文档内容
人教版初中数学八年级下册
16.1.1 二次根式的概念 分层作业
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列式子中二次根式的个数有（ ）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】二次根式必须满足两个条件：被开方数大于等于0，且根指数必须是2；根据上述信息，对题中的
各个式子进行判断即可．
【详解】解：①中 ＞0，故 是二次根式；
②中3＞0，故 是二次根式；
③中 ＞0，故 是二次根式；
④ 是立方根，故 不是二次根式；
⑤中 ＞0，故 是二次根式；
⑥中x>1，则1-x<0，故 不是二次根式；
⑦中7＞0，故 是二次根式；
根据二次根式的定义可知，①②③⑤⑦是二次根式，共5个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是二次根式的判断，掌握二次根式的定义是解题的关键．一般地，我们把形如
的式子叫做二次根式．2．若式子 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 且
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵式子 有意义，
∴ ，
解得 且 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题意列出不等式是解题的关键．
3．使二次根式 有意义的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件得出 ，求出不等式的解集即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得 ，
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解决本题的关键是掌握二次根式中被开方数不能是负数．
4．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】D
【分析】根据二次根式与分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵代数式 有意义，
∴
解得： 且
故选D
【点睛】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，解一元一次不等式组，根据题意列出不等式组是解题
的关键．
5． 的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】D
【分析】首先确定 的范围，根据二次根式的性质即可得出答案．
【详解】解： ，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较和二次根式的性质的应用，知道： ， ， ．
6．若二次根式 有意义，且 是一个完全平方式，则满足条件的 值为（ ）
A． B． C．12 D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义，可得 的取值范围，根据完全平方公式即可求解．
【详解】解：二次根式 有意义，
∴ ，即 ，
又∵ 是一个完全平方式，即 或 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，且 ，故选： .
【点睛】本题主要考查二次根式有意义，完全平方公式的综合应用，掌握二次根式有意义的条件，完全平
方公式的中一次项系数的确定方法是解题的关键.
7．若二次根式 有意义，且关于分式方程 ﹣3＝ 有正整数解，则符合条件的整数m的和是
（ ）
A．5 B．3 C．﹣2 D．0
【答案】A
【分析】根据二次根有意义，可得m≤4，解出关于x的分式方程，根据解为正整数，进而确定m的值，注
意增根时m的值除外，然后求和即可．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，
∴m≤4，
去分母得， ，
解得，x= ，
∵关于x的分式方有正整数解，
∴m=-2，1，4，
又∵x=1是增根，即当x=1时， ，
解得： ，
∴ ，
∴m可以为1，4，
∴其和为 ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正整数
解，整数m的意义是正确解答的关键．
二、填空题：8．当 ______时，式子 有意义．
【答案】 ##
【分析】根据二次根式有意义的条件得 ，进行计算即可得．
【详解】解：由题意得，
，
即当 时，式子 有意义，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件，正确计算．
9．若二次根式 有意义，则x的取值范围是______________．
【答案】
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ， ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负
数，分式分母不等于0．
10．若式子 有意义，则 的取值范围是______．
【答案】 且 ##x≠1且x≤2
【分析】根据二次根式有意义的条件和零指数幂有意义的条件，列出不等式求解即可．【详解】解：根据 有意义，可得： ，解得： ，
根据 有意义，可得： ，解得： ，
综上可得： 的取值范围是 且 ．
故答案为： 且
【点睛】本题考查了二次根式有意义和零指数幂有意义，解本题的关键在熟练掌握其有意义的条件．二次
根式有意义的条件：被开方数大于等于零．零指数幂有意义的条件：底数不为零．
11．等式 成立的条件是___________．
【答案】 ##
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵等式 成立，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于
零，分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键．
12．若 ，则 ______．
【答案】2024
【分析】利用二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，则 ，
∴ ．
故答案为：2024．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、代数式求值，熟练掌握这些知识是解题的关键．二次根式有意
义的条件是：被开方数大于等于零．
13．已知 ，则 __________．
【答案】4
【分析】根据非负数的性质列式求出 、 的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
【详解】根据题意得， ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算
式都等于0列式是解题的关键．
三、解答题：
14．求下列二次根式中字母a的取值范围．
(1) ．(2) ．(3) ．(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)a可取任何实数
(4)
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解即可；
（2）根据二次根式有意义的条件求解即可；
（3）根据二次根式有意义的条件和平方的非负性求解即可；
（4）根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件求解即可．
【详解】（1）∵ 有意义，
∴ ，
解得： ；
（2）∵ 有意义，
∴ ，解得： ；
（3）∵ 有意义，
∴ ．
∵ ，
∴ ，必成立，
∴a可取任何实数；
（4）∵ 有意义，
∴ ，且
解得： ．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键．
15．先化简，再求值： ，其中实数x、y满足 ．
【答案】 ，-1．
【分析】先根据分式的混合运算法则把原式化简，再由二次根式有意义的条件，确定x与y的值，代入式
子运算即可．
【详解】解：
= ，
∵实数x、y满足 ．
∴x-2≥0，4-2x≥0，解得：x≥2，x≤2，
∴x=2，
∴y=-1，
∴原式= =-1．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，二次根式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16．已知a，b为等腰三角形的两边之长，它们满足等式 ，求此等腰三角形的周
长．
【答案】该三角形的周长是13或14．
【分析】根据根式有意义的条件求出a，b的值，利用分类讨论的思想思考问题即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
当a为腰，b为底时，三边为：4、4、5， ，满足三角形的条件，
∴三角形的周长为 ；
当a为底，b为腰时，三边为：4、5、5， ，满足三角形的条件，
∴三角形的周长为 ．
∴该三角形的周长是13或14．
【点睛】本题考查了等腰三角形、三角形三边关系、根式有意义的条件等知识，注意要分两种情况讨论是
正确解答本题的关键．
17．已知实数 ， ， 满足 ，求 的值．
【答案】-40
【分析】根据绝对值的非负性，二次根式的意义，完全平方公式的性质求出x、y、z，再代入
即可求解；
【详解】解：原式配方得： ，
∴x+11=0，2x-3y-2=0，z-2=0，
则x=-11，y=-8，z=2，．
【点睛】本题主要考查绝对值的非负性，二次根式的意义，完全平方公式的性质，实数的运算，掌握相关
知识是解题的关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．若 与 互为相反数，则 的绝对值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相反数的性质分别求出 的值，代入计算并求其绝对值即可．
【详解】解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值以及二次根式的非负数性质，相反数的性质以及求一个数的绝对值，根据题意
求出 的值是解本题的关键．
2．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件求出 的值，然后代入求值即可．
【详解】解： ，
， ，解得： ， ，
， ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的混合运算法则，根据二次根式有意义的条件
得出 的值是解本题的关键．
3．已知a满足|2018﹣a|+ ＝a，则a﹣20182＝（ ）
A．0 B．1 C．2018 D．2019
【答案】D
【分析】先根据二次根式有意义的条件判断a的取值范围，再去掉绝对值，两边平方，并整理即可得出答
案．
【详解】根据题意可知 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
即 ，
两边平方得 ，
所以 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式有意义的条件，求代数式的值等，掌握整体思想是解题
的关键．
二、填空题：
4．关于x的代数式 有意义，满足条件的所有整数x的和是9，则a的取值范围________．
【答案】-1＜a≤0
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围，根据满足条件的所有整数x的和是9，得到
x=4，3，2，从而1＜a+2≤2，从而得出答案．【详解】解：∵4-x≥0，x-a-2≥0，
∴a+2≤x≤4，
∵满足条件的所有整数x的和是9，
∴x=4，3，2，
∴1＜a+2≤2，
∴-1＜a≤0．
故答案为：-1＜a≤0．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围是解题
的关键．
5．已知： ； ； ； ……按此规律，请表示出第20个式
子 _____．
【答案】
【分析】根据题目中给出的式子找出一般规律，写出第20个式子即可．
【详解】解：∵第1个式子： ，
第2个式子： ，
第3个式子： ，
第4个式子： ，
∴第n个式子： ，
当n=20时， ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的是找规律，找出式子与序号的关系，是解决本题的关键．
三、解答题：
6．已知非零实数 、 满足条件 ，求 的值．
【答案】1．
【分析】先根据二次根式被开方数为非负数得出 ，即可得到 ，原式可变为
，再根据非负数的性质得到二元一次方程组，求解得到x和y的值，代入即可求出
的值．
【详解】∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得： ．
∴ ．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，解二元一次方程组，另一方面考查了非负数
和为零的基本模型．
7．已知a满足 ．
(1) 有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将 去掉绝对值符号可得______．
(2)根据（1）的分析，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据绝对值的性质化简；
（2）去掉绝对值符号，然后根据二次根式的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵ 有意义，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ； ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，能求出a≥2022是
解此题的关键．
