专题19.16一次函数与方程、不等式（知识梳理与考点分类讲解）-（人教版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_专题突破练习-V4

专题19.16 一次函数与方程、不等式（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】一次函数与一元一次不等式 axb axb axb axb a 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为 ＞0或 ＜0或 ≥0或 ≤0（ 、 b a y axb 为常数， ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数 的值大于0（或小于 0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 【知识点二】一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值 就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 【知识点三】如何确定两个不等式的大小关系 axbcxd （a≠c，且ac0）的解集 y axb的函数值大于 y cxd的函数值时的自 变量x取值范围直线y axb在直线y cxd的上方对应的点的横坐标范围． 【考点目录】 【考点1】已知直线与坐标轴交点，求方程的解； 【考点2】由一元一次方程的解，判断直线与坐标轴交点； 【考点3】利用图象法解一元一次方程； 【考点4】由直线与坐标轴交点求一元一次不等式的解集； 【考点5】由两直线与坐标轴交点求一元一次不等式组的解集； 【考点6】由两直线与坐标轴交点求二元一次方程的解； 【考点7】图象法解二元一次方程组； 【考点8】求直线围成的图形的面积； 【考点1】已知直线与坐标轴交点，求方程的解； 【例1】（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线 的图象经过点， ，，且与x轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出方程 的解为 ； （3）求 的面积． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）求出函数图象与x轴的交点坐标，即可求出方程的解； （3）利用三角形面积公式直接求出 的面积即可． （1）解：把 ， 代入 ，得 ， 解得： ， 故这个一次函数的解析式为 ； （2）解：把 代入 得： ， 解得： ， ∴直线与x轴交于点C的坐标为 ， ∴方程 的解为 ． 故答案为： ． （3）解： 的面积为： ． 【点拨】本题主要考查了一次函数的图像和性质，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关 键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式．【变式1】（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知一次函数 （a，b是常数且 ），x与y 的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 6 4 2 0 那么方程 的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数 ，当 时求得的自变 量的值就是对应的一元一次方程 的解，据此即可求解． 解：由表格数据可知：当 时， ； ∴方程 的解是 ， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·山东济宁·期末）已知一次函数 的图象与x轴的交点坐标为 ，则一元一次方程 的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的 关键．根据“一次函数与一元一次方程的关系”求解． 解：∵一次函数 的图象与x轴的交点坐标为 ， ∴一元一次方程 的解为： ， 故答案为： ． 【考点 2】由一元一次方程的解，判断直线与坐标轴交点； 【例2】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 ，与函数 的图象交于点 ，点 的横坐标为2，在 轴上有一点 （其中 ）， 过点 作 轴的垂线，分别交函数 和 的图象于点 ． （1）求线段 的长； （2）若 ，求点D坐标． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）先求出点M坐标，再求出直线 解析式，令 ，求出x的值，令 ，求出y的 值，即可求得A、B的坐标，进而求得 的长． （2）根据 ，设设C点坐标为 点坐标为 ，列出关于a方程，解方程即可求 得D的坐标． 解：（1） 点 在直线 的图象上，且点 的横坐标为2， ∴ ， 点 的坐标为 ， 把 代入 得 ， 解得 ， 一次函数的解析式为 ， 把 代入 得 ， 解得 ， 点坐标为 ， 把 代入 得 ， 点坐标为 ， ；（2） 点坐标为 ， ， ， 轴， 设C点坐标为 点坐标为 ， ， ， ． 【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像与坐标轴的交点，坐标与图形的性质， 勾股定理，掌握图象上的点满足图象的解析式是本题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数 的性质是解题的 关键．先根据一次函数与坐标轴的交点排除B、C、D，进而可得出A正确． 解：∵ ， ∴一次函数 过点 ，故B、C、D不合题意， A、由一次函数的图象可得 即 ，而正比例函数图象可得 ，符合题意． 故选：A． 【变式2】（21-22八年级下·福建福州·期中）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函 数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ． 【答案】（−2，0）【分析】当y＝0时，ax−b−1＝0，可得ax−b＝1，根据题意可得图象与x轴的交点坐标． 解：当y＝0时，ax−b−1＝0， ∴ax−b＝1， ∵关于x的方程ax−b＝1的解为x＝−2， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（−2，0）， 故答案为：（−2，0）． 【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题 的关键． 【考点3】利用图象法解一元一次方程； 【例3】（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）根据一次函数 的图象，写出下列问题的答 案： （1）关于x的方程 的解是 ； （2）关于x的方程 的解是 ； （3）当 时，y的取值范围是 ． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质， （1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；（2）利用函数图象写出 时对应 的自变量的值即可（3）利用函数图象写出 时对应的函数值范围即可． 解：（1）利用函数图象可知函数值为0时， ， 故答案为： ； （2）利用函数图象可知 时对应的自变量的值为 ，故答案为： ； （3）根据图象可知：当 时， ， 故答案为： ． 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，已知函数 和 的图象交于点 ，根据图象可得方程 的解是（ ） A． B． C． D．都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握两直线交点解方程，图形结合分析是解题的关键． 根据两直线的交点为 ，即可求解． 解：∵函数 和 的图象交于点 ， ∴根据图象可得方程 的解集是 ， 故选： ． 【变式2】（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则关于x的方程 的解是 ．【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用 求出交点 的坐标，然后根据一次函 数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键． 解：把 代入 得 ，解得 ， ∴一次函数 与 的图象的交点 为 ， ∴关于 的方程 的解是 ． 故答案为： ． 【考点4】由直线与坐标轴交点求一元一次不等式的解集； 【例4】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）若y与 成正比例，且当 时， ． （1）求y与x的函数表达式； （2）当 时，则y的取值范围是________________； （3）当x在什么范围内时， ？ 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，是常用的一种解题方法． （1）因为 与 成正比例，可设 ，又 时， ，利用待定系数法即可求出 与 的函数解析式； （2）分别将 及 代入中求解，再回答即可； （3）图象与直线 的交点及其下方的部分所对应的 值即为所求． 解：（1）因为 与 成正比例，设 ， 又 时， ，则 解得： ． 故 与 的函数关系式为： ； （2）将 代入 ，得 ， 将 代入 ，得 ， 所以y的取值范围是 ， 故答案为： ； （3）当 时， ， ∵ ， ∴ 随 的增大而减小，则图象与直线 的交点下方的部分所对应的 值使得 ， 时， ． 【变式1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知一次函数 的图象为直线l，则 关于x的不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，解题的关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正 确答案．根据图象可知当 时，函数值小于1，即 ． 解：当 时， ， 即不等式 的解集为 ． 故选：B． 【变式2】（22-23八年级上·四川达州·阶段练习）直线 经过 ， 两点，则不 等式 的解集为 ． 【答案】 /【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，求一次函数解析式，一次函数的增减性等等， 先利用待定系数法求出直线解析式为 ，进而求出当 时， ，最后根据一次函数的增减性求 解即可． 解：把 ， 代入 中得： ， ∴ ， ∴直线解析式为 ， 当 时， ， ∵ ， ∴y随x增大而增大， ∴不等式 的解集为 ， 故答案为： ． 【考点5】由两直线与坐标轴交点求一元一次不等式组的解集； 【例5】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，一次函数 的图象与坐标轴交于 两点，目 ，与正比例函数 的图象交手点 ，若 ． （1）求一次函数 和正比例函数 的表达式； （2）结合图象直接等出不等式 的解集．【答案】（1）一次函数 ，正比例函数 ；（2） 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，求一次函数解析式； （1）先求出 两点坐标，即可求出 解析式，再设 点坐标根据 列方程求出 点坐标代入 计算即可； （2）观察函数图象发现满足不等式 的点都在 点左边，即可解不等式． 解：（1）∵ ， ∴ ， ， ∵一次函数 的图象与坐标轴交于 两点， ∴ ，解得 ， ∴一次函数 ， ∴设 ， ∵ ， ∴ , ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∵与正比例函数 的图象交手点 ， ∴ ，解得 ， ∴正比例函数 ； （2）由函数图象可得不等式 的解集为 ． 【变式1】（22-23八年级下·吉林白山·期末）如图，一次函数 与一次函数 的图象交于点 ，则关于的不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合是解题关键．直接利用图象得出 不等式 的解集． 解：如图所示： 一次函数 与一次函数 的图象交于点 ， 关于的不等式 的解集是： ． 故选：D． 【变式 2】（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，已知一次函数 的图象经过点 和点 ，一次函数 的图象经过点 ，则关于 的不等式组 的解集为 ． 【答案】【分析】 本题考查了一次函数与一元一次不等式．利用函数图象，写出在 轴上方且函数 的函数值小 于函数 的函数值对应的自变量的范围即可． 解：当 时， ； 当 时， ， 所以不等式组 的解集为 ． 故答案为： ． 【考点6】由两直线与坐标轴交点求二元一次方程的解； 【例6】（23-24八年级下·全国·随堂练习）如图，直线 与直线 相交于点 ． （1）求c的值； （2）写出方程组 的解； （3）直线 能否也经过点P，若能，求出a、b的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组的关系： （1）把 代入 可求出 的值； （2）由直线 与直线 相交于点 可得结论；（3）把 分别代入 和 ，然后联立方程组求解即可． （1）解：将点 代入 ，得 ， 解得 ． （2）解：∵ ， ∴直线l和直线m的交点坐标为 ， 即方程组 的解为 ； （3）解：直线 也经过点P． 理由如下：将点 代入直线 ，得 ， 将点 代入直线 ，得 ， 联立 解得 ∴当 时，直线 也经过点P． 【变式1】（23-24八年级下·全国·随堂练习）如图，直线l、l 的交点坐标可以看作下列哪个方程组 1 2 的解？（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数与二元一次方程组，把两直线的交点坐标分别代入四个方程组中进行判断即可． 解：由图象可得，直线 过点 和 ， 设直线 解析式为： ，则 解得： 直线 的表达式为 直线 经过点 ， 同理可得直线 的表达式为 联立可得方程组为 ． 所以A选项符合题意． 故选：A．【变式2】（2024·陕西榆林·一模）在同一平面直角坐标系中，直线 与 相交于点 ，则关于x，y的方程组 的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，先求出点A的坐标，再根据两直线 的交点的横纵坐标即为两直线联立所得的方程组的解进行求解即可． 解：在 中，当 时， ， ∴ ， ∵在同一平面直角坐标系中，直线 与 相交于点 ， ∴关于x，y的方程组 的解为 ， 故答案为： ． 【考点7】图象法解二元一次方程组； 【例7】（22-23七年级下·江苏南京·阶段练习）利用图象法解下列二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）画出一次函数 和 的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解； （2）画出一次函数 和 的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组 的解． （1）解：如图所示： 两函数图象交于点 ， 方程组的解为 ； （2）解：如图所示： 两函数图象交点为 ，方程组的解为 ． 【点拨】本题主要考查了一次函数图象的交点与二元一次方程组的关系，解题的关键是根据二元一次 方程画出函数图象． 【变式1】（21-22八年级上·江西抚州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数 与 的图象如图所示，则关于x，y的方程组 的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 解：∵一次函数y=kx+b 与y=kx+b 交于点A（-4，-2）， 1 1 2 2 ∴方程组 的解是 ， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式 的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析 式组成的方程组的解． 【变式2】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数 和 的图象相交于点 ，则关于 、 的方程组： 的解是 ．【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一 元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 解： 一次函数 和 的图象相交于点 ， 的解为 ， 故答案为： ． 【考点8】求直线围成的图形的面积； 【例8】（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，经过点 的直线与 轴交于点 ． （1）求直线 的解析式； （2）点 是线段 上一动点，若直线 把 的面积分成 ： 的两部分，请求点 的坐标； （3）直线 上有一个点 ，过 作 轴的垂线交直线 于点 ，当 时，求出点 的坐标．【答案】（1）直线 的解析式为 ；（2）点 的坐标为 或 ；（3） 或 【分析】本题考查了求直线与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，点在函数图像上的坐标 特点，注意分类讨论． （1）首先求出A、C两点的坐标，再用待定系数法即可求解； （2）求出 的面积；设 ， ，分两种情况考虑： 当 ： ： 时；②当 ： ： 时；由面积关系求出m的值，即可求得点G的坐标； （3）设 ，则 ，从而求得 ，由 即可求得n的值，从而得到点P的坐 标． （1）解：在 中，令 ，得 ；令 ，得 ； ∴ ， ， 点 ． 设直线 的解析式为 ， ，解得： ， 直线 的解析式为 ； （2）解： ， ， ． ， ， 设 ， ， 当 ： ： 时，即 ， ， ， ； ②当 ： ： 时，即 ， ， ， ． 综上，点 的坐标为 或 ； （3）解：设 ，则 ， ， ， ， 或 ，或 ． 【变式1】（23-24八年级上·浙江湖州·期末）如图，一次函数 第一象限的图象上有一点 P，过点P作x轴的垂线段，垂足为A，连结 ，则 的周长的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积， 垂线段最短． 设一次函数 的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，令 ，可求得点B的坐标，令 可求出点C的坐标，从而得到 ， 的长， 的面积．设点P的坐标为 （ ），则 ，当 垂直一次函数 的图象时， 取得 最小值时， 的周长为最小．根据 的面积可求得 的最小值，即可解答． 解：如图，设一次函数 的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，把 代入函数 中，得 ， 解得 ， ∴点B的坐标为 ， 把 代入函数 中，得 ， ∴点C的坐标为 ， ∵点P是一次函数 第一象限的图象上的一点， ∴设点P的坐标为 （ ）， ∵ 轴于点A， ∴ ， ， ∴ ∴当 垂直一次函数 的图象时， 取得最小值， 的周长为最小． ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ，即 ， ∴ ， 即 的最小值为1， 的最小值为 ． 故选：C． 【变式2】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中， ， ， ，则三角形 的面积为 ，如果在y轴上存在一点P，使得 的面积与 的面积相等，则点P 的坐标为 ． 【答案】 6 或 / 或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键．设点 ，根据 的面积与 的面积相等，先计算 的面积，然后列出等式计算y即可解答． 解：如图， ∵ ， ∴ ， ∴ 的面积为： ； 设点 ， ∵ 的面积与 的面积相等， ∴ ， 解得 或 ， ∴点P的坐标为： 或 ． 故答案为：6；或．