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专题19.27 一次函数（全章分层练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024八年级·全国·竞赛）将函数 的图象记为 ．若一次函数 的图象与 有交
点，则 的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或
2．（22-23七年级上·山东烟台·期末）在同一平面直角坐标系中，关于下列函数：① ；②
；③ ；④ 的图像，说法不正确的是（ ）
A．②和③的图像相互平行 B．②的图像可由③的图像平移得到
C．①和④的图像关于y轴对称 D．③和④的图像关于x轴对称
3．（2023·河南新乡·一模）如图1，在矩形 中，动点P从点B出发，沿 做匀速
运动，到达点C后停止运动，动点Q从点D出发，沿 以同样的速度做匀速运动，到达点C后也停
止运动．已知点P，Q同时开始运动．连接 ， ，设 ， ，其中y关于x的函数图
象如图2所示，则图中m的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在直角坐标系中， ， ， ， ，当
四边形 周长最小时， 的值是（ ）．A． B． C. D．非以上答案
5．（21-22八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 是直线 与直线
的交点，点B是直线 与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则
的最小值是（ ）
A．6 B． C．9 D．
6．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把
直线 绕点B顺时针旋转 交x轴于点C，则线段 长为（ ）
A． B． C． D．
7．（19-20八年级上·广东深圳·期中）如图所示，直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是
OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则 周长的最小值是（ ）A． B． C． D．
8．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知：如图，直线 分别与 轴， 轴交于 、 两点，
从点 射出的光线经直线 反射后再射到直线 上，最后经直线 反射后又回到 点，则光线所
经过的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
9．（21-22八年级上·甘肃酒泉·期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，
甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．
则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时， 或 ．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024·浙江温州·一模）如图，已知函数图像与x轴只有三个交点，分别是 ， ， ．
①当 时， 或 ；②当 时，y有最小值，没有最大值；③当 时，y随x的增大
而增大；④若点 在函数图象上，则m的值只有3个．上述四个结论中正确的有（ ）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（20-21八年级下·江西景德镇·期末）设函数 ．若f（a）=f（b），且0<a<b，则ab的
取值范围是 ．
12．（2024八年级·全国·竞赛）已知 ，一次函数 的图象过点 ，
则一次函数 的解析式是 ．
13．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线 交 轴、 轴于点 、 ，点 在第一
象限内，且纵坐标为4．若点 关于直线 的对称点 恰好落在 轴的正半轴上，则点 的横坐标为
．14．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在 中， ， ，以 所在直线
为 轴，过点 作 的垂线为 轴建立直角坐标系， 分别为线段 和线段 上一动点，且
．当 的值最小时，点 的坐标为 ．
15．（2024九年级·全国·竞赛）如图，直线分别与坐标轴交于 ， 两点，若称横纵坐标都
是整数的点为整点，那么 内（含边界）的整点共有 个．
16．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，直线 与x轴、y轴分别交于 ， 两点，点
C，D分别为线段 ， 的中点，点 为 上一动点，当 时，点 的坐标为 ．
17．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，直线 ，点A 坐标为 ，过点 作x轴的垂线
1交直线于点 ，以原点O为圆心， 长为半径画弧交x轴于点 ；再过点 作x轴的垂线交直线于点 ，
以原点O为圆心， 长为半径画弧交x轴于点 ，…，按此做法进行下去，点 的坐标为 ．
18．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图 ，在平面直角坐标系中，等腰 在第一象限，且
轴，直线 从原点 出发沿 轴正方向平移，在平移过程中，直线被 截得的线段长度
与直线在 轴上平移的距离 的函数图象如图 所示，那么 的面积为
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，点 在直线 上，
过点A的直线交y轴于点 ．
（1）求m的值和直线 的函数表达式．
（2）若点 在直线 上，点 在直线 上，当t取任意实数时，代数式
的值为定值，求k的值，并求出这个定值．20．（8分）（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，
则称这个三角形为该边上的“中线三角形”．在直角坐标系中，正方形 的两直角边分别在坐标轴上，
点 的坐标是 ．
（1）在正方形 的边上找一点 ，使得 是 边上的“中线三角形”，求点 的坐标．
（2）直线 与正方形 的两边的交点为 ， ， 能否是“中线三角形”？若能，求
该直线的函数表达式；若不能，试说明理由．21．（10分）（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：我们把形如 （ ）的函数称为一
次函数 的“相反函数”．比如：函数 是一次函数 的“相反函数”．
（1）如图1，一次函数 的图象交 轴、 轴于点 、 ，请在图中画出该一次函数的“相反
函数” 的图象；
（2）写出一次函数 与“相反函数” （ ）之间的性质（至少两条）；
（3）在（1）中，如果函数 、 的图象交点为 ， 、 与 轴分别交于点 、 ．求 的角平
分线与对边的交点坐标．
22．（10分）（23-24八年级上·安徽滁州·期末）元旦前夕，某盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B
两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，付款总额不超过3320元，两种盆栽的批发价和零
售价如下表．设该超市采购x盆A种盆栽．
品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆
A种盆栽 12 19
B种盆栽 10 15
（1）求该超市采购费用y（单位；元）与x（单位；盆）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元；
（3）受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了 元，同时B
种盆栽批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利
润是1460元，求m的值．23．（10分）（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图， 在平面直角坐标系中，顶点
， 在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上， ，垂足是D， 交 于点E，
， ．请解答下列问题：
（1）求点B、点C的坐标；
（2）求线段 的长；
（3）连接 ．若 ，在坐标轴上是否存在点F，使 ？若存在，请直接写出点F的
个数和其中一个点F的坐标；若不存在，请说明理由．24．（12分）（23-24八年级下·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系 中，直线 过原点且经过
第三、第一象限， 与 轴所夹锐角为 ．对于点 和 轴上的两点 ， ，给出如下定义：记点 关于
直线 的对称点为 ，若 为等边三角形，则称点 为 ， 的 点．
（1）如图1，若点 ， ，点 为 ， 的 点，连接 ， ．
① ；
② 点的坐标为 ．
（2）已知点 ， ，且点 的横坐标为2．
①当 时，点 为 ， 的 点，则 ；
②当 时，点 为 ， 的 点，则 ．参考答案：
1．D
【分析】本题考查了一次函数的图象性质与不等式的关系，找出一元一次不等式是解题的关键；
根据 的非负性得 或 两种情况，分类讨论得一元一次不等式，解不等式即可得出
结论；
解：图象如图所示：设 ,
当 时， ，
，
当 时， ，
，
过点 ，当y过 处，即同时过A、B时，将 代入 得：
解得：
当 时， 的图象与 在第一象限有交点，
时，当 与 平行时， 的图象与 无交点，
，
时， 的图象与 在第二象限有交点，
故选：D
2．C
【分析】一次函数的比例系数相等则两直线平行，据此逐一分析即可；
解：①由 得出 ；②由 得出 ；
由题意得：② ；③ 比例系数相等；
③ ；④ 的比例系数互为相反数，
即②和③的图象相互平行，且②的图像可由③的图像平移得到，③和④的图象关于x轴对称，
故A、B、D正确，C错误，
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数的图象，当一次函数的比例系数相等时，其图象平行；比例系数互为相
反数，则其图象关于x轴对称．
3．B
【分析】由题意结合图象可得出 ．由点 ， 的速度相同，结合图象可得出当 时，
点 与点 重合，此时 ， ．结合矩形的性质可求出 ．
最后由勾股定理可求出 ， ，进而即得出m的值．
解：根据函数图象可知 ．
点 ， 的速度相同，
当 时，点 与点 重合，此时 ， ．四边形 为矩形，
， ，
．
当 时，在 中， ，
在 中， ，
．
故选B．
【点拨】本题考查动点问题与函数图象，矩形的性质，勾股定理．本题渗透了数学学科几何直观、推
理能力的核心素养，利用数形结合的思想是解题关键．
4．A
【分析】本题主要考查了轴对称，一次函数．熟练掌握关于坐标轴对称的点坐标特征，轴对称路径最
短，待定系数法求一次函数的解析式，是解决问题的关键．作点A关于x轴的对称点 ，作点B关于y轴
的对称点 ，连接 ，根据点C，D在 上时 最小，得到四边形 周长最小．根据
点 ， 坐标求出直线 的解析式，根据 的解析式求出点C，D的坐标，即得．
解：如图，分别作点 关于y轴的对称点为 ，点 关于x轴的对称点为 ，
连接 ， ， ，
则 ， ，
∴
当点C，D在 上时， 的值最小， ，
此时四边形 周长就最小，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得， ，
∴ ，
当 时， ，
解得， ，
当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：A．
5．D
【分析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，则PA+PB的最小值即为A'B的长，先求出点A坐标，
再待定系数法求出b的值，根据轴对称的性质可得点A'的坐标，进一步求出A'B的长，即可确定PA+PB的
最小值．
解：作点A关于x轴的对称点 ，连接 ，如图所示：则PA+PB的最小值即为 的长，
将点A（3，a）代入y=2x，
得a=2×3=6，
∴点A坐标为（3，6），
将点A（3，6）代入y=x+b，
得3+b=6，
解得b=3，
∴点B坐标为（0，3），
根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6）
∴ ，
∴PA+PB的最小值为 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数的综合应用，涉及两直线的交点问题，一次函数的性质，利用轴对称解
决最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
6．A
【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点
C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表
示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
解：∵一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，令x=0，则y= ，令y=0，则x= ，
则A（ ，0），B（0， ），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB= =2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC= = x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD= = x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x= x，
解得：x= +1，
∴AC= x= （ +1）= ，
故选A．
【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性
质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
7．D【分析】如图（见分析），先根据轴对称的性质可得 ，再根据
三角形的周长公式、两点之间线段最短可得 周长的最小值为FG的长，然后根据直线AB的解析式求
出点B的坐标，从而可得点C、G的坐标，最后根据等腰直角三角形的判定与性质可得点F的坐标，据此利
用两点之间的距离公式即可得出答案．
解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF、EG、BF，
由轴对称的性质得： ，
周长为 ，
由两点之间线段最短得：当点 在同一直线上时， 取得最小值，最小值为FG的
长，
对于一次函数 ，
当 时， ，解得 ，即 ，
当 时， ，即 ，
，
点C为OB的中点，
，
点G为点C关于AO的对称点，
，
又 ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形， ，即 轴，
，
则 ，
即 周长的最小值是 ，
故选：D．【点拨】本题考查了一次函数的几何应用、坐标与轴对称、等腰直角三角形的判定与性质、两点之间
的距离公式等知识点，利用两点之间线段最短找出 周长的最小值是解题关键．
8．A
【分析】本题考查了一次函数的综合题，主要利用物理中反射角等于入射角，以及形成三角形之间的
关系来解．由题意由题意知 的点 ，点 ，也可知点 ，设光线分别射在 、
上的 、 处，由于光线从点 经两次反射后又回到 点，反射角等于入射角，则 ；
．由 而求得．
解：由题意知 的点 ，点
则点
设光线分别射在 、 上的 、 处，由于光线从点 经两次反射后又回到 点，
根据反射规律，则 ； ．
作出点 关于 的对称点 ，作出点 关于 的对称点 ，则：
， ，
， ， ， 共线，
，即 ；
．
故选：A
9．B
【分析】当不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离；甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙
走完全程用时3小时，确定甲，乙的函数解析式，求交点坐标；分甲出发，乙未动，距离为50千米，甲出
发，乙出发，且甲在前50距离50千米，甲在后距离50千米，乙到大时距离为50千米四种情形计算即可．
解：∵（0，300）表示不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离，
∴①正确；
∵甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时，
∴乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
∴②正确；
设 ，
∴300=5m，
解得m=60，
∴ ；
设 ，
∴
解得 ，
∴ ；
∴
解得t=2.5，
∴2.5-1=1.5，
∴乙车出发后1.5小时追上甲车；∴③错误；
当乙未出发时， ，
解得t= ；
当乙出发，且在甲后面时， ，
解得t= ；
当乙出发，且在甲前面时， ，
解得t= ；
当乙到大目的地，甲自己行走时， ，
解得t= ；
∴④错误；
故选B．
【点拨】本题考查了函数的图像，一次函数的解析式确定，交点的意义，熟练掌握待定系数法，准确
捕获图像信息是解题的关键．
10．B
【分析】
本题主要考查了函数图象和性质，熟练掌握图象与 x轴的交点，函数的增减性，最值的计算方法，两
个函数图象的交点，是解题的关键．
根据函数图象的性质特点进行逐项分析即可．
解：
由函数图象知，当 时， 或 ，故①正确；
当 时，图象有最低点，没有最高点，
∴y有最小值，没有最大值，故②正确；
当 时，y隋x的增大而减小，故③不正确；
∵函数 的图象与原函数的图象只有三个交点，
∴点 在函数图象上，则m的值只有3个，故④正确
故选：B11．
【分析】根据函数解析式，根据绝对值的意义，写出分段函数的自变量的取值范围，根据 ，
列出等式，根据完全平方公式的变形即可求得 的取值范围
解： ，
当 时， ，
当 时， ，
，
，且 ，
，
，
，
即 ，
， ，
，
即 ，
，
，
，故答案为：
【点拨】本题考查了函数的解析式，完全平方公式，平方的非负性质，根据完全平方公式的变形以及
平方的非负性求得范围是解题的关键．
12． /
【分析】本题考查了分式的定义，待定系数法求一次函数解析式等知识．根据
得到 ， ， ，
求出 ．结合一次函数 的图象过点 ，即可求出一次函数解析式．
解：∵ ，
∴ ， ， ，
得 ，
∵ ，
∴ ．
∵一次函数的图象 过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的解析式为 ．
故答案为： ．
13．
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，轴对称的性质，勾股定理．根据解析式可得 ，
，再证明三角形全等及利用勾股定理建立方程可得，掌握求解的方法是关键．解：
如图，连接 、 、 、 ，
由 得 ， ，
， ，
点 与点 关于直线 对称，
，且 ，
，
点 在第一象限，且纵坐标为4，
轴，
，
又 ， ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
在直角 中， ，
，
解得 ．
故答案为： ．
14．【分析】过点 作 ，使 ，连接 ， ，可证明 ，则当 、 、
三点共线时， 的值最小，最小值为 ，求出直线 及直线 的解析式，联立方程组求解即
可得到点 的坐标．
解：过点 作 ，使 ，连接 ， ，如图所示：
，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
当 、 、 三点共线时， 的值最小，
， ， ，
， ，则 ，
， ， ， ，
设直线 ： ，将 、 代入得 ，解得 ，
直线 ： ；设直线 ： ，将 、 代入得 ，解得 ，
直线 ： ；
联立 ，解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查最短路线问题，涉及全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法确定函数关
系式、联立方程组求两个直线交点坐标等知识，通过构造全等三角形，将两线段和的最小值用一条线段的
长表示出来，从而确定 ，数形结合，联立方程组求解求直线交点坐标是解题的关键．
15．22
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数值的大小比较，正确理解 内
（含边界）的整点的含义是解答本题的关键．先用待定系数法求直线 的解析式，然后分别求 ，
1，2， ，9时的函数值，可逐步求得相关整点的坐标，即可得到答案．
解：设直线 的解析式为 ，
把 ， 两点的坐标代入得 ，
解得 ，
所以直线 的解析式为 ，
当 时， ，所以线段 上有4个整点， ， ， ， ，
当 时， ，所以在直线 上有3个整点符合要求， ， ， ，
当 时， ，所以在直线 上有3个整点符合要求， ， ， ，
当 时， ，所以在直线 上有3个整点符合要求， ， ， ，当 时， ，所以在直线 上有2个整点符合要求， ， ，
当 时， ，所以在直线 上有2个整点符合要求， ， ，
当 时， ，所以在直线 上有2个整点符合要求， ， ，
当 时， ，所以在直线 上有1个整点符合要求， ，
当 时， ，所以在直线 上有1个整点符合要求， ，
当 时， ，所以在直线 上有1个整点符合要求， ，
综上所述， 内（含边界）的整点共有22个．
故答案为：22．
16． /
【分析】连接 ，过点 作 于点 ，由点 ， 分别为线段 ， 的中点，可得出 是
的中位线，进而可得出 ，利用“两直线平行，内错角相等”及 ，可得出
，结合等腰三角形的三线合一，可得出点 为线段 的中点，利用一次函数图象上点的
坐标特征，可得出点 ， 的坐标，结合点 为线段 的中点，可得出点 的坐标，进而可得出点 的
坐标．
解：连接 ，过点 作 于点 ，如图所示．
点 ， 分别为线段 ， 的中点，
是 的中位线，
，
， ，
又 ，，
点 为线段 的中点．
当 时， ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ；
当 时， ，
解得： ，
点 的坐标为 ，
又 点 为线段 的中点，
点 的坐标为 ， ，
点 的坐标为 ， ．
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的中位线、平行线的性质以及等腰三角形
的判定与性质，利用平行线的性质及等腰三角形的性质，确定点 的位置是解题的关键．
17．
【分析】根据题意即可求出 点的坐标，进而找到 点的坐标，逐个解答便可发现规律，进而求得点
的坐标．
解：∵点A 坐标为 ，过点 作x轴的垂线交直线于点 ，
1
∴点 横坐标为1，
将 代入直线 ，求得点 的纵坐标为 ，
根据勾股定理，得 ，
∴点 坐标为 ，同理，可得点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
按照上述规律，点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了求一次函数的函数值，勾股定理，坐标系中点的坐标规律．求出点 、 、 、
、 的坐标是解题的关键．
18．
【分析】本题考查了一次函数图像的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，过点 作 于点 ，
根据图形 可得到 ， ，由直线 与 轴的夹角为 ，得到 ，利用勾股定理即
可求出 ，进而得到 ，再得到 ，根据三角形面积公式计算即
可求解，从函数图像上获取信息，并掌握直线 与 轴的夹角为 是解题的关键．
解：如图 ，过点 作 于点 ，则
由图 可得，当直线 经过点 时， ， ，
当直线 向右平移经过点 时，与 相交于点 ，
此时，由图 可得， ， ，∴ ， ，
∵直线 与 轴的夹角为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ，
故答案为： ．
19．（1） ；（2） ，定值为
【分析】
本题主要考查了一次函数的图象与性质．熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，
是解题的关键．
（1）把点A的坐标代入直线 可求得m值，然后设直线 的函数解析式为 ，进而
根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）及题意得 ， ，则有 ，然后根据代数式
的值为定值即可求解．
解：（1）把点 代入 ，
得， ．
设直线的函数表达式为 ，把点 ， 代入，得， ，
解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ．
（2）∵点 在直线 上，点 在直线 上，
∴ ， ，
∴ ．
∵ 的值为定值，
∴ ，
∴ ， ．
故k的值为 ，这个定值为 ．
20．（1） 或 或 ；（2） 或
【分析】（1）利用正方形的性质得到 ， ，进而得到 中点D的坐标为 ，再分当
点P在 上时，当点P在 上时，当点P在 上时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可；
（2）先证明直线 与x轴，y轴的夹角（锐角）都为 ，则当 与 有交点时，
一定不满足 能否是“中线三角形”；当 与 交于E、F时，则 ，
则 ，再证明 ，进而证明 ，得到 ；当中线 时，由等
腰直角三角形的性质得到 ， ，同理 ，则 三点共线，则
，求出 ，得到 ，则 ，利用待定系数法即可
求出直线 解析式为 ；当中线 时，过点E作 于H，设 ，点T为 中点，则 ， ，由勾股定理得到 ，
则 ， ，求出 ，同理可得 ，则 ，求出
，则直线 解析式为 ．
（1）解：∵四边形 是正方形，点 的坐标是 ，
∴ ， ，
∴ 中点D的坐标为 ，
如图所示，当点P在 上时，设 ；
∵ 是 边上的“中线三角形”，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴点P的坐标为 ；
如图所示，当点P在 上时，设 ；
∵ 是 边上的“中线三角形”，
∴ ，
∴ ，解得 （负值舍去），
∴点P的坐标为 ；
如图所示，当点P在 上时，设 ；
∵ 是 边上的“中线三角形”，
∴ ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴点P的坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 或 ；
（2）解：在 中，当 时， ，当 时， ，
∴直线 与x轴，y轴的交点到原点的距离相同，
∴直线 与x轴，y轴的夹角（锐角）都为 ，
∴当 与 有交点时，一定不满足 能否是“中线三角形”；
当当 与 交于E、F时，则 ，
∴ ，由正方形的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图所示，当中线 时，
∵ 为 的中点，
∴ ， ，
同理 ，
∴ 三点共线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ；
如图所示，当中线 时，过点E作 于H，设 ，点T为 中点，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴直线 解析式为 ；
综上所述，直线 解析式为 或 ．
【点拨】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等
三角形的性质与判定，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．21．（1）见分析；（2）见分析；（3） 的角平分线与对边的交点坐标为 或 或
．
【分析】（1）依据题意，设一次函数 的解析式为 ，从而 ，即可求得一次函数
的解析式为 ，故可得该一次函数的“相反函数” 为的解析式，从而可以作图；
（2）依据题意，结合（1）图象，可以发现一次函数 与“相反函数” 之间的
性质，进而判断得解；
（3）依据题意，根据图形先可得平分 的角平分线与对边的交点坐标为 ，再求出当 平
分 时， 的坐标，最后由对称性可得另外一点，进而得解．
（1）解：由题意，设一次函数 的解析式为 ，
，
．
一次函数 的解析式为 ．
该一次函数的“相反函数” 为 ．
作图如下．
；
（2）解：由题意，结合（1）图象，可以发现一次函数 与“相反函数” 之间的性质：
①两个函数的图象关于 轴对称；
②两个函数的图象都过点 ．（答案不唯一）
（3）解：由题意，作图如下．
由题意， 是等腰三角形．
平分 ．
此时角平分线与对边的交点坐标为 ．
当 平分 时，作 于 ，
又 ，
．
．
．
．
设 ，
．
又在 中， ，
．
．
．
直线 为： ．
又 为 ，．
过 的角平分线与对边交点坐标为 ．
又根据对称性，
过 的角平分线与对边交点坐标为 ．
综上， 的角平分线与对边的交点坐标为 或 或 ．
【点拨】本题主要考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定
和性质，“相反函数”的定义．解题时要熟练掌握并能读懂题意是关键．
22．（1） ；（2）商场能获得的最大利润为1820元；（3）
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列
出函数解析式是解答的关键．
（1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可；
（2）设利润为W，根据题意得到总利润 ，利用一次函数的增减性质求解即可；
（3）设利润为W，根据题意得到总利润 ，分 和 ，利用一
次函数的增减性质求解即可．
（1）解：该超市采购x盆A种盆栽，则采购 盆B种盆栽，
根据题意， ，
由题意得： ，
解得： ，
答：该商场的采购费用y与x的函数关系式为 ；
（2）解：设总利润为W，根据题意得：
，
∵ ，
∴W随x的增大而增大，又 ，∴当 时，W最大，最大值为1820，
答：商场能获得的最大利润为1820元；
（3）解：设总利润为W元，根据题意得：
，
当 即 时，W随x的增大而增大，
又∵ ，
∴当 时，W有最小值为 ，
解得 ，舍去；
当 即 时，W随x的增大而减小，
又∵ ，
∴当 时，W有最小值为 ，
解得： ，
综上分析可知，满足条件的m值为2．
23．（1） 、 ；（2）10；（3）存在，符合条件的点F有4个，坐标为： 或 或
或 ．
【分析】（1）由 ，得到 且 ，即可求解；
（2）证明 ，得到 ；
（3）取 的中点 ，过点 作直线 ，取 ，过点 作直线 ，则直
线 、 和 坐标轴的交点即为点 ，故共有4个，为点 、 以及 、 和 轴的交点，即可求解．
（1）解： ，则 且 ，
解得： 且 ，
故点 、 的坐标分别为： 、 ；
（2）解： 是 的高，
，
，
．
轴 轴，
，
，
．
，
．
，
．
，
，
．
在 和 中，
，
∴ ，
；
（3）解：由（2）知， ，
则点 、 的坐标分别为： 、 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
，
故取 的中点 ，过点 作直线 ，取 ，过点 作直线 ，
则直线 、 和 坐标轴的交点即为点 ，故共有4个，为点 、 以及 、 和 轴的交点，∵ ，则直线 的表达式为： ，
则直线 和坐标轴的交点坐标为： 、 ；
同理可得直线 和坐标轴的交点坐标为： 、 ；
综上，符合条件的点 有4个，坐标为： 或 或 或 ．
【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，全等三角形的判定与性质，等腰直
角三角形的判定与性质，坐标与图形性质，难度偏大，解题过程中，注意辅助线的作法，这是解题的突破
口．
24．（1）① ；② ；（2）① ；② 或
【分析】（1）①过点 作 轴于 ，过 作 轴于 ，由等边三角形的性质可得
， ， ，从而得出 ， ，由题意得出 与
轴所夹锐角为 ，再由点 关于直线 的对称点为 即可得出答案；②证明 ，得出
， ，即可得出答案；
（2）①由题意得当 时， ，过点 作 于 ，过点 作 轴于 ，作 轴交
直线 于 ，交 轴于 ，连接 交 轴于 ，连接 交直线 于 ，由等边三角形的性质可得
， ， ，表示出 ， ，由题中的定义得出 与 轴所夹锐角为 ，由直角三角形的性质得出 ，由等腰三角形的判定与性质得出
，表示出 ，再由直角三角形的性质，结合勾股定理求出 ，建立方程，求
解即可；②由题意得 ， ，从而得出 ，分两种情况：当 时，点 在 的左侧；
当 时，点 在 的右侧；结合等边三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，建立方程求
解即可．
（1）解：①如图，过点 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
，
， ，
，
为等边三角形， ，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
点 为 ， 的 点，
与 轴所夹锐角为 ，
点 关于直线 的对称点为 ，
， ， ，故答案为： ；
②在 和 中，
，
，
， ，
，
故答案为： ；
（2）解：① ， ，
，
当 时， ，
如图，过点 作 于 ，过点 作 轴于 ，作 轴交直线 于 ，交 轴于 ，连接
交 轴于 ，连接 交直线 于 ，
，
为等边三角形， ，
， ， ，
，， ，
， ，
点 为 ， 的 点，
与 轴所夹锐角为 ，
， ，
点 的横坐标为2，
，
，
点 关于直线 的对称点为 ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
解得： ，
故答案为： ；
② ，
， ，
，
如图，令直线 交 于 ，交 轴于 ，令直线 关于 对称的直线交 轴于 ，则点 在直线
上，当 时，点 在 的左侧，，
点 为 ， 的 点，
与 轴所夹锐角为 ，
直线 与直线 夹角为 ，即 ，
直线 关于 对称的直线与 的夹角也为 ，即 ，
，
，
，
，
，点 的横坐标为2，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
， ，
， ，
，
解得： ；如图，当 时，点 在 的右侧，
，
同理可得 ，
， ，
， ，
，
综上所述，当 时，点 为 ， 的 点，则 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称的性质、含角
的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点
并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
