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第17 章 勾股定理（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【要点一】勾股定理
1.勾股定理：
a、b c a2 b2 c2
直角三角形两直角边 的平方和等于斜边 的平方.（即： ）
2.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）求作长度为 的线段.
【要点二】勾股定理的逆定理
1.原命题与逆命题
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把
其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2.勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：
a、b、c a2 b2 c2
如果三角形的三边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
c
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为 ；
c2 a2 b2 a2 b2 c2
（2）验证 与 是否具有相等关系，若 ，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反
之，则不是直角三角形.
3.勾股数
x2 y2 z2
满足不定方程 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以
x、y、z
为三边长的三角形一定是直角三角形.
常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
a、b、c at、bt、ct
如果( )是勾股数，当t为正整数时，以 为三角形的三边长，此三角形必为直角三
角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
1.较小的直角边为连续奇数；
2.较长的直角边与对应斜边相差1.a、b、c abc a2 bc
3.假设三个数分别为 ，且 ，那么存在 成立.
【要点三】勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下
列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A． B． C． D．
2．消防云梯的长度是13米，在一次执行任务时，它只能停在离大楼5米远的地方（云梯底端离地面
高度忽略不计），则云梯可以达到建筑物的高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
3．公园有一块长方形草坪，芳芳同学发现有极少数人为了走捷径，践踏草坪走出了一条路 ，为了
倡导人们爱护花草，建议公园管理人员在 处立一个标牌：“小草青青，脚下留情” ．经过测量得知：
两处的距离为 两处的距离为 则践踏草坪少走的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．如图： 网格中每个正方形边长为1，表示 长的线段是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知点 ，点 在 轴负半轴上，若将 沿直线 折叠，使点 的对应点恰好落在 轴正半轴上的点 处，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．已知成比例的四条线段的长度分别为 ， ， ， ，且 的三边长分别为 ，
， ，则 是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．无法判定
7．如图，点 在 内部，点 与点 关于 对称，点 与点 关于 对称．甲、乙两位同学
各给出了自己的说法：甲：若 ，则 是等边三角形；乙：若 ，则
．对于两位同学的说法，下列判定正确的是（ ）
A．甲正确 B．乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误
8．如图，在 中， ， ， 于点 ，以 为直径的半圆的面积为 ，那
么 的长是（ ）A． B． C． D．
9．四个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，形成两个正方形，大正方形的面积为 ，空
白区域所示的小正方形面积为 ．将图1中的直角三角形分别沿着斜边往里翻折，形成如图2所示的
更小正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为 ，则代数式 的值为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．18
10．如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为 ，底面半圆直径 为 ，点A处有一只蚂蚁
沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（ 取3）（ ）
A． B．8 C． D．10
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若 ， ， 之间满足的等量关系是 ，则边长为 ， ， 的三角形是 ．12．小亮家有一个高3 m、宽2 m的大门框（如图），为了防止其变形，他在对角线（图中虚线）的
两端点间加固两根木条，则其中一根木条的长度为 m．
13．若Rt△ABC两直角边上的中线分别是AE和BD，则AE2+BD2与AB2的比值是 ．
14．如图， 为一段斜坡，已知斜坡的高 ，水平长度 ，现要在斜坡 上铺上
红地毯，则至少需要红地毯的长度（即 的长度）为 ．
15．如图，在原点为O的数轴上，作一个两直角边长分别是1和2，斜边为 的直角三角形，点A在
点O左边的数轴上，且 ，则点A表示的实数是 ．
16．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里
一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度 ，将踏板往
前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即 ．此时秋千踏板离地面的垂
直高度 ．那么，绳索的长度为 m．
17．如图，在小正方形边长为1的方格中，以线段AB、BC、CD为边的三角形的面积为 ．18．如图， ．
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，点 在点 的北偏西 方向，则点 在点 北偏东 度的方向
上．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知 ， ，
， ， ．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．
通过计算说明政府投入的费用是否够用．20．（8分）如图，点B在 上， ， ， ，求 的长为多
少？
21．（10分）如图，某校有一块三角形空地 ， ，为了更好的落实“双减”政策，
丰富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形 区域设计成
手工制作区，其余部分设计成健身区，经测量： 米， 米， 米， 米.
（1）求 的度数；
（2）求图中健身区（阴影部分）的面积.22．（10分）如图，在 中， ．延长 到点 ，使 ；
过点 作 的垂线并在垂线上截取 ，连结 和 ．求证：
（1） ．
（2）利用此图的面积表示式证明 ．
23．（10分）如图，将等边 放在含有30°角的直角三角板 上（ ， ），
使 落在线段 上， 与 分别交边 于点H、G，其中 ．
（1）证明： ；
（2）求 的长．24．（12分）已知等边 ，点 、点 位于直线 异侧， ．
（1）如图1，当点 在 的延长线上时，①根据题意补全图形；②下列用等式表示线段 ， ，
之间的数量关系：I． ；II． ，其中正确的是________（填“I”或
“II”）；
（2）如图2，当点 不在 的延长线上时，连接 ，判断（1）②中线段 ， ， 之间的正
确的数量关系是否仍然成立．若成立，请加以证明；若不成立，说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解．
解：A、 ，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、 ，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、 ，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
D、 ，是“勾股数”，故本选项符合题意；
故选：D【点拨】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若 满足 的三个正整数，
称为勾股数．
2．A
【分析】根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可．
解：如图，
∵梯子的底端离建筑物5米，梯子长为13米，
∴ （米）．
答：云梯可以达到建筑物的高度是12米．
故选：A．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解
决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合
的思想的应用．
3．D
【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由勾股定理得， ，根据 ，计算求解即可．
解：由题意知， ，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴则践踏草坪少走的距离为 ，
故选：D．
4．B
【分析】利用勾股定理求出每条线段的长，再进行判断即可．解：由勾股定理得，
，
，
，
表示 应为线段 ．
故选：B．
【点拨】本题考查在网格中表示无理数的长，掌握勾股定理求线段的长是解题关键．
5．B
【分析】根据勾股定理求得 ，设 ， ，根据折叠的性质得出 ，
，在 中，勾股定理即可求解．
解：∵点 ，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿直线 折叠，使点 的对应点恰好落在 轴正半轴上的点 处，
∴
∴ ，
设 ， ，
∴
在 中， ，
∴
解得： ，
∴ 的坐标为
故选B.
【点拨】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．C
【分析】本题考查了成比例线段和勾股定理的逆定理，掌握成比例线段定理是解答此题的关键．根据
题意求出 的值；然后再根据勾股定理的逆定理，确定三角形的形状即可．
解： 四条线段成比例，
解得： ；
的三边长分别为 ， ， ， ，
是直角三角形，
故选：C．
7．C
【分析】连接 ，根据对称的性质以及垂直平分线的判定和性质可得 ， ，
， ，推得 ， ，根据等腰三角形的性质和三
角形内角和定理可求得 ；若 ，求得 ，根据等边三角形的判定
即可证明甲同学的说法正确；若 ，根据勾股定理的逆定理可推得 ，即可证明乙同
学的说法正确．
解：连接 ，如图：
∵点 与点 关于 对称，点 与点 关于 对称，
即 是 的垂直平分线， 是 的垂直平分线，
∴ ， ， ， ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在等腰三角形 中， ，
在等腰三角形 中， ，
则 ；
若 ，则 ，
又∵ ，
∴ 为等边三角形，故甲同学的说法正确；
若 ，
∵ ，
即 ，
则 ， ， 满足 ，
∴ 为直角三角形，
∴ ，
则 ，故乙同学的说法正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了对称的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，
等边三角形的判定，勾股定理的逆定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
8．A【分析】根据以 为直径的半圆的面积为 ，可求得 ，再由勾股定理的逆定理确定
为直角三角形，然后借助 的面积求解即可．
解：根据题意，以 为直径的半圆的面积为 ，
则有 ，解得 ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∵ ，
∴ ，
即 ，解得 ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理、半圆的面积等知识，利用勾股定理的逆定理证明
为直角三角形是解题关键．
9．B
【分析】本题考查勾股定理以及完全平方公式，注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系是
解决本题的关键．根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：图1中：大正方形的面
积为 ，小正方形的面积为 ，则四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小
正方形的面积为 ．在图2中，最中间的正方形面积为 ，也可以用图1中的小正方形面积减
去四个直角三角形的面积，即 ，即可求解．
解：根据题意，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．10．D
【分析】此题考查平面展开-最短路径问题．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将半圆柱的侧面展开，进而
根据“两点之间线段最短”通过勾股定理得出结果．
解：将圆柱的侧面展开为矩形，
其中 为半圆的弧长 ， 为半径的长 ， ，
根据勾股定理可得 ，
故爬行的最短路程为 ．
故选：D
11．直角三角形
【分析】根据勾股定理逆定理判断即可．
解：因为 ，
所以边长为6，8，10的三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，理解勾股定理逆定理是解题的关键．
12．
【解析】略
13．5：4
【分析】由勾股定理可得AE2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2②，AC2+BC2=AB2，再将等式变形为：
AE2+BD2=AB2+CD2+CE2，结合三角形中线的性质可得CD2+CE2= AB2，进而可求解．
解：如图，∠C=90°，由勾股定理可得：AE2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2②，AC2+BC2=AB2，
①+②得AE2+BD2=AC2+CE2+BC2+CD2=AB2+CD2+CE2，
∵AE，BD是△ABC的中线，
∴CD= AC，CE= BC，
∴CD2+CE2=（ AC）2+（ BC）2= AB2，
∴AE2+BD2=AB2+ AB2= AB2，
即AE2+BD2与AB2的比值是5：4．
故答案为：5：4．
【点拨】本题主要考查勾股定理，三角形的中线，灵活运用勾股定理解题是求解的关键．
14．
【分析】根据勾股定理直接求解即可．
解：∵ ， ，
∴在直角三角形ABC中，
m，
故答案为：7．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，比较简单，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．
【分析】根据勾股定理求出直角三角形斜边 的长度，也就求出了 的长，结合图中点A的位置确
定点A表示的数．
解：由题知，在直角三角形中，根据勾股定理得，直角三角形的斜边 ，
则 ，
∵如图，点A是以原点O为圆心 为半径作弧与数轴的交点，
∴点A表示的数为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了实数与数轴，根据勾股定理确定斜边的长度，即确定 的长度是解答本题的关
键．
16．10
【分析】先根据题意得出 ， ，在设 ，得到 ，最后根据
勾股定理求解即可．
解：由题意可知： ， ， ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，读懂题意并熟练运用勾股定理是解题的关键．
17．
【分析】结合图形根据勾股定理求得线段AB、BC、CD的长度，从而得出BC2+DC2＝AB2，推出以线
段AB、BC、CD为边的三角形是以线段AB为斜边的直角三角形，进而根据直角三角形的面积公式求解即
可．
解：在Rt△ABD中，AB ，同理，BC ，DC 2 ，
∵（ ）2+（2 ）2＝（ ）2，
即BC2+DC2＝AB2，
∴以线段AB、BC、CD为边的三角形是以线段AB为斜边的直角三角形，
∴该直角三角形的面积为： BC×DC 2 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查三角形的面积，解题的关键是由三角形三边满足 得出该三角形是
个直角三角形，从而利用直角三角形的面积公式求解．
18． 40
【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可得到答案；
（2）根据勾股定理的逆定理得到 ，再由方向角定义，互余定义列式求解即可得到答案．
解：（1）在 中， ， ，则由勾股定理可得
，
故答案为： ；
（2）如图所示：
在 中， ， ，则 ，
，
点 在点 的北偏西 方向，
，
，点 在点 北偏东 度的方向上，
故答案为： ．
【点拨】本题考查勾股定理求线段长、勾股定理的逆定理及方向角，熟记勾股定理、勾股定理的逆定
理及方向角定义是解决问题的关键．
19．够用，理由见分析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理得到 ，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：连接 ．
， ， ，
．
∵ ，
是直角三角形，且 ．
∴四边形 的面积为：
．
所以所需费用为： （万元）．
，
∴投入的费用够用．
20．
【分析】根据勾股定理计算即可．
解：∵ ， ， ，
∴ ，
即 ，
得 ，
即 ，∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
21．（1） ；（2） 平方米
【分析】本题考查勾股定理定理和逆定理，三角形的面积，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键．
（1）先利用勾股定理求出 的长，然后再利用狗狗股定理的逆定理得到 是直角三角形即可；
（2）利用三角形的面积解题即可．
解：（1）因为 ， 米， 米，
所以 （米），
因为 米， 米，
所以 ，
所以 是直角三角形， ．
（2）图中阴影部分的面积 （平方米）．
22．（1）见分析；（2）见分析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．
（1）证明 即可；
（2）梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，即可得证．
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，整理，得： ．
23．（1）见分析；（2）
【分析】（1）利用三角形的外角性质求得 ，再利用等边对等角可证得 ；
（2）过点F作 于 ，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
（1）解：∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点F作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴由三线合一得 ，
∴ ．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质以及勾股定理，正确
引出辅助线解决问题是解题的关键．
24．（1）①详见分析；②II；；（2）成立；理由详见分析．
【分析】本题考查了勾股定理，旋转性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质
（1）①以点C为圆心， 为半径，画弧交 的延长线于一点D，即根据要求作出图形即可；
②证明 ， ，利用勾股定理，三角形的三边关系判断即可；
（2）结论： ．如图2中，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，．根据旋转性质．证明 ，推出 ，根据勾股定理列式可得结论．
（1）解：①正确补全图形；
②∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．故Ⅰ错误．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，故Ⅱ正确，
（2）解：成立；
证明：将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．
， ，
是等边三角形．
， ．
是等边三角形，， ．
，
．
即 ．
．
， ．
．
在 中， ．
．
