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第十六章 二次根式 重难点检测卷
（满分120分，考试时间120分钟，共26题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：二次根式全部内容；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）下列八个实数： ， ， ， ， ，3.14159265，
，0.101001000100001…，其中无理数的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】本题主要考查了无理数的定义，二次根式的化简．分别根据无理数、有理数的定义即可判断．注
意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如π， ， （每两个8之间
依次多1个0）等形式的数是无理数．
【详解】解： ， ， ， ，
， ， ，3.14159265， ，这些都属于有理数；
无理数有 ， ，0.101001000100001…，共有3个，
故选：A．
2．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；根据此
定义进行判断即可．
【详解】解： 中被开方数含有弄得尽方的因数9， 中被开方数含有开得尽方的因式 ，
它们不是最简二次根式； 中被开方数含有分母，故不是最简二次根式；而 满足最简二次根式的
条件；
故选：C．
3．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列计算正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是
解决问题的关键．根据二次根式的减法运算对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判
断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断．
【详解】解：A． ，所以A选项不符合题意；
B． ，所以B选项符合题意；
C． ，所以C选项不符合题意；
D． ，所以D选项不符合题意．
故选：B．
4．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方式是非负数，是解题的关键．根据
二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．
【详解】解：由题意得， ，
解得： ，
故选：A．
5．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的化简，根据 ，得到 ，再利用 化简即
可．
【详解】解： ，
，
，
故选：D．
6．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空
抛物下落的时间 （单位： ）和高度 （单位： ）近似满足公式 （不考虑风速的影响）．记从
高空抛物到落地所需时间为 ，从 高空抛物到落地所需时间为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的应用，根据题意求出 、 ，再计算 与 的比值即可得解，正确进行计算是解此题的关键．
【详解】解：由题意得： ， ，
∴ ，
故选：A．
7．（24-25九年级上·福建泉州·期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合
运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．
规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）
A．小明和小丽 B．小丽和小红
C．小红和小亮 D．小丽和小亮
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算和性质是解答的关键．根据二次根
式的除法法则可和性质逐个判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴小明没有出现错误；
∵ ，
∴小丽出现错误；
∵ ，
∴小红出现错误；
∵ ，
∴小亮没有出现错误，故自己负责的式子出现错误的是小丽和小红，
故选：B．
8．（24-25九年级上·四川乐山·期中） ， ，则 值是（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】先根据有理数的乘法法则和加减法则可得 ， ，再根据二次根式的性质可得 ，
，再利用二次根式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
，
故选：B．
【点睛】本题考查有理数的乘法法则和加减法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则，根据题意和二
次根式的性质得出 ， 是解题的关键．
9．（24-25八年级上·全国·期中）已知实数 满足 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得到 ，则
，进而得到 ，即可求得 ．
【详解】解：∵ 要有意义，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
10．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知 ， ，
，…， ，其中n为正整数．设 ，
则 值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．
根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案．
【详解】解：由题意，可得
，，
，
……
，
∴
．
故选：A．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（24-25七年级上·山东威海·期中）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，则被开方数为非负数，据此即可解答．
【详解】解：要使 在实数范围内有意义，则 ，即 ．
故答案为： ．
12．（23-24八年级上·上海·期末）化简： ．
【答案】 /【分析】本题考查的是二次根式的化简．根据题意知 ，然后根据平方根的性质化简．
【详解】解：由 知， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
13．（23-24九年级上·四川资阳·期末）若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查同类二次根式、最简二次根式，根据同类二次根式的定义（ 一般地，把几个二次根式
化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．）进行解题即
可．
【详解】解：∵ 与最简二次根式 是同类二次根式，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
14．（24-25八年级上·四川达州·期中）已知 ， ，若x的整数部分是m ，y的小数部
分是n，则 的值为 ．
【答案】 /
【分析】此题考查二次根式的化简求值，无理数的估算，掌握化简的方法和计算的方法是解决问题的关键．
化简 得 ，整数部分是 ；化简 得 ，小数部分是 ，由此进一
步代入求得答案即可．
【详解】解： ， ，∵ ，
∴ ， ，
∴x的整数部分是 ，y的小数部分是 ，
∴
．
故答案为： ．
15．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）定义运算“ ”为 ，其中a，b均为非负实
数，则 的算术平方根为 ．
【答案】5
【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，求一个数的算术平方根，根据新运算的法则，列出算式，
利用平方差公式进行计算，再根据算术平方根的定义，进行计算即可．
【详解】解： ，
∴ 的算术平方根为 ；
故答案为：5．
16．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）已知 ，则代数式 的值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，二次根式的加法运算等知识．熟练掌握代数式求值，完
全平方公式，二次根式的加法运算是解题的关键．
根据 ，代值求解即可．【详解】解： ，
故答案为：4．
17．（24-25九年级上·福建泉州·期中）阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务：斐波那契（约
1170～1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序
排列着的一列数称为数列），后来人们研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很
多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的
性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用 表示
（其中 ），这是用无理数表示有理数的一个范例，请计算斐波那契数列中的第2个数的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，将 代入
中结合平方差公式进行运算，即可解题．
【详解】解：第2个数，当 时，
，
故答案为：1．
18．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若 是整数，则根据可知m有最小值 ．设n为正整数，若 是大于1的整数，则
n的最小值为 ，最大值为 ， 的小数部分为 ．
【答案】 3 75
【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将 化简为 ，可得 最小为
3，由 是大于1的整数可得 越小， 越小，则 越大，当 时，即可求解． 先进
行分母的有理化计算，即化去分母中的根号，得到 ，然后通过估算减去整数部分即可；解题的关键
是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．
【详解】解： ，且为整数，
最小为3，
是大于1的整数，
越小， 越小，则 越大，
当 时，
，
，故 的小数部分为
故答案为：3；75；
三、解答题（8小题，共66分）
19．（24-25八年级上·河南郑州·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的乘除运算法则计算，再化简二次根式，后计算加减即可；
（2）先利用乘法公式计算，再计算加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）先化简，再求值： ，其中 ．【答案】 ，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，分母有理化等知识点，熟练掌握分式的化简求
值是解题的关键．
先通分计算括号内的部分，然后将除法运算转化为乘法运算，约分化简得出结果后，再代入 的值求值即
可．
【详解】解：原式
，
当 时，原式 ．
21．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）直角三角形的两条直角边长分别为 ，求这个直角三角
形的面积．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，理解三角形面积的计算，掌握二次根式的乘法运算法则是解
题的关键．
根据三角形面积的计算方法，运用二次根式的乘法运算法则计算即可求解．
【详解】解：直角三角形的两条直角边长分别为 ，
∴该直角三角形的面积 ．
22．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知： ， ．求值：
(1) ， ；
(2) ．
【答案】(1)(2)38
【分析】本题考查的是二次根式的加法，二次根式的乘法运算及完全平方公式的应用．
（1）把 ， 代入 ， ，再进行计算即可；
（2）根据 整体代入计算即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ；
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴
．
23．（24-25八年级上·云南昆明·期末）我们知道， 是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小
数部分．即 的整数部分是1，小数部分是 ，请回答以下问题：
(1)若a是 的整数部分，b是 的小数部分．则 _____， ______．
(2)若 ，其中x是整数，且 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】此题考查了平方根，算术平方根以，估算无理数的大小，分母有理化．（ ）根据算术平方根的定义估算无理数 即可解答；
（ ）估算 的值，确定 ， 的值，再代入计算，分母有理化即可．
【详解】（1）解：∵ ，即 ，
∴ 的整数部分为： ，即
∴ 的小数部分为： ，即 ；
（2）解：∵ ，其中 是整数，且 ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
24．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数，
它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方．
推理证明：
解：设 、 是连续的正整数，
， ，
对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方．
(1)【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．请你推理证明；
(2)【深入思考】若 （ ， 为两个连续奇数， ， ），求证： 一定
是偶数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）设 、 是连续的正整数，根据题意列式计算即可证明；（2）由m， n为两个连续奇数， ，可得 ， ，然后代入计算即可．
【详解】（1）解：设 、 是连续的正整数，
，
；
（2）∵m， n为两个连续奇数， ，
∴ ，
，
∴
∴
，
∴p一定是偶数．
25．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理
化因式．
例如： ，我们称 的一个有理化因式是 的一个有理
化因式是 ．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中
不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如： ； ．
解答下列问题：
(1)根据以上概念直接在横线上写出 的一个有理化因式 ；(2)若 ，求 的值；
(3)请在以下问题①和②任选一个题作答：
①设实数 ， 满足 ，求 的值．
②化简： ．
【答案】(1)
(2)
(3)选①， ；选②，
【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的
方法，可以找出相应的有理化因式．
（1）根据题目中的材料，可以求出 的有理化因式；
（2）先求出 ， ，得到 ，再代入 求解即可；
（3）选①，将原子化成 和 ，两式相加，进
一步计算即可求解；
选②，先将分子分母分别用结合律重新整理后，再有理化，接受运用乘法计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 的有理化因式为 ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴
；
（3）解：选①，
∵ ，
∴ ，
同理 ，
两式得 ，
∴ ；
选②，∵
．26．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题．
【阅读材料1】如果两个正数a，b，则 即 ，当且仅当 时
取等号，此时 有最小值为
【实例展示1】已知 ，求式子 最小值．
解： 当且仅当 即 时，式子有最小值为6．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大
的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大
于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分
式”．
【实例展示2】如： 这样的分式就是假分式；如： 这样的分式就是真分式，假分数
可以化成 带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知 ，则当 ______时，式子 取到最小值，最小值为______；
(2)分式 是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式 可化为带分式形式为______；如果分式
的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个；
(3)用篱笆围一个面积为 的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，
最短的篱笆是多少？
(4)已知 ，当x取何值时，分式 取到最大值，最大值为多少？
【答案】(1)4，8(2)真分式， ，4
(3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米；
(4)当 时，分式 取到最大值，最大值为
【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可；
（2）根据新定义判断分式 是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值；
（3）设这个矩形的长为x米，则宽 面积 长，即宽 米，则所用的篱笆总长为2倍的长 倍的宽，
本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：
求解；
（4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；．
【详解】（1）解：令 ，则有 ，
得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为8；
故答案为：4，8；
（2）解：根据新定义分式 是真分式，
，
x为整数， 的值为整数，
∴ 为整数，
或 或 或 ，
解得： 或 或 或 ，
则满足条件的整数x的值有4个，
故答案为：真分式， ，4；
（3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为 米，所用的篱笆总长为y米，根据题意得：
由上述性质知：∵ ，
∴ ，
此时， ，
∴ ，
答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米；
（4）解：
，
，
，
当且当 时，即 时，式子 有最小值为4，
当 时，分式 取到最大值，最大值为 ．
【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等
式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计
算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．
