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第十六章 二次根式 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023下·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）下列二次根式能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同类二次根式，几个二次根式化成最简二次根式后被开方数相同，这几个二次根式叫
同类二次根式，同类二次根式可以进行合并，将选项依次化简即可确定．
【详解】解：A， ，不能与 合并；
B， ，不能与 合并；
C， ，能与 合并；
D， 不能与 合并；
故选C．
2．（2023上·河北邢台·八年级邢台三中校联考阶段练习）下列代数式，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的定义，我们把形如 的式子叫做二次根式，解题时除了注意被开方数
是否为非负数，还需注意根指数是否为2，根指数是2时我们一般省略不写．根据二次根式的定义，我们
把形如 的式子叫做二次根式，因此必须同时满足被开方数为非负数、根指数为2即可判断．
【详解】解：根据二次根式的定义：形如 的式子，
A． 的被开方数 ，故不是二次根式，B． 是立方根，故不是二次根式，
C． 不是二次根式，
D． 的被开方数 ，根指数是2，故是二次根式，
故选：D．
3．（2023上·四川达州·九年级校考阶段练习）若 则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二次根式的性质，进行求解即可．掌握： ，是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
4．（2023上·山西太原·八年级山西实验中学校考期中）若 ， 是两个连续自然数，且满足 ，
则 的算术平方根为（ ）
A． B． C．20 D．
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根，根据 ， 是两个连续自然数，且满足 ，得
出 ， ，再根据算术平方根的定义求出 的算术平方根即可．
【详解】解：∵ ， 是两个连续自然数，且满足 ，
∴ ，
∴ ，，
∴ ， ，∴ ，
∵20的算术平方根是 ，
∴ 的算术平方根为 ，
故选：B．
5．（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）定义新运算“ ”，规定 ，则 的运
算结果为（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的运算、新定义运算等知识点，先根据新定义运算列出算式，然后根据
二次根式的运算法则计算即可；掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】解： ．
故选D．
6．（2023上·河北邢台·八年级校考阶段练习）甲、乙两位同学对式子 分别作了如下变形：
甲： ．
乙： ．
下列关于甲、乙两位同学作的变形过程，说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确D．甲不正确，乙正确
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化以及分式化简变形，分式的值不变，分子分母同时乘上
或除以一个不为0的数，分式的值不变，据此即可作答．
【详解】解：甲同学，是先将分式分子分母同时乘上 ，然后再通过平方差公式化简，从而达到
分母有理化，
即乙同学：先把分式的分子通过平方差公式变形为 ，再与分母约分，
分式的值不变，
即
∴甲、乙都正确
故选：A
7．（2024下·全国·七年级假期作业）已知实数 ， 满足 ，则 的值是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
8．（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，二次根式的混合运算．先将代数式化为 ，再把 、 的值代
入计算，即可得到答案．熟练掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解： ， ，
，
故选：B．
9．（2023上·重庆·八年级重庆市商务学校（重庆市第九十四初级中学校）校考阶段练习）一般地，如果（ 为正整数，且 ，那么 叫作 的 次方根．例如： ， 的四次方根是
．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若
，则 的三次方根是 ；④当
时，整数 的二次方根有4052个．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据新定义的含义结合 可判断①，根据几次方根的含义可判断②，先利用平方差公式计算
，结合三次方根的含义可判断③，根据绝对值的化简先求解 ，可得非负整数的数量，结
合平方根的含义可判断④，从而可得答案．
【详解】解；∵ ，
∴3是81的四次方根；故①符合题意；
任何实数都有唯一的奇次方根；描述正确，故②符合题意；
∵
，
∴ 的三次方根是 ；故③符合题意；
∵
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴非负整数 有 个，其中 的平方根是 ，
∴整数 的二次方根有4051个．故④不符合题意；故选C
【点睛】本题考查的是自定义的含义，化简绝对值，平方根的含义，二次根式的化简，平方差公式的灵活
运用，理解题意是解本题的关键．
10．（2023上·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）观察下列二次根式的化简
，
，
，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可．
【详解】解：由题意可知： ，
，
，
由此可知： ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】此题考查了数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解
题的关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习） 的平方根是 , 的绝对值是 ．【答案】
【分析】本题考查平方根定义,绝对值知识．
（1）利用平方根定义即可得出本题答案;
（2）利用绝对值定义即可得出本题答案．
【详解】解:∵ ;
∴ 的平方根是 ;
∵ ,
∴ 的绝对值是 ．
故答案为： ；
12．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如果二次根式 有意义，则a的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握“二次根式 有意义的条件： ．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得： ；
故答案： ．
13．（2023上·湖南岳阳·八年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）若最简二次根式 与二次根式
可以合并，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同类二次根式“把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那
么这几个二次根式叫做同类二次根式”，熟记同类二次根式的概念是解题关键．判断出最简二次根式与二次根式 是同类二次根式，由此即可得．
【详解】解：∵最简二次根式 与二次根式 可以合并，
∴最简二次根式 与二次根式 是同类二次根式，
，
解得 ，
故答案为： ．
14．（2023上·湖南衡阳·八年级衡阳市实验中学校考期中）已知x、y为实数，且 ．
则 的平方根 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，平方根定义，解题关键是根据二次根式有
意义的条件求出 ， ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
36的平方根为 ，
故答案为： ．
15．（2023下·全国·八年级专题练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 的
结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的化简，先根据数轴确定 ， 的范围，再根据二次根式的性
质进行化简，即可解答，解决本题的关键是根据数轴确定 ， 的范围．
【详解】解：解：由数轴可得： ， ，
原式
．
故答案为： ．
16．（2022上·广东揭阳·八年级统考期中）已知：对于正整数n，有 ，若
某个正整数k满足 ，则k＝ ．
【答案】8
【分析】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．读懂规律，按所得规律把左边所有的加数写成
的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．
【详解】解： ，
，
即 ，
，
解得 ．
故答案为：8
17．（2023上·河北邢台·八年级金华中学校联考阶段练习）在算式“○ □ ”中，“○”表示实数，
“□”表示“ ”“ ”“ ”“ ”中的某一个运算符号．
（1）当“□”表示“－”时，运算结果为 ，则“○”表示的数为 ；
（2）若“○”表示的是（ ）中所求的数，当算式的结果最大时，“□”表示的运算符号是 ．
【答案】【分析】（ ）设“○”表示的数为 ，根据二次根式的加减运算进行计算即可求解；
（ ）根据题意，分别计算当“□”表示“ ”“ ”“ ”“ ”中的某一个运算符号时的算式，即可求
解；
本题考查了二次根式的混合运算，无理数的大小比较，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】（ ）设“○”表示的数为 ，
则 ，解得： ，
∴“○”表示的数为 ，
故答案为： ；
（ ）由（ ）得：“○”表示的数为 ，
当“□”运算符号是“ ”时， ，
当“□”运算符号是“ ”时， ，
当“□”运算符号是“ ”时， ，
当“□”运算符号是“ ”时， ，
∴ ，
∴“□”表示的运算符号是“ ”，
故答案为： ．
18．（2022上·湖北襄阳·九年级襄阳四中校联考自主招生）可以用配方法化简二重根式，
例如： ，
请化简式子： ．【答案】2
【分析】先把 ， 分别化为 与 ，再化简，结合分母有理化，最后计算加
减运算即可．
【详解】解：
；
故答案为：2
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的混合运算，分母有理化，掌握二次根式的化简的方法
与技巧是解本题的关键．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2023上·海南儋州·九年级儋州市第一中学校联考期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是：
（1）先算开方，化简二次根式，再合并计算；
（2）先将括号展开，再合并计算．
【详解】（1）解：；
（2）
．
20．（2023上·四川泸州·九年级校考期中）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减
法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
21．（2023上·河北承德·八年级校考期末）已知一块长为 ，宽为 的长方形木板，如图．
(1)与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为______ ；(2)采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为 和 的正方形木板？试说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查的是算术平方根的应用，二次根式的加减运算，无理数的大小比较，理解题意是关键；
（1）设正方形的边长为 ，可得 ，再解方程即可；
（2）由两个正方形的边长分别为： 和 ，再用两个正方形的边长之和与7作比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设正方形的边长为 ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴正方形的边长为 ；
（2）不能截出，理由：
若能截出，则两个正方形的边长分别为： 和 ，
∵ ，
∴两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．
22．（2023上·河北邢台·八年级校考阶段练习）嘉琪准备完成题目“计算： ”
时，发现“■”处的数字印刷不清楚．
(1)他把“■”处的数字猜成4，请你计算 的结果．
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到这个题的正确答案是 ．”通过计算说明题目中的“■”处的数字是
几？
【答案】(1)
(2)8【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法，最后合并同类二次根式即可；
（2）设“■”处的数字为 ，计算得到 ，根据正确答案是 得到 ，即可求出a
的值．
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
．
（2）设“■”处的数字为 ，则
，
∵这个题的正确答案是 ．
，
解得 ，
即“■”处的数字是8．
23．（2023上·宁夏中卫·八年级校考阶段练习）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1： ，例2： ， ，
利用以上结论解答以下问题：（不必证明）
(1) ； ；
(2)利用上面的结论，求下列式子的值．（有过程）
【答案】(1) ；
(2)9
【分析】本题考查了分母有理化：涉及二次根式的性质化简、平方差公式的运用：
（1）根据例1的过程，仿写即可作答．
（2）逐个化简，得 ， ， ， ，……，
然后进行合并同类二次根式，即可作答．
【详解】（1）解：∵
∴ ；
∴ ；
（2）解：∵ ， ， ， ，……，
∴.
24．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）小明在解决问题：已知 ，求 的值.他
是这样分析与解的：
∵ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出 ________；
(2)化简 ；
(3)若 ，请按照小明的方法求出 的值．
【答案】(1)
(2)5
(3)0
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化．
（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，
去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解；（3）根据小明的分析过程，得 得 ， ，再整体代入，即可求出代数式的
值．
【详解】（1）解：
故答案为： ；
（2）解：
；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴．
25．（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第二中学校考期中）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
(1)计算：
(2)已知 是正整数， ， ， ，求 ；
(3)已知 ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】( )根据分母有理化去分母后可相互消掉可得结果；
( ) 互为倒数，分母有理化后可得 的值，代入所求式子即可；
( )设 ， ，则 ，利用已知等式导出 ，根据完全平方公式计算出
即是所求；
本题考查了分母有理化的技巧，熟练利用完全平方公式和平方差公式设未知数整体代入是解题的关键．
【详解】（1）解：原式 ，
，，
；
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：设 ， ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， （不符合题意，舍去），
∴ ．
26．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，
使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如， ，求证： ．证明：
左边 右边．阅读材料二：基本不等式 ，当且仅当 时等号成立，它是解决最值问题的有力
工具．例如：在 的条件下， ，∴ ，当且仅当 ，即 时， 有最小
值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题
(1)若正数x，则 的最小值为______．
(2)若正数a，b满足 ， ，n为 的最小值，求 ；
(3)若正数a，b满足 ，若不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据材料2即可求解；
（2）先根据分式的性质以及恒等式变形求得 的值，再根据负指数幂即可求解；
（3）根据题意可得 ，进而解不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴ 的最小值为
故答案为： ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴
（3）∵正数a，b满足 ，
∴
∵不等式 恒成立，
∴
∴ ①或 ②
∴解不等式组①无解，解不等式组②得
【点睛】本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，二次根式的性质化简，分式的加减运算，负整
数指数幂，理解题意，利用好不等式的性质是解题的关键
