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第十六章 二次根式章末测试卷
能力提升培优测
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：二次根式（人教版）。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1 √x
1．（3分）下列二次根式：❑√5x5，❑√14， ，❑ ，2❑√11a，❑√12a，❑√a2−b2其中，最简二次根式的个
❑√2 2
数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因
式．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断即可．
1 ❑√2 √x ❑√2x
【解答】解：因为：❑√5x5=x2❑√5x； = ；❑ = ；❑√12a=2❑√3a，
❑√2 2 2 2
1 √x
所以❑√5x5， ，❑ ，❑√12a，不是最简二次根式，
❑√2 2
❑√14，2❑√11a，❑√a2−b2是最简二次根式，共3个，
故选：C．
1
2．（3分）已知m为实数，且m=❑√2x−1+1，下列说法：①x≥ ；②当x＝5时，m的值是4或﹣2；
2
③m≥1；④❑√2x−1＞0．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次根式成立的条件，二次根式的性质，即可一一判定．
【解答】解：∵m=❑√2x−1+1成立，
∴❑√2x−1≥0，2x﹣1≥0，
1
∴m=❑√2x−1+1≥1，x≥ ，
2
故①③正确，④不正确；②当x＝5时，m=❑√10−1+1=3+1=4，
故②不正确；
故正确的有2个，
故选：B．
√7 1
3．（3分）比较大小：2❑ ，❑√17， ❑√62的大小顺序是（ ）
2 2
√7 1 √7 1
A．2❑ ＜❑√17＜ ❑√62 B．2❑ ＜ ❑√62＜❑√17
2 2 2 2
1 √7 1 √7
C． ❑√62＜2❑ ＜❑√17 D． ❑√62＜❑√17＜2❑
2 2 2 2
【分析】先化简这三个二次根式就可以判断它们的大小．
√7 ❑√14
【解答】解：2❑ =2× =❑√14，
2 2
1
❑√62=❑√15.5，
2
∵❑√14＜❑√15.5＜❑√17，
故选：B．
4．（3分）若6−❑√13的整数部分为x，小数部分为y，则（2x+❑√13）y的值是（ ）
A．5−3❑√13 B．3 C．3❑√13−5 D．﹣3
【分析】首先根据❑√13的整数部分，确定6−❑√13的整数部分x的值，则y即可确定，然后代入所求解析式
计算即可求解．
【解答】解：∵9＜13＜16
∴3＜❑√13＜4，
∴6−❑√13的整数部分x＝2，
则小数部分是：6−❑√13−2＝4−❑√13，
∴y＝4−❑√13，
则（2x+❑√13）y＝（4+❑√13）（4−❑√13）
＝16﹣13
＝3．
故选：B．
5．（3分）已知❑√7=a，❑√70=b，则❑√4.9用a、b表示为（ ）
a+b a−b b ab
A． B． C． D．
10 10 a 10√490
【分析】根据题意可得先将❑√4.9变形为❑ ，由此可得出答案．
100
√490 ❑√7×❑√70 ab
【解答】解：由题意得：❑√4.9=❑ = = ．
100 10 10
故选：D．
6．（3分）已知❑√3x−6+❑√6−3x+ y=2024，则❑√2024xy的值为（ ）
A．2024❑√3 B．2024❑√2 C．2024 D．2025
【分析】根据二次根式有意义的条件求得x＝2，则y＝2024，然后代入求值即可．
{3x−6≥0)
【解答】解：根据题意知： ．
6−3x≥0
所以x＝2．
所以y＝2024，
所以❑√2024xy=❑√2024×2×2024=2024❑√2．
故选：B．
7．（3分）已知实数m，n在数轴上的位置如图所示，则❑√m2+6m+9−❑√(n−2) 2化简后为（ ）
A．m﹣n+5 B．m+n+5 C．m+n+1 D．m﹣n+1
【分析】根据完全平方公式和二次根式性质，推出❑√m2+6m+9−❑√(n−2) 2=|m+3|﹣|n﹣2|，再结合数轴去
掉式子绝对值，即可解题．
【解答】解：由图知，m+3＞0，n﹣2＜0，
∴❑√m2+6m+9−❑√(n−2) 2
=❑√(m+3) 2−❑√(n−2) 2
＝|m+3|﹣|n﹣2|
＝m+3+n﹣2
＝m+n+1，
故选：C．
√ b2
8．（3分）化简❑− 的结果为（ ）
a
|b| b b |b|
A．− ❑√−a B．− ❑√a C．− ❑√−a D． ❑√−a
a a |a| a
【分析】先根据二次根式有意义的条件，判断a是负数，然后利用二次根式的除法法则写成两个二次根式
的商的形式，最后利用二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：∵b2≥0，
∴a＜0，
√ b2
❑−
a
√ b2
=❑
−a
√−ab2
=❑
(−a) 2
❑√−ab2
=
❑√(−a) 2
|b|❑√−a
=
−a
|b|
=− ❑√−a，
a
故选：A．
√ y √ x
9．（3分）已知x+y＝﹣9，xy＝9，则x❑ + y❑ 值是（ ）
x y
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
【分析】先根据x+y＝﹣9，xy＝9可得x＜0，y＜0，再根据二次根式的性质可得❑√x2=−x，❑√y2=−y，再
利用二次根式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵x+y＝﹣9，xy＝9，
∴x＜0，y＜0，
∴❑√x2=−x，❑√y2=−y，
√ y √ x
∴原式=−❑√x2 ⋅❑ −❑√y2 ⋅❑
x y
=−❑√xy−❑√xy
=−2❑√xy
=−2❑√9
＝﹣6，
故选：B．
10．（3分）把四张形状、大小完全相同的宽为1cm的小长方形卡片不重叠地放在一个底面长为❑√21cm，宽为
4cm的长方形盒子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两块阴影部分的周长
之和为（ ）A．4❑√21cm B．16cm
C．2(❑√21−4)cm D．4(❑√21−4)cm
【分析】根据题意，先求出小长方形的长，再分别求出两块阴影部分的周长即可解决问题．
【解答】解：由题知，
小长方形的长为（❑√21−2）cm．
因为左下方阴影长方形的宽为：4﹣2＝2（cm），
所以左下方阴影长方形的周长为：2×（❑√21−2+2）=2❑√21（cm）．
因为右上方阴影长方形的长为2cm，宽为：4﹣（❑√21−2）=6−❑√21（cm），
所以右上方阴影长方形的周长为：2×（2+6−❑√21）=16−2❑√21（cm），
所以图中两块阴影部分的周长之和为：2❑√21+16−2❑√21=16（cm）．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知最简二次根式m+ √13n−m与❑√n+3m是同类二次根式，那么m+n＝ 3 ．
【分析】根据最简二次根式m+ √13n−m与❑√n+3m是同类二次根式，可得m+1＝2，3n﹣m＝n+3m，求出m
和n的值，进一步计算即可．
【解答】解：∵最简二次根式m+ √13n−m与❑√n+3m是同类二次根式，
∴m+1＝2，3n﹣m＝n+3m，
解得m＝1，n＝2，
∴m+n＝1+2＝3，
故答案为：3．
12．（3分）如果❑√(x−2)(x2−4)=(2−x)❑√x+2，那么x的取值范围 ﹣ 2≤ x ≤ 2 ．
{2−x≥0)
【分析】根据二次根式的性质及二次根式有意义的条件得出 ，求出不等式组的解集即可．
x+2≥0
{2−x≥0)
【解答】解：根据题意得， ，
x+2≥0
解得﹣2≤x≤2，
故答案为：﹣2≤x≤2．1 1
13．（3分）已知a = ，b = ，则a2﹣b2的值是 ﹣ 4❑√6 ．
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
【分析】先将a，b的值分母有理化，再代入a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）计算可得．
1 ❑√3−❑√2
【解答】解：∵a = = =❑√3−❑√2，
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
1 ❑√3+❑√2
b= = =❑√3+❑√2，
❑√3−❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝（❑√3−❑√2+❑√3+❑√2）（❑√3−❑√2−❑√3−❑√2）
＝2❑√3×（﹣2❑√2）
＝﹣4❑√6，
故答案为：﹣4❑√6．
14．（3分）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦
a+b+c
﹣秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p= ，那么这个三角形的面积为
2
S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)．若a＝5，b＝8，c＝7，其面积S的整数部分为m，则m的值为 1 7 ．
【分析】先求出p的值，再求S的值，最后根据无理数的估算方法计算即可．
a+b+c
【解答】解：∵p= ，a＝5，b＝8，c＝7，
2
5+8+7
∴p= =10，
2
∴S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)=❑√10×(10−5)×(10−8)×(10−7)=10❑√3，
∵❑√2.89＜❑√3＜❑√3.24，
∴1.7＜❑√3＜1.8，
∴17＜10❑√3＜18，
∴10❑√3的整数部分是17，
∵S的整数部分为m，
∴m的值为17，
故答案为：17．
15．（3分）定义：因为(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=(❑√a) 2 −(❑√b) 2=a−b，可以有效的去掉根号，我们称
(❑√a+❑√b)与(❑√a−❑√b)为一对“对偶式”．若❑√18−x−❑√11−x=1，则❑√18−x+❑√11−x= 7 ．
【分析】在等式❑√18−x−❑√11−x=1的两边乘（❑√18−x+❑√11−x）可得结论．
【解答】解：∵❑√18−x−❑√11−x=1，∴（❑√18−x−❑√11−x）（❑√18−x+❑√11−x）=❑√18−x+❑√11−x，
∴❑√18−x+❑√11−x=18﹣x﹣（11﹣x）＝7．
故答案为：7．
16．（3分）若x满足（x+2024）（2025+x）＝4，则代数式❑√(x+2024) 2+(2025+x) 2的值为 3 ．
【分析】设x+2024＝a，2025+x＝b，则a﹣b＝﹣1，ab＝4，然后求出a2+b2的值，再根据算术平方根的定
义即可得出结果．
【解答】解：设x+2024＝a，2025+x＝b，
则a﹣b＝﹣1，
∵（x+2024）（2025+x）＝4，
∴ab＝4，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝（﹣1）2+2×4＝9，
∴❑√(x+2024) 2+(2025+x) 2=❑√a2+b2=❑√9=3，
故答案为：3．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
√1
（1）❑√8−❑√12+6❑ ；
3
√1
（2）❑√48÷❑√3−❑ ×❑√12+❑√24．
2
【分析】（1）根据二次根式加减的运算法则计算即可；
（2）根据二次根式四则混合运算法则计算即可．
√36
【解答】解：（1）原式=2❑√2−2❑√3+❑
3
=2❑√2−2❑√3+2❑√3
=2❑√2；
❑√2
（2）原式=4❑√3÷❑√3− ×2❑√3+2❑√6
2
=4−❑√6+2❑√6
=4+❑√6．
18．（8分）计算：
❑√3
（1）❑√27÷ ×2❑√2−6❑√2
2❑√2×❑√6
（2） +(❑√3−1) 2−(❑√2+1)(❑√2−1)
❑√3
【分析】（1）先将各个二次根式化简，然后从左向右依次计算即可；
（2）先将各个二次根式化简，再根据完全平方公式和平方差公式计算括号里的，最后合并即可．
2
【解答】解：（1）原式=3❑√3× ×2❑√2−6❑√2
❑√3
=12❑√2−6❑√2
=6❑√2；
❑√12
（2）原式= +(❑√3−1) 2 −[(❑√2) 2 −1]
❑√3
=2+3−2❑√3+1−2+1
=5−2❑√3．
1 1
19．（8分）已知a = ，b = ，求a2+b2和a2+3ab+b2的值．
3+2❑√2 3−2❑√2
【分析】先把a，b的值分母有理化，再代入代数式进行计算即可．
1 1
【解答】解：∵a= =3−2❑√2，b= =3+2❑√2
3+2❑√2 3−2❑√2
∴a+b＝6，ab＝1，
∴a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝62﹣2×1
＝34，
a2+3ab+b2
＝（a+b）2+ab
＝62+1
＝37．
20．（8分）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题．
化简：(❑√1−3x) 2−|1−x|．
1
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得x≤ ．
3
所以1﹣x＞0．
所以原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：❑√(x−3) 2−(❑√2−x) 2；【类比迁移】（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简❑√a2+❑√(a+b) 2−|b−a|；
【拓展提升】（3）若❑√(x−5) 2+❑√(x−8) 2=3，求x的取值范围．
【分析】（1）先根据题意得到x≤2，据此化简二次根式即可；
（2）先根据数轴得到a＜0，a+b＜0，b﹣a＞0，据此化简二次根式和绝对值即可；
（3）先将❑√(x−5) 2+❑√(x−8) 2=3化简为|x﹣5|+|x﹣8|＝3，然后分类讨论：当x＜5时，当x＞8时，当
5≤x≤8时，根据绝对值的意义分别化简，得出结论即可．
【解答】解：（1）∵二次根式有意义，
∴2﹣x≥0，即x≤2，
∴原式＝3﹣x﹣（2﹣x）
＝3﹣x﹣2+x
＝1；
（2）由题意得，a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，b﹣a＞0，
∴原式＝﹣a﹣（a+b）﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a
＝﹣a﹣2b；
（3）∵❑√(x−5) 2+❑√(x−8) 2=3，
∴|x﹣5|+|x﹣8|＝3，
当x＜5时，|x﹣5|+|x﹣8|＝5﹣x+8﹣x＝13﹣2x＞3；
当x＞8时，|x﹣5|+|x﹣8|＝x﹣5+x﹣8＝2x﹣13＞3；
当5≤x≤8时，|x﹣5|+|x﹣8|＝x﹣5+8﹣x＝3；
∴x的取值范围是5≤x≤8．
21．（8分）阅读下面的求解过程，然后回答问题．有这样一道题目：将❑√m+2❑√n化简，若能找到两个数a
和b，使a2+b2＝m且ab=❑√n，则m+2❑√n可化为a2+b2+2ab，即（a+b）2，从而使得❑√m+2❑√n=❑√(a+b) 2
能化简：
例如：因为7+2❑√6=6+1+2❑√6=(❑√6) 2+12+2❑√6=(❑√6+1) 2，
所以❑√7+2❑√6=❑√ (❑√6+1) 2=❑√6+1．
请你仿照上例，完成下列问题：
（1）已知❑√a+2❑√b=1+❑√2，则a＝ 3 ，b＝ 2 ；
（2）计算下列式子：①❑√5+2❑√6；
②❑√6−2❑√5．
【分析】（1）由题意知，a+2❑√b=(1+❑√2) 2，计算求解，然后作答即可；
（2）利用完全平方公式，计算求解即可．
【解答】解：（1）∵❑√a+2❑√b=1+❑√2，
∴a+2❑√b=(1+❑√2) 2=1+2❑√2+2=3+2❑√2，
∴a＝3，b＝2，
故答案为：3，2．
（2）①由题意得，❑√5+2❑√6=❑√2+2❑√6+3=❑√ (❑√2+❑√3) 2=❑√2+❑√3；
∴❑√5+2❑√6=❑√2+❑√3；
②由题意得，❑√6−2❑√5=❑√5−2❑√5+1=❑√ (❑√5−1) 2=❑√5−1，
∴❑√6−2❑√5=❑√5−1．
1
22．（10分）小明同学在解决问题“已知a= ，求2a2﹣8a+1的值”时，他是这样解答的：
2+❑√3
1 2−❑√3
∵a= = =2−❑√3，∴❑√3=2−a，∴(❑√3) 2=(2−a) 2，∴a2＝4a﹣1．
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴2a2﹣8a+1＝2（4a﹣1）﹣8a+1＝8a﹣2﹣8a+1＝﹣1．
请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题：
1 1 1 1
（1）化简： + + +⋯+ ；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024
1
（2）已知x= ，求2x3﹣8x2+3x+7的值．
❑√2−1
【分析】（1）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（2）先分母有理化得到x=❑√2+1，再变形为x﹣1=❑√2，则两边平方可得x2＝2x+1，接着用x表示出x3＝
5x+2，则利用降次的方法得到原式＝﹣3x+3，然后把x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+...+❑√2025−❑√2024
=❑√2025−1
＝45﹣1
＝44；
1
（2）∵x = =❑√2+ 1，
❑√2−1
∴x﹣1=❑√2，∴（x﹣1）2＝2，
即x2﹣2x+1＝2，
∴x2＝2x+1，
∴x3＝x（2x+1）＝2x2+x＝2（2x+1）+x＝5x+2，
∴原式＝2（5x+2）﹣8（2x+1）+3x+7＝﹣3x+3＝﹣3（❑√2+1）+3＝﹣3❑√2．
23．（10分）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16cm2的大正方形纸片．
（1）小方形纸片的边长为 2❑√2 cm；
（2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求a+2b−4❑√2的
值；
（3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为2：1，
且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
【分析】（1）判断出小正方形面积为8可得结论；
（2）判断出a＝1，b＝2❑√2−2，代入也是求解即可；
（3）设长方形纸片的长和宽分别是4x cm，3x cm，得到3x•4x＝24，求出x的值，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵小正方形的面积为16÷2＝8（cm2），
∴小正方形的边长为2❑√2cm．
故答案为：2❑√2；
（2）由题意a＝2，b＝2❑√2−2，
∴a+2b﹣4❑√2=2+2（2❑√2−2）﹣4❑√2=2+4❑√2−4﹣4❑√2=−2；
（3）不能，理由如下：
∵长方形长宽之比为2：1，
∴设长方形的长和宽分别为2x cm，x cm，
∴2x•x＝12，
∴x2＝6，
∵x＞0，
∴x=❑√6，
∴2x＝2❑√6，
∵2＜❑√6＜3，∴2❑√6=❑√24＞4．
∴沿此大正方形纸片边的方向不能裁剪出符合要求的长方形．
24．（12分）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如
我们熟悉的下面这个题：已知a+b＝2，ab＝﹣3，求a2+b2我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x＝
a+b，y＝ab，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝x2﹣2y＝4+6＝10这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结
果．
❑√7+❑√6 ❑√7−❑√6
（1）计算： + = 2 6 ．
❑√7−❑√6 ❑√7+❑√6
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
（2）m是正整数，a= ，b= ，且3a2+1711ab+3b2＝2005，求m．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
（3）已知❑√21+x2−❑√17−x2=4，求❑√21+x2+❑√17−x2的值．
【分析】（1）把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可；
（2）先把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式求出a+b，ab，从而求出a2+b2，然
后根据3a2+1711ab+3b2＝2005列出关于m的方程，解方程即可；
（3）设❑√21+x2=a，❑√17−x2=b，根据已知条件求出a﹣b，再求出ab，然后利用完全平方公式求出
a2+b2，最后根据完全平方公式求出a+b即可．
(❑√7+❑√6) 2 (❑√7−❑√6) 2
【解答】解：（1）原式= +
(❑√7+❑√6)(❑√7−❑√6) (❑√7+❑√6)(❑√7−❑√6)
7+6+2❑√42 7+6−2❑√42
= +
7−6 7−6
=13+2❑√42+13−2❑√42
＝26；
❑√m+1−❑√m
（2）a=
❑√m+1+❑√m
(❑√m+1−❑√m) 2
=
(❑√m+1+❑√m)(❑√m+1−❑√m)
m+1+m−2❑√m+1⋅❑√m
=
m+1−m
=2m+1−2❑√m+1⋅❑√m，
❑√m+1+❑√m
b=
❑√m+1−❑√m(❑√m+1+❑√m) 2
=
(❑√m+1+❑√m)(❑√m+1−❑√m)
m+1+m+2❑√m+1⋅❑√m
=
m+1−m
=2m+1+2❑√m+1⋅❑√m，
∴a+b=2m+1−2❑√m+1⋅❑√m+2m+1+2❑√m+1⋅❑√m=4m+2，
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
ab= ⋅ =1，
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
∴a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝（4m+2）2﹣2×1
＝16m2+16m+4﹣2
＝16m2+16m+2，
∵3a2+1711ab+3b2＝2005，
∴3a2+3b2+1711ab＝2005，
3（a2+b2）+1711ab＝2005，
3[（4m+2）2﹣2]+1711×1＝2005，
3（4m+2）2﹣6+1711＝2005，
3（4m+2）2＝300，
（4m+2）2＝100，
4m+2＝±10，
解得：m＝2或﹣3；
（3）设❑√21+x2=a，❑√17−x2=b，
∵❑√21+x2−❑√17−x2=4，
∴a﹣b＝4，
∵(❑√21+x2−❑√17−x2
)
2=42，
21+x2+17−x2−2❑√21−x2 ⋅❑√17−x2=16，
−2❑√21−x2 ⋅❑√17−x2=−22，
❑√21−x2 ⋅❑√17−x2=11，
∴ab＝11，
∴a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×11
＝16+22
＝38，
∴（a+b）2
＝a2+b2+2ab
＝38+2×11
＝38+22
＝60，
∴a+b=±❑√60，
∵❑√21+x2≥0，❑√17−x2≥0，
∴．
