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专题16.23 二次根式（直通中考）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021·上海·统考中考真题）下列实数中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·湖北恩施·统考中考真题）函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
3．（2022·内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 的化简结果是
（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
4．（2021·内蒙古·统考中考真题）若 ，则代数式 的值为（ ）
A．7 B．4 C．3 D．
5．（2021·广东·统考中考真题）设 的整数部分为a，小数部分为b，则 的值是
（ ）
A．6 B． C．12 D．
6．（2021·湖南娄底·统考中考真题） 是某三角形三边的长，则 等于（ ）
A． B． C．10 D．4
7．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例
是（ ）
A． B． C． D．8．（2020·湖北宜昌·中考真题）对于无理数 ，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结
果能成为有理数的是（ ）．
A． B． C． D．
9．（2019·湖北宜昌·统考中考真题）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角
形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 ， ， ，记
，那么三角形的面积为 如图，在 中， ， ， 所对
的边分别记为 ， ， ，若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2019·湖北·统考中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：
，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的
无理数，如：对于 ，设 ，易知 ，故 ，由
，解得 ，即 ．
根据以上方法，化简 后的结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023·山东潍坊·统考中考真题）从 、 ， 中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
12．（2022·四川遂宁·统考中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简
．
13．（2019·山东菏泽·统考中考真题）已知 ，那么 的值是 ．
14．（2020·内蒙古·中考真题）计算： ．
15．（2021·四川眉山·统考中考真题）观察下列等式： ；
；
；
……
根据以上规律，计算 ．
16．（2022·四川眉山·中考真题）将一组数 ，2， ， ，…， ，按下列方式进行排列：
，2， ， ；
， ， ，4；
…
若2的位置记为 ， 的位置记为 ，则 的位置记为 ．
17．（2021·青海·统考中考真题）观察下列各等式：① ；② ；③…根据以上规律，请写出第5个等式： ．
18．（2021·湖北黄冈·统考中考真题）人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选
法中的 法就应用了黄金分割数．设 ， ，则 ，记 ，
，…， ．则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·湖北恩施·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
20．（8分）（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中
．
21．（10分）（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中
．
22．（10分）（2020·内蒙古通辽·中考真题）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如： ．
（1）求 ；
（2）若 ，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
23．（10分）（2013·贵州黔西·中考真题）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式
子可以写成另一个式子的平方，如： ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为整数），则有 ．
∴ ．这样小明就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝
，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ＋ ＝（ ＋ ）2；
（3）若 ，且a、b、m、n均为正整数，求a的值．24．（12分）（2023·湖南张家界·统考中考真题）阅读下面材料：
将边长分别为a， ， ， 的正方形面积分别记为 ， ， ， ．
则
例如：当 ， 时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当 ， 时， ______， ______；
（2）当 ， 时，把边长为 的正方形面积记作 ，其中n是正整数，从（1）中的计
算结果，你能猜出 等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当 ， 时，令 ， ， ，…， ，且
，求T的值．参考答案：
1．C
【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可
解：
A、 ∵ 是无理数，故 是无理数
B、 ∵ 是无理数，故 是无理数
C、 为有理数
D、 ∵ 是无理数，故 是无理数
故选：C
【点拨】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键
2．D
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件解答即可.
解：∵ 有意义，
∴x+1≠0，2-3x≥0，
解得： 且 ，
故选D.
【点拨】本题考查分式及二次根式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0；要使二次根式有意
义，被开方数大于等于0.
3．B【分析】根据数轴得∶ 00， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可．
解：解∶∵根据数轴得∶ 00， a-1<0，
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a
=2．
故选∶B．
【点拨】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握 是解题的关键．
4．C
【分析】先将代数式 变形为 ，再代入即可求解．
解： ．
故选：C
【点拨】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算．
5．A
【分析】首先根据 的整数部分可确定 的值，进而确定 的值，然后将 与 的值代入计算即可得
到所求代数式的值．
解：∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分 ，
∴小数部分 ，
∴ ．
故选： ．
【点拨】本题考查了二次根式的运算，正确确定 的整数部分 与小数部分 的值是解题关键．
6．D【分析】先根据三角形三边的关系求出 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
解： 是三角形的三边，
，
解得： ，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出 的范围，再对二次根
式化简．
7．C
【分析】根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断．
解：A、 ，是无理数，不符合题意；
B、 ，是无理数，不符合题意；
C、 ，是有理数，符合题意；
D、 ，是无理数，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了无理数的概念以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则和定义是解题的关键．
8．D
【分析】分别计算出各选项的结果再进行判断即可．
解：A． 不能再计算了，是无理数，不符合题意；
B． ，是无理数，不符合题意；
C． ，是无理数，不符合题意；
D． ，是有理数，正确．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了二次根式的运算，辨别运算结果，区分运算结果是否是有理数是解题的关键．
9．A【分析】利用阅读材料，先计算出 的值，然后根据海伦公式计算 的面积；
解： ， ， ．
，
的面积 ；
故选A．
【点拨】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．
10．D
【分析】根据题中给的方法分别对 和 进行化简，然后再进行合并即可.
解：设 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴原式 ，
故选D．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介
绍的方法是解题的关键.
11． （或 或 ，写出一种结果即可）
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
解：①选择 和 ，
则．
②选择 和 ，
则
．
③选择 和 ，
则
．
故答案为： （或 或 ，写出一种结果即可）．
【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
12．2
【分析】利用数轴可得出 ，进而化简求出答案．
解：由数轴可得： ，
则
∴
==
=
=2．
故答案为：2．
【点拨】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
13．4
【分析】将所给等式变形为 ，然后两边分别平方，利用完全平方公式即可求出答案．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为4
【点拨】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式.注意
正确的变形可以使得运算简便.
14．
【分析】先将乘方展开，然后用平方差公式计算即可．
解：
=
=
= ．
故答案为 ．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算以及平方差公式的应用，掌握二次根式混合运算的运算法则
和平方差公式是解答本题的关键．
15．
【分析】根据题意，找到第n个等式的左边为 ，等式右边为1与 的和；利用
这个结论得到原式＝1 +1 +1 +…+1 ﹣2021，然后把 化为1﹣ ， 化为 ﹣ ，
化为 ﹣ ，再进行分数的加减运算即可．
解：由题意可知， ，
＝1 +1 +1 +…+1 ﹣2021
＝2020+1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ﹣2021
＝2020+1﹣ ﹣2021
＝ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行
简便运算．
16．
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得 的位置即可．
解：数字可以化成：
， ， ， ；， ， ， ；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵ ，28是第14个偶数，而
∴ 的位置记为
故答案为：
【点拨】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．
17．
【分析】根据左边根号外的因数与根号内的分子相同，根号内的分母为分子平方与1的差，右边根号
内为左边根号外与根号内两数之和，即可找到其中规律，从而写出第n个等式，再将n=6代入即可求出答
案．
解：猜想第n个为：
（n为大于等于2的自然数）；
理由如下：
∵n≥2，
∴
添项得：
，
提取公因式得：
分解分子得：
；即：
；
第5个式子，即n=6，代入得：
，
故填： ．
【点拨】本题考查二次根式的计算，需要通过观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思维能力，得
出一般性的结论；解答此题的关键是仔细观察、细致分析，局部找规律，整体找关系．
18．10
【分析】先根据 求出 （ 为正整数）的值，从而可得 的值，再求
和即可得．
解： ，
（ 为正整数），
，
，
，
，
则 ，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．
19． ，【分析】先把括号内的分式进行通分，再将除法变为乘法化简，最后代入x的值计算即可．
解：原式
当 时,
原式 ．
【点拨】本题考查了分式的化简求值和二次根式的混合运算，正确化简分式是解题的关键．
20． ，
【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为 ，再代入求值．
解：
．
当 时，原式 ．
【点拨】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的
值．21．
【分析】先将括号内的部分通分，再将分式分子、分母因式分解并化简，再计算出x的值后，将代入
即可求解．
解：原式 ，
，
，
，
当 时，
原式 ，
．
【点拨】本题考查了分式的化简求值及实数的混合计算，熟悉通分、约分和分母有理化是解题的关键．
22．（1） ；（2） ，图见分析
【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；
（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．
解：（1） =
=
=
（2）∵ ，
∴
解得：将解集表示在数轴上如下：
【点拨】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式
和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤
23．（1） ， ；（2）13，4，2，1（答案不唯一）；（3）7或13．
【分析】根据题意进行探索即可.
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．
故答案为m2＋3n2，2mn．
（2）设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．
故答案为13，4，1，2（答案不唯一）．
（3）由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．
∵4＝2mn，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，
∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13．
【点拨】本题考查二次根式的运算.根据题意找出规律是解决本题的关键.
24．（1） ， ；（2）猜想结论： ，证明见分析；（3）
【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
（1）解：当 ， 时，
原式 ；
当 ， 时，
原式 ；
（2）猜想结论：
证明：
；
（3）
．
【点拨】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．
