广东实验中学 2025—2026 学年（上）高一级期末模块考试
数 学
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. 设集合 ={ |−2< <4}， ={2,3,4,5}，则 ∩ =( )
A.{2} B.{2,3} C.{3,4} D.{2,3,4}
2.“点 (sin ,tan )在第二象限”是“角 为第三象限角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 下列函数中最小值为4 的是( )
4 4
A. = 2+2 +4 B. =| |+ C. = + D. =2 +22−
| |
1
4. 已知函数 = ( >0 且 ≠ 1)，若将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的
2
倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，再将函数 的图象向下平移2 个单位长度，所得
图象与 的图象重合，则实数 =( )
1 2
A. B. C. 2 D.4
4 2
5. 设函数 ( )=2tan( − )( >0)的图象的一个对称中心为( ,0)，则 ( )的一个最小正周
3 6
期是( )
2
A. B. C. D.
3 4 5 5
第1页，共4页
{#{QQABDYS45wCYkIZACD66RU3KCgsYkICRJIgGRVCUqARqQQFAFAA=}#}6.如图所示，已知△ 中，点 ， ， 依次是边 上的三个四等分点，若 ⋅ =20， =8，
则 ⋅ =( )
A.6 B.8
C.10 D.12
7. 已知函数 ( )= log ( −2)+2( >0 且 ≠ 1)的图象经过定点 ，且点 在角 的终边上，
1 1
则 + 的值是( )
tan sin
13+3 13+3 5+1 5+1
A. B. C. D.
4 2 4 2
+ , >0
8. 若函数 ( )= 有4 个零点，则正数 的取值范围是( )
sin( − ),− ≤ ≤ 0
3
8 11 8 11 5 8 5 8
A.[ , ) B.[ , ] C.( , ] D.[ , ]
3 3 3 3 3 3 3 3
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列说法中正确的是( )
A.命题：∀ >0，ln ≤ −1 的否定是：∃ >0，ln > −1
0 0 0
B.若 是第二象限角，则 是第一象限角
2
C.若函数 ( )= + 的图象关于直线 = 对称，则实数 = 3
6
D.半径为2，圆心角为1 弧度的扇形面积为1
10. 下列命题中，正确的是( )
A.若 ⋅ =0，则 = 0 或 = 0
B.若 ， 共线，则 ⋅ =±| || |
C.若 ⋅ = ⋅ 且 ≠ 0 ，则 =
D.若向量 ， 满足| |= | |，且 在 − 上的投影向量为单位向量，则| − |= 2．
11.古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成
果之一。如图是一个半径为 的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面
的直线为 轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点 (2 3,−2)出发，沿圆周按逆时针方向
匀速旋转，且旋转一周用时60 秒。经过 秒后，水斗旋转到 点，设 点的坐标为( , )，其
纵坐标满足 = sin( + )( ≥0, >0,| |< )，则正确的是（ ）
2
第2页，共4页
{#{QQABDYS45wCYkIZACD66RU3KCgsYkICRJIgGRVCUqARqQQFAFAA=}#}
A. =4 ( + ) B. =4 ( − )
30 6 30 6
C.当 =45 秒时，| |= 4 2 D.此水斗从A点出发，工作2000秒后P点在最高点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设 ， ， 在一条直线上，O在该直线外，已知 =2 +(7−5 ) ，则 等于 .
13.公元前6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金
1−2 227∘
分割值，这一数值可以表示为 =2 18∘。若 2+ =4，则 = .(用数字作答)
14.函数 的定义域为 0,+∞ ， 1 = ，对于任意 , ∈ 0,+∞ ，当 > 时，
1 2 1 2
− < 1 − 2(其中 为自然对数的底数)，若 ln ln > ，则实数 的取
1 2 1 2 2 1
值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
−cos ,0⩽ ⩽ ,
15．(本小题13 分)已知函数 ( )= 5
sin +1, < ⩽ ,
2
(1)按关键点列表，并画出函数 ( )的简图（请在指定区域作答，画图先用铅笔画好再用黑笔
定稿）;
(2)写出 ( )的单调区间; 并解不等式 <1
16．(本小题15 分)．已知向量 与 的夹角 = 3 ，且 =3， =2 2．
4
1 若 − 与 垂直，求 (2) 求 与 + 的夹角的余弦值．
17．(本小题15 分)小明通过对11月(以30 天计)的某种水果的销售情况的调查发现：
每千克的销售价格 ( )(单位：元/千克)关于第 天(1≤ ≤30, ∈ ∗)的函数关系近似满足
( )=10+ ( >0，且为常数)，日销售量 ( )(单位：千克)关于第 天的部分数据如下表
所示：
9 14 18 22 29
( ) 54 59 63 59 52
第3页，共4页
{#{QQABDYS45wCYkIZACD66RU3KCgsYkICRJIgGRVCUqARqQQFAFAA=}#}已知第9 天的日销售收入为552 元．
(1)求 的值；
(2) 日销售量 ( )给出以下三种函数模型：
① ( )= + ；② ( )= | − |+ ；③ ( )= + ；
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型(简要说明理由)来描述日销
售量 ( )关于第 天的变化关系，并求出该函数的解析式；
(3)设该水果的上半月的日销售收入为函数 = ( )(单位：元)，问哪天的日销售收入最少，
最少值为多少，可以超过500元吗？
18．(本小题17 分)
已知 ( )= + ( ∈ )
1
(1)若函数ℎ( )= (log )−1，求函数ℎ( )在[ ,8]上的最值；
2 2 4
( )−2, >0
(2)若函数 ( )= −1 有三个零点，求实数 的取值范围；
, ≤ ≤0
5 11 1
(3)∀ ∈ ,∃ ∈[ , ]，不等式 ( | |+sin2 )+ (4 −5− 2)≥ (0)成立，求实
2 3 3 2 3 3
数 的最小值．
19.(本小题17 分)
对于函数 = ( )，若实数 满足 + = ，其中 ， 为非零实数，则称 为 ( )
0 0 0 0
的一个“ − −泊点”．
π π
(1) 设函数 ( )= sin ，若∃ ∈ 0, 是 ( )的“ − −泊点”，求 的最大值；
0 2 2
(2) 已知任意实数 都是函数 ( )的“1−1−泊点”，若 (1)=2025，求 (2025)；
22 , >0,
(3)设函数ℎ( )= 1 若ℎ( )恰有2 个“1−1−泊点”，求实数 的取值范围．
, <0,
2 +1+
第4页，共4页
{#{QQABDYS45wCYkIZACD66RU3KCgsYkICRJIgGRVCUqARqQQFAFAA=}#}广东实验中学2025—2026学年（上）高一级期末模块考试
数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
B C D C D B B A AC BD 2 − 1 1,
2
1.【答案】B解：因为集合 = |−2< < 4 , ={2,3,4,5}，所以 ∩ ={2,3}．
sin <0
2.【答案】 解：若 (sin ,tan )在第二象限，则 ,则 位于第三象限，则点 (sin ,tan )在第二象
tan >0
限是角 的终边在第三象限的充要条件，
3.【答案】D 解：对于 ： = 2+2 +4=( +1)2+3，当 =−1 时，取最小值3，故A错误；
4 4
对于 ： =| |+ ⩾2 | |· =4，当且仅当| |=2 时等式成立，∵| |最大值为1，故
| | | |
取不到等号，故B错误；对于 ：∵2 >0，22− >0，∴ =2 +22− ⩾2 2 ·22− =2 2 +2− =4，当且
仅当2 =22− ，即 =1 时取等号，故D正确；对于C： 可取负值，故错误，
4.【答案】C 解：由题意可得 = 2 ，再将函数 的图象向下平移2 个单位长度可得 2 −2=
，即 2 − = 2=2，故 2 =2，又 >0，故 = 2．
5.【答案】 解：根据题意得 − = ， ∈ ，则 =3 +2，又 >0，
6 3 2
2
则 = = = ， ∈ ，对于 ，由 = 得 = ，不满足 ∈ 条件，故A错误：
| | 3 +2 3 +2 4 3
1
对于 ，若 是 ( )的最小正周期，则 = ，得 = ，与 ∈ 矛盾，故B不正确：
3 3 +2 3 3
2 1
对于 ，由 = 得 = ，与 ∈ 矛盾，故C错误;对于 ，由 = 得 =1 ∈ ，故D正确．
3 +2 5 6 3 +2 5
6【答案】 解：∵ ⋅ =( + )⋅( + )=( + )⋅( − )
2 2 2 2 2
= − =20，∴ =24，∴ ⋅ =( + )⋅( + )= − =24−16=8．
2 2 2
7.【答案】 解：由题意，可知 (3,2)由三角函数的定义，有tan = ，sin = = ，
3 32+22 13
1 1 3+ 13
所以 + = ;
tan sin 2
8.【答案】A解：函数 = ， = 在(0,+∞)上单调递增，则函数 ( )= + 在(0,+∞)上单调递增，
1 1 1
而 ( )=−1+ <0， (1)=1>0，则存在 ∈( ,1)，使得 ( )=0，函数 ( )在(0,+∞)上有1 个零
0 0
点，
第1页，共6页
{#{QQABDYS45wCYkIZACD66RU3KCgsYkICRJIgGRVCUqARqQQFAFAA=}#}
由函数 ( )有4 个零点，则函数 ( )= sin( − )在[− ,0]有3 个零点，由− ≤ ≤0， >0，
3
− − >−4
得− − ≤ − ≤− ，则 3 ,解得 8 ⩽ < 11 ，所以正数 的取值范围是[ 8 , 11 )．
3 3 3 − − ⩽−3 3 3 3 3
3
9.【答案】AC解：对于 ：命题：∀ >0，ln ≤ −1 的否定是：∃ >0，ln > −1， 选项正确．
0 0 0
对于 ：由题知 +2 < < +2 , ∈ ，∴ + < < + , ∈ ，即 是第一或第三象限角，
2 4 2 2 2
选项错误．
对于 ：∵ 的图像关于直线 = 对称，∴ (0)= ( )，即 = sin + cos ，
6 3 3 3
∴ = 3．此时 ( )= + 3 =2 ( + )，则 ( )=2 为最大值，故函数 ( )的图象关于直线
3 6
= 对称，∴ = 3．， 选项正确．
6
1 1
对于 ：扇形面积 = 2 = ×1×22 =2， 选项错误．
2 2
10.【答案】BD 对于D：| |=| |，且 在 − 上的投影向量为单位向量，不妨设在菱形 中， = , =
, = − , 为 的中点，则| |=1，| − |= | |= 2| |= 2．D选项正确
2
11.【答案】 解：由题意知， = (2 3)2+(−2)2 =4， =60，所以 = = ，
30
1
把点 (2 3,−2)对应的 =0， =−2 代入 =4 ( + )，可得−2=4 ，解得 =− ，
30 2
又| |< ，所以 =− ，所以 =4 ( − )，则B 正确；
2 6 30 6
当 =45 时， =4 ( ×45− )=4 ( 3 − )=−4 =−2 3，
30 6 2 6 6
易得，当 =45 时，点 的横坐标为 =4 ( ×45− )=−2，所以点 (−2,−2 3)，
30 6
则| |= (−2−2 3)2+(−2 3+2)2 =4 2，所以| |= 4 2．C正确；
=2000 时， =4 ( ×2000− )=4 (66 +2 − )=4，D 正确
30 6 3 6
12.【答案】2 解： ， ， 共线，则2 + 7−5 =1，解出 =2
1
13.【答案】− 由 2+ =4，得 =4− 2 =4−4 218=4 218，
2
1−2 227∘ − 54∘ − 36∘ 1 1
代入所求表达式，可得 = = =− ．故答案为− ．
2 18∘×2 18∘ 2 36∘ 2 36∘ 2 2
第2页，共6页
{#{QQABDYS45wCYkIZACD66RU3KCgsYkICRJIgGRVCUqARqQQFAFAA=}#}14.【答案】 1,
【解析】因为函数 的定义域为 0,+∞ ，所以ln >0，则 >1，
又因为当 > >0 时， − < 1 − 2，
1 2 1 2 1 2 2 1
1 2 1 2
所以 − < − ，则 − < − ，令ℎ = − ，则ℎ <ℎ ，
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
又 > ，所以ℎ 在 0,+∞ 上单调递减，因为ln >0，所以 ln ln > 可变为 ln > ，
1 2 ln
ln
则ℎ(ln )= (ln )− = (ln )− >0①，令 = ln >0，则①可变为ℎ = − >0②，
ln ln
又因为ℎ 1 = 1 − =0，故②变为ℎ >ℎ 1 ，
1
又ℎ 在 0,+∞ 上单调递减，则 =ln <1,解得 ∈ (1, )．故答案为 1, ．
四、解答题
15.(本小题13 分) 列表如下：
， (3分)
描点如图：
； 4分（每段2分）
3 5 3
(ⅱ)由上图可知：单调递增区间为：(0, )，( , )；单调递减区间为：( , )； 3分（可开可闭）
2 2 2
<1 的解集为{ |0≤ < 或 < <2 } 3分（注意端点）
16.(本小题15 分)解：由已知，得 ⋅ =| || |cos =3×2 2×(− 2 )=−6． 2分
2
（1）由 − 与 垂直，则 − ⋅ = 2− · =9 +6=0，则 =− 2 4分
3
（2）| + |= ( + )2 = 2 +2 · + 2 = 32+2×(−6)+(2 2)2 = 5; 4 分
第3页，共6页
{#{QQABDYS45wCYkIZACD66RU3KCgsYkICRJIgGRVCUqARqQQFAFAA=}#}设 与 + 的夹角为 ． 1分
⋅( + ) 2+ ⋅ 9−6 5
则cos = = = = ， 3分
| || + | | || + | 3 5 5
∴ 与 + 的夹角的余弦值为 5 ． 1分
5
17、(本小题15 分)【答案】解： 1 因为第9 天的日销售收入为552 元，所以有 9 ⋅ 9 =552，
即54× 10+ =552，解得： =2； （2分）
9
2 由函数 = + ， = + 的解析式可知，
这三个函数的单调性在定义域内要么递增，要么递减，要么是常数函数，不会出现在定义域内，即有单调
递减区间又有单调递增区间的情况，
当 <0 时，函数 = − + 在 −∞, 上单调递增，在 ,+∞ 上单调递减，
由列表可知， 的单调性是先增后减，因此 = − + <0 合适， （2分）
把 14,59 ， 18,63 ， 22,59 代入 = − + ，
14− + =59 =18
得 18− + =63，解得： =63 ，
22− + =59 =−1
则 =− −18 +63，显然 9,54 ， 29,52 也满足该函数的解析式，
所以 =− −18 +63, ∈ 1,30 , ∈ ∗； （4分）
3 由题意可知，当1≤ ≤15， ∈ ∗时 = −18 +63= +45, ∈ 1,15 , ∈ ∗ （1分）
2
( )= ( ) ( )=(10+ )( +45)， ∈ 1,15 , ∈ ∗ （1分）
2 90 90
( )= ( ) ( )=(10+ )( +45)=452+10 + ≥452+2 10 ⋅ =512， （2分）
90
当且仅当10 = ，即 =3 时取等号，此时 ( ) =512； （2分）
所以第3日销售额最少，最小值为512元，超过了500元。 （1分）
18. (本小题17 分)解：(1)因为 ( )= + ( ∈ )，
1 5
所以ℎ( )= ( )−1=( )2+ −1=( + )2− ， （1分）
2 2 2 2 2 2 4
1
因为 ∈[ ,8]，所以log ∈ [−2,3]， （1分）
4 2
当 =− 1 ，即 = 2时，函数ℎ( )取得最小值− 5 ， （1分）
2 2 2 4
当log =3，即 =8 时，函数ℎ( )取得最大值11， （1分）
2
1 5
所以函数ℎ( )在[ ,8]上的最小值为− ，最大值为11； （1分）
4 4
第4页，共6页
{#{QQABDYS45wCYkIZACD66RU3KCgsYkICRJIgGRVCUqARqQQFAFAA=}#}1
+ −2, >0
(2)由题意得： ( )= ,作出其大致图象，如图所示：
sin , ⩽ ⩽0
因为函数 ( )有三个零点，所以−2 < ≤− ，故实数 的取值范围是(−2 ,− ]； （ 3分 ）
(3)易知 ( )= 3+ 是奇函数，也是 上的增函数，
3
5 11 1
因为∀ ∈ ,∃ ∈[ , ]，不等式 ( | |+sin2 )+ (4 −5− 2)≥ (0)成立， （1分）
2 3 3 2 3 3
1
所以∀ ∈ ，不等式 ( | |+sin2 )≥ ( 2−4 +5)成立， （1分）
3 2 3
1
所以∀ ∈ ，不等式 | |+sin2 ≥ 2−4 +5 成立， （1分）
2
1 1 1 17
令 ( )= |cos |+ 2 =− 2 + |cos |+1=−(|cos |− )2+ ， （1分）
2 2 4 16
1
又| |∈[0,1]，则当| |= 1 时，函数 ( )取得最小值 ， （1分）
2
5 11 1
所以∃ ∈[ , ]， 2−4 +5 ≤ 成立， （1分）
2 3 2
5 11 9
即∃ ∈[ , ]， 4 ≥ + 2， （1分）
2 3
9 5 11
令 ( )= + 2，由对勾函数的性质得，函数 ( )在[ , ]上单调递增， （1分）
2 3
5 43 43 43 43
所以当 = 时，函数 ( )取得最小值 ，所以4 ≥ ，即 ≥ ，所以实数 的最小值是 ． （1分）
2 10 10 40 40
19.(本小题17 分)
π π π π
解：(1) 因为∃ ∈ 0, 是 ( )的“ − −泊点”，所以sin sin + = 在 0, 上有解，（1分）
0 2 2 0 0 2 2
因为sin + π =cos ，所以sin cos = , ∈ 0, π ，即2sin cos =2 =sin2 ， （1分）
2 0 0 0 2 0 0 0
π 1 1
即 = 时取得最大值1，所以 ≤ ，所以 的最大值为 ． （1分）
0 4 2 2
(2)因为任意 ∈ ， ( ) ( +1)=1，所以 ( +2) ( +1)=1， （1分）
1
所以 ( +2)= = ( )，所以 ( )为周期为2 的周期函数， (1分)
( +1)
1 1
(0)= = （1分）
(1) 2025
所以 2026 = 2×1013 = 0 = 1 ． （1分）
2025
(3)因为函数ℎ( )恰有2 个“1−1−泊点”，所以ℎ( )ℎ( +1)=1 在定义域内恰有2 个解， （1分）
22 , >0
因为ℎ( )= 1 ,
, <0
2 +1+
第5页，共6页
{#{QQABDYS45wCYkIZACD66RU3KCgsYkICRJIgGRVCUqARqQQFAFAA=}#}①当 > 0 时，则 +1 > 1，
1
所以22 ×22( +1) =1，即24 +2 =1，所以 =− <0，舍去； （1分）
2
1
②当−1< < 0 时，所以 ×22( +1) =1，即22( +1)−2 +1− =0(∗)， （1分）
2 +1+
③当 < −1 时， +1 <0，
1 1
所以 × =1，即2×22( +1)+ 2 +1+2 +2 + 2−1=0(∗∗)； （1分）
2 +1+ 2 +2+
依据条件，(∗∗)和(∗)共有2 个不同实数解；
( )对于(∗)式，令 =2 +1，1< <2，
设 ( )= 2− − ，所以 ( )在(1,2)上递增， (1) =− ， (2)=2− ，
所以关于 的方程 2− − =0 在 ∈(1,2)上解的情况如下：
当 (1)≥0，即 ≤ 0 时，(∗)没有实数根；
当 (2)≤0，即 ≥ 2 时，(∗)没有实数根；
(1) <0,
当 即0< <2，(∗)只有一个实数根． (2分)
(2) >0,
( )对于(∗∗)式，令 =2 +1，0< < 1，设 ( )=2 2+3 + 2−1, ∈(0,1)，
3
因为 =9 2−8 2−1 = 2+8> 0，函数 ( )的对称轴为 =− ，由( )得：
4
3
当 ≤0 时， ( )在 ∈(0,1)内需2 个零点，且 > 0,− ≥0，
4
(0)> 0 2−1> 0
所以 (1)> 0 即 2+3 +1 >0，无解；
3 4
0< − <1 − < <0
4 3
当 ≥2 时， ( )在 ∈(0,1)内需2 个零点，
3 3
但− ≤− <0， ( )至多一个零点，舍去； （1分）
4 2
3
当0< <2 时， ( )在 ∈ (0,1)内需1 个零点，且− <0，
4
所以 ( )在 ∈(0,1)上递增，
(0)< 0 2−1<0
所以 (1)> 0，即 2+3 +1> 0， （1分）
0< <2 0< <2
−1< <1,
解得 < −3− 5 或 > −3+ 5 , （1分）
2 2
0< <2,
所以0< <1
综上所述， 的取值范围是(0,1)． （1分）
第6页，共6页
{#{QQABDYS45wCYkIZACD66RU3KCgsYkICRJIgGRVCUqARqQQFAFAA=}#}
