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专题19.1 变量与函数（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】常量与变量
1. 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.
2. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.
特别提醒：
（1）变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，
同一个量的身份也可能随之改变.
（2）“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就
是变量，如在一个匀速直线运动中的速度u就是一个常量.
（3）判断一个量是不是变量，关键是看在变化过程中其数值是否发生变化.
【知识点二】函数
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x与y，并且对于x的每一个确定的值.y都有唯
一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
特别提醒：对函数概念的理解：
（1）有两个变量；
（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；
（3）对于自变量x每一个确定的值，函数y有且只有一个值与之对应.例如y=±x，当x=1时，y
有两个对应值，所以y=±x不是函数.而对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如函数y=l
x l，当x=±1时，y的值都是1.
【知识点三】函数自变量取值范围
函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的全体.
1.求自变量的取值范围通常从两个方面考虑：一是要使函数的解析式有意义；二是符合实际意
义.
2.自变量的取值范围可以是无限的，有也可以是有限的，还可以是单独一个（或几个）数.在
一个函数关系式中，同时有分式、根式等，函数自变量的取值范围应是各个式子中自变量取值范
围的公共部分.
【知识点四】函数值
如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时
的函数值.
【知识点五】函数解析式像y=50-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常
用方法，这种式子叫做函数的解析式.
特别提醒：
1. 函数式两个变量之间的一种关系，函数值是一个数值.
2.一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为
多少.
【考点目录】
【考点1】函数及相关概念； 【考点2】函数的解析式；
【考点3】函数自变量取值范围和函数值； 【考点4】用表格法表示变量之间的关系；
【考点5】用关系式法表示变量之间的关系； 【考点6】用图象法表示变量之间的关系；
【考点1】函数及相关概念；
【例1】下表是某城市2012年统计的中小学男学生各年龄组的平均身高：
年龄组
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
（岁）
平均身高
117 121 125 130 135 142 148 155 162 167 170 172
观察此表，回答下列问题：
（1）该市14岁男学生的平均身高是多少？
（2）该市男学生的平均身高从哪一岁开始增加特别迅速？
（3）这里反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？
【答案】（1） ；（2）11 岁；（3）年龄和身高，年龄，身高
【分析】（1）根据表格中的数据，可直接回答；（2）求出每年的增加数，进行比较即可；
（3）根据变量的关系确定自变量和因变量即可．
解：（1）由表中数据可得：该市14岁男学生的平均身高是 ；
（2）该市男学生的平均身高每年增加依次为：4、4、5、5、7、6、7、7、5、3、2；
故该市男学生的平均身高从 11 岁开始增加特别迅速．
（3）这里反映了年龄和身高两个变量之间的关系，其中身高随着年龄的变化而变化，故年龄是自变量，身高是因变量．
【点拨】本题考查函数的表示方法，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件解答．
【变式1】下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，
那么就说y是x的函数，由此即可判断．
解：A、 表示y不是x的函数，该选项不符合题意的；
B、 表示y是x的函数，该选项是符合题意的；
C、 表示 y不是x的函数，该选项不符合题意的；
D、 表示 y不是x的函数，该选项不符合题意的；
故选：B．
【点拨】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
【变式2】小亮帮母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小亮家4月初连续8天每天早上电表显示的读数：
日期/日 1 2 3 4 5 6 7 8
电表读数/度 21 24 28 33 39 42 46 49
表格中反映的变量是 ，自变量是 ，因变量是 .
【答案】 日期和电表读数， 日期， 电表读数.
【分析】根据题意可得变量有两个：日期和电表读数，再根据表格和变量可得答案；
解：表格中反映的变量是：日期和电表读数，自变量为日期，因变量为电表读数．
故答案为日期和电表读数，日期，电表读数．
【点拨】函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定
的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量；
【考点2】函数的解析式；
【例2】按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．
①题中有几个变量？
②你能写出两个变量之间的关系吗？
【答案】①有2个变量；②能，函数关系式可以为y=4x+2．
试题分析：①根据变量和常量的定义可得结果；
②由图形可知，第一张餐桌上可以摆放6把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放4把椅子．x张
餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2．
解：①观察图形：x=1时，y=6，x=2时，y=10；x=3时，y=14；…
可见每增加一张桌子，便增加4个座位，
因此x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2个座位．
故可坐人数y=4x+2，
故答案为有2个变量；
②能，由①分析可得：函数关系式可以为y=4x+2．
【变式1】临近春夏换季，某款卫衣的售价为每件300元，现如果按售价的7折进行促销，设购买x
件一共需要y元，则y与x间的关系式为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得出每件商品的实际售价，即可得出y与x间的函数表达式．
解：每件商品的实际售价为：300×0.7=210（元），
∴y与x间的函数表达式为：y=210x．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了列函数解析式，表示出每件商品的实际售价是解决问题的关键．
【变式2】等腰三角形顶角为 ，底角的度数为 ，则y随x变化的关系式是 ．
【答案】
【分析】由三角形的内角和定理可得： ，再变形即可得到答案．
解：由三角形的内角和定理可得： ，
∴ ，
故答案为：
【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，列函数关系式，准确的列出
函数关系式是解本题的关键．
【考点3】函数自变量取值范围和函数值；
【例3】已知一条钢筋长 ，把它折弯成长方形（或正方形）框，其一条边长记为 ，围
成的面积记为 ．
（1）求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（2）分别求当 ，25，28时，函数S的值．
【答案】（1） ；（2） ， ，
【分析】（1）根据长方形的周长，可得长方形的另一边长，根据长方形的面积公式，可得答案；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，把自变量的值代入函数关系式，可得答案．
（1）解：长方形的另一边长为 ，，
是长方形一边的长， ，
长方形的另一边长为 ，得
，解得 ，
自变量的取值范围为 ；
（2）解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
【点拨】本题考查了函数关系式，利用长方形的面积是解题关键，自变量与函数值的对应关系是求函
数值的关键．
【变式1】如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出个解析式的取值范围，对应数轴，即可解答．
解：A、y=x+2，x为任意实数，故此选项错误；
B、y=x2+2，x为任意实数，故此选项错误；
C、 ，x+2≥0，即x≥−2，故此选项正确；
D、 ，x-2≠0，即x≠2，故此选项错误
故选：C．
【点拨】本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是函数自变量的范围一般从三个方面考
虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数，②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为
0，③当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．
【变式2】若函数 ，则当函数值 时，自变量 的值为 ．【答案】 或
【分析】将 分别代入函数解析式，求出x的值，然后根据取值范围得出x的值．
解：当 时，则 时，
解得： ，
∵ ，
∴ ；
当 时， 时，
解得： ，符合题意，
∴综上所述： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查的是求解函数自变量值，属于基础题型．根据取值范围确定自变量的值是解题
的关键．
【考点4】用表格法表示变量之间的关系；
【例4】小华粉刷他的卧室共花去10小时，他记录的完成工作量的百分数如下：
时间（小时） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
完成的百分数 5 25 35 50 50 65 70 80 95 100
（1）5小时他完成工作量的百分数是______；
（2）小华在______时间里工作量最大；
（3）如果小华在早晨8时开始工作，则他在______时间没有工作．
【答案】（1） ；（2）第二小时；（3） 时
【分析】本题考查了函数的表示方法，比较简单，阅读图表数据，准确获取信息是解题的关键．
（1）根据图表数据解答即可；
（2）根据数据找出完成百分数最多的时间即可；
（3）根据完成的百分数，开始工作后4到5小时没有工作，然后求出相应的时间即可．
解：（1）5小时他完成工作量的百分数是 ；故答案为： ；
（2）由图表可知，在第二小时完成的百分数最大是 ，所以，在第二小时时间里工作量最大；
故答案为：第二小时；
（3）开始工作 小时工作量都是 没有发生变化，
早晨8时开始工作，
在 时时间没有工作．
故答案为： 时．
【变式1】某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：
温度（℃） 0 10 20 30
声速（m/s） 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数
B．温度越低，声速越慢
C．当温度每升高 时，声速增加
D．当空气温度为 时，声音可以传播
【答案】D
【分析】本题考查函数的表示方法、常量与变量，根据自变量与函数的定义判断A即可；通过观察数
据即可得出结论BC；根据C计算出空气温度为 的声速，即此时每秒传播的距离即可判断D．
解：∵声速随温度的变化而变化，
∴自变量是温度，声速是温度的函数，
∴A正确，不符合题意；
从而表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢，
∴B正确，不符合题意；
从数据可知，温度每升高 时，声速增加 ，
∴C正确，不符合题意；
由C可知，当空气温度为 时，声速为 ，即当空气温度为 时，声音每秒
可以传播 ，
∴D错误，符合题意．
故选：D．
【变式2】某水果店每天售出某种水果的数量（单位：千克）与该水果的售价（单位：元/千克）之间的关系如下表所示，由表可知，当售价为2.2元/千克时，每天能售出 千克．
售价（元/千克） 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 …
数量（千克） 20 19 18 17 16 15 …
【答案】13
【分析】根据表格中的数据可知：售价每增加 元/千克，数量就减少1千克，据此列式解答即可．
解：由表可知，当售价为2.2元/千克时，每天能售出 （千克）；
故答案为：13．
【点拨】本题考查了用表格表示变量之间的关系，得出售价每增加 元/千克，数量就减少1千克是
解题的关键．
【考点5】用关系式法表示变量之间的关系；
【例5】为了了解某种车的耗油量，某专业检测人员对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试
验的数据记录下来，制成下表：
汽车行驶时间
油箱剩余油量
（1）上表反映的两个变量中，自变量是______；
（2）根据上表的数据，写出用 表示 的关系式；
（3）汽车油箱中剩余油量为 ，则汽车行驶了多少小时？
【答案】（1） ；（2） ；（3） 小时
【分析】（1）油箱剩余油量是随着汽车行驶时间的变化而变化，由此即可得；
（2）根据 、 、 和 时， 的值即可得出答案；
（3）求出当 时， 的值即可得．
（1）解：因为油箱剩余油量 是随着汽车行驶时间 的变化而变化，
所以上表反映的两个变量中，自变量是 ，
故答案为： ．（2）解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
则用 表示 的关系式为 ．
（3）解：当 时， ，
解得 ，
答：汽车行驶了 小时．
【点拨】本题考查了自变量、利用关系式表示变量之间的关系、求自变量的值，熟练掌握函数的表示
方法是解题关键．
【变式1】如图，梯形上底的长为 ，下底长为 ，高为 ，梯形的面积为 ，则下列说法不正确的
是（ ）
A．梯形面积 与下底长 之间的关系式为
B．当 时， ， 此时它表示三角形面积
C．当 每增加 时， 增加
D．当 从 变到 时， 的值从 变化到
【答案】D
【分析】本题考查了变量间的关系，正确理解题意是解题的关键．根据梯形面积公式得出 与 之间
的关系；结合关系式逐项分析即可得解．
解：A． ∵梯形上底的长是 ，下底的长是 ，高是 ，
∴梯形的面积 与下底长 之间的关系式为： ，该项正确，不符合题意；
．当 时， ， 此时它表示三角形面积，该选项正确，不符合题意；
．∵ ，∴当 每增加 时， 增加 ，故该选项正确，不符合题意；
．当 时， ，
当 时， ，
当 从 变到 时， 的值从 变化到 ，故该选项错误，符合题意；
故选∶ ．
【变式2】一个弹簧秤不挂重物时长 ，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果
挂上 的物体后，弹簧伸长 ，则弹簧总长 （单位：cm）与所挂重物质量 （单位：kg）的函数解
析式是 ．
【答案】
【分析】此题考查函数解析式问题．根据题意可知，弹簧总长度 与所挂物体质量 之间符
合一次函数关系，从而可求解．
解：由题意得，弹簧总长y（单位： ）关于所挂重物x（单位： ）的函数关系式为 ，
故答案为： ．
【考点6】用图象法表示变量之间的关系；
【例6】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间
为 ，两车之间的距离为 ，图中的折线表示y与x之间的关系．
（1）甲、乙两地之间的距离是___________千米．
（2）求慢车和快车的速度．
【答案】（1） ；（2）慢车速度是 ，快车速度是 ；
【分析】（1）根据快慢车 相距 即可得到答案；
（2）根据慢车 内行驶 得到速度，结合图像得到4小时两车相遇求解即可得到答案；（1）解：由图像可得，快慢车 相距 ，
故答案为： ；
（2）解：由图像可得，慢车总的走了 ，
∴慢车的速度为： ，
快车速度是： ，
答：慢车速度是 ，快车速度是 ；
【点拨】本题考查行程问题中的相遇问题，解题的关键是看懂图像．
【变式1】如图，一个动点P从点A出发，沿着弧线 ，线段 ， 匀速运动到A，当点P运动
的时间为t时， 的长为s，则s与t的关系可以用图象大致表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别判断出点P在弧线 上时，点P在线段 上时，点P在线段 上时， 的变化情
况，然后可得答案．
解：点P在弧线 上时， 的长不变；当点P在线段 上运动时， 的长逐渐变小；当点P在
线段 上运动时， 的长逐渐变大；
所以D选项的图象符合．
故选：D．
【点拨】本题考查了用图象表示变量间的关系，理清点P在各边时 长度的变化情况是解题的关键．
【变式2】如图1，点P从 的顶点B出发，沿 匀速运动到点A，图2是点P运动时，
线段 的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则 边上的高长为 ．【答案】4
【分析】根据题意，当点P从B运动到A的过程中， 由0开始增大，到C时最大为5；当点P从C
运动到A的过程中， 的长度先减小，当 时达到最小，最小值为4，然后又增大，进而可求解．
解：根据题意，结合图1和图2，
当点P从B运动到A的过程中， 由0开始增大，到C时， 最大为5；当点P从C运动到A
的过程中， 的长度先减小，当 时达到最小，最小值为4，然后又开始增大，则 边上的高长
为4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查图象的理解和应用，把图形和图象结合理解得到线段长度的变化是解答的关键．
