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第十九章 一次函数（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在球的体积公式 中，下列说法正确的是（ ）
A． 是变量， 是常量 B．V、r是变量， 是常量
C．V、r是变量， 是常量 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【分析】此题主要考查了常量和变量，根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量
称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．
【详解】解：在球的体积公式 中，V，r是变量，
，π是常量，
故选：C．
2．下列函数：① ；② ；③ ；④ ．其中一次函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】识别一次函数
【分析】本题主要考查一次函数的定义，理解和掌握一次函数的定义及表示形式是解题的关键．
一般地，形如 是常数，且 的函数，叫做一次函数，其中 是自变量，当 时，一次
函数 也叫正比例函数，仍是一次函数，由此即可求解．
【详解】解：根据一次函数的定义得，① 是正比例函数；② ，③ ，是一次函数，④ 不是一次函数，
故一次函数共有3个，
故选：C．
3．已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求一次函数解析式
【分析】本题主要考查了求一次函数不等式，先设函数解析式为 ，然后将 代入求出k
的值，即可得出函数解析式．
【详解】解：设函数解析式为 ，将 代入得：
，
解得： ，
∴这个函数的表达式为 ，
故选：D．
4．已知点 ， 都在一次函数 的图象上，则 的值为（ ）
A． B．4 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】求一次函数解析式
【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征．用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．
先用待定系数法求出次函数的解析式，再把 代入解析式即可求解．【详解】解：∵ 在一次函数 的图象上，
∴ ，
解得： ，
∴解析式为： ，
∵ 在一次函数 的图象上
∴ ，
故选：D．
5．若点 ， ， 在一次函数 （ 为常数，且 ）的图象上，则 ， 的大
小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小、求一次函数解析式
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，先利用待定系数法求出一次函数解
析式，再根据一次函数的性质解答即可求解，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
【详解】解：∵点 在一次函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数解析式为 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
∵ 、 在一次函数图象上，且 ，
∴ ，
故选： ．
6．如图是某市某天的气温变化图，根据图象判断，以下说法正确的是（ ）A．当日最低气温是
B．从早上 时开始气温逐渐升高，直到 时到达当日最高气温
C．当日气温为 的时间点有两个
D．当日气温在 以下的时长超过 个小时
【答案】D
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题主要考查函数图象，熟练掌握函数的图象是解题的关键．根据函数图像可直接进行求解．
【详解】解：观察图像上的气温曲线图，可以得出：
A. 当日最低气温低于 ，该选项错误；
B. 从早上 时开始气温逐渐下降，至 时以后才逐渐升高，直到 时到达当日最高气温 ，该选项错误；
C. 当日气温为 的时间点有四个，该选项错误；
D. 当日气温在 以下的时长超过 个小时，该选项正确；
故选：D．
7．如下图，在同一直角坐标系中，直线 和直线 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】判断一次函数的图象
【分析】本题考查一次函数与正比例函数的图像，分 和 两种情况，讨论两个函数图像的位置即
可得出答案．
【详解】解：当 时，直线 经过第一、三、四象限，直线 经过第一、三象限，
大致为：当 时，直线 经过第一、二、三象限，直线 经过第二、四象限，大致为：
综上，B选项符合题意．
故选：B
8．小鹿在研究一次函数 时，作出了如下表所示的x与y的部分对应值，则下列说法正确的
是（ ）
… 0 1 2 …
… 4 1 …
A．
B．直线 可由直线 向上平移1个单位长度得到
C．若 ，则
D．直线 过第一、二、四象限
【答案】D
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、比较一
次函数值的大小
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，根据表格信息先
求解一次函数的解析式，再逐一分析即可．
【详解】解：根据上表中的数据值，可得： ，
解得： ，
∴一次函数为： ，图象过一、二、四象限，故A错误，不符合题意；D正确，符合题意；
直线 可由直线 向上平移1个单位长度得到，故B错误，不符合同意；
∵ ，
∴ ， ，故C错误，不符合题意．
故选：D．
9．如图，一次函数 与 的图象交于点 ，下列结论正确的是（）
A．方程 的解是
B．不等式 和不等式 的解集相同
C．不等式组 的解集是
D．方程组 的解为
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的特殊解法、根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次
方程组的解
【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数图象的交点坐标与二元一次方
程组的关系，利用函数图象解不等式，数形结合是解题的关键．
根据图象可直接判断A，B，D，求出 与 轴的交点可判断C．【详解】A．由图象可得直线 与 的图象交于点 ，
∴方程 的解是 ，故A不符合题；
B．由图象可知，不等式 的解集是 ，不等
式 的解集是 ，故B不符合题意；
C．将 代入 得 ，
解得 ，
，
将 代入 得 ，
解得 ，
∴ 时，直线 在 轴下方且在直线 上方，
∴ 的解集是 ，故C符合题意；
D．方程组 的解为 ，故D不符合题．
故选：C．
10．如图1，四边形 是菱形，点 以 的速度从点 出发，沿着 的路线运动，同时点
以相同的速度从点 出发，沿着 的路线运动，设运动时间为 ， ， 两点之间的距离为
， 与 的函数关系的图象如图 所示，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【知识点】动点问题的函数图象、利用菱形的性质求线段长、垂线段最短、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了菱形的性质，函数图象，垂线段最短，勾股定理，连接 ， 交于点 ，由菱形
性质得 ， ， ，根据图 可知， ， ，由勾股定理
求出 ，当 时， 最小，即 最小，最后由等面积法即可求解，读懂图象信息，掌握知识
点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接 ， 交于点 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
根据图 可知， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 同时运动，
∴当 时， 最小，即 最小，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故选： ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．函数 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据
此求解即可．
【详解】解：函数 中，自变量x的取值范围是 ，即 ，
故答案为： ．
12．一次函数 的图象经过点 ，则 ．
【答案】
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解答
本题的关键．
根据一次函数图象上点的坐标特征，把 代入 ，即可求出 的值．
【详解】解：把 代入 得 ，
故答案为： ．
13．已知点 ， 都在直线 上，则 （用“ 、 、 ”填空）．
【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】本题主要考查了比较一次函数函数值的大小，正确判断出一次函数的增减性是解题的关键．先根
据一次函数解析式判断一次函数的增减性，据此即可解答．
【详解】解：∵直线 中， ，
∴对于 ，y随x增大而减小，
∵点 ， 都在直线 上，且 ，
∴ ．故答案为： ．
14．已知等腰三角形的周长为 ，设腰长为 ，底边为 ，试写出 与 的函数表达式 ．
【答案】
【知识点】函数解析式、等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，解题的关键：运用方程的思想列出关系式，再根
据三角形三边关系求得 的取值范围即可．
【详解】解：∵等腰三角形的周长为 ，设腰长为 ，底边为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 的函数表达式为 ．
故答案为： ．
15．若点 在直线 上，且 ， 都是正整数，则点 坐标是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由点 在直线 上，则 ，然后根
据题意求二元一次方程组的正整数解即可，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质．
【详解】解：∵点 在直线 上，
∴ ，
∵ ， 都是正整数，
∴ ， ，∴点 坐标是 ，
故答案为： ．
16．已知一次函数 ．若当 时，函数有最小值 ，则k的值为 ．
【答案】7或 / 或7
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，
再由x的取值范围得出 时， 或 时， ，分别代入函数解析式得出k的值即可．
【详解】解：当 时，函数y随x的增大而增大，
∴当 时， ，
∴ ，
解得： ；
当 时，函数y随x的增大而减小，
∴当 时， ，
∴ ，
解得： ；
∴k的值为7或 ．
故答案为：7或 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．已知 与 成正比例，当 时， ．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)若点 在这个函数的图象上，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数及点在图象上的意义；（1）由由待定系数法设 ，即可求解；
（2）将点 代入关系式，即可求解；
会用待定系数法求解，并把 看作整体是解题的关键．
【详解】（1）解： 与 成正比例，
设 ，
当 时， ，
，
解得： ，
，
故 与 之间的函数关系式为 ；
（2）解： 点 在这个函数的图象上，
，
解得： ，
故 的值为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于点 和点
，并与正比例函数 的图象相交．(1)求直线 的表达式．
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)48
【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】此题考查的是一次函数交点的坐标的特征，用待定系数法可对解析式进行求解．
（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）令 可得点A的坐标，再由 可得答案．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于点 和点 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的表达式为 ；
（2）解：令 ，
解得 ，此时 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
即 的面积为48．
19．某机动车出发前油箱内有 升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量Q
（升）与行驶时间t（时）之间的函数关系如图所示，回答下列问题：(1)机动车行驶 小时后，在途中加油站加油 升．
(2)求加油前油箱剩余油量Q与行驶时间t的函数关系式；
(3)如果加油站距目的地还有 千米，车速为 千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够？
【答案】(1)5，
(2)
(3)够
【知识点】函数解析式、从函数的图象获取信息、有理数减法的实际应用、有理数除法的应用
【分析】本题考查了函数图象的应用，函数关系式，有理数加、减、乘、除的应用等知识．从图象中获取
正确的信息是解题的关键．
（1）由图象可知，机动车行驶5小时后，在途中加油站加油 升，计算求解即可；
（2）由图可知，出发前油箱内余油量为 升，行驶 小时后余油量为 升，共用去 （升），
则每小时耗油量为 （升），进而可求函数关系式；
（3）由题意知，加油后可行驶 （小时），行驶路程为 （千米），由 ，判断作
答即可．
【详解】（1）解：由图象可知，机动车行驶5小时后，在途中加油站加油 （升），
故答案为：5， ．
（2）解：出发前油箱内余油量为 升，行驶 小时后余油量为 升，共用去 （升），
∴每小时耗油量为 （升），
∴ ；
（3）解：由题意知，加油后可行驶 （小时），行驶路程为 （千米），∵ ，
∴油箱中的油够．
20．定义：在平面直角坐标系中，将直线 中 和 的值都扩大到原来的 倍，得
到新的直线 ，则称直线 为直线 的“ 倍伴随线”，例如直线 的“2倍伴随线”的函数解析式
为 ．
(1)求直线 的“3倍伴随线”的函数表达式；
(2)若点 在直线 的“2倍伴随线”上，求 的值．
【答案】(1)
(2)1
【知识点】求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质．
（1）根据“ 倍伴随线”的定义即可得到答案；
（2）先根据“ 倍伴随线”的定义得到直线 的“2倍伴随线”，再把 代入求出x的值即可．
【详解】（1）解： ，
直线 的“3倍伴随线”的函数表达式为 ．
（2）直线 的“2倍伴随线”的函数表达式为 ．
在 中，令 ，
得 ，
解得
∴ 的值为1．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．已知M、N两地之间有一条公路．甲车从M地出发匀速开往N地．甲车出发两小时后，乙车从N地出
发，以每小时90千米的速度匀速开往M地，两车同时到达各自的目的地．两车之间的距离y（千米）与甲
车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示．(1)甲车的速度为______千米/小时，a的值为______；
(2)求乙车出发后，y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)甲车行驶______小时，两车相距120千米．
【答案】(1)60，6
(2)
(3) 或
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了一次函数的应用、从函数图象中获取信息等知识，读懂函数图象，熟练掌握一次函数
的性质是解题关键．
（1）根据函数图象可得甲车用2小时行驶了120千米，由此即可得甲车的速度；再根据函数图象可得
两地之间的距离为360千米，用总路程除以甲车的速度即可得 的值；
（2）先根据两车相遇时，它们所行驶的总路程为 两地之间的距离建立方程求出点 的坐标为 ；
再分 和 ，利用待定系数法求解即可得；
（3）结合函数图象可得当 时，两车之间的距离不可能为120千米，再根据（2）的结果，令
代入求解即可得．
【详解】（1）解：由函数图象可知，甲车的速度为 （千米/小时），
由函数图象可知， 两地之间的距离为360千米，
∴ （小时），
故答案为：60，6．
（2）解：当甲、乙两车相遇时， ，解得 ，
∴点 的坐标为 ，
当 时，设 ，
将点 ， 代入得： ，解得 ，
∴此时 ；
当 时，设 ，
将点 ， 代入得： ，解得 ，
∴此时 ；
综上，乙车出发后， 与 之间的函数关系式为 ．
（3）解：由函数图象可知，当 时，两车之间的距离不可能为120千米，
当 时，令 得： ，解得 ，
当 时，令 得： ，解得 ，
所以甲车行驶 小时或 小时，两车相距120千米．
22．已知一次函数 （a为常数， ）的图象过点 ．
(1)求一次函数的表达式．
(2)若点 ， 都在该函数的图象上．
①当 时，求 的取值范围．
②请判断 ， 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；② ，理由见解析
【知识点】求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式、比较一次函数值的大小【分析】本题考查一次函数的解析式，一次函数的性质．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①由（1）知一次函数的表达式，根据一次函数的性质确定出当 和 时的函数值，即可解
答；
②根据一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：根据题意，将点 代入一次函数 中，
则 ，
解得： ，
∴一次函数的表达式为 ；
（2）解：①由（1）知一次函数的表达式为 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
当 时，则 ，
当 时，则 ，
∴当 时， 的取值范围为 ；
② ，理由如下：
由①知一次函数 ， 随 的增大而减小，
∵ ，
∴ ．
23．在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能
源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共
计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元．
(1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价；
(2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知
中级型汽车的售价为26万元／辆，紧凑型汽车的售价为20万元／辆．根据销售经验，购中级型汽车的数
量不低于25辆，设购进 辆中级型汽车，100辆车全部售完获利 万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使 最大？ 最大为多少万元？
【答案】(1)中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为16万元；
(2)该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使W最大，W最大为350万元．
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识：
（1）设中级型汽车的进货单价为x万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为y万元，根据3辆中级型汽车、2
辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元．列出二元一次方
程组，解方程组即可；
（2）设购进中级型汽车a辆，则购进紧凑型汽 辆，根据购中级型汽车的数量不低于25辆，得
，再求出W关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）设中级型汽车的进货单价为x万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为y万元，
由题意得： ，
解得： ，
答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为16万元；
（2）设购进中级型汽车a辆，则购进紧凑型汽 辆，
由题意得： ，
，
∵ ，
∴W随a的增大而减小，
∴当 时，W取最大值，最大值 ，
此时， ，
答：该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使W最大，W最大为350万元．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．在平面直角坐标系 中，点 、 分别在 轴和 轴上，已知点 ，以AB为直角边在AB左侧
作等腰直角 ， ．(1)当点 在 轴正半轴上，且 时，
①求AB解析式；
②求 点坐标；
(2)当点 在 轴上运动时，连接 ，求 的最小值及此时 点坐标．
【答案】(1)① ；②
(2) ，
【知识点】一次函数与几何综合、坐标与图形变化——轴对称、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角
形
【分析】（1）①根据 ， ，推出 ，所以 ；设直线 的解析式为
，将点 的坐标代入即可求出 解析式；
②过点 作 轴的平行线，分别过点 、 作 轴的平行线，交于 、 ．则 ，所以
， ，即 ；
（2）由 可知 ，点 在直线 上运动，作点 关于直线 的对称点 ，所以
， 的最小值为 的长度，此时 ，即可求出 坐标．
【详解】（1）解：① ， ，
，
，
设直线 的解析式为 ，，
，
解析式： ；
②过点 作 轴的平行线，与分别过点 、 作 轴的平行线交于 、 ．
则 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
， ，
；
（2）解：由 可知 ， 在 轴负半轴同理可说明）
点 在直线 上运动，设直线 交 轴于点M，
作点 关于直线 的对称点 ，
， ，
．当 、C、 在同一直线上时， 的最小值为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
此时 ，
．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用轴对称求最短
线路．这里构造三角形全等找到点 的运动轨迹是关键．
25．如图， 直线 与坐标轴分别交于点A， B， 过点A、B作直线 ，以 为边在y轴
的右侧作四边形 ， ．
(1)求点A， B的坐标；
(2)如图，点D是x轴上一动点，点E在 的右侧， ；
①若点 D 是线段 的中点，求点 E 坐标；
②若点 D 是线段 上任一点，如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，说
明理由；
③若点 ， 另一动点H在直线 上且满足 ，请求出点H的
坐标．【答案】(1) ．
(2)① ；②点E在定直线 上；③ 或
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）、坐标与图形综合
【分析】本题主要考查了一次函数函数与几何的综合、一次函数的应用、全等三角形的判定与性质等知识
点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）分别将 代入 ，求得点B、A的坐标，则可用k表示出 的长度，再
根据 求得k即可求解；
（2）①由题意可得， ，如图：过点E作 轴，证明 可得
，进而得到 即可确定点E的坐标；
②如图：过点E作 轴，通过证明 得到 ，设E(x,y)，则 结
合①得到得到 即可求确定解析式；
③先说明四边形 为正方形，可得 ，再分当 在 下方和上方两种情况解答即可．
【详解】（1）解：分别将 代入 ，
得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得： ，
∴ ．
（2）解：①∵点 D 是线段 的中点，
∴ ，如图：过点E作 轴于点F，
由题意可得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②点E在定直线 上．
如图：过点E作 轴于点F，
由题意可得： ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）A、B两点的坐标知， ，
∴ ，
∴ ，
设E(x,y)，则 ，
由题意可得： ，
∴ ，即 ，
∴点E在定直线 上．
③∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ， ；
a．如图：当 在 下方时，且交 于M，则 ，点H为直线 与 的交点，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
设直线 为 ，将 、 代入，
得 ，解得 ，
∴直线 为 ，
联立 ，解得： ，
∴ ；
b．如图：当 在 上方时，作点M关于直线 的对称点N，
∴ ，此时 ，
∴点H为直线 与 的交点，
设直线 为 ，将 、 代入，
得 ，解得 ，
∴直线 为 ，
联立 ，解得： ，
∴ ．
综上，点H坐标为 或 ．
