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第19 章 一次函数（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭在我国海南文昌航天发射场点火
发射．在升天过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少．则在上述语段中，自变量是（ ）
A．货运飞船的质量 B．火箭飞行的高度 C．燃料的体积 D．火箭的质量
2．已知平面内一点 在一次函数 图象的上方，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．直线 为常数，且 经过点 ，点A关于原点O的对称点为B，若 ，则直
线 与 轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图中的直线 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
5．某个函数的图象由线段AB和线段BC组成，如图，其中 ， ， ，点 ，
是这两条线段上的点，则正确的结论是（ ）A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
6．已知一次函数 的图象交 轴于点 ，经过点 和点 ，若
，则 的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且 C． 且 D． 或
7．如图，已知一次函数 与 相交于点C，现有一次函数 ，若 ， ，
不能围成三角形，则k的值不可能为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．过点 的直线 不经过第三象限，若 ，则p的范围是（ ）
A． B． C． D．
9．关于一次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第二、三、四象限 B．当 时，
C．函数值 随自变量 的增大而减小 D．图象与 轴交于点
10．如图，正方形 、正方形 、正方形 、…、正方形 的顶点A、
、 、…、 和O、C、 、 、…、 分别在一次函数 的图象和x轴上，若正比例函数则过点 ，则系数k的值是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．函数 的图像如图所示，则这个函数的最小值是 ．
12．如图所示，已知正比例函数 和 ，过点 作x轴的垂线，与这两个正比例函数
的图象分别交于B，C两点，则 的面积为 ．（用含a的代数式表示）．
13．已知直线 经过点A( ，-2)，B( ，-1)两点，则
14．如图，在平面直角坐标系中，直线 和 相交于点 ，则关于x的不等式的解集为 ．
15．如图，直线 分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段 上，线段 沿 翻折，点O
落在 边上的点D处．则直线 的解析式为 ．
16．如图， 直线 与x轴、y轴分别交于点 A、B，点 C 是 x轴上的一个动点，将直线
沿直线 翻折，当点 A的对应点 D 恰好落在y轴上时，点 C的横坐标为 ．
17．已知：如图所示，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ．若点 从点 出发，沿射线
作匀速运动，点 从点 出发，沿射线 作匀速运动，两点同时出发，运动速度也相同，当
为直角三角形时，则点 的坐标为 ．18．如图，平面直角坐标系中，直线 分别交 轴， 轴于 ， 两点，点 为 的中点，点
在第二象限，且四边形 为矩形．动点 为 上一点， ，垂足为 ，点 是点 关于
点 的对称点，当 值最小时，点 的坐标为
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知 与 成正比例，当 时， .
(1)求 与 的函数表达式；
(2)试判断点 是否在（1）中的函数图像上，请说明理由.
20．（8分）已知： ．
(1)化简A；
(2)若点 是一次函数 图象上的点，求A的值．
21．（10分）如图，正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，一次函数的图
象经过点 ，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
(1)求一次函数 的表达式；
(2)求 的面积；(3)不解关于 的方程组 ，直接写出方程组的解．
22．（10分）2024年4月23日我们迎来第29个世界读书日，“世界读书日”设立目的是推动更多的人
去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师
们，保护知识产权．某批发商在“世界读书日”时，订购甲、乙两种具有纪念意义的书籍进行销售．若
订购甲种图书80本，乙种图书100本共花费2600元，若订购甲种图书100本，乙种图书200本共花费
4000元．
(1)求甲、乙两种图书的进价分别为多少元？
(2)该批发商准备在进价的基础上将甲、乙两种图书提高10％售出，若该批发商购进甲乙两种图书共计
800本，并且甲种图书不超过乙种图书的 ，当甲、乙两种图书全部售完后，求该批发商所获最大利润为
多少元？
23．（10分）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于 ，
B两点．
(1)k的值为__________；
(2)如图，点A关于y轴的对称点 ，
①求证 是等边三角形；
②作 平分 交 于C，点P在x轴上， 为等腰三角形，直接写出点P的坐标__________．24．（12分）如图，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ．且经过定点
，直线 与 交于点 ．
(1)求 的面积；
(2)在 轴上是否存在一点 ，使 的周长最短？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由：
(3)平面内是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点
的坐标（并请写出求出其中一个点 的过程）．参考答案：
1．B
【分析】
本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，如果变量 A因为变量B的变化而变化，那么变量B叫做
自变量，变量A叫做因变量，据此求解即可．
【详解】解：由题意可知，随着高度的不断增加，燃料的体积不断减少，则自变量为火箭飞行的高度，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是出 时一次函数 的值．
求出 时一次函数 的值，可得 ，解不等式即可求解．
【详解】解： 时一次函数 ，
点 在一次函数 图象的上方，
，解得 ，
故选：D．
3．B
【分析】根据一次函数的性质可得直线 为常数，且 过一、二、三象限，则点 在
x轴的负半轴上，由 可得点 ，代入 求出b的值，即可求解．
【详解】解：∵直线 为常数，且 ，
∴直线l： 过一、二、三象限，
∴点 在x轴的负半轴上，
∵点A关于原点O的对称点为B， ，
∴ ．
∴ ，
∴将点 ，代入 ，得 ，
解得 ．∴直线l： ，
令 ，则 ．
即直线l与y轴的交点坐标为 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．求出b的值是解题的关键．
4．A
【分析】结合图像，根据一次函数图像的性质|k|越大，图像越靠近y轴作答即可．
【详解】解：由题意得直线l 经过了二四象限，
1
∴ 为负数，
由直线与y轴的靠近程度可知， ，
∴ 的大小关系是 ．
故选：A．
【点拨】本题考查一次函数图像的知识，注意掌握k的大小表示倾斜度的大小，由此可比较k的大小．
5．D
【分析】根据一次函数图象的增减性作出判断即可．
【详解】解：A、当 时，y随x的增大先减小后增大，不能比较 和 的大小，故选项不符合题
意；
B、当 时，y随x的增大而减小， ，故选项不符合题意；
C、当 时，y随x的增大先减小后增大，不能比较 和 的大小，故选项不符合题意；
D、当 时，y随x的增大而增大， ，故选项符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查利用函数的增减性比较大小，根据自变量的取值范围找出对应的图象并观察增减性是解
答本题的关键．
6．C【分析】根据一次函数的定义及性质可知 ，再根据一次函数经过点 和点 得
到 ，最后根据 求出 的取值范围即可解答．
【详解】解：∵一次函数 的图象交 轴于点 ，
∴ ，
即 ，
∵当 时， ，
即 ，
∵ 经过点 和点 ，
∴ ，
② ①得： ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上， 且 ，
故选 ．
【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数的定义，一次函数的性质，掌握一次函数的性质
是解题的关键．
7．B
【分析】本题主要考查一次函数的综合运用，先求出点C的坐标，再分三种情况讨论：①当 经过点C时，
②当 时，③当 时，分别求k的值即可求解．【详解】解：联立方程组 ，
解得， ，
∴点 的坐标为 ；
①当 经过点 时， ，
解得，
②当 时，
③当 时，
所以， ， ， 不能围成三角形，则k的值不可能为 ，
故选：B
8．C
【分析】
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
根据过点 的直线 不经过第三象限，可以得到 和 的关系， 、 的正负情况，再
根据 ，即可用含 的式子表示 和用含 的式子表示 ，然后即可得到相应的不等式组，再解不
等式组即可．
【详解】
解： 过点 的直线 不经过第三象限，
， ， ，
， ，
，
，
，
， ，，
解得 ，
故选：C．
9．D
【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与性质的关系，逐
一分析各选项的正误．
【详解】解： ， ，
一次函数 的图象经过第一、三、四象限，选项A不符合题意
，
函数值 随自变量 的增大而增大，
当 时，
选项B，C不符合题意；
当 时， ，
图象与 轴交于点 ，选项D符合题意．
故选：D．
10．B
【分析】本题考查正方形的性质，一次函数的图象和性质，求正比例函数解析式，点坐标规律探索．找出
， ， ，……的坐标规律是解题关键．根据一次函数解析式可求出 ，结合正方形的性质可求
出 ，进而得出 ， ， ，……， ，即可求出 ，再代入
求解即可．
【详解】解：∵点A是直线 与y轴的交点，
∴ ，
∵四边形 是正方形，∴ ，
∵点 在直线 上，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
同理可得 、 ， 、 ，……
∴ ， ， ，……
∴ 的坐标是 ．
∴ ，即 ，
把 代入 ，得： ，
解得： ．
故选：B．
11．1
【分析】根据函数图像即可求得答案．
【详解】解： 函数的你为 ，
函数的最小值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查函数的图像，从从图像中找到最低点是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用正比例函数图象上点的坐标
特征，求出点 ， 的坐标，进而可求出 的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出 的面
积．【详解】解：当 时， ，
点 的坐标为 ；
当 时， ，
点 的坐标为 ．
．
又 点 的坐标为 ，
，
．
故答案为： ．
13．＞
【分析】根据一次函数增减性可得，k＜0，y随x的增大而减小， k＞0，y随x的增大而增大即可判断得出
答案.
【详解】解：∵直线的解析式为
∴k＜0
∴y随x的增大而减小
∵直线 经过点A( ，-2)，B( ，-1)两点，
∴
故答案为：>.
【点拨】本题主要考查了一次函数图像的增减性与系数k的关系，解题的关键在于熟练掌握，当k＜0，y
随x的增大而减小， k＞0，y随x的增大而增大.
14．
【分析】本题考查利用一次函数的图象求不等式的解集，先计算点A的坐标，再求k的值，然后计算
与x轴的交点坐标，再根据交点坐标即可求解．
【详解】解：将点 代入 ，可得 ，
∴点A的坐标为 ，将点A坐标代入 ，可得 ，
∴ ，
令 可得， ，即 与x轴的交点为 ，
∴ 的解集为 ．
故答案为： ．
15． /
【分析】由直线解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出 ， ，再由勾股定理可求出
．由折叠可知 ， ， ，从而可求出 ．设
，则 ，在 中，利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x，求出点 ，
然后用待定系数法求解即可．
【详解】解：对于直线 ，令 ，则 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
由折叠可知 ， ， ，
∴ ．
设 ，则 ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，∴点 ，
设直线 解析式为： ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，勾股定
理等知识，求出点C坐标是解答本题的关键．
16． 或
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，以及勾股定理．熟练掌握折叠的性质，利用勾股
定理解三角形，是解题的关键．分两种情况讨论：先求出 ， 两点的坐标，根据折叠，得到 ，
，进而求出 的长度，在 中，利用勾股定理进行求解，得到 的长，即可得解．
【详解】解： ，
当 时， ；当 时， ；
， ，
， ，
将 沿 所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上正半轴点D处，如图，连接 ，
，
， ，
在 中， ，即： ，，
点 在 轴的负半轴上，
．
将 沿 所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上负半轴点D处，如图，连接 ，
同理可得： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上： 或 ．
故答案为： 或 ．
17． 或
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，根据题意表示出 的三边长， 分 ，
， 三种情况，根据勾股定理计算即可求出点 的坐标，灵活运用分情况讨论思想、
掌握两点间的距离公式是解题的关键．
【详解】由直线 得：当 时，即 ，
解得 ，
当 时， ，
∴ ， ，
由勾股定理得 ，
设 ， 运动的速度为 ，时间为 ，则 ， ，
则点 的坐标为： ，点 的坐标为： ，
∴
当 时，有 ，即 ，
解得 ， ，
当 ，点 与 重合，舍去
∴点 的坐标为 ，
当 时， ，即 ，
解得 （舍去）， ，则点 的坐标为 ，
当 时， ，即
解得 ， ，点 与 重合，不符合题意，综上所示，点 的坐标为 或
故答案为： 或 ．
18．
【分析】此题是一次函数的综合题．由点 是点 关于点 的对称点，先求出点 的坐标，然后连接 ，
，可得四边形 是平行四边形，进而可得： ，进而可将 转化为 ，
然后根据两点之间线段最短可知：当点 ， ， 在同一直线上时， 的值最小，然后求出直线
的关系式，进而可求出直线 与 轴的交点 的坐标，从而即可求出点 的坐标．
【详解】解： 直线 分别交 轴， 轴于 ， 两点，点 为 的中点，
， ， ，
连接 ， ， ，则四边形 是平行四边形，如图，
四边形 是平行四边形，
，
，
有最小值，即 有最小值，
只需 最小即可，
两点之间线段最短，
当点 ， ， 在同一直线上时， 的值最小，
过点 作 轴，垂足为 ，
点 是点 关于点 的对称点，
是 的中位线，
， ，，
设直线 的关系式为： ，
将 和 分别代入上式得：
，
解得： ，
直线 的关系式为： ，
令 得： ，
，
∵ 轴，
，
故答案为： ．
19．(1)
(2)点 不在（1）中的函数图象上，理由见解析
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式、正比例函数的图象上点的坐标特征，熟练掌握以上
知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）设 ，再由当 时， ，求出 的值即可得解；
（2）当 时，求出 的值，与 进行比较即可．
【详解】（1）解： 与 成正比例，
设 ，
当 时， ，
，
解得： ，，即 ，
与 的函数表达式为 ；
（2）解：点 不在（1）中的函数图象上，理由如下：
在 中，当 时， ，
点 不在（1）中的函数图象上．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的加减运算、一次函数图象上的点．注意化简的准确性．
（1）利用异分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果；
（2）把 点坐标代入一次函数解析式求出 的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵点 是一次函数 图象上的点，
∴ ，即 ，
∴原式 ．
21．(1)(2)3
(3)
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，
（1）将点 代入 ，求出 ，得到 ．把 、 两点的坐标代入 ，利用待定系数
法即可求出一次函数解析式；
（2）根据一次函数的解析式即可求出C点的坐标；根据三角形的面积公式列式即可求出 的面积；
（3）两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【详解】（1）解： 正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，
， ，
，
把 和 代入一次函数 ，
得 ，
解得，
一次函数解析式是 ；
（2）解：由（1）知一次函数解析式是 ，
令 ，得 ，解得 ，
点 ，
，
，
的面积 ；
（3）解：由图象可知，正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，方程的解为 ．
22．(1)甲种图书的进价为20元，乙种图书的进价为10元
(2)该批发商所获最大利润为1000元
【分析】（1）根据“若订购甲种图书80本，乙种图书100本共花费2600元，若订购甲种图书100本，乙
种图书200本共花费4000元”列二元一次方程组，即可求解，
（2）根据“共计800本”设甲种 本，乙种 本，根据“两种图书提高 售出”列式
，根据“甲种图书不超过乙种图书的 ”列式 ，即可求解，
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，解题的关键是：根据题意正确列式．
【详解】（1）解：设甲种图书的进价为 元，乙种图书的进价为 元，
根据题意得： ，解得： ，
故答案为：甲种图书的进价为20元，乙种图书的进价为10元，
（2）解：设购进甲种图书的数量为 本，则购进乙种图书的数量为 本，
根据题意得： ，
，解得： ，
∴当 时，利润最大，
（元），
故答案为：该批发商所获最大利润为1000元．
23．(1)
(2)①证明见详解 ② ， 或 ， 或 或
【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质等知
识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．（1）将点 的坐标代入一次函数 即可求出 的值；
（2）①求出 的坐标，求出 即可；
②分三种情况讨论，由等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：一次函数 的图象与 轴交于 ，
，解得 ，
一次函数 ，
（2）① 点 关于 轴的对称点 ， ，
，
一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于 ， 两点，
点 坐标为 ；
，
∴
∴ 是等边三角形
②存在点 ，使 为等腰三角形，
设 ，
由①得 是等边三角形
∴
平分 交 于C，
∴
，
∵ ，∴
当 时，
，解得 ，
点 的坐标为 ， 或 ， ；
当 时，
，解得 ，
点 的坐标为 ；
当 时，
，解得 ，
点 的坐标为 ；
综上所述：点 的坐标为 ， 或 ， 或 或 ．
24．(1)6
(2)存在，点E的坐标为
(3)存在，点Q的坐标为 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求得两直线的解析式，再求得点A和点D的坐标，根据三角形面积公式即
可求解；
（2）作点C关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点E，则 的周长最短，先求得直线 的函数
解析式，即可求得点E的坐标；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等，分 为平行四边形的边和平行四边形的对角线两种情况讨论，结合点坐标的平移即可求解．
【详解】（1）∵直线 与x轴交于点A，且经过定点 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 ．
∵直线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 ，得到 ．
∴ ，
对于直线 ，令 ，得到 ，
∴ ，
∴ ．
对于直线 ，令 ，得到 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
（2）解：在x轴上存在一点E，使 的周长最短．
如图，作点C关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点E，则 的周长最短．根据轴对称图形的性质可知 的坐标为 ．
设直线 的函数解析式为 ．
将 代入 ，得
，
解得 ，
∴直线 的函数解析式为 ．
令 ，得到 ，
解得， ，
∴点E的坐标为 ．
（3）解： ， ， ，
，
当 为平行四边形的边时， ，
∴
∴ 点的横坐标为： 或 ，点Q的坐标为 或 ，
当 为平行四边形的对角线时， ，
点C向右平移2个单位，向下平移2个单位到点A，
则点D向右平移2个单位，向下平移2个单位到点Q，
∴点Q的坐标为 ，即 ；
综上，点Q的坐标为 或 或 ．
【点拨】本题考查的是一次函数的交点问题，轴对称图形的性质，坐标与图形面积，平行四边形的性质等
知识，第二问利用轴对称的性质找到点E的位置是解题的关键，第三问利用平行四边形的性质和点坐标的
平移是解题的关键．
