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专题19.20 课题学习 选择方案（一次函数的实际应用）（知识梳理与
方法分类讲解）
【知识点】利用一次函数解决实际问题的步骤
审：仔细审题，理解题意
找：找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系
列：建议一次函数表达式，弄清自变量的取值范围
解：根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程
检：检验结果，得出符合实际的结论
【方法一】一次函数模型的应用方法
函数应用题是以贴近现实生活的话题为背景，运用函数只是来解决的一类问题.这类问题也是
中考的热点，要求能依据问题的特点建立函数模型，收集信息，并加以解决.
【方法二】选取合适的一次函数解决方案问题
方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决
实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题.
【方法三】构造一次函数模型解决动态几何问题的方法
在图形运动变化过程中，往往伴随着图形位置关系及数量关系的变化，有些能够用一次函数来放
映图形运动的变化规律.解决动态几何问题，要动中有静、动静结合，在运动变化中提高学生的想象能
力、综合分析能力.
【考点目录】
【考点1】分配方案问题（一次函数的实际应用）；
【考点2】最大利润问题（一次函数的实际应用）；
【考点3】行程问题（一次函数的实际应用）；
【考点4】几何问题（一次函数的实际应用）；
【考点5】其他问题（一次函数的实际应用）；
【考点1】分配方案问题（一次函数的实际应用）；【例1】（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可
制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利
260元，在这20名工人中，设该车间每天安排x名工作制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．
（1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；
（2）若只考虑利润问题，要使每天所获利润不低于24000元，你认为至多要派多少名工人制造甲种零
件才合适？
【答案】（1） ；（2）至多要派5名工人制造甲种零件才合适
【分析】本题考查一次函数与实际问题，一元一次不等式的实际应用．
（1）解：设该车间每天安排x名工作制造甲种零件，则安排 人制造乙种零件，
根据题意：
即 ；
（2）解：根据题意：令
解得： ，
在 中，
∵ ，
∴y的值随x的值的增大而减少，
∴要使 ，需 ，
答：至多要派5名工人制造甲种零件才合适．
【变式1】（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其
中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量
和租金如下表：
甲种客车 乙种客车
载客量（单位：人/辆） 45 30
租金（单位：元/辆） 400 280
则最节省费用的租车方案是（ ）
A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆
C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆【答案】A
【分析】设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大
于7辆，要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于 ，客车总数不能小于6，可得客车总数为
6， ，根据题意列出一次函数和一元一次不等式，找到x的取值范围，再结合一次函数的增减性即可
求解．
解：设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7
辆，
要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于 ，客车总数不能小于6，
∴客车总数为6， ，
由题意可得， ，
整理可得 ，
由题意， ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 中， ，y随x的增大而增大，
∴x取最小值时，即 ，y有最小值，
即当租甲种车4辆，租乙种车2辆，费用最少，
故选：A．
【点拨】本题考查一次函数和一元一次不等式的实际应用，利用题中的不等关系找到x的取值范围是
解题的关键．
【变式2】（2021·浙江杭州·二模）A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部
运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A
城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用
分别为150元/台和240元/台．设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关
于x的函数关系式为 ．
【答案】【分析】因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台
农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机，就可以得到关系式．
解：由题意得：因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣
x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机
W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240[40﹣（34﹣x）]
＝140x+12540，
故答案为：W＝140x+12540．
【点拨】本题考查一次函数的应用，属于一般的应用题，解答本题的关键是根据题意得出y与x的函
数关系式．
【考点 2】最大利润问题（一次函数的实际应用）；
【例2】（2023·云南红河·一模）“母亲节”来临之际，某花店打算使用不超过 元的进货资
金购进百合与康乃馨两种鲜花共 束进行销售．百合与康乃馨的进货价格分别为每束 元、 元，
百合每束的售价是康乃馨每束售价的 倍，若消费者用 元购买百合的数量比用 元购买康
乃馨的数量少 束．
（1）求百合与康乃馨两种鲜花的售价分别为每束多少元；
（2）花店为了让利给消费者，决定把百合的售价每束降低 元，康乃馨的售价每束降低 元．求花店
应如何进货才能获得最大利润．（假设购进的两种鲜花全部销售完）
【答案】（1）康乃馨的售价为每束 元，百合的售价为每束 元；（2）购进百合 束，购进康
乃馨 束．
【分析】本题考查了分式方程，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
（ ）设康乃馨的售价为每束 元，根据消费者用 元购买百合的数量比用 元购买康乃馨的数
量少 束得： ，解方程并检验可得答案；
（ ）设购进百合 束，根据使用不超过 元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花，有
， ，设花店获得利润为 元，可得：
，再根据一次函数性质可得答案；
解：（1）设康乃馨的售价为每束 元，则百合的售价为每束 元；根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
∴ ，
答：康乃馨的售价为每束 元，百合的售价为每束 元；
（2）设购进百合 束，则购进康乃馨 束，
∵使用不超过30000元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花，
∴ ，
解得 ，
设花店获得利润为 元，
根据题意得： ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 取最大值 （元），
此时 ，
答：购进百合 束，购进康乃馨 束．
【变式1】（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，
其中图①是该产品日销售量 y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润 w
（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（ ）
A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元
C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润
【答案】C
【分析】根据函数图象分别求出当 ，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为 ，当 时，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的
函数关系为 ，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．
解：A、根据图①可得第25天的销售量为200件，
故此选项正确，不符合题意；
B、设当 ，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为
，
把 代入得：
，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
故此选项正确，不符合题意；
C、当 时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为 ，
把 代入得：
，
解得： ，
∴ ，
当 时，日销售利润为 （元）；
当 时，日销售利润为 （元），
∴第20天和第30天销售利润不相等，
故此选项错误，符合题意；
D、当 时，日销售利润为 （元），当 时，日销售利润为 （元）．
∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润，
故此选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．
【变式2】（22-23八年级上·山东青岛·期末）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该
产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300
箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 元．
【答案】6000
【分析】设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品 箱，该公司获得利润为y元，
进而得到y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解．
解：设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品 箱，依题意得： ，
设该公司获得利润为y元，依题意得：
，
即 ，
∵ ，y随着m的增大而增大，
∴当 时，y取最大值，此时 （元），
答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元．
故答案为：6000．
【点拨】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量
取值范围确定函数值是解决问题的关键．
【考点3】行程问题（一次函数的实际应用）；
【例3】（23-24七年级下·全国·课后作业）某运输公司派出甲、乙两车负责运送一批货物，已知
两车同时从M城出发驶往N城，甲车到达N城后立即按原路返回M城（卸载货物的时间忽略不计），
乙车到达N城后停止，如图是甲车、乙车离M城的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）的关
系，请结合图象回答下列问题：
（1）甲车返回M城的速度为___________千米/小时；（2）当甲车从N城返回M城的途中与乙车相遇时，相遇处离M城的距离为多少千米？
（3）在甲、乙两车相遇之前，当两车相距10千米时出发时间为何时？
【答案】（1）90；（2）75千米；（3） 小时或 小时
【分析】本题主要考查函数的图象、一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，明确题意并从
函 数图像上得到所需信息成为解题的关键．
（1）根据图像可得当 小时时，离M城的距离是90千米，当 小时时，离M城的距离是0
千米，即可求得甲车返回M城的速度；
（2）利用待定系数法求得甲车从N城返回M城的函数解析式和乙车路程和时间的函数解析式，求交
点坐标即可得出相遇时间，进而可得相遇处离M城的距离；
（3）分甲车到达M地前，甲车到达M城后与乙车相遇前两种情况求解即可．
（1）解：根据图像可得当 小时时，离M城的距离是90千米，当 小时时，离甲地的距离
是0千米，
∴甲车返回M城的速度为 （千米/小时） ．
故答案为：90．
（2）解：设货车离M城的距离y（千米）与甲车行驶时间的函数解析式是 ,则 ,解得：
，
所以函数解析式是 ；
设甲车在返回M城过程中离M城的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）的的解析式是
，
则 ，解得： ，
所以函数解析式是 ,联立 ，解得： ．
则甲车从N地返回M地的途中与货车相遇时，相遇处到甲地的距离是 千米．
（3）解：设两车出发a小时相距10千米，甲到达N地前 ，解得： ；
甲车到达N城后与乙车相遇前: ，解得： ．
答:在甲、乙两车相遇之前，当两车相距10千米时出发时间 或 ．
【变式1】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，A、B两站相距42千米，甲骑自行车匀速行
驶，由A站经P处去B站，上午8时，甲位于距A站18千米处的P处，若再向前行驶15分钟，使可到达
距A站22千米处．设甲从P处出发x小时，距A站y千米，则y与x之间的关系可用图象表示为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的应用．首先根据题意，得出 、 所表示的意义（注意单位），然后
再计算出甲1.5小时行驶的路程，结合 的初始位置来判断各选项的对错．
解：由题意，知：甲15分钟即 小时行驶了 千米，
所以甲的速度为： 千米 小时；
故甲从 行驶1.5小时后，距 地的距离为 千米，可排除B、D选项；
由于 处距 地18千米，且甲从 处出发，故 的初始值应该是18，可排除C选项；
故选：A．
【变式2】（2023年江苏省南京市中考数学模拟预测题）甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从
A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/
min）的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象求出甲车的速度是本题的关键．根据图象，求出甲车的
速度，设甲车出发t min后乙车追上甲车，根据两车与A地距离相等列等式，用t将v表示出来，根据
t的取值范围，求出v的最小值即可．
解：由函数图象可知甲的速度为 （km/min），
追及的路程为 （km），
时，甲乙两车速度差为 （km/min），此时乙车速度为
（km/min），
时，甲乙两车速度差为 （km/min），此时乙车速度为 （km/
min），
所以乙车的速度v的取值范围是 ．
故答案为： ．
【考点4】几何问题（一次函数的实际应用）；
【例 4】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、点
，以线段 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形 ， ，点 为坐标
系中的一个动点．
（1）请直接写出直线l的表达式；
（2）求出 的面积；
（3）当 与 面积相等时，求实数 的值．【答案】（1） ；（2） ；（3）实数 的值为 或 ．
【分析】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计
算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
（1）将点 、 的坐标代入一次函数表达式： ，即可求解；
（2）证明 为等腰直角三角形，则 ；
（3）分点 在第一象限、点 在第四象限两种情况，分别求解即可．
解：（1）设直线 所在的表达式为： ，
则 ，解得： ，
故直线 的表达式为： ；
（2） 点 、点 ，
，
在 中，由勾股定理得：
为等腰直角三角形，
；
（3）连接 ， ， ，则：
①若点 在第一象限时，如图， ， ，
，
即 ，解得 ；
②若点 在第四象限时，如图
， ， ，
，
即 ，解得 ；
故：当 与 面积相等时，实数 的值为 或 ．
【变式1】（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）如图，在 中， ，顶点O与原点
重合， ，点B的坐标为 ，点C为边 的中点，将 向右平移，当点C的对应点
在直线 上时，点 的对应点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题是一次函数综合题，涉及的知识包括坐标与图形、相似三角形的判定与性质、全等三角
形的判定与性质、平移的性质等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
先求得点 ， 的坐标，根据平移后纵坐标相等，求得 点的坐标，进而求得平移距离，即可求得点
的坐标．
解：过点 作 轴于点 ，过 作 于点 ，如图所示:
则有 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
点C为边 的中点，，
将 向右平移， 纵坐标还是 ，
代入 ，
得 ，
解得
，
向右平移4个单位到
∴ 坐标为 ，
故选B．
【变式2】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，点
，点P在x轴上，且三角形 的面积为6，则P点坐标为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数及三角形面积的求法.解题的关键是找到A，B 点的坐
标位置.设A，B所在的直线的解析式为 ，根据A，B 的坐标求出该解析式，然后设点P到y轴
的距离为 ，根据A，B的位置分情况计算 即可得出P点坐标.
解：设A，B所在的直线的解析式为 ，
把 代入，得
，
解得 ，
∴A，B所在的直线的解析式为 ，
∴A，B，O在同一直线上，
设点P到y轴的距离为 ，
①如上图所示：
=
=
=
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P坐标为 或 ；
②如图：
==
=
∵
∴
∴
∴点P坐标为 或 ；
③如图所示：
=
=
=
∵
∴
∴∴点P坐标为 或 ；
综上所述，点P坐标为 或 .
故答案为 或 .
【考点5】其他问题（一次函数的实际应用）；
【例5】（2024·河南周口·一模）为拓展公园绿地服务功能，更好地满足市民亲近自然、休闲游憩、
运动健身需求，郑州市园林局积极开展绿地开放共享试点工作，自2023年9月1日正式对外开放36
个试点公园广场、廊道，共计共享绿地71处，共享面积约24万平方米．小明计划购置一批露营桌
椅供游客租赁，已知购买20套甲型桌椅和40套乙型桌椅需要5200元；若购买30套甲型桌椅和10
套乙型桌椅需要2800元．
（1）求每套甲型桌椅和每套乙型桌椅的价格．
（2）若小明需要购买甲型和乙型桌椅共计200套（两种型号均需购买），购买甲型桌椅的数量不超过
乙型桌椅数量的 ，为使购买桌椅的总费用最低，应购买甲型桌椅和乙型桌椅各多少套？购买桌椅的
总费用最低为多少？
【答案】（1）每套甲型桌椅60元，每套乙型桌椅100元；（2）购买甲型桌椅50套，乙型桌椅150
套，总费用最低，最低总费用为18000元
【分析】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，以及利用一次函数的性质求解最低费用．
（1）设每套甲型桌椅 元，每套乙型桌椅 元，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
（2）设购买甲型桌椅 套，总费用为 元，则购乙型桌椅 套， 根据题意得
，利用一次函数的性质即可求解．
（1）解：设每套甲型桌椅 元，每套乙型桌椅 元，
由题意列方程组 解得
答：每套甲型桌椅60元，每套乙型桌椅100元．（2）设购买甲型桌椅 套，总费用为 元，则购乙型桌椅 套．
购买甲型桌椅的数量不超过乙型桌椅数量的 ，
，解得 ，
根据题意得 ．
，
随 的增大而减小，
当 时， 取最小值，最小值 （元），
．
答：购买甲型桌椅50套，乙型桌椅150套，总费用最低，最低总费用为18000元．
【变式1】（23-24八年级上·福建宁德·期末）某品牌专卖店经营篮球鞋，每个月的净利润y元（总
收入－总成本），与销售量x双的函数关系如图所示．
①每双鞋的利润为25元；②当销售量超过100双时开始盈利；③y与x的函数关系式为：
；④若专卖店从下个月起店租增加500元，则增加店租后的净利润y元与销售量x双的
函数图象可以由原图象向下平移得到．以上说法正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①③④ D．②③④
【答案】D
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、从函数图像获取信息等知识，
数形结合是解题的关键．根据图象获取信息分别进行解答和判断即可．
解：由图象可知，每个月的净利润y元（总收入－总成本），与销售量x双的函数关系是一次函数，
设函数解析式为 ，由图象可知经过点 ，则 ，
解得 ，
即y与x的函数关系式为： ，故③正确，
由图象可知每双的利润为 （元），故①错误，不符合题意，
当 时， ，则当销售量超过100双时，开始盈利，故②正确，符合题意，
若专卖店从下个月起店租增加500元，则增加店租后的净利润y元与销售量x双的函数关系式为
，
∴增加店租后的净利润y元与销售量x双的函数图象可以由原图象向下平移500个单位得到的．
故④正确，符合题意，
综上可知，说法正确的是②③④，
故选：D
【变式2】（2021·山东济南·二模）某快递公司每天上午 为集中揽件和派件时段，甲仓库
用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量 （件）与时间 （分）之间的
函数图象如图所示，那么从 开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同．
【答案】20
【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量 （件）与
时间 （分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．
解：设甲仓库的快件数量 （件）与时间 （分）之间的函数关系式为 ，
根据图象得， ，解得： ，
∴ ，
设乙仓库的快件数量 （件）与时间 （分）之间的函数关系式为 ，
根据图象得， ，
解得： ，
∴ ，
联立 ，
解得： ，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
