文档内容
人教版初中数学八年级下册
16.3.2 二次根式的混合运算 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质和二次根式的混合运算计算即可得出答案．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；
B、 ，此选项错误，不符合题意；
C、 ，此选项正确，符合题意；
D、 ，此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
2．计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将括号内化为最简二次根式，合并，再计算除法即可．
【详解】故选B．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
3．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分子分母同时乘以 即可求解．
【详解】解： ．
故选B．
【点睛】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键．
4．估计 的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】B
【分析】先根据二次根式的混合计算法则计算原式，然后对所得的结果进行估算即可得到答案．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，无理数的估算，正确根据二次根式的相关计算法则求出原
式的结果是解题的关键．
5． 与 的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．以上都不对【答案】A
【分析】根据 与 的积为1，可得出 与 互为倒数，再选择即可．
【详解】解： ，
与 互为倒数，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题时要注意观察式子的形式，灵活借助平方差公式进行运算．
6．已知 ， ，则 的值为（ ）
A．-32 B．32 C． D．
【答案】C
【分析】直接将原式变形，结合因式分解、二次根式的混合运算法则计算，进而得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ＝ab（a﹣b）
＝（4+2 ）（4﹣2 ）（4+2 4+2 ）
＝（16﹣20）×4
＝﹣16 ．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用因式分解是解题关键．
7．计算： 的结果是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【分析】利用平方差公式及积的乘方的法则对式子进行运算，从而可求解．
【详解】解：=
=
=
=
=
故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
二、填空题：
8．计算： ＝_____．
【答案】
【分析】利用二次根式的乘法法则和加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
9．计算： ______．
【答案】 ##
【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公
式和平方差公式以及二次根式的混合运算法则．
10．化简： _____．
【答案】
【分析】先找到分母得有理化因式，再利用分式的性质进行化简．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化计算是解题关键．
11．比较大小 _____ ．
【答案】
【分析】利用作差法进行比较即可，如a-b＞0，则a＞b．
【详解】解：作差法可得：
，
∵ 与0的大小并不能直接观察得出，
∴利用平方法比较 与 的大小，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
则 ，
∴
即 ＜0，∴ ，
得出： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查无理数的大小比较，可以利用近似值、作差法、分母有理化、求倒数等方法进行比较，
选择合适的方法，灵活计算是解题的关键．
12．已知 ， ，则 的值为_________．
【答案】
【分析】先把二次根式进行化简，然后把 ， ，代入计算，即可得到答案.
【详解】解：
= ，
∵ ， ，
∴原式= ；
故答案为： .
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的
混合运算的运算法则进行解题.
13．已知 ， ，则ab＝_____；a2+b2＝_____．
【答案】 1 14
【分析】先求出a+b、ab，再利用平方差公式、完全平方公式计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴a+b＝2 +2﹣ ＝4，ab＝（2+ ）（2﹣ ）
＝4﹣3
＝1．
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝42﹣2
＝14．
故答案为：1，14．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键．
三、解答题：
14．计算：
下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．
……第一步
……第二步
……第三步
任务一：填空：以上步骤中，从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________________；
任务二：请写出正确的计算过程；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提
一条建议．
【答案】一；运用完全平方公式错误，去括号错误； ；注意二次根式的化简要彻底（答案不唯一，
合理即可）
【分析】直接利用完全平方公式将原式化简，再利用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：任务一：根据题意可得第一步错误，错误的原因是运用完全平方公式错误，去括号错误；
故答案为：一；运用完全平方公式错误，去括号错误；
任务二：；
任务三：除上述错误外，二次根式的化简要彻底．
【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
15．计算：
(1) ；(2) ；(3) ；
(4) (5) ；(6)
【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)
【分析】（1）首先运算乘法和化简，再进行合并，即可求解；
（2）首先利用平方差公式以及完全平方公式化简求出即可；
（3）首先运算乘法和化简，以及进行零次幂的运算，最后再进行合并，即可求解；
（4）首先运算乘法和化简，再进行合并，即可求解；
（5）首先绝对值运算，负指数幂运算，利用平方差公式进行化简，再进行合并，即可求解；
（6）首先运算乘法和化简，再进行合并，最后进行除法运算，即可求解．
【详解】（1）解：原式=
= ；
（2）解：原式=
= ；
（3）解：原式=
=
= ；
（4）解：原式==
= ；
（5）解：原式=
=
=
= ；
（6）解：原式=
=
= ．
【点睛】此题考查实数的运算，二次根式的混合运算，负指数幂、零次幂的运算，正确应用乘法公式是解
题关键．
16．先化简．再求代数式 的值，其中
【答案】 ，
【分析】先运用分式加法法则计算括号内的，再运用分式除法法则计算即可化简，然后把x的值代入计算
即可求解．
【详解】解：当 时，原式 ．
【点睛】本题考查分式化简求值，二次根式化简，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．
17．已知 ，求 的值．
【答案】
【分析】先化简 ，然后计算 的值，再根据完全平方公式变形求得代数式的值．
【详解】解：∵
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，正确的计算是解题的关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．已知 ，那么 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意xy=3，分两种情况讨论，当x和y都大于0时，当x和y都小于0时，然后分别化简计
算即可.
【详解】解：当x＞0，y＞0时， =2 = ；当x＜0，y＜0时， =-2 =- ；
综上所述本题答案应为：C.
【点睛】二次根式的化简求值是本题的考点，分类讨论是解题的关键.
2．对于任意的正数m，n定义运算※为： ，计算 的结果为（
）
A．2﹣4 B．3 C．2 D．20
【答案】B
【分析】根据定义的新运算列出算式，然后利用二次根式的乘法和减法法则进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．
3．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为 和 的两张正方形纸片，则图中空白部分的
面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】欲求S =S FG+S MCEF，需求HC以及LM．由题意得S ABCH=HC2=16cm2，S
空白部分 矩形HL 矩形 正方形 正方
LMEF=LM2=LF2=12cm2，故可求HC，LM，LF，进而解决此题．
形
【详解】解：如图：
由题意知：S ABCH=HC2=16cm2，S LMEF=LM2=LF2=12cm2，
正方形 正方形
∴HC=4cm，LM=LF= cm．
∴S =S FG+S MCEF=HL•LF+MC•ME=HL•LF+MC•LF
空白部分 矩形HL 矩形
=（HL+MC）•LF
=（HC-LM）•LF
=
= cm2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．
二、填空题：
4．设实数 的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+b）（2a﹣b）＝_____．
【答案】 ##
【分析】根据题意先估算 的大小，求得 的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
【详解】解：∵实数 的整数部分为a，小数部分为b， ，
∴ ；（2a+b）（2a﹣b）＝
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，平方差公式，求得 的值是解题的关键．
5．观察下列三个等式：① ；② ；③ ；针对上述各等式反映
的规律，写出用n（n为正整数且n≥2）表示的等式________________．
【答案】
【分析】利用数字之间的变化规律： ， ，…进而得出等式的规律，求解即可．
【详解】解： 可化为： ，
可化为： ，
可化为： ，
∴用n（n为正整数且n≥2）表示以上各等式所反映的规律为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了数字变化的规律性问题，分式的规律性问题，二次根式的应用等知识，根据已知
数据得出数字之间的关系是解题的关键．
三、解答题：6．（1）在边长为 cm的正方形的一角剪去一个边长为 cm的小正方形，如图1，求图中
阴影部分的面积；
（2）小明是一位爱动脑筋的学生，他发现沿图1中的虚线将阴影部分前开，可拼成如图2的图形，请你根
据小明的思路求图1中阴影部分的面积
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据阴影部分面积=边长为 的正方形面积-边长为 的正方形面积求
解即可；
（2）分别求出图2中长方形的长和宽，然后利用长方形面积公式求解即可．
【详解】解：（1）由题意得
；
（2）由题意得，图2中长方形的长为： ，图2中长方形的宽为：
，
∴ ；
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，完全平方公式和平方差公式，正确得到阴影部分的面积与图1
与图2中图形的关系是解题的关键．
7．比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）（1）① ________ ；
② __________ ；
③ _________ ．
（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．
【答案】（1）＞，＞，=；（2） ．两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．
【分析】（1）分别计算各部分，再比较大小；
（2）根据题意找到规律，并用式子表示．
【详解】解：（1） ， ，
∴ ＞ ，
， ，
∴ ＞ ，
， ，
∴ = ，
故答案为：＞，＞，=；
（2）由题意可得：
设两个实数a、b，则 ．
通过观察上述关系式发现，等式的左边都是两个数的平方和的形式，右边是前面两数不平方乘积的2倍，
通过几个例子发现两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．
【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和混合运算，找到题中的规律，进行总结和描述是解题的关键．
8．已知 且 ，求 的值．
【答案】【分析】根据完全平方公式可得 ，然后由题意及平方差公式可进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查完全平方公式、平方差公式及因式分解，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解
题的关键．
