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专题19.19 一次函数与方程、不等式（直通中考）（综合练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，直线 过点 ， ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与
的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A． 随 的增大而增大
B．
C．当 时，
D．关于 ， 的方程组 的解为
3．（2022·江苏南通·中考真题）根据图像，可得关于x的不等式 的解集是（ ）A． B． C． D．
4．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于
点A，则关于x，y的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·贵州贵阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与
的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数 的图象中， 的值随着 值的增大而增大；②方程组 的解为 ；
③方程 的解为 ；
④当 时， ．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·湖北鄂州·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b
（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝ x都经过点A（3，1），当kx+b＜ x时，x的取值范围是（
）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
7．（2022·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，直线 与 相交于点 ，
则关于x，y的方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·贵州黔东南·中考真题）已知直线 与 轴、 轴分别交于A、B两点，点P是第一象
限内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（ ）
A．（1，1）
B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1）
D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）9．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，直线 和 与x轴分别相交于点 ，点
，则 解集为（ ）
A． B． C． D． 或
10．（2020·四川内江·中考真题）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已
知直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D． 且
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022·江苏泰州·中考真题）一次函数 的图像经过点（1，0）．当y>0时，x的取值范围
是 ．
12．（2022·山东济宁·中考真题）已知直线y＝x－1与y＝kx＋b相交于点（2，1）．请写出b值
1 2
（写出一个即可），使x＞2时，y＞y．
1 2
13．（2022·浙江杭州·中考真题）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是
（1，2），则方程组 的解是 ．
14．（2022·青海西宁·中考真题）如图，直线y=kx与直线y=kx+b交于点A（1，2）．当y0，
∴2t+2>2，
当t= 时，2t+2=3，此时 =-6，由图象知：直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形
区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，
当t=2时，2t+2=6，此时 =-3，由图象知：直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形
区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，
当t=1时，2t+2=4， =-4，由图象知：直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形区域
（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，
∴ 且 ，
故选：D.
【点拨】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图
象理解题意是解题的关键.
11．x<1
【分析】先用待定系数法，求出a的值．当y>0时，用含x的代数式表示y，解不等式即可．
解：把（1，0）代入一次函数 ，得a+2=0，
解得：a=-2，
∴ ，
当y>0时，即 ，
解得：x<1．
故答案为：x<1．
【点拨】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，解题的关键是正
确列出不等式，算出x的取值范围．
12．2（答案不唯一）
【分析】根据题意将点（2，1）代入y＝kx＋b可得 ，即 ，根据x＞2时，y＞y，可
2 1 2
得 ，即可求得 的范围，即可求解．
解：∵直线y＝x－1与y＝kx＋b相交于点（2，1），
1 2
∴点（2，1）代入y＝kx＋b，
2
得 ，
解得 ,
∵直线y＝x－1， 随 的增大而增大，
1
又 x＞2时，y＞y，
1 2
，
，
解得 ，
故答案为：2（答案不唯一）
【点拨】本题考查了两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
13．
【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），
∴联立y=3x-1与y=kx的方程组 的解为： ，即 的解为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的
解的关系是解题的关键．
14．
【分析】据函数图象，写出直线y=kx在直线y=kx+b 的下方所对应的自变量的范围即可．
1 1 2 2 2
解：如图，已知直线y=kx与直线y=kx+b 相交于点A（1，2），则当y＜y 时，x的取值范围为 x＜
1 1 2 2 2 1 2
1．
故答案是：x＜1．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值
大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）
方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15．x≥1
【分析】将P（a，2）代入直线l：y＝x+1中求出a＝1，然后再根据图像越在上方，其对应的函数值
1
越大即可求解．
解：将点P（a，2）坐标代入直线y＝x+1，得a＝1，
从图中直接看出，在P点右侧时，直线l：y＝x+1在直线l：y＝mx+n的上方，
1 2
即当x≥1时，x+1≥mx+n，
故答案为：x≥1．
【点拨】本题考查了一元一次不等式与一次函数的关系，图像越在上方，其对应的函数值就越大．
16．
【分析】由题意，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案．
解：根据题意，
∵直线l：y x 与直线l：y＝kx+3相交于点A（2，1），
1 2∴方程组 的解为 ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两直线的交点坐标就是这
两条直线组成的方程组的解．
17．x＜4
【分析】结合函数图象，写出直线 在直线y＝2下方所对应的自变量的范围即可．
解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2交于点A（4，2），
∴x＜4时，y＜2，
∴关于x的不等式kx+b＜2的解集为：x＜4．
故答案为：x＜4．
【点拨】本题考查的是利用函数图像解不等式，理解函数图像上的点的纵坐标的大小对图像的影响是
解题的关键．
18．
【分析】以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，根据已知求出A、E、F、D、O的坐标，
从而得AE、BF解析式，可求G坐标，即可得到OG的长度．．
解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AB=BC=6，∠ABE=∠BCF=90°，
∵BC=3BE，BE=CF，
∴BE=CF=2，∴E（2，0），F（6，2），A（0，6），D（6，6），
设直线AE解析式为y=ax+b，则 ，
解得 ，
∴直线AE解析式为y=-3x+6，
设直线BF解析式为y=cx，则2=6c，
解得c= ，
∴直线BF解析式为y= x，
由 得
∴ ，
∵O为BD中点，
∴O（3，3），
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐
标系，求出O和G的坐标．
19．（1）﹣2＜x＜4；（2）0＜a≤1
【分析】（1）把a的值代入再求解；
（2）先解不等式组可得−2a−1＜x＜2a＋3，然后令b＝−2a−1，b＝2a＋3，画出函数图象并求出临界
1 2
情况下a的值，然后结合题意得出a的取值范围．
（1）解：当a＝ 时，不等式组化为： ，解得：−2＜x＜4；
（2）解不等式组得：−2a−1＜x＜2a＋3，
令b＝−2a−1，b＝2a＋3，
1 2
函数图象如图所示，
当a＝0时，b＝3，b＝－1，此时为有1个奇数解和3个奇数解的临界情况，
1 2
当a＝1时，b＝－3，b＝5，此时为有3个奇数解和5个奇数解的临界情况，
1 2
∵−2a−1＜x＜2a＋3，且不等式组的解集中恰含三个奇数，
∴0＜a≤1．
【点拨】本题考查了不等式组的解法，利用一次函数图象求不等式解集，灵活运用数形结合思想是解
题的关键．
20．（1） ；（2）
【分析】（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；
（2）由题意可先假设函数 与一次函数 的交点横坐标为 ，则由（1）可得：
，然后结合函数图象可进行求解．
解：（1）由一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位长度得到可得：
一次函数的解析式为 ；
（2）由题意可先假设函数 与一次函数 的交点横坐标为 ，则由（1）可得：
，解得： ，函数图象如图所示：
∴当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值时，根据一次函
数的k表示直线的倾斜程度可得当 时，符合题意，当 时，则函数 与一次函数
的交点在第一象限，此时就不符合题意，
综上所述： ．
【点拨】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
21．（1） ， ；（2） ．
【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出
点C的横坐标即可；
（2）根据函数图象得出当 过点 时满足题意，代入 求出n的值即可．
（1）解：把点 ， 代入 得： ，
解得： ，
∴该函数的解析式为 ，
由题意知点C的纵坐标为4，
当 时，
解得： ，∴ ；
（2）解：由（1）知：当 时， ，
因为当 时，函数 的值大于函数 的值且小于4，
所以如图所示，当 过点 时满足题意，
代入 得： ，
解得： ．
【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利
用数形结合的思想是解题的关键．
22．（1）甲种消毒液每桶的单价为30元，乙种消毒液每桶的单价为24元；（2）甲种消毒液购买75
桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．
【分析】（1）根据该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，可以
得到相应的分式方程，从而可以得到甲、乙两种消毒剂的零售价，注意分式方程要检验；
（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300-m）桶，根据甲种消毒液的桶数不少于乙种消
毒液桶数的 ，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得
出结果．
解：（1）设甲种消毒液每桶的单价为x元，乙种消毒液每桶的单价为（x-6）元，
依题意，得： ，解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合实际意义，则x-6=24．
答：甲种消毒液每桶的单价为30元，乙种消毒液每桶的单价为24元；
（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300-m）桶，根据题意得到不等式：
m≥ （300-m），解得：m≥75，
∴75≤m≤300，
设总费用为W，根据题意得：
W=20m+15（300-m）=5m+4500，
∵k=5>0，
∴W随m的减小而减小，
∴当m=75时，W有最小值，
∴W=5×75+4500=4875元
∴甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．
【点拨】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明
确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．
23．（1） 是函数 的“组合函数”；（2）① ；②存在，见详解
【分析】（1）把m=3，n=1代入组合函数中，化简后进行判断即可；
（2）①先求出点P的坐标 和“组合函数” ，把 代
入“组合函数”，再根据题意，列不等式求解即可；②将点P代入“组合函数”，整理得m+n=1，把n=1-
m代入“组合函数”，消去n，把y=0代入解一元一次方程即可求解．
（1）解： 是函数 的“组合函数”，
理由：由函数 的“组合函数”为： ，
把m=3，n=1代入上式，得 ，
函数 是函数 的“组合函数”；
（2）解：①解方程组 得 ，函数 与 的图像相交于点P，
点P的坐标为 ，
的“组合函数”为 ， ，
，点P在函数 的“组合函数”图像的上方，
，整理，得 ，
， ，
p的取值范围为 ；
②存在，理由如下：
函数 的“组合函数”图像经过点P．
将点P的坐标 代入“组合函数” ，得
，
，
，
， ，
将 代入 = ，
把y=0代入 ，得
解得： ，
设 ，则 ，，
对于不等于1的任意实数p，存在“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变．
【点拨】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与一元一次方程，
正确理解“组合函数”的定义是解本题的关键．
24．任务一，方法1： ；方法2： ， ；任务二， ；任务三， ；[迁移拓展]
【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可；
任务二，借助函数 和 得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到 轴的距离．因
为两个函数图象的交点 到 轴的距为2，即可得出结果；
任务三 参照方法2，借助函数 和 的图象，得出交点坐标，即可求解；
[迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为 ，第二个正方形的面积为
，……进而得出则 的值等于长
宽之比为 的矩形减去1个面积为 的正方形的面积，即可求解．
解：任务一，方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知
故答案为： ．
方法2：借助函数 和 的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为 ，
所以， ．故答案为： ， ．
任务二：参照方法2，借助函数 和 的图象， ，
解得：
∴两个函数图象的交点的坐标为 ，
．
任务三 参照方法2，借助函数 和 的图象，两个函数图象的交点的坐标为 ，
∴
[迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为 ，第二个正方形的面积为
，……
则 的值等于长宽之比为 的矩形减去1个
面积为1的正方形的面积，
即
【点拨】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解题的关键．
