑√ab=❑√a·❑√b，（a≥0，b≥0）.
【知识点4 二次根式的除法】
【二次根式的除法法则】
❑√a √a
两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即 =❑ ，（a≥0，b＞0）.
❑√b b【二次根式的除法法则的拓展】
二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即❑√a÷❑√b÷❑√c=❑√a÷b÷c，
（a≥0，b＞0，c＞0）.
【商的算术平方根】
√a ❑√a
（1）商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即❑ = ，（a≥0，b＞0）.
b ❑√b
（2）分母有理化就是把分母中的根号化去的过程
方法:将分子和分母都乘一个恰当的二次根式(即分母有理化因式)化去分母中的根号.
【知识点5 最简二次根式】
1.定义：被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式)，这样的二次根式称为最简
二次根式.
2.化为最简二次根式的步骤：
(1)把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解；
(2)将被开方数中能开尽的因数(或因式)进行开方；
√a ❑√a
(3)利用商的算术平方根❑ = ，（a≥0，b＞0），使被开方数中不含分母；
b ❑√b
(4)分母有理化，化去分母中的根号；
(5)约分化简，整理成最简二次根式。
【知识点6 二次根式的加减】
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤可归结如下：
(1)化成最简二次根式；
(2)找出被开方数相同的二次根式；
(3)合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变.
【知识点7 二次根式的混合运算】
（1）二次根式的混合运算包括二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算；
（2）二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算.
因此:运算顺序与有理式的运算顺序相同；运算律仍然适用；与多项式的乘法和因式分解类似，可以利用乘
法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算；对于分母含有二次根式的代数式，要掌握有理化的方法，化分母为整式.
【题型5 最简二次根式的判断】
√1
【例1】下列二次根式：❑√5、❑ 、−2❑√a2b、❑√x2 +y2中，是最简二次根式的有（ ）
3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据最简二次根式的定义分别判断解答即可．
√1
【解答】解：❑√5，❑ ，﹣2❑√a2b，❑√x2 +y2中是最简二次根式的有❑√5，❑√x2 +y2，共2个．
3
故选：B．
√b ❑√3
【变式1】二次根式❑√ab3、❑√a2 +1、❑ 、 中最简二次根式有（ ）
5 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
√b ❑√5b
【解答】解：❑√ab3 =b❑√ab、❑ = ，
5 5
❑√3
即最简二次根式有❑√a2 +1和 共2个，
2
故选：B．
√3 √ab
【变式2】在❑ ，❑ ，❑√28，❑√3.14和❑√a2 +b2中，最简二次根式有（ ）
5 b
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
√3 √ab
【解答】解：根据最简二次根式定义可知：❑ ，❑ 的被开方数含有分母不是最简二次根式，❑√3.14
5 b
被开方数含有小数，❑√28=2❑√7不是最简二次根式，只有❑√a2 +b2是最简二次根式，
故选：B．
√4
【变式 3】下列二次根式❑√1.2，5❑√x+y，❑ ，❑√x2 +4，❑√15，❑√28中，是最简二次根式的有
3
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据最简二次根式的定义即可判断．
【解答】解：❑√1.2中被开方数1.2是小数，所以不是最简二次根式；√4
❑ 中被开方数是分数，所以不是最简二次根式；
3
❑√28中被开方数28含有能开得尽方的因数4，所以不是最简二次根式；
∴5❑√x+y、❑√x2 +4、❑√15是最简二次根式．
∴最简二次根式的有3个．
故选：B．
【题型6 同类二次根式的判断】
【例1】在下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（ ）
1 1 √1
A．❑√45和❑√20 B． ❑√8和 ❑
3 5 2
C．❑√12和❑√18 D．❑√24和❑√54
【分析】先把各个根式化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义看看是否是同类二次根式即可．
【解答】解：A、❑√45=❑√9×5=3❑√5，❑√20=❑√4×5=2❑√5，是同类二次根式，故本选项错误；
1 2 1 √1 1 ❑√2 1
B、 ❑√8= ❑√2， ❑ = × = ❑√2，是同类二次根式，故本选项错误；
3 3 5 2 5 2 10
C、❑√12=❑√4×3=2❑√3，❑√18=❑√9×2=3❑√2，不是同类二次根式，故本选项正确；
D、❑√24=❑√4×6=2❑√6，❑√54=❑√9×6=3❑√6，是同类二次根式，故本选项错误；
故选：C．
√a4 ❑√12
【变式1】在二次根式❑√0.3、❑ 、❑√3a、❑√27、 、(a2−b2 )❑√75中，与❑√3是同类二次根式的有（
3 b
）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据同类二次根式的定义，二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式即为同类
二次根式，可得答案．
√ 3 ❑√30 √a4 ❑√3 ❑√12 2❑√3
【 解 答 】 解 ： ∵ ❑√0.3=❑ = ， ❑ = a2， ❑√27=3❑√3， = ，
10 10 3 3 b b
(a2−b2 )❑√75=5❑√3(a2−b2 )，
√a4 ❑√12
∴与❑√3是同类二次根式的有❑ ，❑√3a，❑√27， ，(a2−b2 )❑√75中共5个，
3 b故选：D．
【变式2】若最简二次根式4❑√3a−8与−7❑√17−2a能够合并，那么合并后的值为 ．
【分析】根据同类二次根式的定义列出方程，解方程求出a，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：由题意得：3a﹣8＝17﹣2a，
解得：a＝5，
则3a﹣8＝17﹣2a＝7，
4❑√7+（﹣7❑√7）＝﹣3❑√7，
故答案为：﹣3❑√7．
【变式3】如果最简二次根式❑√3b和❑√2b−a+2是可以合并的二次根式，则a+b＝ ．
【分析】根据题意可得最简二次根式❑√3b和❑√2b−a+2是同类二次根式，根据被开方数相同即可得出
答案．
【解答】解：∵最简二次根式❑√3b和❑√2b−a+2是可以合并的二次根式，
∴3b＝2b﹣a+2，
∴a+b＝2．
故答案为：2．
【题型7 二次根式的大小比较】
【例1】比较大小：
1 1
（1） ；
2−❑√5 ❑√5−❑√6
（2）2−❑√3 ❑√5−❑√2．
【分析】（1）分母有理化后比较大小即可；
（2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可．
1 2+❑√5 2+❑√5 2+❑√5
【解答】解：（1）∵ = = = =−（2+❑√5），
2−❑√5 (2−❑√5)(2+❑√5) 4−5 −1
1 ❑√5+❑√6 ❑√5+❑√6 ❑√5+❑√6
= = = =−（❑√5+❑√6），
❑√5−❑√6 (❑√5−❑√6)(❑√5+❑√6) 5−6 −1
∵2+❑√5＜❑√5+❑√6，
∴−(2+❑√5)＞−(❑√5+❑√6)，
1 1
∴ ＞ ；
2−❑√5 ❑√5−❑√6
故答案为：＞；
1 2+❑√3
（2）∵ = =2+❑√3，
2−❑√3 (2−❑√3)(2+❑√3)1 ❑√5+❑√2 ❑√5+❑√2
= = ，
❑√5−❑√2 (❑√5−❑√2)(❑√5+❑√2) 3
6+3❑√3 6+3❑√3 ❑√5+❑√2
∵2+❑√3= ， ＞ ，
3 3 3
1 1
∴ ＞ ，
2−❑√3 ❑√5−❑√2
∴2−❑√3＜❑√5−❑√2；
故答案为：＜．
【例2】若a=20242−2023×2024，b=❑√20252−4×2024，c=❑√2024×2022，则a，b，c的大小关
系是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
【分析】分别化简a，b，c，即可比较出答案．
【解答】解：∵a＝2024×（2024﹣2023）＝2024，
b=❑√(2024+1) 2−4×2024=❑√20242−2×2024+1=❑√(2024−1) 2 =2023，
c=❑√(2023+1)×(2023−1)=❑√20232−1＜2023，
∴a，b，c的大小关系是c＜b＜a．
故选：D．
1 1
【变式1】比较大小： （用＞，＜或＝填空）．
❑√6−❑√5 ❑√7−❑√6
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而比较得出答案．
1 ❑√6+❑√5
【解答】解：∵ = =❑√6+❑√5，
❑√6−❑√5 (❑√6−❑√5)(❑√6+❑√5)
1 ❑√7+❑√6
= =❑√7+❑√6，
❑√7−❑√6 (❑√7−❑√6)(❑√7+❑√6)
❑√7＞❑√5，
1 1
∴ ＜ ．
❑√6−❑√5 ❑√7−❑√6
故答案为：＜．
【变式2】x＝591×2021﹣591×2020，y＝20202﹣2021×2019，z=❑√5882 +2352+22，则x、y、z的大小关系
是（ ）A．y＜x＜z B．x＜z＜y C．y＜z＜x D．z＜y＜x
【分析】提取公因数求出x，将2021×2019写成（2020+1）×（2020﹣1），再利用平方差公式进行计
算，根据完全平方公式求出z，然后比较大小即可．
【解答】解：x＝591×2021﹣591×2020，
＝591×（2021﹣2020），
＝591，
y＝20202﹣2021×2019，
＝20202﹣（2020+1）×（2020﹣1），
＝20202﹣20202+1，
＝1，
z=❑√5882 +2×588×2+22
=❑√(588+2) 2，
＝590，
∵1＜590＜591，
∴y＜z＜x．
故选：C．
√ 4049 1
【变式3】若P=❑( ) 2−( ) 2，Q=❑√20252−2×2025+1，则关于P与Q的大小关系正确的是（
2 2
）
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．以上都不对
【分析】先根据平方差公式、完全平方公式计算被开方数，然后比较被开方数的大小，即可得出其算术
平方根的大小．
√ 4049 1 √ 4049 1 4049 1
【解答】解：P=❑( ) 2−( ) 2 =❑( + )( − )=❑√2025×2024
2 2 2 2 2 2
Q=❑√20252−2×2025+1=❑√(2025−1) 2 =❑√20242，
∵2025×2024＞20242，
∴P＞Q，
故选：A．【题型8 二次根式的混合运算】
【例1】计算题
√1
（1）❑√27−❑ +❑√3
3
√ 2 1 √2 1
（2）3❑2 + ❑ ×(− ❑√15)
3 2 5 8
√1 √2
（3）❑√32−4❑ +❑√6×❑
8 3
（4）(❑√6−3)(❑√6+3)+(❑√2−1) 2
【分析】（1）化简各个二次根式后合并同类二次根式即可；
（2）先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的减法即可；
（3）先化简二次根式和二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可；
（4）利用平方差公式和完全平方公式展开，再进行加减法即可．
√1
【解答】解：（1）❑√27−❑ +❑√3
3
❑√3
=3❑√3− +❑√3
3
11❑√3
= ；
3
√ 2 1 √2 1
（2）3❑2 + ❑ ×(− ❑√15)
3 2 5 8
2❑√6 1 ❑√10 1
=3× + × ×(− ❑√15)
3 2 5 8
1
=2❑√6− ❑√6
16
31❑√6
= ；
16
√1 √2
（3）❑√32−4❑ +❑√6×❑
8 3
❑√2
=4❑√2−4× +2
4
=4❑√2−❑√2+2
=3❑√2+2；（4）(❑√6−3)(❑√6+3)+(❑√2−1) 2
=6−9+2−2❑√2+1
=−2❑√2．
【变式1】计算：
√1
（1）❑√18−4❑ +❑√24÷❑√3；
2
（2）(❑√2−❑√3) 2 +2❑
√1
×3❑√2；
2
（3）(3❑√2−2❑√3)(3❑√2+2❑√3)；
1
（4）(−5) 0−❑√72+|1−❑√2|+ ．
❑√2−❑√3
【分析】（1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（2）根据完全平方公式以及二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（3）根据平方差公式进行计算即可求解；
（4）根据零指数幂，以及二次根式的混合运算进行计算即可求解．
√1
【解答】解：（1）❑√18−4❑ +❑√24÷❑√3
2
=3❑√2−2❑√2+2❑√2
=3❑√2；
（2）(❑√2−❑√3) 2 +2❑
√1
×3❑√2
2
=2−2❑√6+3+❑√2×3❑√2
=5−2❑√6+6
=11−2❑√6；
（3）(3❑√2−2❑√3)(3❑√2+2❑√3)
＝18﹣12
＝6；
1
（4）(−5) 0−❑√72+|1−❑√2|+
❑√2−❑√3
=1−6❑√2+❑√2−1−❑√3−❑√2
=−❑√3−6❑√2．
【变式2】计算：（1）❑√8−❑√12+❑√18；
√1
（2）❑√48÷❑√3−❑ ×❑√30+❑√24；
5
√1 ❑√20+❑√45
（3）❑ ×❑√15− ；
3 ❑√5
（4）(❑√5+2❑√3)(2❑√3−❑√5)+(❑√3−3) 2．
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的乘除运算法则计算，再合并同类二次根式即可；
（3）先根据二次根式的乘除运算法则计算，再合并同类二次根式即可；
（4）根据乘法公式计算，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）❑√8−❑√12+❑√18
=2❑√2−2❑√3+3❑√2
=5❑√2−2❑√3；
√1
（2）❑√48÷❑√3−❑ ×❑√30+❑√24
5
=❑√16−❑√6+2❑√6
=4+❑√6；
√1 ❑√20+❑√45
（3）❑ ×❑√15−
3 ❑√5
=❑√5−(❑√4+❑√9)
=❑√5−(2+3)
=❑√5−5；
（4）(❑√5+2❑√3)(2❑√3−❑√5)+(❑√3−3) 2
=(2❑√3) 2 −(❑√5) 2 +(3−6❑√3+9)
=12−5+3−6❑√3+9
=19−6❑√3．
【变式3】计算：
（1）(2❑√3−❑√5)(❑√3+❑√5)（2）(❑√5−3) 2 −(2❑√5−❑√7)(2❑√5+❑√7)
√1
（3）3❑√12÷(3❑ −2❑√3)
3
2 2 1 √b
（4） ❑√ab5 ⋅(− ❑√a2b)÷( ❑ )
b 3 3 a
【分析】（1）先去括号，分别进行二次根式的乘法运算，再进行加减计算即可；
（2）根据平方差和完全平方公式进行去括号，再进行二次根式的运算即可；
（3）先将括号内的二次根式化简合并，再进行除法计算；
（4）先化简各二次根式，再根据二次根式乘除法混合运算法则进行计算．
【解答】解：（1）(2❑√3−❑√5)(❑√3+❑√5)
=2❑√3×❑√3+2❑√3×❑√5−❑√5×❑√3−❑√5×❑√5
=2×3+2❑√15−❑√15−5
=1+❑√15；
（2）(❑√5−3) 2 −(2❑√5−❑√7)(2❑√5+❑√7)
=5−6❑√5+9−20+7
=1−6❑√5；
√1
（3）3❑√12÷(3❑ −2❑√3)
3
=3×2❑√3÷(❑√3−2❑√3)
=6❑√3÷(−❑√3)
＝﹣6；
2 2 1 √b
（4） ❑√ab5 ⋅(− ❑√a2b)÷( ❑ )
b 3 3 a
2 2 3a
= ×b2❑√ab⋅(− a❑√b)×
b 3 ❑√ab
2 3a
=2b❑√ab⋅(− a❑√b)×
3 ❑√ab
=−4a2b❑√b．
【题型9 二次根式的化简求值】
【例1】已知x=2+❑√3，求代数式(7−4❑√3)x2 +(2−❑√3)x+1的值．
【分析】把x=2+❑√3代入代数式，再根据平方差公式、完全平方公式计算即可求解．【解答】解：∵x=2+❑√3，
∴(7−4❑√3)x2 +(2−❑√3)x+1
=(7−4❑√3)(2+❑√3) 2 +(2−❑√3)(2+❑√3)+1
=(7−4❑√3)(7+4❑√3)+(4−3)+1
＝49﹣48+1+1
＝3．
1 1
【例2】已知a= ，b= ．
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
（1）求a+b的值；
（2）求a2﹣3ab+b2的值．
【分析】（1）先把a，b的值分母有理化，再求和即可；
（2）把（1）中a，b的值代入进行计算即可．
1 ❑√3−❑√2
【解答】解：（1）∵a= = =❑√3−❑√2，
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
1 ❑√3+❑√2
b= = =❑√3+❑√2，
❑√3−❑√2 (❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2)
∴a+b=❑√3−❑√2+❑√3+❑√2=2❑√3；
（2）由（1）知，a=❑√3−❑√2，b=❑√3+❑√2，
∴a2﹣3ab+b2
＝（a﹣b）2﹣ab
＝[（❑√3−❑√2）﹣（❑√3+❑√2）]2﹣（❑√3−❑√2）（❑√3+❑√2）
＝（❑√3−❑√2−❑√3−❑√2）2﹣（3﹣2）
＝（﹣2❑√2）2﹣1
＝8﹣1
＝7．
【变式1】已知a=❑√2−1，b=❑√2+1．
求：（1）a2b+ab2的值；
b a
（2） + 的值．
a b
【分析】（1）先根据条件求出ab和a+b的值，然后把所求代数式分解因式，再整体代入求值即可；
（2）把所求分式通分进行计算，然后利用完全平方公式把（1）中所求结果代入计算即可．【解答】解：（1）∵a=❑√2−1，b=❑√2+1．
∴ab=(❑√2−1)(❑√2+1)=2−1=1，a+b=❑√2−1+❑√2+1=2❑√2，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
=1×2❑√2
=2❑√2；
（2）由（1）可知：ab=1，a+b=2❑√2，
b a
∴ +
a b
b2 a2
= +
ab ab
a2 +b2
=
ab
(a+b) 2−2ab
=
ab
(2❑√2) 2−2×1
=
1
＝8﹣2
＝6．
【变式2】（1）已知x＝1−❑√3，y＝1+❑√3，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
1−2a+a2 ❑√a2−2a+1 1
（2）先化简，后求值： − ，其中a= ．
a−1 a2−a 2−❑√3
【分析】（1）根据分式的减法法则求出x﹣y，根据乘法法则求出xy，根据完全平方公式把原式变形，
代入计算即可；
（2）利用分母有理化把a化简，根据二次根式的性质、分式的约分法则把原式化简，代入计算得到答
案．
【解答】解：（1）∵x＝1−❑√3，y＝1+❑√3，
∴x﹣y＝（1−❑√3）﹣（1+❑√3）＝﹣2❑√3，xy＝（1−❑√3）（1+❑√3）＝1﹣3＝﹣2，
则原式＝x2﹣2xy+y2+2xy﹣xy﹣（2x﹣2y）
＝（x﹣y）2+xy﹣2（x﹣y）
＝（﹣2❑√3）2+（﹣2）﹣2×（﹣2❑√3）
＝12﹣2+4❑√3＝10+4❑√3；
1 2+❑√3
（2）a= = =2+❑√3，
2−❑√3 (2−❑√3)(2+❑√3)
1
则 =2−❑√3，
a
(a−1) 2 a−1
∴原式= −
a−1 a(a−1)
1
＝a﹣1−
a
＝2+❑√3−1﹣（2−❑√3）
＝2+❑√3−1﹣2+❑√3
＝2❑√3−1．
√ y √ x 1 1
【变式3】（1）先化简，再求值：❑√25xy+x❑ −4 y❑ − ❑√x y3，其中x= ，y＝4．
x y y 3
1 1
（2）已知x= ，y= ，求代数式x2+3xy+y2的值．
❑√2+❑√3 ❑√2−❑√3
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案；
（2）先由x与y的值计算出x+y和xy的值，再代入原式计算即可．
√ y √ x 1
【解答】解：（1）❑√25xy+x❑ −4 y❑ − ❑√x y3
x y y
√ y √ x 1
=5❑√xy−❑ x2 ⋅ −4❑ y2 ⋅ − ⋅y❑√xy
x y y
=5❑√xy−❑√xy−4❑√xy−❑√xy
=−❑√xy，
1 √1 2❑√3
当x= ，y＝4时，原式=−❑ ×4=− ．
3 3 3
1 ❑√3−❑√2
（2）∵x= = =❑√3−❑√2，
❑√2+❑√3 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
1 ❑√2+❑√3
y= = =−❑√2−❑√3，
❑√2−❑√3 (❑√2−❑√3)(❑√2+❑√3)
∴x+y=❑√3−❑√2+(−❑√2−❑√3)=−2❑√2，
xy=(❑√3−❑√2)(−❑√3−❑√2)=2−3=−1，
x2+3xy+y2
＝x2+2xy+y2+xy＝（x+y）2+xy
=(−2❑√2) 2 −1
＝8﹣1
＝7．
【题型10 复合二次根式的化简】
【例1】先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如❑√m±2❑√n的化简，只要我们找到两个正数 a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得(❑√a) 2 +(❑√b) 2 =m，
❑√a⋅❑√b=❑√n，那么便有：❑√m±2❑√n= ❑√ (❑√a±❑√b) 2 =❑√a±❑√b（a＞b）
例如：化简❑√7+4❑√3
解：首先把❑√7+4❑√3化为❑√7+2❑√12，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即(❑√4) 2 +(❑√3) 2 =7，❑√4×❑√3=❑√12
∴❑√7+4❑√3=❑√7+2❑√12= ❑√ (❑√4+❑√3) 2 =2+❑√3
（1）填空：❑√4−2❑√3= ，❑√9+4❑√5=
（2）化简：❑√19−4❑√15．
【分析】由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对❑√(a) 2 =|a| ❑ 的形式化简后就可以得出结论
了．
【解答】解：（1）❑√4−2❑√3=❑√3+1−2❑√3
=❑√(❑√3−1) 2，
=❑√3−1；
❑√9+4❑√5=❑√5+4+4❑√5，
=❑√(❑√5+2) 2，
=❑√5+2；
故答案为：❑√3−1，❑√5+2
（2）原式=❑√19−2❑√60= ❑√ (❑√15−2) 2，
=❑√15−2
【变式1】一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2❑√2=（1+❑√2）2．
设 a+b❑√2=(m+n❑√2) 2（其中 a、b、m、n 均为正整数），则有 a+b❑√2=m2+2n2+2mn❑√2，∴a＝
m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b❑√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b❑√3=（m+n❑√3）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a
＝ ，b＝ ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ❑√5=（ + ❑√5）2；
1 1
（3）化简 −
❑√16−6❑√7 ❑√11+4❑√7
【分析】（1）将（m+n❑√3）2用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案；
（2）设a+b❑√5=(m+n❑√5) 2，则(m+n❑√5) 2 =m2+2❑√5mn+5n2，比较完全平方式右边的值与a+b❑√5，
可将a和b用m和n表示出来，再给m和n取特殊值，即可得答案；
（3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并
同类二次根式和同类项即可．
【解答】解：（1）∵a+b❑√3=(m+n❑√3) 2，(m+n❑√3) 2 =m2+2❑√3mn+3n2
∴a＝m2+3n2，b＝2mn
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）设a+b❑√5=(m+n❑√5) 2
则(m+n❑√5) 2 =m2+2❑√5mn+5n2
∴a＝m2+5n2，b＝2mn
若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4
故答案为：21，4，1，2．
1 1
（3） −
❑√16−6❑√7 ❑√11+4❑√71 1
= −
❑√(3−❑√7) 2 ❑√(❑√7+2) 2
1 1
= −
3−❑√7 ❑√7+2
3+❑√7 ❑√7−2
= −
(3−❑√7)(3+❑√7) (❑√7+2)(❑√7−2)
3+❑√7 ❑√7−2
= −
2 3
3 2 ❑√7 ❑√7
= + + −
2 3 2 3
13 ❑√7
= +
6 6
【变式2】先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如❑√m±2❑√n的化简，只要我们找到两个数 a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得(❑√a) 2 +(❑√b) 2 =m，
❑√a⋅❑√b=❑√n，那么便有：❑√m±2❑√n=❑√(❑√a±❑√b) 2 =❑√a±❑√b(a＞b)．
例如：化简❑√7+4❑√3．
解：首先把❑√7+4❑√3化为❑√7+2❑√12，这里 m＝7，n＝12，由于 4+3＝7，4×3＝12，即
(❑√4) 2 +(❑√3) 2 =7，❑√4×❑√3=❑√12，
∴❑√7+4❑√3=❑√7+2❑√12=❑√(❑√4) 2 +2❑√4×❑√3+(❑√3) 2 =❑√(❑√4+❑√3) 2 =2+❑√3．
仿照上例，回答问题：
（1）计算：❑√4−2❑√3；
（2）计算：❑√3−2❑√2+❑√5−2❑√6+❑√7−2❑√12+⋯+❑√19−2❑√90．
【分析】（1）根据题中给出的方法化简即可；
（2）先仿照题中给出的方法化简，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）❑√4−2❑√3= ❑√ (❑√3) 2 −2×❑√3×1+12 =❑√(❑√3−1) 2 =❑√3−1；
（2）❑√3−2❑√2+❑√5−2❑√6+❑√7−2❑√12+⋯+❑√19−2❑√90
=❑√(❑√2−1) 2 + ❑√ (❑√3−❑√2) 2 +❑√(❑√4−❑√3) 2 +⋯+❑√(❑√10−❑√9) 2=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋯+❑√10−❑√9
=−1+❑√10．
【变式3】阅读下列材料，并解决问题：
【观察发现】
因为(❑√5+❑√2) 2 =5+2+2❑√5×2=7+2❑√10，
所以❑√7+2❑√10= ❑√ (❑√5+❑√2) 2 =❑√5+❑√2；
因为(❑√8−❑√6) 2 =8+6−2❑√6×8=14−8❑√3，
所以❑√14−8❑√3=❑√14−2❑√48= ❑√ (❑√8−❑√6) 2 =❑√8−❑√6=2❑√2−❑√6．
【建立模型】
形如❑√p±2❑√q的化简（其中p、q为正整数），只要找到两个正整数 m，n（m＞n），使m+n＝p，mn
＝q，那么❑√p±2❑√q=❑√m±❑√n．
【问题解决】
（1）化简：①❑√11+2❑√30= ；
②❑√71−16❑√7= ；
11❑√30
（2）已知正方形的边长为a，现有一个长为 +2，宽为2❑√30的长方形，当它们的面积相等时，
30
求正方形的边长；
（3）已知x=❑√2−❑√3，y=❑√2+❑√3，则代数式❑√x2 +2xy+y2 +x−y−4的值为 ．
【分析】（1）根据模型解释，找到使m+n＝p，mn＝q成立的两个正整数m、n即可求解；
11❑√30
（2）由题意得( +2)×2❑√30=a2即可求解，
30
（3）先计算x+y=2❑√2，x−y=−2❑√3，代入原式化简计算，最后利用材料方法对化简后的式子变
形，开方即可．
【解答】解：（1）①令m+n＝11，mn＝30，
解得：m＝6，n＝5或m＝5，n＝6，
∴❑√11+2❑√30=❑√6+❑√5，
故答案为：❑√6+❑√5；
②❑√71−16❑√7=❑√71−2❑√448，令m+n＝71，mn＝448，
解得：m＝64，n＝7或m＝7，n＝64，
∴❑√71−2❑√448= ❑√ (❑√64) 2 +(❑√7) 2 −2×❑√64×❑√7= ❑√ (❑√64−❑√7) 2 =8−❑√7，
故答案为：8−❑√7；
11❑√30
（2）由题意得：( +2)×2❑√30=a2，
30
11❑√30
( +2)×2❑√30=22+4❑√30=22+2❑√120，
30
令m+n＝22，mn＝120，
解得：m＝10，n＝12或m＝12，n＝10，
∴22+2❑√120=(❑√10) 2 +(❑√12) 2 +2×❑√10×❑√12=(❑√10+❑√12) 2 ，
∴(❑√10+❑√12) 2 =a2，
解得：∴a=❑√10+❑√12=❑√10+2❑√3；
（3）∵x=❑√2−❑√3，y=❑√2+❑√3，
∴x+y=2❑√2，x−y=−2❑√3，
∴❑√x2 +2xy+y2 +x−y−4=❑√(x+y) 2 +(x−y)−4
= ❑√ (2❑√2) 2 −2❑√3−4
=❑√4−2❑√3
令m+n＝4，mn＝3，
解得：m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
∴❑√4−2❑√3= ❑√ (❑√3) 2 −2❑√3+12 = ❑√ (❑√3−1) 2 =❑√3−1，
故答案为：❑√3−1．
【题型11 裂项相消法化简根式求和】
1
【例1】小明在解决问题：已知a= ，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：
2+❑√3
1 2−❑√3
∵a= = =2−❑√3，
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴a−2=−❑√3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
1
（1）观察上面解答过程，请写出 = ；
❑√n+2+❑√n
1 1 1 1
（2）化简 + + +⋯+ ；
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√121+❑√119
1
（3）若a= ，请按照小明的方法求出a3−11a2 +9a+❑√6的值．
❑√26−5
【分析】（1）根据分母有理化的方法化简即可；
（2）根据分母有理化的方法化简后再计算即可；
（3）将a分母有理化，化简为❑√26+5，代入计算即可
1
【解答】解：（1）
❑√n+2+❑√n
❑√n+2−❑√n
=
(❑√n+2+❑√n)(❑√n+2−❑√n)
1
= (❑√n+2−❑√n)；
2
1
故答案为： (❑√n+2−❑√n)
2
1 1 1 1
（2） + + +⋯+
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√121+❑√119
1
= ×(❑√3−1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+⋯+❑√121−❑√119)
2
1
= ×(❑√121−1)
2
1
= ×10
2
＝5；
1 ❑√26+5
（3）∵a= = =❑√26+5
❑√26−5 (❑√26−5)(❑√26+5)
∴a−5=❑√26，即（a﹣5）2＝26，
∴a2﹣10a＝1，a3＝a+10a2，
∴a3−11a2 +9a+❑√6=a+10a2−11a2 +9a+❑√6
=−a2 +10a+❑√6
=−(a2−10a)+❑√6
=−1+❑√6．
4
【变式1】阅读：在进行二次根式运算时，形如 的式子，我们可以将其化简：
❑√5−1
4 4×(❑√5+1) 4×(❑√5+1)
= = =❑√5+1
❑√5−1 (❑√5−1)(❑√5+1) 5−1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
回答问题：
4
（1）请用上述的方法化简 ；
❑√6−❑√2
4 4 4 4
（2）化简： + + +⋯ （m为正整数）．
2+❑√2 2+❑√6 ❑√6+❑√8 ❑√2m+❑√2m+2
【分析】（1）分子分母都乘以有理化因式❑√6+❑√2，再计算即可；
（2）各项进行分母有理化，再合并同类项即可．
4
【解答】解：（1）
❑√6−❑√2
4(❑√6+❑√2)
=
(❑√6−❑√2)(❑√6+❑√2)
4(❑√6+❑√2)
=
6−2
=❑√6+❑√2；
4 4 4 4
（2） + + +⋅⋅⋅+
2+❑√2 2+❑√6 ❑√6+❑√8 ❑√2m+❑√2m+2
4(2−❑√2) 4(❑√6−2) 4(❑√8−❑√6) 4(❑√2m+2−❑√2m)
= + + +⋅⋅⋅+
(2+❑√2)(2−❑√2) (2+❑√6)(❑√6−2) (❑√6+❑√8)(❑√8−❑√6) (❑√2m+❑√2m+2)(❑√2m+2−❑√2m)
=2(2−❑√2)+2(❑√6−2)+2(❑√8−❑√6)+⋅⋅⋅+2(❑√2m+2−❑√2m)
=2(❑√2m+2−❑√2)．
2 √5 1
【变式2】在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如 ，❑ ， 的式子，其实我们还可以将其
❑√5 3 ❑√2+1进一步化简：①
2
=
2×❑√5
=
2❑√5
；②❑
√5
=❑
√5×3
=
❑√15
；③
1
=
1×(❑√2−1)
=
❑√2−1
=❑√2−1
❑√5 ❑√5×❑√5 5 3 3×3 3 ❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) (❑√2) 2 −12
；
1
对于以上这种化简的步骤叫做分母有理化， 还可以用以下的方法化简；
❑√2+1
1 2−1 (❑√2) 2 −12 (❑√2+1)(❑√2−1)
④ = = = =❑√2−1；
❑√2+1 ❑√2+1 ❑√2+1 ❑√2+1
2
（1）请参照方法④化简： ；
❑√7+❑√5
5 √3
（2）化简： +❑ ；
❑√6 2
1 1 1
（3）化简： + ⋅⋅⋅+ ．（n为正整数）
❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2n+1+❑√2n−1
【分析】（1）把分子利用二次根式的性质变形为平方差公式的形式，然后利用约分得到化简的结果；
（2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
7−5 (❑√7) 2−(❑√5) 2 (❑√7+❑√5)(❑√7−❑√5)
【解答】解：（1）原式= = = =❑√7−❑√5；
❑√7+❑√5 ❑√7+❑√5 ❑√7+❑√5
5❑√6 √3×2
（2）原式= +❑
❑√6×❑√6 2×2
5❑√6 ❑√6
= +
6 2
8❑√6
=
6
4❑√6
= ；
3
❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2n+1−❑√2n−1
（3）原式= + +•••+
2 2 2
❑√2n+1−❑√3
= ．
2【变式3】小明在探究二次根式时发现了两个有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母
有理化，如：
1 ❑√2−1 ❑√2−1
= = =❑√2−1；
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) 2−1
1 ❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2
= = =❑√3−❑√2．
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 3−2
（1）请观察上面的解题过程，直接写出下列各式的结果．
1
① = ；
❑√7+❑√6
1
② （n为正整数）＝ ．
❑√2n+1+❑√2n−1
1 1 1 1
（2）求 + + +⋅⋅⋅+ 的值．
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024
【分析】（1）①根据探究中的解法解答即可；
②根据探究中的解法解答即可；
（2）根据平方差公式和分母有理化可以解答本题．
1 ❑√7−❑√6 ❑√7−❑√6
【解答】解：（1）① = = =❑√7−❑√6；
❑√7+❑√6 (❑√7+❑√6)(❑√7−❑√6) 7−6
②
1 1×(❑√2n+1−❑√2n−1) (❑√2n+1−❑√2n−1) ❑√2n+1−❑√2n−1
= = =
❑√2n+1+❑√2n−1 (❑√2n+1+❑√2n−1)(❑√2n+1−❑√2n−1) 2n+1−(2n−1) 2
1 1 1 1
（2） + + +⋅⋅⋅+
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024
=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋅⋅⋅+❑√2025−❑√2024
=❑√2025−1
＝45﹣1
＝44．
【题型12 二次根式中新定义和规律问题】
√ 2 √8 √22×2 √2
【例1】同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象：❑2 =❑ =❑ =2❑ ，根号里的因数2经
3 3 3 3
过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这一性质的数还有√ 3 √3 √ 4 √ 4
许多，如❑3 =3❑ 、❑4 =4❑ 等等．
8 8 15 15
√ 6
（1）猜想：❑6 = ；
35
（2）请再写出1个具有“穿墙”性质的数 ；
（3）请用只含有一个正整数n（n≥2）的等式表示上述规律： ．
【分析】（1）根据已知等式的规律写出结论，再根据二次根式的乘法法则验证即可；
（2）根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可；
（3）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可．
√ 6
【解答】解：（1）6❑ ，验证如下：
35
√ 6 √216 √62×6 √ 6
❑6 =❑ =❑ =6❑ ．
35 35 35 35
√ 6
故答案为：6❑ ；
35
√ 5 √ 5
（2）根据已知等式的规律可写出：❑5 =5❑ ，…，
24 24
√ 5 √ 5
故答案为：❑5 =5❑ （答案不唯一，符合规律即可）；
24 24
√ 2 √2 √ 2 √ 2
（3）解：第一个等式为❑2 =2❑ ，即❑2 =2❑ ；
3 3 22−1 22−1
√ 3 √3 √ 3 √ 3
第二个等式为❑3 =3❑ ，即❑3 =3❑ ；
8 8 32−1 32−1
√ 4 √ 4 √ 4 √ 4
第三个等式为❑4 =4❑ ，即❑4 =4❑ ．
15 15 42−1 42−1
√ n √ n
∴用含正整数n（n≥2）的式子表示为：❑n =n❑ ，
n2−1 n2−1
√ n √ n
故答案为：❑n =n❑ ．
n2−1 n2−1
【变式1】课本再现（1）判断下列各式是否成立，并从中选择一个进行验证：
√ 2 √2 √ 3 √3 √ 4 √ 4
❑2 =2❑ ，❑3 =3❑ ，❑4 =4❑
3 3 8 8 15 15
（2）用字母n（n是正整数，n≥2）表示这一规律是： ；
类比猜想
√ 2 √ 2 √2 √ 3 √ 3 √3
（3）爱思考的小开同学在解决上面问题时，注意到❑2 =❑2+ =2❑ ，❑3 =❑3+ =3❑ ，猜
3 3 3 8 8 8
想如果根号里的式子加法改为减法，也会有一系列有类似规律的式子．经过一番尝试，他写出了以下两
√ 2 √2 √ 3 √3
个式子，请你帮助他求出x，y的值：❑2− =2❑ ，❑3− =3❑ ．
x x y y
【分析】（1）利用二次根式的化简进行验证即可；
（2）根据等式的左右两边的变化规律可写出其式子的规律；
（3）利用二次根式的性质列方程求解即可．
【解答】解：（1）成立．
验证如下：
√ 2 √6+2 √8 √2
❑2 =❑ =❑ =2❑ ，
3 3 3 3
√ 3 √27 √3
❑3 =❑ =3❑ ，
8 8 8
√ 4 √64 √ 4
❑4 =❑ =4❑ ，
15 15 15
∴各式都成立；
√ n √ n
（2）用字母n（n是正整数，n≥2）表示这一规律是：❑n+ =n❑ ，
n2−1 n2−1
√ n √ n
故答案为：❑n+ =n❑ ；
n2−1 n2−1
√ 2 √2x−2 √ x−1 √x−1 √2
（3）∵❑2− =❑ =❑4× =2❑ =2❑ ，
x x 2x 2x x
x−1 2
∴ = ，解得x＝5，
2x x
经检验，x＝5是原方程的解；√ 3 √3 y−3 √ y−1 √ y−1 √3
❑3− =❑ =❑9× =3❑ =3❑ ，
y y 3 y 3 y y
y−1 3
∴ = ，解得y＝10，
3 y y
经检验，y＝10是原方程的解．
【变式2】定义：我们将（❑√a+❑√b）与（❑√a−❑√b）称为一对“对偶式”．因为（❑√a+❑√b）（❑√a−❑√b
）＝（❑√a）2﹣（❑√b）2＝a﹣b，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解
决．
例如：已知❑√18−x−❑√11−x=1，求❑√18−x+❑√11−x的值，可以这样解答：
因为（❑√18−x−❑√11−x）×（❑√18−x+❑√11−x）＝（❑√18−x）2﹣（❑√11−x）2＝18﹣x﹣11+x＝
7，
所以❑√18−x+❑√11−x=7．
（1）已知：❑√20−x+❑√4−x=8，求❑√20−x−❑√4−x的值；
（2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：❑√20−x+❑√4−x=8；
1 1 1 1
（3）计算： + + +⋯+ ．
3❑√1+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 2023❑√2021+2021❑√2023
【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；
（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案；
（3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） ∵
(❑√20−x+❑√4−x)(❑√20−x−❑√4−x)=(❑√20−x) 2 −(❑√4−x) 2 =20−x−4+x=16，
且❑√20−x+❑√4−x=8，
∴❑√20−x−❑√4−x=2；
{❑√20−x+❑√4−x=8)
（2）∵ ，
❑√20−x−❑√4−x=2
∴2❑√4−x=6，
化简后两边同时平方得：4﹣x＝9，
∴x＝﹣5，
经检验：x＝﹣5是原方程的解；
3−❑√3 5❑√3−3❑√5 7❑√5−5❑√7 2023❑√2021−2021❑√2023
（3）原式= + + +⋅⋅⋅+
6 30 70 20232×2021−20212×20231 ❑√3 ❑√3 ❑√5 ❑√5 ❑√7 ❑√2021 ❑√2023
= − + − + − +⋅⋅⋅+ −
2 6 6 10 10 14 4042 4046
1 ❑√2023
= − ．
2 4046
【变式 3】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
3+2❑√2=(1+❑√2) 2 ，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b❑√2=(m+n❑√2) 2 （其中a，b，m，n均为正整数），则有a+b❑√2=m2 +2n2 +2mn❑√2．∴a＝
m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b❑√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b❑√3=(m+n❑√3) 2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a
＝ ，b＝ ；
（2）若a+4❑√3=(m+n❑√3) 2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【分析】（1）利用完全平方公式把（m+n❑√3）2展开，从而利用等式性质可用m、n分别表示出a、b；
（2）利用（1）的结论得到a＝m2+3n2，4＝2mn，再根据有理数的整除性得到m＝2，n＝1或m＝1，n
＝2，然后计算对应的a的值．
【解答】解：（1）∵（m+n❑√3）2＝m2+2mn❑√3+3n2＝m2+3n2+2mn❑√3，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
故答案为：m2+3n2，2mn；
（2）由（1）得a＝m2+3n2，4＝2mn，
∴mn＝2，
∵m，n均为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，
当m＝2，n＝1时，a＝m2+3n2＝22+3×12＝7；
当m＝1，n＝2时，a＝m2+3n2＝12+3×22＝13，
综上所述，a的值为7或13．
【题型13 二次根式的实际应用】
【例1】有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为45dm2和80dm2
的两块正方形木板．（1）截出的两块正方形木板的边长分别为 dm， dm；
（2）剩余木板的面积为 dm2；
（3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为2dm，宽为1.5dm的长方形木条，最多能截出 个
这样的木条．
【分析】（1）根据正方形面积公式可得；
（2）大长方形木板的面积减去两个正方形木板的面积，即为剩余木板的面积；
（3）剩余木板的长为3❑√5dm，宽为4❑√5−3❑√5=❑√5dm，❑√5＞2，3❑√5÷1.5，可得最多能截出几个这
样的木条．
【解答】解：（1）3❑√5×3❑√5=45（dm2），
4❑√5×4❑√5=80（dm2），
故答案为：3❑√5，4❑√5；
（2）4❑√5×（3❑√5+4❑√5）﹣45﹣80＝15（dm2），
故答案为：15；
（3）剩余木板的长为3❑√5dm，宽为❑√5dm，❑√5＞2，
3❑√5÷1.5≈4，
∴最多能截出4个这样的木条，
故答案为：4．
【变式1】现有两块同样大小的长方形木板①、②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上
截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板A，B．
（1）截出的正方形木板A的边长为 dm；
（2）求图1中阴影部分的面积；
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出面积为25dm2的两个正方形木板，请你
判断能否截出，并说明理由．【分析】（1）根据正方形的面积，即可求出边长；
（2）先求出木板B的边长，再得出阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式即可求解；
（3）求出两个面积为25dm2的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和
宽进行比较，即可解答．
【解答】解：（1）∵正方形木板A的面积为18dm2，
∴正方形木板A的边长为❑√18=3❑√2(dm)，
故答案为：3❑√2；
（2）∵正方形木板B的面积为32dm2，
∴正方形木板B的边长为❑√32=4❑√2(dm)，
∴阴影部分宽为(4❑√2−3❑√2)dm，
∴阴影部分面积为3❑√2×(4❑√2−3❑√2)=6(dm2 )，
即题图1中阴影部分的面积为6dm2；
（3）不能截出；
理由：❑√25=5，2×5＝10，
∴两个正方形木板放在一起的宽为5dm，长为10dm．
由（2）可得长方形木板的长为7❑√2dm，宽为4❑√2dm．
∵4❑√2＞5，但7❑√2＜10，
∴不能截出．
【变式2】如图，矩形ABCD的长为2❑√6+❑√5，宽为2❑√6−❑√5．
（1）矩形ABCD的周长是 ；
（2）在矩形ABCD内部挖去一个边长为❑√6−❑√5的正方形，求剩余部分的面积．【分析】（1）根据矩形的周长公式＝2×（长+宽），代入长和宽，然后化简二次根式．
（2）剩余部分的面积＝矩形的面积﹣挖去的正方形的面积，然后代入数值，进行二次根式的化简求
值．
【解答】解：（1）矩形ABCD的周长＝2×[（2❑√6+❑√5）+（2❑√6−❑√5）]
＝2×（2❑√6+❑√5+2❑√6−❑√5）
＝2×4❑√6
=8❑√6．
故答案为：8❑√6．
（2）剩余部分的面积＝（2❑√6+❑√5）×（2❑√6−❑√5）﹣（❑√6−❑√5）2
＝（2❑√6）2﹣（❑√5）2﹣[（❑√6）2﹣2❑√6×❑√5+（❑√5）2]
＝（24﹣5）﹣（6﹣2❑√30+5）
＝19﹣（11﹣2❑√30）
＝19﹣11+2❑√30
＝8+2❑√30．
【变式3】（1）填空（只填写符号：＞，＜，＝或≥，≤）：
1 √ 1
①4+3 2❑√3×4，1+ 2❑1× ，5+5 2❑√5×5．
6 6
②由①中各式猜想：m+n 2❑√m×n(m≥0，n≥0)．
（2）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰
好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，求所用的篱笆至少需要多少米？
【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；
（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2❑√mn；比较大小，可以作差，m+n﹣2❑√mn，联想到完全平方公式，问题得证；
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a+2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最
小值．
【解答】解：（1）∵4+3＝7，2＝4，
∴72＝49，（4）2＝48，
∵49＞48，
∴4+3＞2；
1 7 √ 1 ❑√6
∵1+ = ＞1，2❑1× = ＜1，
6 6 6 3
1 √ 1
∴1+ ＞2❑1× ；
6 6
∵5×5＝25，2❑√5×5=10，
∴5×5＜2❑√5×5，
故答案为：＞，＞，＜．
（2）m+n≥2❑√mn（m≥0，n≥0）．理由如下：
当m≥0，n≥0时，
∵（❑√m−❑√n）2≥0，
∴（❑√m）2﹣2❑√m•❑√n+（❑√n）2≥0，
∴m﹣2❑√mn+n≥0，
∴m+n≥2❑√mn；
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，
根据（2）的结论可得：a+2b≥2❑√a⋅2b=2❑√2ab=2❑√2×200=2×20＝40，
∴篱笆至少需要40米．
故答案为：40．
【变式4】（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．
1 1 √1 1
+ 2❑ × ；6+3 2❑√6×3；7+7 2❑√7×7．
2 3 2 3
（2）由（1）中各式猜想a+b与2❑√ab(a≥0，b≥0)的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某同学在做一个面积为1800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少
厘米？【分析】（1）将需要比较大小的两式作差，其结构符合完全平方式，利用完全平方式的非负性证明即
可；
（2）根据（1）中结果猜想，并利用完全平方式的非负性对猜想进行证明即可；
（3）做对角线的竹条的和符合（2）中a+b的形式，根据风筝面积求出两条对角线长度的积，应用
（2）中的结论即可．
2
√1 √1
【解答】解：（1）∵(❑ −❑ ) ＞0，
2 3
1 √1 1 1
∴ −2❑ × + ＞0．
2 2 3 3
1 1 √1 1
∴ + ＞2❑ × ．
2 3 2 3
同理得：6+3＞2❑√6×3；7+7=2❑√7×7．
故答案为：＞，＞，＝；
（2）猜想：a+b≥2❑√ab(a≥0，b≥0)．
理由是：∵a≥0，b≥0，
∴a+b−2❑√ab=(❑√a−❑√b) 2≥0．
∴a+b≥2❑√ab；
设AC＝a，BD＝b，
（3）∵对角线相互垂直，
∴ S 四 边 形 ABCD
1 1 1 1 1
=S +S = BD⋅AO+ BD⋅OC= BD⋅(AO+OC)= BD⋅AC= ab=1800．
△ABD △CBD 2 2 2 2 2
∴ab＝3600．
∵a+b≥2❑√ab，
∴a+b≥2❑√3600．
∴a+b≥120．
∴用来做对角线的竹条至少要120厘米．
