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专题19.15 一次函数（直通中考）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·湖南益阳·中考真题）关于一次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当 时，
2．（2022·四川眉山·中考真题）一次函数 的值随 的增大而增大，则点 所在
象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上
运动，满足 ．点Q为线段 的中点，则点Q运动路径的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东威海·中考真题）如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为（0，2），（3，
0），（1，4）．若MN∥PQ，则点N的坐标可能是（ ）
A．（2，3） B．（3，3） C．（4，2） D．（5，1）
5．（2022·安徽·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图像可能是
（ ）A． B． C． D．
6．（2021·四川德阳·中考真题）关于x，y的方程组 的解为 ，若点P（a，b）总
在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1
7．（2021·辽宁营口·中考真题）已知一次函数 过点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．y随x增大而增大 B．
C．直线过点 D．与坐标轴围成的三角形面积为2
8．（2021·贵州贵阳·中考真题）小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7
条不同的直线 ，其中 ，则他探究这7条直线的交点个数最多
是（ ）
A．17个 B．18个 C．19个 D．21个
9．（2021·湖南益阳·中考真题）如图，已知 的面积为4，点P在 边上从左向右运动（不含
端点），设 的面积为x， 的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．10．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，平面直角坐标系中，在直线 和 轴之间由小到大依次
画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在 轴上，另一条直角边与 轴垂
直，则第 个等腰直角三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023·辽宁盘锦·中考真题）关于x的一次函数 ，若y随x的增大而增大，且
图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ．
12．（2023·四川南充·中考真题）如图，直线 （k为常数， ）与x，y轴分别交于点
A，B，则 的值是 ．
13．（2022·上海·中考真题）已知直线y=kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来
这样的一条直线： ．
14．（2022·江苏徐州·中考真题）若一次函数y＝kx＋b的图像如图所示，则关于kx＋ b＞0的不等式
的解集为 ．15．（2023·山东·中考真题）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程 （千米）与行驶时间 （小时）之
间的函数关系如图所示．当 时， 与 之间的函数表达式为 ；当 时， 与 之
间的函数表达式为 ．
16．（2022·辽宁锦州·中考真题）点 在一次函数 的图像上，当
时， ，则a的取值范围是 ．
17．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在第一象限内的直线 上取点 ，使 ，以
为边作等边 ，交 轴于点 ；过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，以 为边作等边 ，交
轴于点 ；过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，以 为边作等边 ，交 轴于点 ；……，依
次类推，则点 的横坐标为 ．18．（2023·浙江杭州·中考真题）在“ “探索一次函数 的系数 与图像的关系”活动中，
老师给出了直角坐标系中的三个点： ．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一
次函数的图像，并得到对应的函数表达式 ．分别计算 ，
的值，其中最大的值等于 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·青海西宁·中考真题）一次函数 的图象与 轴交于点 ，且经过点
．
（1）求点 和点 的坐标；
（2）直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数 的图象；
（3）点 在 轴的正半轴上，若 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 点
坐标．20．（8分）（2023·四川甘孜·中考真题）某次气象探测活动中，在一广场上同时释放两个探测气球．
1号探测气球从距离地面5米处出发，以1米/分的速度上升，2号探测气球距离地面的高度y（单位：米）
与上升时间x（单位：分）满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）探测气球上升多长时间时，两个气球位于同一高度？此时它们距离地面多少米？
21．（10分）（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地， 小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装
货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间
x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是______千米， ______；
（2）求线段 所在直线的函数解析式；
（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
22．（10分）（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食
堂离小明家 ，图书馆离小明家 ．小明从家出发，匀速步行了 去食堂吃早餐；吃完早餐后
接着匀速步行了 去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了 回到家图（ ）反映了这个过程中，
小明离家的距离 与时间 之间的对应关系．
请根据相关信息解答下列问题：
（1）填空：
①食堂离图书馆的距离为__________ ；
②小明从图书馆回家的平均速度是__________ ；
③小明读报所用的时间为__________ ．
④小明离开家的距离为 时，小明离开家的时间为__________ ．
（2）当 时，请直接写出 关于 的函数解析式．23．（10分）（2023·湖南·中考真题）某花店每天购进 支某种花，然后出售．如果当天售不完，那
么剩下的这种花进行作废处理、该花店记录了 天该种花的日需求量n（n为正整数，单位：支），统计
如下表：
日需求量n
天数 1 1 2 4 1 1
（1）求该花店在这 天中出现该种花作废处理情形的天数；
（2）当 时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为： ；当 时，日利润
为 元．
①当 时，间该花店这天的利润为多少元？
②求该花店这 天中日利润为 元的日需求量的频率．
24．（12分）（2023·天津·中考真题）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店
离宿舍 ，体育场离宿舍 ，张强从宿舍出发，先用了 匀速跑步去体育场，在体育场锻炼
了 ，之后匀速步行了 到文具店买笔，在文具店停留 后，用了 匀速散步返回宿舍．
下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应
关系．请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
张强离开宿舍的时间/
1 10 20 60
张强离宿舍的距离/ 1.2
②填空：张强从体育场到文具店的速度为________ ；
③当 时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当张强离开体育场 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速
度为 ，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）参考答案：
1．B
【分析】根据一次函数的性质判断即可．
解：由题意可得： ，
∴一次函数经过一、二、三象限，函数值y随自变量x的增大而增大，故A、C错；
当 时， ，
∴图象与y轴交于点 ，故B正确；
当 时， ，
∵函数值y随自变量x的增大而增大，
∴当 时， ，故D错误；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
2．B
【分析】根据一次函数的性质求出m的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P点所处的象限即可．
解：∵一次函数 的值随 的增大而增大，
∴
解得：
∴ 在第二象限
故选：B
【点拨】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
3．B
【分析】设点M的坐标为（0，m），点N的坐标为（n，0），则点Q的坐标为 ，根据
，得出 ，然后分两种情况， 或 ，得出 与 的函数关系式，即
可得出Q横纵坐标的关系式，找出点Q的运动轨迹，根据勾股定理求出运动轨迹的长即可．
解：设点M的坐标为（0，m），点N的坐标为（n，0），则点Q的坐标为 ，∵ ，
∴ ，（ ， ） ，
∵当 时， ，
∴ ，即 ，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的负半轴上，坐标为（-4，0），另一端在y轴
的非负半轴上，坐标为（0，4），
∴此时点Q的运动路径长为 ；
∵当 时， ，
∴ ，即 ，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的正半轴上，坐标为（4，0），另一端在y轴
的非负半轴上，坐标为（0，4），
∴此时点Q的运动路径长为 ；
综上分析可知，点Q运动路径的长为 ，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系中的动点问题，根据题意找出点Q的运动轨迹是两条线段，
是解题的关键．
4．C
【分析】根据P，Q的坐标求得直线解析式，进而求得过点 的解析式，即可求解．
解：∵P，Q的坐标分别为（0，2），（3，0），设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，MN∥PQ，
设 的解析式为 ， ，
则 ，
解得 ，
的解析式为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故选C
【点拨】本题考查了求一次函数解析式，一次函数平移问题，掌握以上知识是解题的关键．
5．D
【分析】分为 和 两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可．
解：当 时，两个函数的函数值： ，即两个图像都过点 ，故选项A、C不符合题
意；
当 时， ，一次函数 经过一、二、三象限，一次函数 经过一、二、三
象限，都与 轴正半轴有交点，故选项B不符合题意；
当 时， ，一次函数 经过一、二、四象限，与 轴正半轴有交点，一次函数
经过一、三、四象限，与 轴负半轴有交点，故选项D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键．
一次函数 的图像有四种情况：
①当 ， 时，函数 的图像经过第一、二、三象限；②当 ， 时，函数 的图像经过第一、三、四象限；
③当 ， 时，函数 的图像经过第一、二、四象限；
④当 ， 时，函数 的图像经过第二、三、四象限．
6．B
【分析】将k看作常数，解方程组得到x，y的值，根据P在直线上方可得到b＞a，列出不等式求解即
可．
解：解方程组 可得，
，
∵点P（a，b）总在直线y=x上方，
∴b＞a，
∴ ，
解得k＞-1，
故选：B．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，一次函数上点的坐标特征，解本题的关键是将k看作常数，
根据点在一次函数上方列出不等式求解．
7．C
【分析】将点 代入一次函数解析式，求出k的值，利用一次函数的图象与性质逐一判断即可．
解：∵一次函数 过点 ，
∴ ，解得 ，
∴一次函数为 ，y随x增大而减小，故A和B错误；
当 时， ，故C正确；
该一次函数与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，
∴与坐标轴围成的三角形面积为 ，故D错误；故选：C．
【点拨】本题考查一次函数的图象与性质，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
8．B
【分析】因为题中已知 ，可知：第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直
线交于一点，由此即可求解此题．
解：∵直线 ，其中
∴第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直线交于一点，
∴这5条直线最多有7个交点，
第6条直线，与前面5条直线的交点数最多有5个，
第7条直线，与前面6条直线的交点数最多有6个，
∴得出交点最多就是7＋5+6＝18条，
故选：B．
【点拨】本题考查了两条直线相交或平行问题，做题关键在于分析得出两条平行直线，三条直线相交
于一点．
9．B
【分析】过点 作 于点 ，先根据平行四边形的面积公式可得 ，从而可得
的面积为2，再利用 的面积减去 的面积可得 的值，然后根据 求出 的取值范
围，最后根据一次函数的图象与性质即可得．
解：如图，过点 作 于点 ，
的面积为4，
，
的面积为 ，
，即 ，点 在 边上从左向右运动（不含端点），
，即 ，
解得 ，
则 关于 的函数图象大致是在 内的一条线段，且 随 的增大而减小，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的面积公式、一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握平行四边形
的面积公式是解题关键．
10．C
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，可得第 个等腰直角三角形的直角边长，求出第 个等腰
直角三角形的面积，用同样的方法求出第 个等腰直角三角形的面积，第 个等腰直角三角形的面积，找
出其中的规律即可求出第 个等腰直角三角形的面积．
解：当 时， ，
根据题意，第 个等腰直角三角形的直角边长为 ，
第 个等腰直角三角形的面积为 ，
当 时， ，
第 个等腰直角三角形的直角边长为 ，
第 个等腰直角三角形的面积为 ，
当 时， ，
第 个等腰直角三角形的直角边长为 ，
第 个等腰直角三角形的面积为 ，
依此规律，第 个等腰直角三角形的面积为 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征与规律的综合，涉及等腰直角三角形的性质，找出
规律是解题的关键．
11．
【分析】由一次函数性质得， ， ，求解即可．
解：∵y随x的增大而增大，
∴ ．
∴ ．
时，
∵图象与y轴的交点在原点下方，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查一次函数的性质；掌握一次函数的性质是解题的关键．
12．1
【分析】根据一次函数解析式得出 ， ，然后代入化简即可．
解： ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：1．
【点拨】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关
键．
13． （答案不唯一）
【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
解：∵直线 过第一象限且函数值随着x的增大而减小，
∴ ， ，
∴符合条件的一条直线可以为： （答案不唯一）．【点拨】本题考查一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数 （ ），当 ， 时，
函数图象过第一象限且函数值随着x的增大而减小．
14．
【分析】根据函数图像得出 ，然后解一元一次不等式即可求解．
解：∵根据图像可知y＝kx＋b与 轴交于点 ，且 ，
∴ ，
解得 ，
，
∴ ，
即 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，解一元一次不等式，求得一次函数与坐标轴的交
点是解题的关键．
15．
【分析】先把 代入 ，求得 ，再设当 时， 与 之间的函数表达式为
，然后把 ， 分别代入，得 ，求解得 ，即可求解．
解：把 代入 ，得
，
设当 时， 与 之间的函数表达式为 ，
把 ， 分别代入，得
，解得： ，
∴ 与 之间的函数表达式为故答案为： ．
【点拨】本题考查函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握用待定系数法求一次函数解
析式是解题的关键．
16．a＜2
【分析】根据一次函数的性质，建立不等式计算即可．
解：∵当 时， ，
∴a-2＜0，
∴a＜2，
故答案为：a＜2．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
17．
【分析】根据一次函数图像上点的坐标特征和等边三角形的性质及等腰三角形的三线合一性质，得出：
点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，找出规律即可求解．
解：过点 作 轴于点 ，点 作 轴交直线 于点 ，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的横坐标为 ，即 ，
∵ 是等边三角形， 轴， ，
∴点 的横坐标为 ，即 ，
∴ ，
∵ 是等边三角形， 轴，∴点 的横坐标为 ，即 ，
∴ ，
∵ 是等边三角形， 轴，
∴点 的横坐标为 ，即 ，
以此类推，点 的横坐标为 ，
∴当 时，点 的横坐标为 ．
故答案为：
【点拨】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质．
解题的关键是找出点 的横坐标的变化规律．
18．5
【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出 ， 进行比较即可解答．
解：设 过 ，则有：
，解得： ，则 ；
同理： ，则分别计算 ， 的最大值为值 ．
故答案为5．
【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．
19．（1） ；（2）见分析；（3） 坐标是 ，
【分析】（1）令 得出点 的坐标是 ，把 代入 ，即可求解；
（2）画出经过 的直线，即可求解；
（3）根据等腰三角形的定义，勾股定理，即可求解．
（1）解：∵一次函数 的图象与x轴交于点 ，
∴令
解得
∴点 的坐标是
∵点 在一次函数 的图象上
把 代入 ，
得 ，
∴ ，
∴点 的坐标是 ；
（2）解：如图所示，（3）解：如图所示，当 时， ;
∵ ， ，
∴ ，
当 时，
∴符合条件的点 坐标是 ， .
【点拨】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握以
上知识是解题的关键．20．（1） ；（2）探测气球上升20分钟时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面
25米
【分析】（1）设 关于 的函数解析式为 ，将点 代入计算即可得；
（2）先求出1号气球上升 分时，高度为 米，再根据两个气球位于同一高度建立方程，解方程
即可得．
（1）解：由题意，设 关于 的函数解析式为 ，
将点 代入得： ，
解得 ，
则 关于 的函数解析式为 ．
（2）解：由题意可知，1号气球上升 分时，高度为 米，
则 ，
解得 ，
此时 ，
答：探测气球上升20分钟时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面25米．
【点拨】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
21．（1）60，1；（2） ；（3） 小时或 小时或 小时
【分析】
（1）根据货车从A地到B地花了 小时结合路程 速度 时间即可求出A、B两地的距离；根据货车
装货花了15分钟即可求出a的值；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可．（1）解： 千米，
∴A，B两地之间的距离是60千米，
∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，
∴ ，
故答案为：60，1
（2）解：设线段 所在直线的解析式为
将 ， 代入 ，得
解得 ，
∴线段 所在直线的函数解析式为
（3）解：设货车出发x小时两车相距15千米，
由题意得，巡逻车的速度为 千米/小时
当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米，则 ，
解得 （所去）；
当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米，则 ，
解得 ；
∵ ，
∴货车装货过程中两车不可能相距15千米，当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米，则 ，
解得 ；
当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则 ，
解得 ；
综上所述，当货车出发 小时或 小时或 小时时，两车相距15千米．
【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确
读懂函数图象是解题的关键．
22．（1）① ；② ；③ ；④ 或 ；（2）
【分析】（1） ①由图象中的数据，可以直接写出食堂离小明家的距离和小明从家到食堂用的时间；
②根据图象中的数据，用路程除以时间即可得解；③用 减去 即可得解；④设小明离开家的距离为
时，小明离开家的时间为 ，分小明去时和小明返回时两种情况构造一元一次方程求解即可；
（2）根据图象中的数据，利用待定系数法分别求出当 、 和 时三段对应的
函数解析式即可．
（1）解：① ，
∴小食堂离图书馆的距离为 ，
故答案为∶ ；
②根据题意，
∴小明从图书馆回家的平均速度是 ，
故答案为： ；③ ，
故答案为： ；
④设小明离开家的距离为 时，小明离开家的时间为 ，
当去时，小明离开家的距离为 时，
∵ ，
∴小明到食堂时，小明离开家的距离为不足 ，
由题意得 ，
解得 ，
当返回时，离家的距离为 时，根据题意，得 ，
解得 ；
故答案为： 或 ．
（2）解：设 时 ，
∵ 过 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 时 ，
由图可知，当 时 ，
设 时， ，
∵ 过 ， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
综上所述，当 时， 关于 的函数解析式为 ．
【点拨】本题考查函数的图象、一元一次方程的应用以及待定系数法求一次函数的解析式，解答本题
的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（1） 天；（2）① 元；②该花店这 天中日利润为 元的日需求量的频率为2．
【分析】（1）当 时，该种花需要进行作废处理，结合表中数据，符合条件的天数相加即可；
（2）①当 时，代入函数表达式即可求解；
②当 时，日利润y关于n的函数表达式为 ；当 时，日利润为 元， ；
即当 时求得n的值，结合表中数据即可求得频率．
（1）解：当 时，该种花需要进行作废处理，
则该种花作废处理情形的天数共有： （天）；
（2）①当 时，日利润y关于n的函数表达式为 ，
当 时， （元）；
②当 时，日利润y关于n的函数表达式为 ；
当 时，日利润为 元， ，
当 时，
解得： ，
由表可知 的天数为2天，
则该花店这 天中日利润为 元的日需求量的频率为2．
【点拨】本题考查了有理数大小的比较，一次函数求自变量和函数值，统计和频数；解题的关键是理
清题意，正确求解．24．（1）①0.12，1.2，0.6；②0.06；③ ；；（2）
【分析】（1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时间求解即
可；③当 时，直接根据图象写出解析式即可；当 时，设y与x的函数解析式为
，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）当张强离开体育场 时，即 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，
当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，可列方程为
，求解即可．
解：（1）① ，
由图填表：
张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60
张强离宿舍的距离/ 0.12 1.2 1.2 0.6
故答案为：0.12，1.2，0.6；
②张强从体育场到文具店的速度为 ，
故答案为：0.06；
当 时，
；
当 时，设y与x的函数解析式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴ ；
综上，张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为 ；
（2）当张强离开体育场 时，即 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，
∴
解得 ，
当 时， ，
所以，他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是 ．
【点拨】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理
解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
