跟踪训练08函数与方程（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

跟踪训练 08 函数与方程 一．选择题（共18小题） 1．函数 的零点所在的区间是 A． B． C． D． 【解答】解： 函数 ， 当 时， ， （1） ， （2） ， （3） ， （4） ， （2） （3） ， 由零点的存在定理得函数 的零点所在区间是 ， 故选： ． 2．函数 的零点所在区间是 A． B． C． D． 【解答】解：由题意得函数定义域为 ，且 在 上单调递增， （2） ， （3） ， （2） （3） ， 函数 的零点所在区间是 ， 故选： ． 3．下列函数是增函数且在 上有零点的是 A． B． C． D．【解答】解： 的唯一零点 ，不符合题意； 在 上不单调，不符合题意； 在 上单调递增，函数的唯一零点 不在区间 上，不符合题意； 在 上单调递增，函数唯一的零点 在区间 上，符合题意． 故选： ． 4．已知函数 ，则 的零点所在的区间为 A． B． C． D． 【解答】解：由题意得 在 上单调递增， （ 1 ） ， ， （ 2 ） ， ， （3） ， （3） ， 的零点所在的区间为 ． 故选： ． 5．在用二分法求函数 零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为 ，则下一步应当确定零点位于区间 A． B． C． D． 【解答】解：设 ， ， ， 由二分法知当零点在 时，取区间的中点1.6625，计算得 ，由 知，下一步应当确定零点位于区间 ． 故选： ． 6．方程 的解所在区间为 A． B． C． D． 【解答】解： 和 都是 上的增函数． 故 是 上的增函数． （1） ． （2） ． （1） （2） ，所以 正确． 故选： ． 7．已知函数 若函数 有四个不同的零点，则实数 的 取值范围为 A． ， B． ， C． D． 【解答】解：由 得 ， 作出函数 的图象如图： 由图象知，要使 有四个不同的零点， 则需要 与 有4个不同的交点， 则此时 ， 即实数 的取值范围是 ， ．故选： ． 8．已知函数 ，若函数 有七个不同的零 点，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：令 ，解得 或 ， 作出函数 的图象，如图所示， 与 有4个交点，即方程 有4个不相等的实根， 由题意可得：方程 有3个不相等的实根，即 与 有3个交点， 故实数 的取值范围是 ．故选： ． 9．著名画家达 芬奇画完他的《抱银貂的女子》后，看着画中女人脖子上悬挂的黑色珍珠 项链，开始思考这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项 链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，最终的答案是这条曲线的方程是双曲 余弦函数，其函数表达式为 ，相应的双曲正弦函数表达式为 ．设函数 ，若实数 满足不等式 ， 则 的取值范围为 A． B． C． D． ， ， 【解答】解： ， ． ， 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增， 又 ，则 是定义在 上的奇函数， ，即 ， ，即 ，解得 ， 故 的取值范围为 ， 故选： ． 10．已知定义在 上的函数 是偶函数，当 时， ，若关于 的方程 ， 有且仅有6个不同实数根，则实数 的取值范 围是 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知，函数 的图象如图所示： 根据函数图像，函数 在 ， 上单调递增， 在 ， 上单调递减； 故 时取最大值2，在 时取最小值0， 是该图像的渐近线． 令 ，则关于 的方程 ， 即可写成 ， 此时关于 的方程应该有两个不相等的实数根， 设 ， 为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意： ①当 时，此时 ，则 ； ②当 ， 时，此时 ，则 ； 综上可知，实数 的取值范围是 ． 故选： ． 11．牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数 在 附近一点的函数值可用 代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续 迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程 ，选取初 始值 ，在下面四个选项中最佳近似解为 A．0.333 B．0.335 C．0.345 D．0.347 【解答】解：设 ，则 ， ， ， ， 则 ， 令 ，解得 ， ， ， 则 ， 令 ，解得 ， 故选： ． 12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到 有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续 函数 ，存在点 ，使得 ，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数 为“不动点”函数，则实数 的取值范围是 A． B． C． ， D． ， 【解答】解：依题意得若函数 为不动点函数，则满足 ， 即 ，即 ，设 ， ， 令 ，解得 ， 当 时， ，所以 在 上为增函数， 当 时， ，所以 在 上为减函数， 所以 ， 当 时， ， 当 时， ， 所以 的图象为： 要想 成立，则 与 有交点，所以 ，对应区间为 ， 故选： ． 13．若关于 的方程 有3个不同实根，则满足条件的整数 的个数是 A．24 B．26 C．29 D．31【解答】解：由 ，得 ， 则关于 的方程 有3个不同实根， 即为函数 ， 的图象有3个不同的交点， 令 ，则 ， 当 或 时， ，当 时， ， 所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ， （2） ， 当 趋向负无穷时， 趋向负无穷，当 趋向正无穷时， 趋向正无穷， 作出函数 的大致图象，如图所示， 由图可得 ，所以 ， 所以满足条件的整数 的个数是 个． 故选： ． 14．函数 的零点个数是 A．1 B．5 C．6 D．7【解答】解： ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 作出函数 以及函数 的图象如下图所示， 由图象可知，函数 以及函数 的图象共有7个交点，则所求零点个数为7个． 故选： ． 15．设 是定义在 上的函数，若 是奇函数， 是偶函数，函数 ，则下列说法正确的个数有 （1）当 ， 时， ；（2） ； （3）若 ，则实数 的最小值为 （4）若 有三个零点，则实数 ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：因为 是奇函数， 是偶函数， 所以 ，解得 ， 由 ， 当 时， ， 则 ，所以 ， 同理：当 时， ， 以此类推，我们可以得到如下 的图象： 对 于 （ 1 ） ： 根 据 上 述 规 律 ， 当 时 ， ，故（1）错误； 对于（2）：根据图象， 刚好是相邻两个自然数中间的数，则 刚 好 是 每 一 段 图 象 中 的 极 大 值 ， 代 入 函 数 解 析 式 得 ，故（2）正确； 对于（3）：根据图象，当 时 ， 由图像可得（3）正 确； 对于（4）： 有三个零点， 等价于函数 与函数 有三个不同的交点，设 ， 则函数 的图象为恒过点 的直线，如图所示． 当函数 与 ， 相切的时候，有三个交点， 相切时斜率 小于直线 的斜率，直线 的斜率为 ， 故 有三个零点， ，故（4）错误． 说法正确的个数为2． 故选： ． 16．不等式 解集中有且仅含有两个整数，则实数 的取值范围是 A． B． ， C． ， D． 【解答】解：由题意可知， ，设 ， ． 由 ．可知 在 上为减函数，在 ， 上为增 函数， 的图象恒过点 ，在同一坐标系中作出 ， 的图象如图，若有且只有两个整数 ， ，使得 ， 且 ，则 ，即 ， 解得 ， 故选： ． 17．已知函数 ，若方程 有四个不同的解 ， ， ， ，且 ，则 的取值范围是 A． ， B． ， C． D． ， 【解答】解：由题意作函数 与 的图象如下，方程 有四个不同的解 ， ， ， ，且 ， ， 关于 对称，即 ， 当 得 或 ，则 ，故 ， 故选： ． 18．函数 的零点所在的区间为 A． B． C． D． 【解答】解： 函数 ， 单调递增， （1） ， （2） ， （3） ， 根据函数零点的存在性定理得出：零点所在区间是 ． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 19．已知函数 ，在下列区间中，一定包含 零点的区间是 A． B． C． D． 【解答】解： ，， ， （1） ， （2） ， （3） ， 由零点存在性定理得函数 一定包含 零点的区间是 ， 和 ， 故选： ． 20．已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，且有如表对应值表： 1 2 3 4 5 31 23 则一定包含 的零点的区间是 A． B． C． D． 【解答】解：由已知得： 在定义域内连续， 且 （1） （2） ， （3） （4） ， （4） （5） ， 所以一定包含 的零点的区间是 ， ， ． 故选： ． 21．已知函数 ， 为自然对数的底数），则下列说法正确 的是 A．方程 至多有2个不同的实数根 B．方程 可能没有实数根 C．当 时，对 ，总有 成立 D．当 ，方程 有4个不同的实数根【解答】解： ， 由 ，得 ，由 ，得 ， 对于 、 ：若 ，则 时， 无实数根， 当 时， ，解得 ， 综上所述， 时， 有1个实数根 ； 当 时， 时， ，解得 ， 当 时， ，解得 ， 综上所述， 时， 有2个实数根 ， ； 当 时，则 时， ，解得 ， 时， 无实数根， 综上所述， 时， 有1个实数根 ， 故方程 至多有2个不同的实数根，故 正确， 错误； 对于 ， 当 时， 在 ， 上单调递增， 在 上单调递增， ， ， 在 上单调递增，即对 ，总有 成立，故对 ，总有 成立，故 正确； 对于 ：当 时， ， 由选项 得 ，解得 或 ， 则 ，即 或 ， 由 ，得 ， ， 由 ，得 ， ，故 正确， 故选： ． 22．已知直线 分别与函数 和 的图象交于点 ， ， ， ，则 A． B． C． D． 【解答】解：画出图形，如图， 由于函数 和函数 是互为反函数， 故函数 及函数 的图象关于直线 对称， 从而直线 与函数 及函数 的图象的交点 ， ， ， 也 关于直线 对称， ， ， 又 ， 在 上，即有 ，故 ， ， 故选项 正确， 对于 ， ， 构造函数 ， ， 则 ， 所以 在 ， 上单调递增， 所以 ，即 ，故 正确． 对于 ，令 ， ， ， 所以 在 上单调递增， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以所以 ，故 错误． 对于 ，因为直线 分别与函数 和 的图象交于点 ， ， ， ， 所以 ， ， 所以 ， ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，故 正确． 故选： ． 23．已知函数 ，若函数 恰有两个零点，则实数 不可能是 A． B． C．0 D．1 【解答】解： ， 则函数 的图象，如图所示： 函数 恰有两个零点，即 有两个实数根，转化为 的图象与 有两个交点， 由图象得 ， 又当 时， ，由图象得 ， 或 ，符合题意， 故实数 的取值范围为 ， 故选： ． 三．填空题（共5小题） 24．已知函数 ，则 的最小值是 ，若关于 的方程有且仅有四个不同的实数解，则整数 的取值范围是 ． 【解答】解：当 时， ，由二次函数的性质可知，当 时， 取得最小值为 ； 当 时， ； 所以函数 的最小值是 ； 作出函数 的图象如下图所示， 由图可知，当 时，函数 与函数 的图象无交点， 当 或 时，函数 与函数 的图象有4个交点， 当 时，函数 与函数 的图象有3个交点，当 时，函数 与函数 的图象有2个交点， 则符合题意的整数 为0或1， 故答案为： ； ， ． 25．方程 的解集为 ， ． 【解答】解： ，故 ， 即 ， ， ， 又 ， ， 所以 ， 在第一象限， 故 ， ， 故答案为： ， ． 26．已知函数 的定义域为 ，对任意 ，有 ，且 （1） ， 则不等式 的解集为 ， ， ． 【解答】解：根据题意，设 ， （1） ，则 （1） （1） ， 若对任意 ，有 ，则有 ， 必有 ， 函数 为 上的减函数， （1）， 则有 ，必有 ，解可得 或 ， 即不等式的解集为： ， ， ．故答案为： ， ， ． 27．已知函数 ，当方程 有3个实数解时， 的取值范围是 ， ． 【解答】解：方程 有3个实数解，等价于函数 的图象与直线 有3个 公共点， 因当 时， 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增， ， ，当 时， 单调递增， 取一切实数， 在同一坐标系内作出函数 的图象及直线 ，如图： 由图象可知，当 时，函数 的图象及直线 有 3 个公共点，方程 有3个解， 所以 的取值范围为 ， ． 故答案为： ， ． 28 ． 已 知 函 数 ， ， ， ， 则 满 足 不 等 式 的实数 的取值范围是 ， ．【解答】解：根据题意，函数 ， ， ， ， 则 ，则函数 为偶函数， 在区间 ， 上， ，其导数 ， 由于 ， ，则 ，易得 ，则 在 ， 上为增函数， 则 ， 解可得 ，即实数 的取值范围为 ， ． 故答案为： ， ． 四．解答题（共3小题） 29．已知函数 ． （1）求 的值； （2）若关于 的方程 有且只有一个实根，求实数 的取值范 围． 【解答】解：（1）因为 ， 所以 ； （2）因为 ， 所以 ， 则 ， 即 ， 设 ，因为 ，当 时， ， 则 在 上有且只有一个实根， 当 时， （1） ，不成立； 当 时，△ ， 解得 ， 则 ， 当 时， ，则 在 有且只有一个实根， 则 ，解得 ； 综上：实数 的取值范围是 ． 30．已知函数 满足 ． （1）若关于 的方程 恰有四个不同实数根，求实数 的取值范围； （2）若 对定义域中的 恒成立（其中 ，求 的最大值． 【解答】解：（1）根据题意可得 ①， ②， ① ② 得， ． 关于 的方程 恰有四个不同的实数根， 当 时， ， 此时方程只有一个实数根 ，不符合题意， 所以 ， ，所以方程可化为 ， 令 转化为 有四个根， 所以 与 有四个交点， 所以 或 ， 所以 ， ， ． （2）因为 对定义域内的 恒成立，即 对于定义域内的 恒成立， ①当 时，函数 是单调递减函数， 不能使 恒成立， ②当 时， 得 ， 令 ，则 ， 令 ，得 ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 为增函数， 所以 ， 令 ， ， ， 令 ，得 ， 所以 时， ， 为增函数， ， 时， ， 为减函数，所以 ， 所以 的最大值为 ． 31．已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ． （1）求函数 的解析式；并画出函数图象； （2）根据图象写出函数的单调区间，最值，若 有三个解，求实数 的取值范 围； （3）函数 ， ，当 ， 时，求函数 的最小值． 【解答】解：（1）因为 是定义在 上的奇函数，所以 ， 设 ，则 ，所以 ， 又因为 是奇函数，所以 ，即 ， 综上所述， ． 图象如图： （2）函数的单调增区间为： 和 ，单调减区间为： ． 有三个解，即 有三个解，由图象得， ． （3）因为 ， ，所以 ， 当 ，即 时， 在 ， 上单调递增， 的最小值 （1） ， 当 ，即 时， 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增， 的最小值 ， 当 ，即 时， 在 ， 上单调递减， 的最小值 （2） ．