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专题 19.1 二次根式的概念
1. 掌握二次根式的定义，能够熟练的判断二次根式。
教学目标 2. 掌握二次根式有无意义的条件，并能够根据二次根式有无意义的条件熟练的求字母
的范围以及进行相关的求值
1. 重点
（1）二次根式的定义；
（2）二次根式有意义的条件。
2. 难点
教学重难点
（1）判断被开方数是式子的二次根式；
（2）存在多个二次根式，以及二次根式在分母的位置上时求二次根式有意义的条
件；
（3）利用二次根式有意义先求取值范围再求式子的值。知识点01 二次根式的定义
1. 二次根式的定义：
❑√a(a≥0)
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式。其中 叫做 二次根号 ， 叫做
被开方数 。被开方数可以是数，也可以是式子。但必须是非负数。
判断一个式子是不是二次根式需判断是不是含有二次根号以及被开方数是否大于等于 0。两者必须同
时满足。
【即学即练1】
√1 √ 1
1．下列式子中，①❑ ；②❑√−5；③−❑√x2+2；④❑√4；⑤❑(− ) 2；④❑√1−a；⑦❑√a2−2a+1．
5 3
其中二次根式有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
√1 √ 1
【解答】解：在①❑ ；②❑√−5；③−❑√x2+2；④❑√4；⑤❑(− ) 2；④❑√1−a；⑦❑√a2−2a+1
5 3
中，
√1 √ 1 2 √1
二次根式有❑ ，−❑√x2+2，❑√4，❑(− ) =❑ ，❑√a2−2a+1=❑√(a−1) 2共五个．
5 3 9
故选：C．
知识点02 二次根式有无意义的条件
1．二次根式有无意义的条件：
a≥0
二次根式有意义必须满足二次根式的被开方数 大于等于 0。即 中， 。 二次根式无意
a<0
义的条件是被开方数 小于 0，及 中， 。
注意：当二次根式存在在分母的位置时，被开方数只能大于零。
【即学即练1】
2．式子❑√a−5在实数范围内有意义，则a的值可以是（ ）
A．﹣3 B．0 C．4 D．6
【答案】D
【解答】解：式子❑√a−5在实数范围内有意义，
则a﹣5≥0，
解得：a≥5，
则只有6符合题意，故选：D．
【即学即练2】
1
3．若代数式 有意义，则x的取值范围是 x ＜ 3 ．
❑√3−x
【答案】x＜3．
1
【解答】解：代数式 有意义的x的取值范围是3﹣x＞0，
❑√3−x
解得x＜3，
故答案为：x＜3．
【即学即练3】
❑√x−2
4．若式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
x
A．x≥2且x≠0 B．x＞2 C．x＞2且x≠0 D．x≥2
【答案】D
【解答】解：根据题意可知，x﹣2≥0，
解得：x≥2，
∵分母x≠0；
又∵x≥2时，x≠0恒成立，
∴x的取值范围为：x≥2．
故选：D．
【即学即练4】
5．若y=❑√2x−1+3❑√1−2x−2，则代数式xy的值为（ ）
1 1
A．4 B． C．﹣4 D．−
4 4
【答案】A
【解答】解：根据题意，得
{2x−1≥0)
，
1−2x≥0
1
解得x= ，
2
∴y＝﹣2；
1 −2
∴xy=( ) =4．
2
故选：A．题型01 判断二次根式
【典例1】下列各式是二次根式的是（ ）
A．❑√−2 B．√33 C．❑√a D．❑√5
【答案】D
【解答】解：A．❑√−2中被开方数﹣2＜0，不是二次根式，故不符合题意；
B．√33的根指数是3，不是2，不是二次根式，故不符合题意；
C．❑√a中被开方数a不一定大于0，不是二次根式，故不符合题意；
D．❑√5是二次根式，故符合题意．
故选：D．
【变式1】下列式子中，不一定是二次根式的是（ ）
A．❑√12 B．❑√x2−2xy+ y2
C．❑√x−1 D．❑√(−2)×(−3)
【答案】C
【解答】解：A、❑√12，被开方数12＞0，总是二次根式，不符合题意；
B、❑√x2−2xy+ y2中x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2≥0，总是二次根式，不符合题意；
C、❑√(x−1)，当x＜1时，x﹣1＜0，无意义，不一定是二次根式，符合题意；
D、❑√(−2)×(−3)中（﹣2）×（﹣3）＝6＞0，总是二次根式，不符合题意．
故选：C．
【变式2】下列各式中，是二次根式的有（ ）
√1 1
①❑√7；②❑√−3；③√310；④❑ − ；⑤❑√ab；⑥❑√3−x(x≤3)；⑦❑√−2x(x＞0)；⑧
3 2
√b
❑√(a−3) 2；⑨❑√−x2−1；⑩❑ ．
a
A．3个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】A
【解答】解：①❑√7是二次根式；
②❑√−3，被开方数为负数，不是二次根式；
③√310，根指数是3，不是二次根式；
√1 1 √ 1
④❑ − =❑− ，被开方数为负数，不是二次根式；
3 2 6
⑤❑√ab，当ab＜0时，不是二次根式；
⑥❑√3−x(x≤3)是二次根式；
⑦❑√−2x(x＞0)，﹣2x＜0，被开方数为负数，不是二次根式；
⑧❑√(a−3) 2，被开方数为非负数，是二次根式；⑨❑√−x2−1，﹣x2﹣1＜0，不是二次根式；
√b b
⑩❑ ，当 ＜0时，不是二次根式；
a a
所以是二次根式的有①⑥⑧，共3个，
故选：A．
题型02 根据二次根式有无意义的条件求范围
【典例1】若代数式❑√x+2024有意义，则实数x的取值范围是 x ≥﹣ 2024 ．
【答案】x≥﹣2024．
【解答】解：根据题意可知，x+2024≥0，
解得：x≥﹣2024．
故答案为：x≥﹣2024．
❑√m+1
【变式1】若式子 在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）
m−1
A．m＞﹣1，且m≠1 B．m≠0
C．m≥﹣1，且m≠1 D．m≠1
【答案】C
【解答】解：由题意得：m+1≥0，且m﹣1≠0，
即m≥﹣1，且m≠1，
∴m的取值范围是m≥﹣1，且m≠1，
故选：C．
x
【变式2】使得式子 有意义的x的取值范围是（ ）
❑√4−x
A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4
【答案】D
x
【解答】解：使得式子 有意义，则：4﹣x＞0，
❑√4−x
解得：x＜4，
即x的取值范围是：x＜4．
故选：D．
【变式3】若❑√−xy和❑√x−y（x≠0，y≠0），两个二次根式有意义，则（ ）
A．x＞0，y＞0 B．x＜0，y＜0 C．x＞0，y＜0 D．x＜0，y＞0
【答案】C
【解答】解：根据题意得﹣xy＞0且x﹣y≥0，
解得x＞0，y＜0．
故选：C．题型03 根据二次根式有无意义的条件求值
【典例1】若y=❑√x−2+❑√2−x+5，求x+y的值（ ）
A．﹣7 B．﹣5 C．7 D．5
【答案】C
{x−2≥0)
【解答】解：由二次根式有意义的条件，可得 ，
2−x≥0
{x≥2)
解得： ，
x≤2
∴x＝2，
∴y＝5，
∴x+y＝2+5＝7．
故选：C．
【变式1】已知a，b为实数，且b=❑√a−8−❑√8−a+25，则√3 a+❑√b的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】D
【解答】解：根据题意可知，a﹣8≥0，8﹣a≥0，
解得：a＝8，b＝25，
∴√3 a+❑√b=√38+❑√25=2+5=7．
故选：D．
【变式2】已知实数a满足|2024−a|+❑√a−2025=a，则a﹣20242的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．20242 D．20252
【答案】B
【解答】解：已知实数a满足|2024−a|+❑√a−2025=a，
∵❑√a−2025要有意义，
∴a﹣2025≥0，
∴a≥2025，
∴2024﹣a＜0，
∴|2024−a|+❑√a−2025=a−2024+❑√a−2025=a，即❑√a−2025=2024，
∴a﹣2025＝20242，
∴a﹣20242＝2025，
故选：B．
【变式3】已知a，b，c为一个等腰三角形的三条边长，且a，b满足b=❑√a−2+❑√2−a+5，则此等腰三
角形的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．无法计算
【答案】A{a−2≥0)
【解答】解：由条件可知 ，
2−a≥0
∴a＝2，
∴b=❑√a−2+❑√2−a+5=5，
当腰长为2时，则等腰三角形的三边长为2，2，5，
∵2+2＜5，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为5时，则等腰三角形的三边长为2，5，5，
∵2+5＞5，
∴此时能构成三角形，符合题意
∴此等腰三角形的周长为2+5+5＝12；
故选：A．
❑√16−x2+❑√x2−16−1 7
【变式4】已知实数x、y满足y= ，求 x+ y的立方根．
x+4 8
3
【答案】 ．
2
【解答】解：∵16﹣x2≥0，x2﹣16≥0，
∴x2＝16，
解得x＝±4，
又∵分母中x+4≠0，
∴x≠﹣4，
∴x＝4，
0+0−1 1
∴y= =− ，
4+4 8
7 7 1 27
∴ x+ y= ×4− = ，
8 8 8 8
7 √27 3
∴ x+ y的立方根为3 = ．
8 8 2
1．下面是二次根式的是（ ）
1
A． B．√32 C．❑√2 D．❑√−4
3
【答案】C
1
【解答】解：A、 为分数，不是二次根式，选项不符合题意；
3B、√32的根指数为3，不符合题意；
C、❑√2根指数为2且被开方数是非负数，选项符合题意；
D、❑√−4被开方数为﹣4＜0，在实数范围内无意义，不符合题意．
故选：C．
2．若❑√a是二次根式，则a的值不能是（ ）
1
A． B．3.14 C．﹣2 D．0
7
【答案】C
【解答】解：若❑√a是二次根式，则a≥0，
所以a的值不能是﹣2，
故选：C．
3．若二次根式❑√3x−5在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
5 5 5 5
A．x≤ B．x≥ C．x＞− D．x＞
3 3 3 3
【答案】B
【解答】解：若二次根式❑√3x−5在实数范围内有意义，
则3x﹣5≥0，
5
解得：x≥ ，
3
故选：B．
4．已知x为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（ ）
A．❑√x B．❑√1+x
❑√2x2+1
C． D．❑√x2+1
x2
【答案】D
【解答】解：根据二次根式有意义时被开方数大于或等于零、分式有意义时，分母不等于零可得：
A．当x＜0时，❑√x没有意义，不符合题意；
B．当1+x≥0，即x≥﹣1时，❑√1+x有意义，即当x＜﹣1时，❑√1+x无意义，不符合题意；
{2x2+1≥0) ❑√2x2+1 ❑√2x2+1
C．当 ，即x≠0时， 有意义，即当x＝0时， 无意义，不符合题意；
x2≠0 x2 x2
D．当x2+1≥0，即x取全体实数时，❑√x2+1有意义，符合题意．
故选：D．
1
5．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
❑√2x−1
1 1 1 1
A．x≥ B．x≤ C．x＞ D．x＜
2 2 2 2【答案】C
【解答】解：由分母不为零且二次根式的被开方数不小于零的条件可知，
2x﹣1＞0，
1
∴x＞ ．
2
故选：C．
❑√3−x
6．若式子y= 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
2−x
A．x≤3且x≠2 B．x＞3 C．x≥3 D．2≤x≤3
【答案】A
{3−x≥0)
【解答】解：根据题意得： ，
2−x≠0
解得：x≤3且x≠2．
故选：A．
7．如图，x的取值范围在数轴上表示如下，满足该范围的任意x的值都能使下列二次根式有意义的选项是
（ ）
A．❑√x B．❑√x−1 C．❑√x−2 D．❑√x+1
【答案】D
【解答】解：x的取值范围在数轴上表示如下，
A、当﹣1≤x＜0时，❑√x没有意义，故此选项不符合题意；
B、当﹣1≤x＜1时，❑√x−1没有意义，故此选项不符合题意；
C、当﹣1≤x＜2时，❑√x−2没有意义，故此选项不符合题意；
D、当x≥﹣1时，❑√x+1有意义，故此选项符合题意．
故选：D．
8．已知y=❑√x−1+❑√1−x+x−2，则❑√10x+ y的值为（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣5
【答案】B
{1−x≥0)
【解答】解：根据题意得： ，
x−1≥0
解得：x＝1．
则y＝﹣1．
则❑√10x+ y=❑√10×1−1=3．
故选：B．
9．若❑√1−2n+❑√2n−1有意义，则（﹣n）2的平方根是（ ）1 1 1 1
A． B． C．± D．±
4 2 4 2
【答案】D
【解答】解：∵❑√1−2n+❑√2n−1有意义，
∴1﹣2n＝2n﹣1＝0，
1
解得：n= ，
2
1
∴（﹣n）2= ，
4
1
∴（﹣n）2的平方根是：± ．
2
故选：D．
10．若m、x、y满足关系式❑√m−2+❑√2−x+ y+❑√x−y−2=2，则❑√m的值为（ ）
A．❑√6 B．6 C．2 D．❑√2
【答案】A
【解答】解：由条件可知m﹣2≥0，2﹣x+y≥0，x﹣y﹣2≥0．
由 x﹣y﹣2≥0 得 x﹣y≥2，
由 2﹣x+y≥0 得 2﹣（x﹣y）≥0，即 x﹣y≤2，
∴x﹣y＝2．
代入原式：❑√2−x+ y=❑√2−(x−y)=❑√0=0，
❑√x−y−2=❑√2−2=❑√0=0，
∴❑√m−2=2，
两边平方得 m﹣2＝4，即 m＝6，
∴❑√m=❑√6．
故选：A．
11．请写出一个大于2且小于3的二次根式： ❑√5（答案不唯一） ．
【答案】❑√5（答案不唯一）．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜❑√5＜3，
∴写出一个大于2且小于3的无理数是❑√5．
故答案为：❑√5（答案不唯一）．
12．请任意写出一个能使❑√3−m有意义的m值： 1 ．
【答案】1（答案不唯一）．
【解答】解：∵3﹣m≥0，
∴m≤3．
故答案为：1（答案不唯一）．√1−x
13．若式子❑ 有意义，则x的取值范围是 0 ＜ x ≤ 1 ．
x
【答案】0＜x≤1．
√1−x
【解答】解：∵式子❑ 有意义，
x
{1−x
≥0)
∴ x ，
x≠0
{1−x≥0) {1−x≤0)
∴ 或 ，
x＞0 x＜0
解得0＜x≤1．
故答案为：0＜x≤1．
14．若m=❑√x−6+❑√6−x+4，n＝x﹣9，则m﹣n的值为 7 ．
【答案】7．
{x−6≥0)
【解答】解：由题可得 ，
6−x≥0
解得x＝6，
把x＝6代入m=❑√x−6+❑√6−x+4，
∴m＝4，
把x＝6代入n＝x﹣9，
∴n＝6﹣9＝﹣3，
∴m﹣n＝4﹣（﹣3）＝7，
故答案为：7．
15．已知实数a满足|2025−a|+❑√a−2026=a，那么a﹣20252的值是 202 6 ．
【答案】2026．
【解答】解：由题可知，
a﹣2026≥0，
解得a≥2026，
∵|2025−a|+❑√a−2026=a，
∴a−2025+❑√a−2026=a，
∴a﹣2026＝20252，
∴a﹣20252＝2026，
故选：2026．
16．已知，y=❑√x−20+❑√30−x，且x、y均为整数，求x+y的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意知：20≤x≤30，又因为x，y均为整数，
所以x﹣20，30﹣x均需是一个整数的平方，
所以x﹣20＝1，30﹣x＝1，
故x只能取21或29，
当x＝21时，y＝4，x+y的值为25；
当x＝29时，y＝4，x+y的值为33．
故x+y的值为25或33．
17．（1）已知：y=❑√x−2017−❑√2017−x−2016，求x+y的平方根．
（2）已知一个正数x的两个平方根分别是a+1和a+3，求这个数x．
【答案】见试题解答内容
【解答】解（1）由题意可知：x﹣2017≥0且2017﹣x≥0，
∴x≥2017且x≤2017，
∴x＝2017，
y＝﹣2016，
∴x+y＝2017﹣2016＝1，
∴x+y的平方根是±1
（2）由题意可知：a+1+a+3＝0，
∴a＝﹣2
∴a+1＝﹣1
∴这个数为x＝（﹣1）2＝1
18．化简计算
y2−2y+1 1
（1）化简 ÷(1− )；
xy y
（2）请说明（1）中式子的值能否为0；
3
（3）当y=❑√x−7+❑√7−x−2时，（1）中式子的值为 − ．
7
y−1
【答案】（1） ；
x
（2）根据分式有意义的条件得到y﹣1≠0，
y−1
∴ ≠0；
x
3
（3）− ．
7
y2−2y+1 1
【解答】6解：（1） ÷(1− )
xy y
(y−1) 2 y−1
= ÷
xy y(y−1) 2 y
= ⋅
xy y−1
y−1
= ；
x
（2）根据分式有意义的条件得到y﹣1≠0，
y−1
∴ ≠0；
x
（3）∵y=❑√x−7+❑√7−x−2，x−7≥0，7−x≥0，
∴x＝7，y＝﹣2，
y−1 −2−1 3
∴ = =− ，
x 7 7
3
即（1）中式子的值为− ，
7
3
故答案为：− ；
7
19．问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法．
y
例：已知y=❑√2024−x+❑√x−2024+2025，求 的值．
x
{2024−x≥0，)
解：由 得x＝2024，
x−2024≥0，
y 2025
∴y＝2025，∴ = ．
x 2024
|1−y|
（1）尝试应用：若x，y为实数，且y＞❑√x−3+❑√3−x+2，化简： ；
y−1
（2）拓展创新：已知b=❑√ab−10+❑√20−2ab−a+7，求a﹣b的值．
【答案】见试题解答内容
{x−3≥0)
【解答】解：（1）由题意得： ，
3−x≥0
解得：x＝3，
∴y＞2，
∴1﹣y＜0，
∴¿¿1；
{ab−10≥0 )
（2）由题意得： ，
20−2ab≥0
解得：ab＝10，
∴b＝﹣a+7，
∴a+b＝7，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝72﹣4×10＝9，∴a﹣b＝±3．
20．如图，在河岸EF和河岸GH（EF∥GH）上分别安置了A、B两盏探照灯，若灯A发出射线AM自AF
逆时针旋转至AE便立即回转，灯B发出射线BN自BG逆时针旋转至BH便立即回转．若灯A转动的速
度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足a=❑√b−1+❑√1−b+4．
（1）求a、b的值；
（2）如图1，若灯B射线先转动2秒，灯A射线才开始转动，设A灯转动t秒（t＜90），问t为何值时，
两灯的光束互相平行？
（3）如图2，连接AB，∠BAE＝60°，两灯同时转动，射出的光束交于点C，过C作CP⊥AC交GH于
∠BCP
点P，则在灯A自AF转至AE之前， 的比值是否发生变化？若不变，求其值；若改变，请求出
∠BAC
其取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵a=❑√b−1+❑√1−b+4，
{b−1≥0)
∴ ，
1−b≥0
解得：b＝1，
∴a＝4；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
由题意得，at＝b（t+2）或360﹣at＝2+t，
即4t＝t+2，360﹣4t＝2+t，
2 358
解得：t= ；或t= ；
3 5
2 358
故t为 s或 s时，两灯的光束互相平行；
3 5
（3）不变，如图3，过C作CQ∥GH，∵GH∥EF，
∴CQ∥EF，
设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAE＝180°﹣4t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣4t）＝4t﹣120°，
又∵GH∥EF∥CQ，
∴∠GBC＝∠BCQ，∠ACQ＝∠CAE，
∴∠BCA＝∠CBG+∠CAE＝t+180°﹣4t＝180°﹣3t，
而∠ACP＝90°，
∴∠BCP＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣90°，
∠BCP 3t−90° 3
∴ = = ．
∠BAC 4t−120° 4
