文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（天津专用）
黄金卷·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A B A C C D C C A
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10． 11． 12． 13．
14． 15． ,
三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（15分）
【详解】（1）在 ABD中，由余弦定理得 .
△
在 BCD中，由余弦定理得 .
△
因为 ，所以 ，
即 ，
得 .
（2）由题意知 ，得 .
在 中，由余弦定理得 .
令 ， ，在 中，由余弦定理得 ，即 .
所以 ，
即 ， ，当且仅当 时取等号.
所以四边形ABCD周长的最大值为 .
17．（15分）
【详解】（1）在直棱柱 中， 平面 ，所以 ，
因为 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
在直棱柱 中， ，
因为 ， ，且M为 中点，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由图可知： ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，即 ，
取 ，
所以 ，
设 与平面 所成夹角为 ， ，所以 ，
所以 ，
所以直线BC与平面ABM所成角为 .
（3）如图所示：
取 中点 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
在直棱柱 中， 平面 ，所以 ，
由 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 是点 到平面 的距离，在 中， ，所以 ，所以 ，
设 ，则由 知， ，
即 ，
解得： ，
所以 的长为 .
18．（15分）
【详解】（1）∵离心率 ， ，
∴ ， ，
面积的最大值为： ，
∴ ， ；
∴椭圆方程为 ．
（2）（i）∵圆 经过椭圆的两个焦点，
∴圆心 为 轴上一点，设点 ，
∵圆 与椭圆在第一象限交于点 ，∴ ，
∵ ， ， 三点共线，且 是圆 的一条直径，
∴ ，
将 点代入椭圆方程得到 ，即 ，
∴直线 的斜率为 ．（ii）∵ ，∴直线 的斜率也为 ，设直线 ， ，
联立 ，得 ，
，∴ ，
， ，
，
点 到直线 ： 的距离 ，
∴ ．
∴当 ，即 时 的面积最大，此时直线 的方程为： ．
19．（15分）
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由 ， ，得 ，则 ，
由 ， ，得 ，解得 ， ，则 ， ，
所以 ， 的通项公式是 ， .
（2）当 是奇数时， ，
当 是偶数时， ，
则 ，于是 ，
两式相减得：
因此 ，
，
所以 .
（3）由（1）知， ，当且仅当 时取等号，
因此 ，
所以 （ ）.
20．（15分）
【详解】（1）解：由函数 ，可得 ，
且 ，则 ，
可得切线方程为
所以 ，所以 ，令 ，则 ，
所以 在 单调递增，因此当 时， ，
又因为 ，所以当 时， .
（2）解：（i）由 等价于 ，
令 .注意到， ，依题意， 除了1之外，还有两个零点，
又由 ，令 ，
当 时， 恒成立，故这时 在 单调递减，不合题意；
当 时，由题意，首先 在 上有两个零点，
故 ，解得 ，
设两个零点为 和 ，有 ， ，故可知 ， 均大于0，
由此可得 在 单调递增， 单调递减， 单调递增，
而 ，即 ， ， ，
又因为 ， ，
故 在 内恰有一个零点，在 内恰有一个零点，又1为 的一个零点，
所以 恰有3个零点，亦即 恰有3个零点，
综上，实数 的取值范围是 .
（ii）由（i）中 ，由 ，由此可得 .要想证明 ，
只需证明 ，而 ，
因此只需要证明当 时， ，
令 ， ，
可得 ，故 在 上单调递增，
因此当 时， ，即当 时， ，
因此 ，
由 ，有 ，即 ，
两边同时除以 ，由 ，有 ，
即 .
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范
围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与 和 相关的常见同构模型
① ，构造函数 或 ；
② ，构造函数 或 ；③ ，构造函数 或 .
