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第十六章 二次根式（压轴题专练）
目录
【考点一 化简含字母的二次根式】..................................................................................................................1
【考点二 利用二次根式的非负性求值】..........................................................................................................3
【考点三 新定义型二次根式的运算】..............................................................................................................5
【考点四 二次根式的分母有理化】..................................................................................................................9
【考点五 复合二次根式的化简】....................................................................................................................15
【考点六 二次根式中的规律探究问题】........................................................................................................19
【考点一 化简含字母的二次根式】
例题：（2023上·河南焦作·八年级统考期中）已知 ，则化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·全国·八年级专题练习）把 根号外的因数移到根号内，结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·四川乐山·九年级乐山市实验中学校考期中）若 ，则代数式 可化简为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·河南郑州·八年级校联考阶段练习）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）化简二次根式 ，得（ ）
A． B． C． D．【考点二 利用二次根式的非负性求值】
例题：已知 ，则 的值是（ ）
A．2022 B．1 C．－1 D．0
【变式训练】
1．已知x、y都是实数，且 ，则xy=______________．
2．已知实数 满足 ，则 的值为_______．
3．已知实数a，b，c满足(a﹣2)2+|2b+6|+ ＝0．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)求 的平方根．
【考点三 新定义型二次根式的运算】
例题：对任意的正数 ， ，定义运算“*”如下： 计算 的结果为
______．
【变式训练】
1．对于任意两个不相等的实数 、 ，定义运算“※”如下： ※ ，如3※ ，那么
6※ __．
2．已知a，b都是实数，现定义新运算： ，例： ．
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的值．3．用 定义一种新运算：对于任意实数 和 ，规定 ．
(1)求 的值．
(2) _____________．
4．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下：
，如 ．
(1)填空： ___________．
(2)若 ，求x的值．
【考点四 二次根式的分母有理化】
例题：像 、 、 …两个含有二次根式的
代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， 和 、 与 、
与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母
中的根号．请完成下列问题：
(1)计算：① ______，② ______；
(2)计算： ；
(3)已知有理数 、 满足 ，则 ______， ______．【变式训练】
1．（2023上·宁夏中卫·八年级校考阶段练习）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1： ，
例2： ， ，
利用以上结论解答以下问题：（不必证明）
(1) ； ；
(2)利用上面的结论，求下列式子的值．（有过程）
2．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末） ，两个含有二
次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如
， ，其中 与 与
都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以将分母有理化．请完成下
列问题：
(1)计算： ， ；
(2)已知有理数a、b满足 ，则 ， ；
(3)计算 ．3．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）先阅读材料，然后回答问题．
在进行二次根式化同时，我们有时会遇到形如 ， ， 的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
① ；② ；③ ．
以上这种化简的方法叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
④
(1)请用不同的方法化简 ．
(2)化简： ．
【考点五 复合二次根式的化简】
例题：先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．
例如：
．
解决问题：化简下列各式(1) ；
(2) ．
【变式训练】
1．（1）填空： ______； ______；
（2）例题：化简
解：因为
所以
仿照上例的方法，化简下列各式：
① ②
2．我们已知学过完全平方公式 ，知道所有的非负数都可以看作一个数的平方，如
等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求 的算术平方根．
解： = ，所以 的算术平方根是 ．你看明白了吗？
请根据上面的方法解答下列问题：
(1)填空： = ；
= ；(2)化简： + + + + ．
【考点六 二次根式中的规律探究问题】
例题：观察下列各式及其验证过程： ， ， ，…验证：
；
(1)请仿照上面的方法来验证 ；
(2)根据上面反映的规律，请将猜到的规律用含自然数 的代数式表示出来．并写出过程．
【变式训练】
1．观察下列各式及其验证过程：
，验证： ；
，验证： ；
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．2．观察下列各式及验证过程：
＝ ，验证 ＝ ＝ ＝ ；
＝ ，验证 ＝ ＝ ＝ ；
＝ ，验证 ＝ ＝ ＝ …
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想 的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，不需要证明．
3．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1： ，
特例2： ，
特例3： ，
特例4： ，
特例5： ____________（填写运算结果）；
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________；(3)证明你的猜想．
(4)应用运算规律：
①化简： ____________；
②若 （a，b均为正整数），则 的值为____________．
4．观察下列等式，解答后面的问题：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
(1)请直接写出第5个等式 ___________；
(2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；
(3)利用（2）的结论化简：．
