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专题16.4 二次根式（常考点分类专题）
【考点目录】
【考点1】二次根式判断； 【考点2】求二次根式的值；
【考点3】二次根式有意义的条件； 【考点4】二次根式中的化简；
【考点5】化简复合二次根式.
一、单选题
【考点1】二次根式判断
1．（2022下·重庆酉阳·八年级校考期末）下列给出的式子是二次根式的是（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2023下·八年级单元测试）下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点2】求二次根式的值
3．（2023·河北沧州·校考模拟预测）下列值最小的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·八年级专题练习）已知 ，当x分别取 ， ， ，……， 时，
所对应的y值的总和是（ ）．
A． B． C． D．
【考点3】二次根式有意义的条件
5．（2022·四川雅安·统考中考真题）使 有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·八年级专题练习）若 时， 无意义，当 时， 是二次根式，则a的值可能是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【考点4】二次根式中的化简
7．（2012下·安徽滁州·八年级统考期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019上·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）化简二次根式 的结果是（ ）
A． B．－ C． D．－
【考点5】化简复合二次根式
9．（2019·安徽芜湖·九年级芜湖一中校考自主招生）当 时， 的
值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
10．（2021·全国·九年级专题练习）设 ，且x、y、z为有理数．则xyz
＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
【考点1】二次根式判断
11．（2023上·江西景德镇·八年级景德镇一中校考期中）下列各式：① ② ③ ④
，其中一定是二次根式的是 ．（只填序号）
12．（2019·八年级单元测试）下列各式： ， ， ， ， ， 中，是二次
根式的是 .
【考点2】求二次根式的值13．（2023下·浙江温州·八年级校联考期中）当 时，二次根式 值为 ．
14．（2021上·上海普陀·八年级校考阶段练习）已知a+b＝﹣8，ab＝1，则 值为 ．
【考点3】二次根式有意义的条件
15．（2013下·云南红河·八年级统考期末）若分式 有意义，则 的取值范围是 ．
16．（2022上·湖南永州·八年级统考期末）若 ，则 的值为 ．
【考点4】二次根式中的化简
17．（2018上·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a
．
18．（2022下·浙江杭州·八年级校联考期中）设 ，
求不超过 的最大整数 ．
【考点5】化简复合二次根式
19．（2018下·八年级课时练习）化简 ．
20．（2023下·全国·八年级假期作业）把 中根号外因式适当变形后移至根号内得 ．
三、解答题
【考点1】求二次根式的值
21．（2018上·重庆江北·八年级统考期末）计算：
（1） （2） .22．（2019上·河南南阳·八年级南阳市第三中学校考阶段练习）如图，一只蚂蚁从点 沿数轴向右直
爬 个单位到达点 ，再直爬向点 停止，已知点 表示 ，点 表示 ，设点 所表示的数为 ．
（1）求 的值
（2）求 的值
（3）直接写出蚂蚁从点 到点 所经过的整数中，非负整数有 个
【考点2】二次根式中的化简
23．（2022上·河南郑州·八年级郑州市第七十三中学统考期中）当 时，求 的值．
如图是小亮和小芳的解答过程：
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）当 时，求 的值．
24．（2019·山西阳泉·统考一模）观察下列各式及证明过程：① ；
② ；
③ ．
验证： ；
．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想 的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用 （ 为正整数，且 ）表示的等式．
【考点3】化简复合二次根式
25．（2019下·八年级单元测试）阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数 ，是
且 ，则把 变成 开方，从而使得 化简．
例如：化简
解：∵
∴ ；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1） ； （2）26．（2019下·重庆九龙坡·八年级阶段练习）阅读材料：
材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多
层）根号,如：
材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方
式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到．
如：
∵ ，∴ ，即
∴ 的最小值为
阅读上述材料解决下面问题：
（1） ， ；
（2）求 的最值；
（3）已知 ，求 的最值．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
根据二次根式的定义进行判断作答即可．
解：由题意知， 是二次根式，B正确，故符合要求；
，2， ，不是二次根式，A、C、D错误，故不符合要求；故选：B．
2．B
【分析】同时满足两个条件才是二次根式，第一：被开方数是非负数，第二：根指数是二．
解：A． ，2是整数，不是二次根式，故此选项不合题意；
B． ，根据 一定大于0，则 一定是二次根式，故此选项符合题意；
C． 无意义，故此选项不合题意；
D． ， 的符号不确定，故不一定是二次根式，故此选项不合题意．
故选：B．
【点拨】本题主要考查二次根式的定义，对二次根式的根指数和被开方数理解到位是解题的关键．
3．B
【分析】根据根式的性质，负指数幂，0指数幂直接计算后进行比较即可得到答案．
解：由题意可得，
， ， ， ，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题考查根式的性质，负指数幂，0指数幂，解题的关键是熟练掌握 ， ，
， ．
4．C
【分析】将原式化为 ，再根据 的取值情况去掉绝对值，再根据题意得出总和即可．
解：∵
∴
当 时，∴
当 时，
∴
∴ 值的总和为：
，
故选：C
【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，数字变化类等知识点，能根据数据得出规律是解此题的
关键．
5．B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得 ，求出不等式的解集，然后进行判断即可．
解：由题意知， ，
解得 ，
∴解集在数轴上表示如图，
故选B．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示解集．解题的关键在于熟练掌握二次根
式有意义的条件．
6．B
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，根据这个条件列不等式即可．
解：∵当 时， 无意义，
∴ ，解得 ，
∵当 时， 是二次根式，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴a的值可能是8，故选：B．
【点拨】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 叫二次根式．关键是掌握二次根
式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
7．B
【分析】直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可．
解：A． ，故A错误；
B． ，故B正确；
C． ，故C错误；
D． ，故D错误．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，灵活应用二次根式的性质进行计算，是解题的关键．
8．B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简
即可
解：
故选B
【点拨】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取
值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
9．A
【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．
解：原式=将 代入得，
原式
.
故选：A.
【点拨】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察
出分母可以开根号，本题属于较难题型．
10．A
【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可
求解．
解： 两侧同时平方，得到
∴
∴ ,
，∴xyz＝ ，
故选择：A．
【点拨】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比
较无理数构造方程是解题关键．
11． /
【分析②】④本④题②考查二次根式的定义，根据二次根式的定义逐一判断即可．
解：① ，故 不是二次根式；
② ，故 是二次根式；
③ 的根指数是3，故 不是二次根式；
④由于 ，因此 ，故 是二次根式；
故答案为：②④．
12．
【分析】二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，结合选项进行判断即可
解： 根指数为3，不是二次根式；
根指数为3，不是二次根式；
被开方数为负数，不是二次根式；
根指数为4，不是二次根式；
能满足被开方数为非负数，故是二次根式；
被开方数为负数，不是二次根式.
故答案为：
【点拨】主要考查了二次根式的概念．式子 （a≥0）叫二次根式． （a≥0）是一个非负数．13．1
【分析】把 代入二次根式进行计算即可．
解：当 时， ．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了二次根式的值，熟练掌握二次根式的计算是解题关键．
14．-8
【分析】将二次根式的进行化简，然后根据分式加法运算法则进行计算，最后利用整体思想代入求值．
解：原式＝
当a+b＝﹣8，ab＝1时，
原式
=-8
故答案为：﹣8．
【点拨】题目主要考查分式及二次根式的化简，求代数式的值等，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
15． 且 /x≠2且x≥-3
【分析】根据分式有意义的条件 ，二次根式有意义的条件 解题即可．
解：由题意得
解得 ，即 且
故答案为： 且 ．
【点拨】本题考查分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，是基础考点，掌握相关知识是解题关
键．
16．2022
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可．解：由题意得a-2022≥0，
∴a≥2022，
∴|2021-a|= a-2021．
∵ ，
∴ ，
，
，
即 =2022．
故答案为2022．
【点拨】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝对值是解题
的关键．
17．2
【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
解：由数轴可得：0＜a＜2，
则a+
=a+
=a+（2﹣a）
=2．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是正确得出a的取值范围．
18．
【分析】首先将 化简，可得 ，然后再代入原式求出 ，
即可得出答案．
解：，
，
不超过 的最大整数 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查完全平方公式、二次根式的化简，能正确化简 是
解题的关键．
19． +1
【分析】先将 用完全平方式表示,再根据 进行化简即可.
解：因为 ,
所以 ,
故答案为: .
【点拨】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是
要将二次根式利用完全平方公式分解.
20．【分析】根据二次根式的性质可得 ，则 ，据此即可求解．
解：∵ ，有意义，
∴ ，则 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）先分别计算绝对值，算术平方根，0次幂，和负整数次幂，然后再进行有理数加减即可；
（2）先化简绝对值和二次根式，然后在合并同类二次根式即可.
解：（1）原式=1-2+1+
= ；
（2）原式=
=
【点拨】本题是对实数混合运算的考查，熟练掌握绝对值，算术平方根，0次幂，负整数次幂及二次
根式的化简是解决本题的关键，难度不大，注意计算的准确性.
22．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据数轴两点间的距离公式得到 ，然后解方程即可得到 的值；
（2）把 的值代入 ，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义计算；
（3）先找出点 到点 所有整数和非负整数，然后根据概率公式求解．
解：（1）由题意可得 ，所以 ；
（2）把 代入得
；
（3）从点 到点 所经过的整数有 ，0，1，2，其中非负整数有0，1，2，
所以蚂蚁从点 到点 所经过的整数中，非负整数有3个．
【点拨】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义和二次根式的意义，熟悉相关性质是解题的关键．
23．（1）小亮；（2） ；（3）-2
【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可求出答案．
（2）根据二次根式的性质化简即可求出答案．
（3）根据 的范围判断 与 的符号，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即
可求出答案．
解：（1）原式 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ，
故小亮的解法错误，
故答案为：小亮．
（2） ，
故答案为： ．
（3）∵ ，
， ，
∴原式 ，．
【点拨】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
24．（1） ，验证见分析；（2） （ 为正整数，
）．
【分析】（1）应用二次根式对根式进行变形，总结规律，三个连续自然数的倒数，第一个乘以后两
个的差，结果等于中间数作结果的系数，中间数的分母作结果中被开方数的分子，另两个数的分母的乘积
作被开方数的分母，即可得到结果；
（2）根据（1）即可得到等式．
解：（1）猜想：
验证： ；
（2） （ 为正整数， ）．
【点拨】本题考查二次根式的化简，同时考查学生归纳总结的能力，特别注意写用含n的式子表示时
一定要写上相应的n的取值范围．
25．（1） ；（2）
【分析】（1）仿照例题，根据 ，即可求解；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
（1）解：∵ ，
；（2）解：
．
【点拨】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
26．（1） ； （2）- ；（3）-4.
【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质即可求解；
（2）利用完全平方公式配方即可求解；
（3）先化简x,再代入代数式化简，最后求出其最值即可求解.
解：（1） ， ；
故答案为： ；
（2）∵ = = ≥-1
∴ 的最小值为- ；
（3）∵ =
∴
=
=
= ≤-4
故 的最大值为-4.
【点拨】此题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式及配方法的应用.
