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第十八章 平行四边形（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在 中， ，则 （ ）
A．10 B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的对角相等和平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形对角相等的性质和平行线的性质解答即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
，
又 ，
，
∴ ．
故选：B．
2．如图，在矩形 中，对角线 相交于点O，若 ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查了矩形的性质，根据四边形 是矩形，则对角线互相平分且相等，则，即可作答．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当 ， 是矩形 B．当 ， 是菱形
C．当 ， 是菱形 D．当 ， 是正方形
【答案】D
【知识点】添一个条件使四边形是菱形、正方形的判定定理理解、证明四边形是矩形
【分析】本题考查了对矩形、菱形和正方形的判定，根据矩形、菱形和正方形的判定即可选出答案.
【详解】解：A选项：根据矩形的判定“一个角是直角的平行四边形是矩形”，故选项A正确，不符合题
意；
B选项：根据菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，故B选项正确，不符合题意；
C选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意；
D选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故D选项不正确，符合题意.
故选D.
4．如图，延长正方形 边 至点 ，使 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、根据正方形的性质求角度
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，连接 ，根据题意可得 ，则
，由外角的性质可得： ，即可求解．
【详解】解：连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，且 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：A．
5．大家都折过纸玩吗？如图所示，把矩形纸片 沿 折叠，使点 恰好落在 处，已知 ，
， 的长为（ ）
A．3 B．4 C．17 D．5
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题
【分析】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，正确地求出 的长是解题的关
键．由矩形的性质得 ， ， ，由折叠得 ，则
，所以 ，由勾股定理得 ，求得 的长是 ，
于是得到问题的答案．
【详解】解： 四边形 是矩形， ， ，， ， ，
由折叠得 ，
，
，
，且 ， ，
，
解得 ，
的长是 ，
故选：D．
6．学校九月份举办运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正六边形 和正方形 中，
、 的延长线分别交 、 于点 ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角和问题、根据正方形的性质求角度、正多边形的内角问题
【分析】本题考查正方形的性质，正多边形的性质，多边形的内角和，熟练掌握这些性质是解题的关键．
根据正方形、正六边形的性质求出 ， ， ，再利用四边形的内角和进行计算即可．
【详解】解： 多边形 是正六边形，
，
又 正方形 中， 是对角线，
，
∴在四边形 中， ，
故选：B．
7．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．
如图，改变正方形 的内角，正方形 变为菱形 ．若 ，则菱形 的面积与正方形 的面积之比是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形、根据正方形的性质求面积
【分析】该题主要考查了 角直角三角形的性质，菱形和正方形的面积，解题的关键是得出菱形
的高等于 的一半．
根据 角所对的直角边等于斜边的一半可知菱形 的高等于 的一半，再根据正方形的面积公式
和平行四边形的面积公式即可得解．
【详解】解：如图，过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴菱形 的面积为 ，正方形 的面积为 ．
∴菱形 的面积与正方形 的面积之比是 ．
故选：B．
8．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱
形中国结装饰，测得 ，直线 交两对边于点E，F，则线段EF的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质
得到 ，根据勾股定理求出 ，再利用面积计算即可．
【详解】解： 四边形 为菱形，
，
，
，
，
，
．
故选C．
9．如图，四边形 是一张平行四边形纸片，其高 ，底边 ， ，沿虚线
将纸片剪成两个全等的梯形，若 ，则 的长为（ ）
A．1cm B． C． D．【答案】D
【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、图形的全等、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角
形
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30度角的直角三角
形的性质，准确根据全等图形的性质判断边角是解题的关键．过A作 交 于M，证明四边形
是平行四边形得到 ，结合已知得到 ，再根据等腰直角三角形的判定与性质、
含30度角的直角三角形的性质求得 ， ，进而求解即可．
【详解】解：过A作 交 于M， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵两个梯形全等，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
10．如图，点 ， ， ， 为正方形 四边中点，连结 ， ， ， ．下列说法错误的是（ ）
A．四边形 一定是平行四边形
B．四边形 一定是正方形
C．若 ，则四边形 的面积是20
D．点M，Q是 的三等分点
【答案】D
【知识点】证明四边形是平行四边形、根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了正方形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理．由点 ， ， ， 为
正方形 四边中点，可得 ， ，即可判断四边形 为平行四边形； 设
，则 ， ，先证明
，推理得到 ，再由面积和勾股定理得到
，即可说明四边形 为正方形；若 ，即 ，解得
，根据正方形 的面积是 计算即可； ， ，得到点
M，Q不是 的三等分点．
【详解】解：∵正方形 ，
∴ ， ， ， ，
点 ， ， ， 为正方形 四边中点，
，
∵ ， ，四边形 为平行四边形，故A选项说法正确，不符合题意；
∴ ，
同理可得 ，
∴四边形 为平行四边形，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
同理可得 ，
∴四边形 为正方形，故B项说法正确，不符合题意；
若 ，即 ，解得
∴正方形 的面积是 ，故C说法正确，不符合题意；
∵ ， ，
∴ ，∴点M，Q不是 的三等分点，故D法错误，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知，四边形 是平行四边形，对角线 ， 交于点 ．若增加一个条件，将它边的数量关系
特殊化，可使 ，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】利用菱形的性质证明、添一个条件使四边形是菱形
【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据菱形是特殊的平行四边形，只需要增加菱形所特有的性质即可．
掌握菱形的判定是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 为平行四边形，
∴当 时， 为菱形，
此时 ．
∴增加的一个条件可以是 ．
故答案为： （答案不唯一）．
12．如图，在菱形 中， ， ，将菱形 绕点A逆时针旋转，当 时，
的长度为 ．
【答案】 或
【知识点】利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角
形
【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理．分两种情况讨论，作 于 ，延长
交 于 ，交 于 ，连接 ，利用 直角三角形性质和勾股定理求得 ， 和
的长，在 中，求得 ，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，作 于 ，延长 交 于 ，交 于 ，连接 ，∵在菱形 中， ， ，
∴ ， ， ， ，
由旋转的性质得 ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 三点共线，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
如图，同理 ， ， ，
，
∴ ；
综上， 的长度为 或 ．
故答案为： 或 ．
13．如图，在 中，过 上的点 作 ， ， 、 、 、 均在平行四边形的边
上，且 ， ，则四边形 的面积为 ．
【答案】6
【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先证明四边形 都是平行四边
形，然后证明 ，根据 ， 求出 即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵ ， ，
∴四边形 都是平行四边形，∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：6．
14．如图，矩形 对角线 相交于点O，E为 上一点，连接 ，F为 的中点，
．若 ，则 的长为 ．
【答案】2
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了中位线，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质等知识．解题的关键在于添加辅助线，
构造中位线．如图，连接 ， 是 的中位线，则 ， ， ， ，
在 中，由勾股定理求 的值，由矩形的性质可得 ，根据 ，求解 的值
即可．
【详解】解：如图，连接 ，∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ 是 的中位线，
， ，
∴ ，
∵ ， ，
， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
，
故答案为：2．
15．如图，在矩形 中， ， ，将矩形 绕点 顺时针旋转，得到矩形 ，边
交 于点 ，当点 的对应点 恰好落在线段 的延长线上时， 的长是 ．
【答案】
【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等，连接 根据矩
形的性质得到 ，即 ，根据旋转的性质即可得到 ；根据矩形的性质得到
，根据旋转的性质得到 ，证得 ，根据全等三
角形的性质得到 ，设 ，则 ，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：连接 如图，
∵四边形 为矩形，
∴ ，即 ，
∵将矩形 绕点A顺时针旋转，得到矩形 ，
∴ ，
∴ ；
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵将矩形 绕点A顺时针旋转，得到矩形 ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
由勾股定理，得 ，
解得 ，∴ ．
故答案为：
16．如图，正方形 的边长是4，点 在边 上， ，点 是边 上不与点 重合的一个
动点，把 沿 折叠，点 落在 处．若 恰为等腰三角形，则 的长为 ．
【答案】4或 / 或4
【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形
的定义分三种情况分别进行解答即可．
【详解】解： 如图1所示：当 时，过 点作 ，则 ，
当 时， ，
∵ ， ，
∴ ，
由翻折的性质，得 ，
，，
，
；
如图2所示：当 时，则 ；
当 时，
∵ ， ，
点 、 在 的垂直平分线上，
垂直平分 ，
由折叠可知点 与点 重合，不符合题意，舍去．
综上所述， 的长为4或 ．
故答案为：4或 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．如图，在平行四边形 中， 分别平分 和 ，交 于点 ， 相交于
点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)1【知识点】利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形的性质证明
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义等知识，掌握
平行四边形的性质是解答本题的关键．
（1）根据平行四边形的性质有 ，再根据 分别平分 和 ，可得
，问题得证；
（2）根据平行四边形的性质有 ，即 ，又根据 平分 ，可得
，即 ，进而可得 ，同理可得， ，问题随之得
解．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
分别平分 和 ，
，
，
；
（2）解： 四边形 是平行四边形， ，
， ，
，
又 平分 ，
，
，
，
同理可得， ，
，
．
18．如图，在 中，D，E分别是 ， 的中点， ，延长 到点F，使得 ，连
接 ．(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求菱形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质
求面积
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性
质和定理；
（1）根据三角形的中位线可得 ， ，可证四边形 是平行四边形，再由 即
可得证；
（2）根据菱形的性质可得 ， ， ， ，再根据勾股定理求出
，再根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明： ∵D、E分别是 、 的中点，
， ，
，
，
，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
，
∴四边形 是菱形；
（2）解：连接 ，交 于O，四边形 是菱形，
， ， ， ，
，
在 中， ，
，
，
菱形 的面积为 ．
19．如图，在 中，点E，F分别是 ， 的中点，连接 ， ，交 于点G，H，连接 ，
．
(1)求证： ；
(2)求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运
用是解此题的关键．
（1）由平行四边形的性质可得 ， ， ，再证明 ，即可得证；
（2）由全等三角形的性质可得 ，再证明 ．得出 ， ．从而推出 ．进而得出 ，即可得证．
【详解】（1）证明：由 可得 ， ， ，
∵点 ， 分别是边 ， 的中点，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
（2）证明：∵ ，
∴ ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴四边形 是平行四边形．
20．在 中，对角线 与BD相交点 ，过点 分别作AB和 的垂线，垂足分别为 ， ．
(1)如图 ，当 时，求证：平行四边形 是菱形；
(2)如图 ，当 时，若 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形
的性质求解【分析】（ ）根据角平分线的定义得 ，由平行线的性质得 ，则
，根据等角对等边得 ，最后由菱形的判定即可求证；
（ ）证明平行四边形 是矩形，得 ，进而证明 是等边三角形，
，然后证明四边形 是矩形，根据勾股定理得 ，然后代入即可求解；
本题考查了平行四边形的性质，矩形和菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌
握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形；
（2）解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴平行四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，∴ ，
∴ ．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，在矩形纸片 中， ，将纸片折叠，使顶点 落在边 上的点 处，折痕的一端点
在边 上．
(1)如图1，当折痕的另一端点 在 边上时，
①求线段 的长；
② 的面积为________；
(2)如图2，当折痕的另一端点 在 边上时， ，折痕 的长为________．
【答案】(1)① ；②
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了勾股定理，矩形与折叠问题，菱形的性质与判定；
（1）①先利用翻折变换的性质以及勾股定理求出 的长，进而利用勾股定理求出 的长，
②设 ，在 中， ，勾股定理求得 ，则 ，再利用三角形的
面积公式即可得出 的面积；
（2）先根据折叠的性质得出 ， ，根据矩形的性质及平行线的性质得出 ，即可
得出四边形 是菱形，再利用菱形性质求出 的长．
【详解】（1）解：①如图1过 作 ，则四边形 是矩形，则设 ，则 ，
在 中， ，又
解得：
，
② ， ，
设 ，则
在 中，
∴
解得：
∴ ，
故 的面积为： ；
故答案为： ．
（2）如图2，过 作 于 ，连接 ，
四边形 是矩形
，
∴ ，
四边形 是平行四边形
由折叠性质知， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
四边形 是菱形，
， ，∴ ，
，
．
故答案为： ．
22．如图 ，在矩形纸片 中， ， ，折叠纸片使点 落在边 上的点 处，折
痕为 ，过点 作 交 于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)当点 在 边上移动时，折痕的端点 ， 也随之移动，
当点 与点 重合时（如图 ），求菱形 的边长；
若限定 ， 分别在边 ， 上移动，求出点 在边 上移动的最大距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ； ．
【知识点】矩形与折叠问题、证明四边形是菱形、等边对等角、用勾股定理解三角形
【分析】（ ）由折叠的性质得出 ， ， ，由平行线的性质得出
，证出 ，得出 ，因此 ，即可得出结论；
（ ） 由矩形的性质得出 ， ， ，由对称的性质得出
，在 中，由勾股定理求出 ，得出 ；在 中，
由勾股定理得出方程，解方程得出 即可；
当点 与点 重合时，点 离点 最近，由 知，此时 ；当点 与点 重合时，点 离点最远，此时四边形 为正方形， ，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵折叠纸片使点 落在边 上的点 处，折痕为 ，
∴点 与点 关于直线 对称，
∴ ， ， ；
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形；
（2）解： ∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵点 与点 关于直线 对称，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴菱形 的边长为 ；
当点 与点 重合时，
如图 ，点 离点 最近，
由 知，此时 ；
当点 与点 重合时，
如图 ，点 离点 最远，此时四边形 为正方形， ，
∴点 在边 上移动的最大距离为 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定
理，正方形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
23．【课本再现】
（1）如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方
形的边长都为1，四边形 为两个正方形重叠部分，正方形 可绕点 转动．则下列结论正确的
是________（填序号即可）
；② ；③四边形 的面积总等于 ；
①
④连接 ，总有 ．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形 的中心 是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点 ， 与边 相
交于点 ，连接 ，矩形 可绕着点 旋转，猜想 ， ， 之间的数量关系，并进行证明．
【答案】（1）①②③④；（2） ，见解析
【知识点】线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质证明、全等三角形综合问题、利用勾股定理证明线段平方关系
【分析】（1）根据正方形的性质，先证明 于是得到 即可判定①
②正确；根据正方形的性质，得 ，利用全等三角形的性质，分割法表示面积，可判定
四边形 的面积总等于 ，得到③正确；根据正方形的性质，三角形全等的性质，得到 ，根
据勾股定理得到 ，从而判定④正确．
（2）连接 ，延长 交 于点G，先证明 得到 ，再利用勾股定理，
线段垂直平分线的性质，等量代换即可的结论；
【详解】解：（1）∵正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点，而且这两
个正方形的边长都为1，
∴ ；
，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故①②正确；
根据正方形的性质，得 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故③正确；∵ ， ，
∴ ，
根据勾股定理得到 ，
故 ，
故④正确．
故答案为：①②③④
（2）解：连接 ， 连接 ，并延长交 于点 ，
∵矩形 的中心 是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点 ，
∴ ； ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴直线 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形 ， ，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
【概念理解】
在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________．
【性质探究】
通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空．
性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系
如图1， ，由勾股定理可知，
中， ， 中， ，
同理 ， ，
则 ，
即 _________．
性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系
_________．
【问题解决】
（1）如图1，若 ， ，则 _________．若 ， ，则四边形 的面
积 _________；
（2）如图2， ， 是 的中线， ，垂足为O， ，设 ，用含a的代数式表
示 _________；
（3）如图3，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和 ．连接．求证：四边形 为垂美四边形．
【答案】【概念理解】菱形，正方形；【性质探究】 ， ；【问题解决】（1）13，40；
（2） ；（3）证明见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、四边形其他
综合问题
【分析】本题考查勾股定理，四边形面积求解，全等三角形判定及性质，正方形性质等．
根据题意可得为菱形和正方形；
根据题意可得 和 ；
（1）根据题意可得 ， ；
（2）先证明四边形 为垂美四边形，继而得到 ，即可得到本题答案；
（3）连接 ，设 与 交于点 ， 与 交于点 ，先证明 和△ 全等，继而利
用全等性质得到本题答案．
【详解】解：【概念理解】根据题意可得为菱形和正方形，
故答案为：菱形，正方形；
【性质探究】根据题意可得：
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
【问题解决】（1）∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为：13，40；
（2）∵ ， 是 的中线，
∴ ， ，∵ ，
∴四边形 为垂美四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，整理得： ，
故答案为： ；
（3）证明：连接 ，设 与 交于点 ， 与 交于点 ，
，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
在 和△ 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴四边形 为垂美四边形；
25．综合与实践
【问题情境】：
在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动．
如图1，正方形 和正方形 ，连接 ， ．
【操作发现】：
当正方形 绕点 旋转，如图 ，线段 与 之间的数量关系是______；直线 与 的夹角度数
为______；
【深入探究】如图 ，若四边形 与四边形 都为菱形，且 ， ，猜
想 与 的数量关系与直线 与 的夹角度数，并说明理由；
【迁移探究】：如图 ，在（ ）的条件下，若 ， ，直接写出线段 的长．
【答案】[操作发现] ， ；[深入探究] ； ；[迁移探究]线段 的长 ．
【知识点】利用菱形的性质求线段长、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股
定理解三角形
【分析】[操作发现]由四边形 和四边形 是正方形，得 ， ，
，证明 ，得出 ， ，延长 交 于点
，交 于点 ，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解；
[深入探究]由四边形 和四边形 是菱形，得 ， ， ，证明
，得出 ， ，延长 交 于点 ，交 于点 ，根据全等
三角形的性质和角度和差即可求解；
[迁移探究]分当 在 上时和当 在 上时两种情况分析即可求解．【详解】解：[操作发现]
∵四边形 和四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
如图，延长 交 于点 ，交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 与 的夹角度数为 ，
故答案为： ， ；
[深入探究]
∵四边形 和四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
如图，延长 交 的延长线于点 ，交 于点 ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴直线 与 的夹角度数为 ；
[迁移探究]
如图，当 在 上时，连接 ，交 于点 ，
∵ ， ，四边形 为菱形，
∴ ， ， ，
∵四边形 为菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴点 三点共线，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，∴ ；
如图，当 在 上时，延长 ，交 延长线于点 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ， ， ，
由（ ）可得 三点共线， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
综上可知：线段 的长 ．
