文档内容
专题19.18 一次函数与方程、不等式（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图为函数 （k、b为常数， ）的图象，则关于x的方程 的解为（）
A． B． C． D．无法确定
2．已知直线 与 相交于点 则关于x的方程 的解是（ ）
A．x=-1 B．x=1 C．x=2 D．x=3
3．已知一次函数 的图象经过点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 随 的增大而增大
C． 的解集是 D．直线不经过第四象限
4．如图，在平面直角坐标系上，直线 分别与 轴、 轴相交于 两点，将 沿 轴翻
折得到 ，使点 刚好落在 轴正半轴的点 处，过点 作 交 于 ，则 的长为
（ ）
A． B． C．4 D．55．如图，直线 与直线 交于点 ，则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
6．若直线 和 相交于点 ，则方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线 交x轴于点A，交y轴于点B，与直线 的交点C的纵坐标是 ，
则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，一次函数 和 ，无论 取何值，
始终有 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．9．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与 轴、 轴分别相交于点 、 ，
点 的坐标为 ，且点 在 的内部，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
10．在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示．点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且
OA=6，OC=4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF=3．当四边形BDEF的周长最
小时，点E的坐标是（ ）
A．（ ，0） B．（1，0） C．（ ，0） D．（2，0）
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若关于x的方程 的解是 ，则直线 一定经过点 ．
12．如图，一次函数y＝-2x和y＝kx+b的图象相交于点 ，则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是
．13．若函数 的图像如图所示，则关于x的不等式 的解集是 ．
14．如图，已知直线 与直线 的交点的横坐标为 ，则不等式
的解集为 ．
15．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一
个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若 ，则m的
值为 ．16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像与 轴、 轴分别交于点 、 ，将直
线 绕点 顺时针旋转 ，交 轴于点 ，则直线 的函数表达式是
．
17．在平面直角坐标系中，如图所示，菱形 ，边 交y轴于点D， ， 相交于点E，点A
的坐标为 ， ，则点E的坐标为 ．
18．如图，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，且经过点 ，
直线 与 交于点 ．
（1） ；（2）点 是 轴上一动点，连接 ，若 的周长最小，则点 的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知 关于 的函数： 为常数 交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴
于点 ．
（1）求 的取值范围；
（2） 为坐标原点，设 的面积为 ，求直线 的函数解析式．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函
数 的图象交于点 ．
（1）求m和b的值；
（2）函数 的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿 方向，以每秒2个单位长度匀速
向x轴正方向运动．设点E的运动时间为t秒．当 的面积为12时，求t的值．
21．（10分）如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且与正比例函
数 的图象交于点 ，结合图象回答下列问题：（1）求 的值和一次函数 的表达式；
（2）当 为何值时， ？
22．（10分）学校数学兴趣小组开展综合实践活动 鱼塘中的“增氧器”在何处？如图 ，测出正
方形鱼塘 的边长为 ，在边 上的点 处发现点 正好被“增氧器” 挡住，同样在边 边
上的点 处发现点 被 挡往，量出 、 的长都是 如图 ，他们以点 为坐标原点，直线 、
分别为横轴和纵轴，建立平面直角坐标系，成功解决了问题．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）求“增氧器” 距边 、 的距离．
23．（10分）如图，直线 的解析式为 ，且 与x轴交于点D，直线 经过点 ，，直线 ， 交于点C．
（1）求直线 的解析式；
（2）求 的面积；
（3）在第一象限内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直
接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，直线 与
轴， 轴分别交于点 ， ，两条直线交于点 ，且点 的横坐标为 ；连接 ．
（1）求直线 的函数解析式；
（2）求 的面积；
（3）若点 在直线 上， 为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点 ， ， ， 为顶点的
四边形是矩形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：
1．A
【分析】观察图象找到当 时 的值即为本题的答案．
解：观察函数的图象知： 的图象经过点 ，
即当 时 ，
所以关于 的方程 的解为 ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为 为
常数， 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．
2．A
【分析】首先利用函数解析式 求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的
方程 的解可得答案．
解：∵直线 与 相交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 成立，
故解为： ，
故选：A．
【点拨】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
3．C
【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式等知识，根据一次函数的图象
与性质，一次函数与一元一次不等式的关系对各选项逐项分析判断即可得到答案，熟练运用数形结合求解
是解决问题的关键．解： 一次函数 的图象经过点 ，
，故A错误，不符合题意；
，
随 的增大而减小，故B错误，不符合题意；
， ，
一次函数 的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故D错误，不符合题意；
的解集是 ，故C正确，符合题意；
故选：C．
4．B
【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理等等，解题的关键在
于能够熟练掌握相关知识进行求解．利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，在
中，利用勾股定理可求出 的长，由折叠的性质可得出 ，进而可得出 的长，再利
用面积法，即可求出 的长．
解：当 时， ，
∴点B的坐标为 ；
当 时， ，解得： ，
∴点A的坐标为 ．
在 中， ，
∴
由折叠可知： ，
∴ ．
∵ ，
∴
故选B．5．A
【分析】
本题考查的是二元一次方程和一次函数的关系，两直线的交点就是两直线解析式所组成方程组的解．
解：∵直线 与直线 交于点 ，
∴方程组 的解为 ．
即：方程组 的解为 ．
故选：A．
6．D
【分析】求得直线 和直线 关于原点对称的直线，由题意得出点P的对应点，根据方
程组的解和直线交点的关系即可求得．
解：直线 和 关于原点对称的直线为y=mx+3和 ，
∵直线 和 相交于点P（ 2，3），
∴直线y=mx+3和y=2x n相交于点（2， 3），
∴方程组 的解为 ；
故选：D．
【点拨】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，求得直线关
于原点的对称直线是解题的关键．
7．B
【分析】令 求出 的值，从而得到点 的坐标，再根据点 的纵坐标得到点 到 轴的距离，然
后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：令 ，则 ，
解得 ，所以，点 的坐标为 ，
∵点 的纵坐标是 ，
∴点C到 轴的距离为 ，
∴ 的面积 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了两条直线相交的问题，根据直线解析式求出点 的坐标是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．先判断
两直线平行，始终有 ，求解当 过 时， ，再利用数形结合的方法
解题即可．
解：由题意可知：∵一次函数 的图象过定点 ，
一次函数 过定点 ，
∵无论 取何值，始终有 ，
∴两直线平行，才会始终有 ，
∴ ，
当 过 时，
∴ ，
解得： ，
此时两条直线相交，
如图，∴ 且 ，
当 时，如图，不符合题意；
故选：D
9．A
【分析】先根据函数解析式求出点A、B的坐标，再根据题意得出 ， ，
解不等式组即可求得．
解：在函数 中，令 得 ，令 得 ，则 ， ，
点P 在 的内部，∴ ，
解得： ．
故选A．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数与坐标轴的特征及依据题意列出不等式
是解题的关键.
10．B
【分析】以D、E、F为顶点作平行四边形 ，作出点B关于x轴对称点 ，则易得到 的坐标，
的坐标，然后利用待定系数法求出直线 的解析式，令y=0，确定F点坐标，也即可得到E点坐标．
解：解∶以D、E、F为顶点作平行四边形 ，作出点B关于x轴对称点 ，如图，
∴D =EF=3，
∵矩形OABC如图所示．点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA=6，OC=4，∴B（6，
4），
∴ 的坐标为（6，4），
又∵D为OC中点，
∴OD=2，D（0，2），
∴ 的坐标为（3，2），
设直线 的解析式为y=kx+b，
把 ， 代入得，
，解得k=-2，b=8，
∴直线 的解析式为y=-2x+8，
令y=0，得-2x+8=0，解得x=4，
∴F（4，0），E（1，0）．
故选B．
【点拨】本题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折
线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．本题也考查了平行四边形的
性质，待定系数法求函数解析式等知识．
11．
【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关键，熟练掌握一次函数与一元一次方程的关
系是解题的关键．根据方程可知当 ， 从而得到答案．
解：由方程的解可知：当 时， ，即当 ， ，
故直线 一定经过点 ．
故答案为： ．
12．x＝-2
【分析】 可变形为 ，一次函数y＝-2x和y＝kx+b图象交点的横坐标即为方程
的解．
解：将 变形为 ，
的解为一次函数y＝-2x和y＝kx+b图象交点的横坐标，
观察图象可知， 的解为x＝-2，
即 的解为x＝-2，
故答案为：x＝-2．
【点拨】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一
元一次方程是解题的关键．
13．
【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键在于掌握从函数的角度看，就是寻求
使一次函数 的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线
在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象得到即可．解：由图象可知函数 与x轴的交点为 ，则函数 与x轴的交点为 ，且y
随x的增大而减小，
如图，
∴当 时， ，
所以关于 的不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
14．
【分析】本题主要考查直线与不等式，先求出两直线的交点为 ，代入 ，求出 ，及直线
与 的交点坐标，结合函数图象可得结论．
解：∵直线 与直线 的交点的横坐标为 ，
∴ ，
∴直线 与直线 的交点坐标为 ，
∴
解得， ，
∴
当 时， ，
∴ 与 轴的交点坐标为
∴ 的解集为 ，故答案为：
15． 或
【分析】分别求出A、C、D三点坐标，根据 ，利用坐标列式计算即可．
解：∵由直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，
∴点A坐标（－1，2），
∵过点B（m，0）作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，
∴点C坐标（m，1－m），点D坐标（m，－2m）．
∴ ，
解得
故答案为 或 ．
【点拨】本题考查了求两直线交点坐标，用未知数表示动点坐标等知识点，利用代数式表示动点坐标
是解决本题的关键．
16．
【分析】首先确定点 的坐标，易得 ， ，过点 作 ，交 于点 ，过 作
轴于点 ，结合题意，证明 为等腰直角三角形，进而证明 ，由全等三角形的
性质可得 ， ，即可确定点 ，然后根据待定系数法解直线 的解析式即可．
解：对于一次函数 ，
令 ，可有 ，即 ，
令 ，可有 ，解得 ，即 ，
∴ ， ，
如下图，过点 作 ，交 于点 ，过 作 轴于点 ，∵将直线 绕点 顺时针旋转 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 轴，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入，
可得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、
坐标与图形等知识，正确作出辅助线是解题关键．
17．【分析】本题考查了菱形的性质，一次函数的解析式，交点坐标的计算，根据菱形 ，
，得到 是等边三角形，点D是 的中点，结合点A的坐标为 ，得到 ，
勾股定理计算 ,确定直线 ，直线 的解析式，解方程组即可，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的
性质，待定系数法是解题的关键．
解：∵菱形 ， ，点A的坐标为 ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
∴ ， ，
解得 ， ，
故直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
根据题意，得 ，
解得 ，
故 ，
故答案为： ．18．
【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，以及轴对称图形的性质：
（1）先求出点B的坐标，可得直线 的解析式，从而求出m的值，再把把 代入 ，即
可求解；
（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，连接 ，此时 的周长最小．求出直
线 的表达式，即可求解．
解：（1） 直线 与 轴交于点 ，且经过点 ，
，
，
直线 ，
直线 经过点 ，
，
，
把 代入 ，得： ，
解得： ；
故答案为：
（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，连接 ，此时 的周长最小．
设直线 的表达式为 ，，
∴ ，
解得： ，
直线 的表达式为 ，
令 ，得到 ，
．
故答案为：
19．（1） ；（2）
【分析】本题考查了求一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题；
（1）根据一次函数的图象与系数的关系求解；
（2）根据三角形的面积列方程求解．
（1）解：函数可化为： ，
函数交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ，
；
（2）∵函数交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ，
当 时， ，
解得： ，则
当 时， ，则
∴ ，
解得： ，∴直线l的函数解析式为： ．
20．（1） ， ；（2） 或11
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的交点问题，三角形面积问题，分类讨论是
解题的关键．
（1）将点 代入 ，得 ，然后将点 代入 ，即可求得b的值；
（2）根据题意得出点 ，点 ，继而得出 ，根据三角形面积得出 ，分E
在A点的左侧与右侧建立方程即可求解．
解：（1）将点 代入 ，得 ，
∴点 ，
将点 代入 ，
∴
解得： ，
∴ ，
（2）∵函数 的图象与x轴交于点A，
令 ，得 ，
∴点 ，
∵函数 的图象与x轴交于点D，
∴ 时， ，
∴点D的坐标为 ，
∴ ，
∵ 的面积为12， ，∴ ，
∴ ，
根据题意 或 ，
∴ 或 ，
解得： 或11．
21．（1） ， ；（2）
【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的识别图象是解题
的关键．
（1）把点 的坐标代入求得 的值，即可用待定系数法求解；
（2）由解析式求得 的坐标，根据图象即可得到结论．
（1）解：∵一次函数 的图象与正比例函数 的图象交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
把 ， 代入 得，
，
解得 ，
∴一次函数 的表达式为 ；
（2）解： 中，当 时，解得 ，
∴ ，
由图象知，当 时，则 、 异号，
∴当 时， ．22．（1） ；（2）“增氧器” 距边 、 的距离分别为： ，
【分析】本题考查待定系数法求一次函数关系式，以及一次函数与二元一次方程组的关系．
求 的函数表达式可以用待定系数法．
利用题中已建坐标系，可求得 点的坐标，可求得 距 、 的距离．
（1）解：按题意建立平面直角坐标系，
由 的边长为 ，可得： ， ；
由 、 的长都是 ，可得： ， ；
设 的函数表达式为： ，并将 、 坐标代入得：
；
解得： ；即： ．
（2）解：设 的函数表达式为： ，并将 、 坐标代入得：
；
解得： ；即： ．
联立 、 两直线函数关系式得： ；
解得： ．
即“增氧器” 距边 、 的距离分别为： ， ．23．（1） ；（2） ；（3）存在，
【分析】（1）根据直线特征，设直线函数解析式为： ，利用待定系数法求解未知系数即可．
（2）先联立 与 函数解析式，求出交点C的坐标，进而根据 与x轴相交于点D，求出点D坐标，
进而根据三角形面积公式求解即可．
（3）若第一象限内存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形为平行四边形，则 ，根
据点C平移到点D，需要将点C向左平移1个单位，向上平移3个单位，可得点A平移到点P，需要将点
A向左平移1个单位，向上平移3个单位，据此求解即可．
（1）解：设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得 ，
解得 ，
所以直线 的解析式为 ；
（2）解：联立方程 得 ，
则C点坐标为 ，
直线 与x轴相交于点D．
令 时， ，解得 ，则
（3）解：若第一象限内存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形为平行四边形，
则 ，
∵ ， ， ，∴ ，
点C平移到点D，需要将点C向左平移1个单位，向上平移3个单位，
∴点A平移到点P，需要将点A向左平移1个单位，向上平移3个单位，
∴ ．
【点拨】本题考查了一次函数与几何问题的综合应用，以及平行四边形的性质，其中贯穿的“数形结
合”思想是解决本题的关键．
24．（1） ；（2） ；（3）存在，点 的坐标为 ，
【分析】（1）根据题意得出 ，进而求得 的解析式；
（2）由 ，当 时， ；当 时， ，可得点 ， ，进而得出
，根据三角形的面积公式即可求解．
（3）当 时，可得 ，根据 ， ， ，即可求解，勾股定理的
逆定理可得 ，进而可得 ，当 时， ，则 点与 点重合，
根据矩形的性质以及平移的性质即可求解．
（1）解： 点 在 上，点 的横坐标为 ，
当 时， ，
，
将点 和 代入 中，
得： ，解得 ．
直线 的函数解析式为： ；
（2） 直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，
当 时， ；当 时，
点 ， ，
，
．
， ；
（3）当 时， 轴，则 的纵坐标为 ，
将 代入 ，解得： ，即 ，
∵ ， ，
∴
， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
则
当 时， ，则 点与 点重合，
∵ 到 可以看作向左平移 个单位，向上平移 个单位，
则 点可以看作 点向左平移 个单位，向上平移 个单位，得到∴满足条件的点 的坐标为 ， ．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，勾股定理以及逆
定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
