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能力提高 / 初三 / 秋季
第 1 讲 一元二次方程的解法
例题练习题答案
例1 (1)【答案】 ≠ ±1
(2)【答案】0
ax2 +bx+c = 0
【解析】将一元二次方程 的根代入，
a+b+c = 0
{ 2a+2c = 0
可得 ，两式相加，得 ；
a−b+c = 0
a+c = 0
∴ ．
练1.1 (1)【答案】 = −1
m−1 ≠ 0
【解析】 { m = −1
由题易知 ，可得 .
|m|+1 = 2
−1
(2)【答案】
x = 0 (a−1)x2 +x+|a|−1 = 0 |a|−1 = 0
【解析】把 代入一元二次方程 ，得 ，且
a−1 ≠ 0 a = −1
，可得 ．
例2 (1)【答案】解：①∵ x2 −9 = 0
x2 = 9
∴
x = 3 x = −3
∴ 1 ， 2
4(x−2)2 −36 = 0
②∵
4(x−2)2 = 36
∴
(x−2)2 = 9
∴
x−2 = 3 x−2 = −3
∴ 或
x = 5 x = −1
∴ 1 ， 2
(2x−5)2 = (3x−1)2
③∵
2x−5 = ±(3x−1)
∴
2x−5 = 3x−1 2x−5 = 1−3x
∴ 或
6
x = −4 x =
∴ 1 ， 2
5
x2 +2x−1 = 0
(2)【答案】解：①∵x2 +2x = 1
∴
x2 +2x+1 = 2
∴
(x+1)2 = 2
∴
–
x+1 = ±√2
∴
– –
x = −1+√2 x = −1−√2
∴ 1 ， 2
−2x2 −5x+10 = 0
②∵
5
x2 + x = 5
∴
2
5 5 2 105
x2 + x+( ) =
∴
2 4 16
5 2 105
(x+ ) =
∴
4 16
−−−
5 √105
x+ = ±
∴
4 4
−−− −−−
−5+√105 −5−√105
x = x =
∴ 1 ， 2
4 4
例3 【答案】解：（1）∵ x2 −x−2 = 0 ，
a = 1 b = −1 c = −2
∴ ， ， ，
Δ = (−1)2 −4×1×(−2) = 9
∴ ，
–
1±√9
x =
∴ ，
2
x = −1 x = 2
∴ 1 ， 2 ；
2x2 −5x−1 = 0
（2）∵ ，
a = 2 b = −5 c = −1
∴ ， ， ，
Δ = (−5)2 −4×2×(−1) = 33
∴ ，
−−
5±√33
x =
∴ ，
4
−− −−
5+√33 5−√33
x = x =
∴ 1 ， 2 ；
4 4
0.3y2 +y = 0.8
（3）∵ ，
a = 0.3 b = 1 c = −0.8
∴ ， ， ，
Δ = 12 −4×0.3×(−0.8) = 1.96
∴ ，
−−−−
−1±√1.96
y =
∴ ，
0.6
2
y = y = −4
∴ 1 3 ， 2 ；
–
x2 −3√2x+3 = 0
（4）∵ ，
–
a = 1 b = −3√2 c = 3
∴ ， ， ，
– 2
Δ = (−3√2) −4×1×3 = 6
∴ ，
– –
3√2±√6
x =
∴ ，
2– – – –
3√2+√6 3√2−√6
x = x =
∴ 1 ， 2 ．
2 2
例4 (1)【答案】 x2 −6x+5 = 0 ，
(x−5)(x−1) = 0
，
x−5 = 0 x−1 = 0
， ，
x = 5 x = 1
1 ， 2 .
【解析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.
x(x−4)+5(x−4) = 0
(2)【答案】 ，
(x−4)(x+5) = 0
，
x−4 = 0 x+5 = 0
， ，
x = 4 x = −5
1 ， 2 ．
【解析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
练4.1 【答案】解：（1）∵ x2 +2x−15 = 0
(x+5)(x−3) = 0
∴
x+5 = 0 x−3 = 0
∴ 或
x = −5 x = 3
∴ 1 ， 2
2x2 −9x−5 = 0
（2）∵
(2x+1)(x−5) = 0
∴
2x+1 = 0 x−5 = 0
∴ 或
1
x = − x = 5
∴ 1 ， 2
2
练4.2 (1)【答案】解：∵ 2x2 +4x−7 = 0
7
x2 +2x =
∴
2
9
x2 +2x+1 =
∴
2
9
(x+1)2 =
∴
2
–
3√2
x+1 = ±
∴ ．
2
– –
3√2 3√2
x = −1+ x = −1−
∴ 1 ， 2
2 2
2x2 −3x+2 = 0
(2)【答案】解：∵
a = 2 b = −3 c = 2
∴ ， ， ，
Δ = b2 −4ac = (−3)2 −4×2×2 = −7 < 0
∴
∴此方程没有实数解．x2 −7x+10 = 0
(3)【答案】解：∵
(x−2)(x−5) = 0
∴
x = 2 x = 5
∴ 1 ， 2 ．
5(x+1)2 = 7(x+1)
(4)【答案】解：∵
5(x+1)2 −7(x+1) = 0
∴
(x+1)[5(x+1)−7] = 0
∴
(x+1)(5x−2) = 0
∴
2
x = −1 x =
∴ 1 ， 2
5
例5 (1)【答案】证明： Δ = (m−1)2 +4m
= m2 −2m+1+4m
=(m+1)2 ≥ 0
，
x x2 +(m−1)x−m = 0 m
∴关于 的方程 （其中 是实数）一定有实数根．
Δ = (−2m)2 −4(6m−10)
(2)【答案】证明：
= 4m2 −24m+40
= 4(m−3)2 +4 > 0
，
m x x2 −2mx+6m−10 = 0
∴不论 为任何实数，关于 的方程 总有两个不相等的
实数根．
练5.1 【答案】证明： Δ = (−3k)2 +8
= 9k2 +8 > 0
x 2x2 −3kx−1 = 0
∴关于 的方程 一定有两个不相等的实数根．
练5.2 【答案】证明： Δ = (m+3)2 −4(m+1)
= m2 +6m+9−4m−4
= (m+1)2 +4 > 0
m
所以无论 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
例6 【答案】证明：当 m = 0 时，原方程可化为 −2x+2 = 0 ，方程有实数根： x = 1 ；
m ≠ 0
当 时，该方程为一元二次方程
Δ = (−m−2)2 −8m
= (m−2)2 ≥ 0
∴此时该方程有实数根．
m
综上所述，所以不论 为何值时，方程总有实数根．
例7 【答案】 m < −1mx2 +2x−1 = 0 m
【解析】∵一元二次方程 （ 为常数）没有实数根，
m ≠ 0 m ≠ 0
{ {
∴ ，即 ，
Δ < 0 22 +4m < 0
m < −1
解得： ．
m < −1
故答案为： ．
练7.1 (1)【答案】 −2 或 1
−2kx2 −4x−k = 1
【解析】方程 写成一般式为：
−2kx2 −4x−k−1 = 0
，
方程有两个相等的实数根，
Δ = 42 −8k(k+1) = 16−8k2 −8k = 0
则 ，
k = −2
解得 或1.
(2)【答案】A
x
【解析】已知关于 的方程
(m+2)x2 −3x+1 = 0
有两个不相等的实数根，
m+2 ≠ 0
{
则 Δ = (−3)2 −4(m+2) > 0 ，
1
m < m ≠ −2
解得 且 ．
4
10
练7.2 (1)【答案】
3
3x2 +4x+m = 2
【解析】方程 写成一般式为：
3x2 +4x+m−2 = 0
，
方程有两个相等的实数根，
Δ = 42 −12(m−2) = 16−12m+24 = 0
则 ，
10
m =
解得 .
3
(2)【答案】D
k2x2 +2(k−1)x+1 = 0
【解析】关于x的方程
有两个实数根，
k2 ≠ 0
{
则 ，
Δ = 4(k−1)2 −4k2 ≥ 0
1
k ≤ k ≠ 0
解得 且 ．
2
例8 【答案】解：①当 m2 −4 = 0 时，即 m = ±2 ，
1
m = 2 x = −
时， ；
61
m = −2 x =
时， ；
2
m2 −4 ≠ 0
②当 时，∵原方程有实数根
Δ = 4(m+1)2 −4(m2 −4) = 8m+20 ≥ 0
∴ ，
5
m ≥ −
解得 ；
2
5
m ≥ −
综上所述：当 时，原方程有实数根．
2
m2 −4 = 0
【解析】题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分 和
m2 −4 ≠ 0
两种情形讨论．
m2 −4 = 0 m = ±2 2(m+1) = 0
当 即 时， ，方程为一元一次方程，总有实根；当
m2 −4 ≠ 0 m ≠ ±2
即 时，方程有根的条件是：
5
Δ = [2(m+1)]2 −4(m2 −4) = 8m+20 ≥ 0 m ≥ −
，解得
2
5
m ≥ − m ≠ ±2
∴当 且 时，方程有实根．
2
5
m ≥ −
综上所述：当 时，方程有实根
2
能力提高 / 初三 / 秋季
第 1 讲 一元二次方程的解法
自我巩固答案
1 【答案】A
2 【答案】D
(x−2)2 = 9
【解析】 ，
x−2 = ±3
两边直接开平方得： ，
x−2 = 3 x−2 = −3
则 ， ，
x = −1 x = 5
解得： 1 ， 2 ．
故选：D．
3 【答案】D
1
【解析】原方程为 3x2 −6x+1 = 0 ，二次项系数化为1，得 x2 −2x = − ，
3
1 2
即 x2 −2x+1 = − +1 ，所以 (x−1)2 = ．故选D．
3 3
4 【答案】B
5 【答案】解：∵ a = 1 ， b = 1 ， c = −3 ，
b2 −4ac = 1+12 = 13 > 0
∴ ，−−
−1±√13
x =
∴ ，
2
−− −−
−1+√13 −1−√13
x = x =
∴ 1 ， 2 ．
2 2
【解析】根据方程的特点可直接利用求根公式法比较简便，首先确定a，b，c的值，然后检验方程
是否有解，若有解，代入公式即可求解．
6 【答案】解：∵ k 是 x2 −2017x+1 = 0 的一个不为0的根，
k2 −2017k+1 = 0 k2 −2017k = −1
∴ ，即 ，
2k2 −4034k = 2(k2 −2017k) = −2
∴ ．
7 【答案】C
【解析】关于x的方程 kx2 +(1−k)x−1 = 0 ，
k = 0 x−1 = 0 x = 1
A、当 时， ，则 ，故此选项错误；
k = 1 x2 −1 = 0
B、当 时， 方程有两个实数解，故此选项错误；
k = −1 −x2 +2x−1 = 0 (x−1)2 = 0
C、当 时， ，则 ，此时方程有两个相等的实数
解，故此选项正确；
D、由C得此选项错误．
故选：C．
8 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程 x2 +2x+k−1 = 0 有两个不相等的实数根
Δ = 22 −4×1×(k−1)
∴
= 4−4k+4 > 0
，
k < 2
∴ ，
即k的取值范围为： k < 2 ，
k = 1
（2）若 ，
x2 +2x = 0
则 ，
x = 0 x = −2
解得： 1 ， 2 ．
9 (1)【答案】解：把 m = 1 代入方程，得 2x2 −3x−1 = 0
Δ = (−3)2 −4×2×(−1)
= 17 > 0
−− −−
3±√17 3±√17
x = =
∴
2×2 4
−− −−
3+√17 3−√17
x = x =
∴ 1 ， 2
4 4
(2)【答案】∵方程有两个不相等的根，
Δ = (−3)2 +8m > 0
∴ ，
9+8m > 0
即 ，9
m > −
解得 ．
8
10 【答案】（1）证明：∵ Δ = (−2m)2 −4(m−1)(m+1) = 4 > 0 ，
∴方程总有两个不相等的实数根．
(m−1)−2m+m+1 = 0
（2）解：∵ ，
x = 1
∴ 是该方程一个固定的根．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 1 讲 一元二次方程的解法
课堂落实答案
1 【答案】A
(m+3)x2 −mx+1 = 0 (m+3) ≠ 0 m ≠ −3
【解析】如果 是一元二次方程， ，即： ．
故选：A．
2 【答案】D
3 【答案】C
4 【答案】B
3x2 −2x = 0 Δ = (−2)2 −4×3×0 = 4 > 0
【解析】A、 ， ，方程有两个不相等的实数
根，所以A选项不符合题意；
3x2 −4x+2 = 0 Δ = (−4)2 −4×3×2 = −8 < 0
B、移项得到： ， ，方程没有实
数根，所以B选项符合题意；
4x2 −4x−1 = 0 Δ = (−4)2 −4×4×(−1) = 32 > 0
C、整理得： ， ，方程有两
个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；
– – –
Δ = (−3)2 −4×√2×(−√3) = 9+4√6 > 0
D、 ，方程有两个不相等的实数根，
所以D选项不符合题意．
故选：B．
5 【答案】证明:△ = 9(m−1)2 −4×2(m2 −4m−7) ，
= m2 +14m+65
，
= (m+7)2 +16
．
∵对于任何实数m， (m+7)2 ≥ 0 ，
> 0
∴△ ，即原方程有两个不相等的实数根．所以方程 2x2 +3(m−1)x+m2 −4m−7 = 0 对于任何实数m，永远有两个不相等
的实数根．
= 9(m−1)2 −4×2(m2 −4m−7)
【解析】先计算△
= m2 +14m+65
= (m+7)2 +16
能力提高 / 初三 / 秋季
第 1 讲 一元二次方程的解法
精选精练
1 【答案】整理方程得： (a−2)x2 = 2 ，由此进行分类讨论：
a−2 ≤ 0 a ≤ 2
当 ，即 时，方程无解；
−−−−− −−−−−
√2a−4 √2a−4
a−2 > 0 a > 2 x = x = −
当 ，即 时，方程解为： 1 ， 2
a−2 a−2
2 【答案】原方程可化为 (k+1)x2 +(2k+1)x−2 = 0 ，
k = −1 −x−2 = 0 x = −2
①当 时， 时，
k ≠ −1 (x+2)[(k+1)x−1] = 0
②当 时，原式可变为：
1
x = −2 x = (k ≠ −1)
解得原方程的解为： 1 ， 2 ．
k+1
3 【答案】 −1 或2
a+b = x
【解析】设 ，则由原方程，得
2x(2x−2)−8 = 0
，
4x2 −4x−8 = 0 x2 −x−2 = 0
整理，得 ，即 ，
(x+1)(x−2) = 0
分解得： ，
x = −1 x = 2
解得： 1 ， 2 ．
a+b −1
则 的值是 或2．
−1
故答案是： 或2．
4 【答案】B
(x2 +y2) 2 +4(x2 +y2) −5 = 0
【解析】原方程变形得， ，
(x2 +y2 +5)(x2 +y2 −1) = 0
，
x2 +y2
又∵ 的值是非负数，
x2 +y2
∴ 的值为只能是1．故选：B．
5 【答案】C
【解析】∵关于x的一元二次方程 x2 −2x+kb+1 = 0 有两个不相等的实数根，
= 4−4(kb+1) > 0
∴△ ，
kb < 0
解得 ，
k > 0 b > 0 kb > 0
A． ， ，即 ，故A不正确；
k < 0 b < 0 kb > 0
B． ， ，即 ，故B不正确；
k > 0 b < 0 kb < 0
C． ， ，即 ，故C正确；
k < 0 b = 0 kb = 0
D． ， ，即 ，故D不正确；
故选：C．
6 【答案】∵方程有两个不相等的实数根，
Δ = b2 −4ac = 4−4m > 0 m < 1
∴ 解得： ，
2−m > 0,m−1 < 0
∴ ，
−−−−−−−−−−−
|2−m|−√m2 −2m+1 = 2−m+m−1 = 1
∴ .
能力提高 / 初三 / 秋季
第 2 讲 一元二次方程的应用
例题练习题答案
例1 【答案】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为 x ，根据题意得：
6000(1+x)2 = 8640
x = 0.2 = 20% x = −2.2
解得： 1 ， 2 （不合题意，舍去），
20%
答：该县投入教育经费的年平均增长率为 ；
20%
（2）因为2018年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为 ，
y = 8640×(1+0.2) = 10368
所以2019年该县投入教育经费为： （万元），
答：预算2019年该县投入教育经费10368万元．
a
【解析】此题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题是本题的关键，若设变化前的量为 ，
b x a(1±x)2 = b
变化后的量为 ，平均变化率为 ，则经过两次变化后的数量关系为 ．
练1.1 【答案】C
练1.2 【答案】 10%【解析】设2、3月份平均每月的增长率是x万吨，则二月份钢产量为 4(1+x) 万吨，三月份钢产量
4(1+x)2
为 万吨，由题意可得：
4(1+x)2 = 4.84
，
x = 0.1 x = −2.1
解得： 1 ， 2 （不合题意舍去），
10%
答：2、3月份平均每月的增长率是 ．
例2 【答案】 10
2
1−x
【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，依题意列方程：60（ ） =48.6，
x x
解方程得 1=0.1=10%， 2=1.9（舍去）．
故平均每次降价的百分率为10%．
练2.1 (1)【答案】设每个月生产成本的下降率为x，
400(1−x)2 = 361
根据题意得： ，
x = 0.05 = 5% x = 1.95
解得： 1 ， 2 （不合题意，舍去）．
5%
答：每个月生产成本的下降率为 ．
【解析】设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一
元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
361 ×(1−5%) = 342.95
(2)【答案】 （万元）．
342.95
答：预测4月份该公司的生产成本为 万元．
= 3 × 1−
【解析】由4月份该公司的生产成本 月份该公司的生产成本 （ 下降率），即可得出结
论．
例3 【答案】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．
根据题意，得
40x
[(3−2)−x](200 + )−24 = 200
．
0.1
(1−x)(25+50x)−3 = 25
方程可化为：
50x2 −25x+3 = 0
x = 0.2 x = 0.3
解这个方程，得 1 ， 2 ．
x = 0.2
因为为了促销故 不符合题意，舍去，
x = 0.3
∴ ．
答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．
练3.1 【答案】C
(x+50)
【解析】解：设涨价x元能赚得8000元的利润，即售价定为每个 元，应进货
(500 −10x)
个，依题意得：(50−40+x)(500 −10x) = 8000
，
x = 10 x = 30
解得 1 ， 2 ．
x = 10 x+50 = 60
当 时， ；
x = 30 x+50 = 80
当 时， ．
答：商品售价应为60元或80元．
练3.2 【答案】B
【解析】设每台冰箱应降价x元，
(2400−2000−x)
每件冰箱的利润是： 元 ，
x
(8+ ×4)
卖 件，列方程得，
50
x
(2400−2000−x)(8+ ×4) = 4800
，
50
x2 −300x+20000 = 0
，
x = 200 x = 100
解得 1 ， 2 ；
x = 200
要使百姓得到实惠，只能取 .
例4 【答案】（1） 24−3x
AB x
设宽 为 m，
AD = BC = 22−3x+2 = (24−3x)
则长 m；
(22−3x+2)x = 45
（2）由题意可得： ，
x = 3 x = 5
解得： 1 ； 2 ，
AB = 3 BC = 15 > 14
∴当 时， ，
不符合题意舍去，
AB = 5 BC = 9
当 时， ，满足题意．
9 5
答：花圃的长为 米，宽为 米．
练4.1 【答案】A
【解析】设与墙垂直的一边长为xm，
(26−2x)m
则与墙平行的一边长为 ，
x(26−2x) = 80
根据题意得： ．
练4.2 【答案】D
例5 【答案】设每轮传染中平均每个人传染了x人，
1+x+x(1+x) = 121
依题意得 ，
x = 10 x = −12
∴ 或 （不合题意，舍去），
所以，每轮传染中平均一个人传染了10个人．
练5.1 【答案】设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 x 个有益菌，60(1+x)+60x(1+x) = 24000
由题意，得 ，
x = 19 x = −21( )
解得： 1 ， 2 舍去 ．
19
答：每轮培养中平均每个有益菌可分裂出 个有益菌．
例6 【答案】C
练6.1 【答案】B
【解析】解：设有x家公司参加，依题意，得
1
x(x−1) = 45．
2
能力提高 / 初三 / 秋季
第 2 讲 一元二次方程的应用
自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】设这两个月平均每月增长的百分率是x，依题意．得
5(1+x)2 = 7.2
，
故选：C．
2 【答案】A
【解析】设原价为100，平均每次降价率是x，根据题意得：
100(1−x)2 = 49
，
3 17
x = = 30% x =
解得： 或 （舍去）．
10 10
故选：A．
3 【答案】C
【解析】设原正方形的边长为xm，依题意有
(x−1)(x−2) = 18
，
故选：C．
4 【答案】B
【解析】解：设这个航空公司共有飞机场x个．
x(x−1) = 15×2
，
x = 6 x = −5
解得 1 ， 2 （不合题意，舍去）．
答：这个航空公司共有飞机场6个．
5 【答案】A(x−30) (100 −2x)
【解析】∵每件商品的利润为 元，可售出 件，
(x−30)(100 −2x) = 200
∴根据每天的利润为200元可列的方程为 ，
故选：A．
6 【答案】A
【解析】设数学兴趣小组人数为x人，
每名学生送了（x﹣1）张，共有x人，
根据“共互送了90张贺年卡”，
可得出方程为x（x﹣1）=90．故选A．
7 【答案】设这种台灯的售价定为x元，由题意得
[600 −10(x−40)](x−30) = 10000
，
x2 −130x+4000 = 0
整理，得 ，
x = 50 x = 80
解得： 1 ， 2 ．
x = 50 600 −10(x−40) = 600 −10×(50−40) = 500
当 时， （个）；
x = 80 600 −10(x−40) = 600 −10×(80−40) = 200
当 时， （个）．
答：台灯的定价定为50元，这时应进台灯500个；台灯的定价定为80元，这时应进台灯
200个．
【解析】设这种台灯的售价定为x元，那么就少卖出 10(x−40) 个，根据利润=售价-进价，可列方
程求解．
8 【答案】设每个支干长出的小分支的数目是x个，
x2 +x+1 = 91
根据题意列方程得： ，
x = 9 x = −10
解得： 或 （不合题意，应舍去）；
x = 9
∴ ；
答：每支支干长出9个小分支．
【解析】由题意设主干长出的支干数目是x个，每个支干又长出x个小分支，则又长出
x2
个小分支，
则主干、支干、小分支的总数是 x2 +x+1 ，即可列方程求得x的值．
9 【答案】设剪掉的正方形纸片的边长为x cm．
(30−2x)(20−2x) = 264
由题意，得 ．
x2 −25x+84 = 0
整理，得 ．
x = 4 x = 21
解方程，得 1 ， 2 （不符合题意，舍去）．
答：剪掉的正方形的边长为4cm．
【解析】设剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为 (30−2x) cm，宽为
(20−2x) 2
cm，然后根据底面积是81cm 即可列出方程求出即可．10 (1)【答案】设平均每次下调的百分比为x，
8000(1−x)2 = 6480
由题意得： ，
x = 0.1 = 10% x = 1.9
解得： 1 ， 2 （不合题意，舍去），
10%
所以平均每次下调的百分率为 ；
【解析】设出平均每次下调的百分率为x，准备每平方米销售价格 × （ 1− 每次下调的百分率）
2=
开盘每平方米销售价格，列方程解答即可．
6480×100 ×(1−0.98) = 12960
(2)【答案】方案①购房优惠： （元）；
100 ×100 = 10000
方案②可优惠： （元）．
12960 > 10000
∵
故选择方案①更优惠．
【解析】分别利用两种销售方式求出房子的优惠价，进而得出答案．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 2 讲 一元二次方程的应用
课堂落实答案
1 【答案】D
【解析】设涨价x元，根据题意可得：
(30+x)
A、∵ 表示涨价后玩具的单价，∴A选项正确；
B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B选项正确；
(300 −10x)
C、∵ 表示涨价后销售玩具的数量，∴C选项正确；
(30+x−20)(300 −10x) = 3750
D、∵可列方程 ，故D选项错误，
故选：D．
2 【答案】B
4+4x+x(4+4x) = 100
【解析】依题意得 ，
4(1+x)2 = 100
即 ，
故选：B
3 【答案】B
4 【答案】B
(80+2x)(50+2x) = 5400
【解析】依题意得： ，4000+260x+4x2 = 5400
即 ，
4x2 +260x−1400 = 0
化简为： ，
x2 +65x−350 = 0
即 ．
故选：B．
5 【答案】设邀请x个球队参加比赛，
1+2+3+…+x−1 = 21
依题意得 ，
x(x−1)
= 21
即 ，
2
x2 −x−42 = 0
∴ ，
x = 7 x = −6
∴ 或 （不合题意，舍去）．
答：应邀请7个球队参加比赛．
【解析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打 (x−1) 场球，第二个球队和其他
(x−2) (1+2+3+…+x−1)
球队打 场，以此类推可以知道共打 场球，然后根据计
划安排21场比赛即可列出方程求解．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 2 讲 一元二次方程的应用
精选精练
1 【答案】C
【解析】设这两个连续整数为x， x+1 ．
x(x+1) = 56
则 ，
x = 7 x = −8
解得： 1 ， 2 ，
x+1 = 8 −7
则 或 ，
±15
则它们的和为 ．
故选：C．
2 【答案】设这个两位数的十位数为x，
10x+(5−x) = 9x+5
这个数为 ，
10(5−x)+x = 50−9x
新的数为 ，
(9x+5)(50−9x) = 736
根据题意得：
x = 2 x = 3
解得 1 ， 2
所以这个两位数为23或323 【答案】36岁
【解析】设周瑜逝世的年龄的个位数字为x，则十位数字为 x−3 ，
10(x−3)+x = x2
由题意得： ，
x = 5 x = 6
解得： 1 ， 2 ，
x = 5
当 1 时，周瑜的年龄是25岁，非而立这年，不符合题意，舍去；
x = 6
当 2 时，周瑜的年龄是36岁，符合题意，
答：周瑜的年龄是36岁．
13−10
4 (1)【答案】30− ×1 = 24
（间），
0.5
∴当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出24间．
【解析】根据“租出商铺数=商铺总数-未租出的商铺数”即可列式计算得出结论；
(2)【答案】设每间商铺的年租金增加x万元，则每间商铺的年租金为 (10+x) 万元，
依题意有：
x x x
(30− ×1)×(10+x)−(30− ×1)×1− ×1×0.5 = 275
0.5 0.5 0.5
2x2 −11x+5 = 0
即 ，
x = 5 0.5
解得： 或 ，
10.5
∴每间商铺的年租金定为 万元或15万元．
10.5
答：当每间商铺的年租金定为 万元或15万元时，该公司的年收益为275万元．
【解析】设每间商铺的年租金增加x万元，直接根据收益=租金-各种费用 = 275 万元作为等量
关系列方程求解即可．
5 (1)【答案】降价x元后，每件童装盈利是 (40−x) 元，每天销售量是 (20+2x) 件；
(40−x) (20+2x)
故答案为： ， ；
【解析】根据某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，每件童装降价1元，则每天可
多售出2件，分别得出答案；
(40−x)(20+2x) = 1200
(2)【答案】依题意得： ，
x = 10 x = 20
解得： 1 ， 2 （舍去），
答：每件童装降价10元；
【解析】设降价x元的盈利为w则可得出w关于x的函数关系式，令 w = 1200 ，即可解出x的
值；
(3)【答案】不能，理由如下：
(40−x)(20+2x) = 1800
依题意得： ，
x2 −30x+500 = 0
即： ，= 302 −4×1×500 = 900 −2000 = −1100 < 0
∵△ ，
∴原方程无解，
∴每天销售这种童装不可能盈利1800元．
【解析】设降价x元的盈利为w则可得出w关于x的函数关系式，令 w = 1800 ，即可得出答
案．
6 (1)【答案】设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为 (40−x)cm
x 2 40−x 2
( ) +( ) = 52
由题意得： ，
4 4
x = 16 x = 24
解得： 1 ， 2 ，
x = 16 40−x = 24
当 1 时， ，
x = 24 40−x = 16
当 2 时， ，
答：两段的长度分别为16和24cm；
【解析】这段铁丝被分成两段后，围成正方形．其中一个正方形的长为xcm，表示出另一个的
52cm2
长，然后根据“两个正方形的面积之和等于 ”作为相等关系列方程，解方程即
可求解；
(2)【答案】不能
x 2 40−x 2
( ) +( ) = 48
理由是： ，
4 4
x2 −40x+416 = 0
整理得： ，
= b2 −4ac = −64 < 0
∵△ ，
∴此方程无解，
48cm2
即不能剪成两段使得面积和为 ．
【解析】与（1）一样列出方程，利用根的判别式进行判断即可．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 3 讲 二次函数的图象与参数
例题练习题答案
2
例1 (1)【答案】±
5
x = 0 (0,1) (0,1)
(2)【答案】抛物线；向下； ； ；高；x = −3 (−3,0)
(3)【答案】抛物线；向下； ； ；高；0
例2 【答案】向下， x = −1 ， (−1,−2) ； < −1
练2.1 【答案】 >
a = 1 > 0
【解析】∵ ，
∴二次函数的图象开口向上，
y = (x−1)2 +1 x = 1
由二次函数 可知，其对称轴为 ，
x > x > 1
∵ 1 2 ，
∴两点均在对称轴的右侧，
∵此函数图象开口向上，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
x > x > 1
∵ 1 2 ，
y > y
∴ 1 2．
>
故答案为： ．
练2.2 (1)【答案】B
x = −3 (−3,−5) (−3,−5)
(2)【答案】抛物线；向上； ； ；低；
例3 (1)【答案】A
(2)【答案】A
(3)【答案】B
练3.1 【答案】D
练3.2 【答案】C
∵
【解析】 抛物线开口向上，
∴ a > 0
，
∵ y x
抛物线与 轴的交点在 轴下方，
∴ c < 0
，
∴ ac < 0
，故①正确；
∵ x (−1,0) (3,0)
抛物线与 轴的交点的坐标分别为 ， ，
b
∴ x = 1 − = 1
抛物线的对称轴为直线 ，即 ，
2a
∴ 2a+b = 0
，故②正确；
∵ x = 3 y = 0
时， ，
∴ x = 2 4a+2b+c < 0
时， ，故③错误；∵ x = 1 y
时， 的值最小，
∴ x a+b+c ⩽ ax2 +bx+c
对于任意 ， ，
ax2 +bx ⩾ a+b
即 ，所以④正确．
C
故选： ．
例4 (1)【答案】5
(2)【答案】4
4a(a−1)−16
【解析】 = 2
根据求最值公式得 ，
4a
a = −1
解得 （此时二次函数无最小值，舍去）或4．
练4.1 (1)【答案】小
小
3
−1
(2)【答案】
练4.2 【答案】 y = 3x2 +6x+9
5
例5 (1)【答案】−
2
(2)【答案】0
−4
18
(3)【答案】
3
练5.1 (1)【答案】0
(2)【答案】0
练5.2 (1)【答案】 3
−29
5
(2)【答案】
11
4
能力提高 / 初三 / 秋季第 3 讲 二次函数的图象与参数
自我巩固答案
1 【答案】A
2 【答案】D
3 【答案】A
m > 0 n > 0
【解析】观察函数图象，可知： ， ，
y = mx+n
∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限．
故选：A．
4 【答案】D
5 【答案】B
6 【答案】C
x = 1 y = a+b+c < 0
【解析】①当 时，结合图象 ，故此选项正确；
②当 x = −1 时，图象与x轴交点负半轴明显小于 −1 ，∴ y = a−b+c > 0 ，故本选项
错误；
a > 0
③由抛物线的开口向上知 ，
b
0 < x = − < 1
∵对称轴为 ，
2a
2a > −b
∴ ，
2a+b > 0
即 ，
故本选项错误；
b
x = − > 0
④对称轴为 ，
2a
∴a、b异号，即 b < 0 ，
图象与坐标相交于y轴负半轴，
c < 0
∴ ，
abc > 0
∴ ，
故本选项正确；
∴正确结论的序号为①④．
故选：C．
7 【答案】A
8 【答案】A
9 【答案】B
10 【答案】最大值为8，最小值为 −17 ．能力提高 / 初三 / 秋季
第 3 讲 二次函数的图象与参数
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】C
3 【答案】B
4 【答案】B
5 【答案】最大值为9，最小值为0．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 3 讲 二次函数的图象与参数
精选精练
1 【答案】B
【解析】解：由y=（x-m） 2 +（m+1）可知为顶点（m，m+1），
由顶点在第一象限得m>0且m+1>0，
解得m>0．
故选：B．
2 【答案】C
【解析】解：①∵a=-1<0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=-1，故本小题错误；
③顶点坐标为（-1，3），正确；
④∵x>-1时，y随x的增大而减小，
∴x>1时，y随x的增大而减小一定正确；
综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．
故选：C．
3 【答案】C【解析】解：∵二次函数y=ax2 +bx+c图象经过原点，
∴c=0，
∴abc=0
∴①正确；
∵x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，
∴②不正确；
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
3
∵抛物线的对称轴是x=- ，
2
b 3
∴- = − ，b<0，
2a 2
∴b=3a，
又∵a<0，b<0，
∴a>b，
∴③正确；
∵二次函数y=ax2 +bx+c图象与x轴有两个交点，
∴△>0，
∴b2 -4ac>0，4ac-b2
<0，
∴④正确；
综上，可得
正确结论有3个：①③④．
故选：C．
4 【答案】D
【解析】①∵抛物线的开口向上，∴a>0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c<0，
b
∵对称轴为x= − <0，∴a、b同号，即b>0，
2a
∴abc<0，
故本选项错误；
②当x=1时，函数值为2，
∴a+b+c=2；
故本选项正确；
④当x=-1时，函数值<0，即a-b+c<0，（1）
又a+b+c=2，
将a+c=2-b代入（1），
2-2b<0，
∴b>1
故本选项正确；
b
③∵对称轴x= − >-1，
2a
b
解得： 1，
1
∴a> ，
2
故本选项错误；
综上所述，其中正确的结论是②④．
–
5 【答案】 1−√3
【解析】根据题意，可得
max{a,b} =a，b中的最大数，
–
x2 +x−2 = −x x = −1±√3
所以 ，解得 ，
– –
−x = 1−√3 1+√3
所以 或 ，
–
max{x2 +x−2,−x} 1−√3
所以 的最小值是 ．
6 【答案】（1） 49
p ≤ −4 2p2 +4p+1
（2）若 ，最大值为 ；
−4 < p ≤ 2 17
若 ，则最大值为 ；
1 −5
（3） 或
y = 2x2 +4x+1 x = −1
【解析】（2）∵二次函数 的对称轴为直线 ，
x = −4 x = 2
∴由对称性可知， 和 时的函数值相等．
p ≤ −4 x = p y 2p2 +4p+1
∴若 ，则 时 的最大值为 ；
−4 < p ≤ 2 x = 2 y 17
若 ，则 时 的最大值为 ；
t < −2 2t2 +4t+1 = 31 t = 3 t = −5
（3） 时，最大值为 ，解得 1 （舍）， 2 ；
t ≥ −2 2(t+2)2 +4(t+2)+1 = 31 t = 1
时 ， 最 大 值 为 ， 解 得 1 ，
t = −7
2 （舍），
t 1 −5
综上， 的值为 或 ．
能力提高 / 初三 / 秋季第 4 讲 二次函数的应用
例题练习题答案
例1 【答案】设二次函数的解析式为 y = ax2 +bx+c ，
(−1,2) (3,2) (0,−1)
由于二次函数经过 、 、 三个点，
⎧2 = a−b+c
⎨2 = 9a+3b+c
所以 ，
⎩
−1 = c
⎧a = 1
⎨b = −2
解得： ，
⎩
c = −1
y = x2 −2x−1
所以二次函数的解析式为 ．
练1.1 【答案】 y = 3x2 +6x+1
练1.2 【答案】D
例2 (1)【答案】设二次函数的解析式为 y = a(x+1)2 +2 ，
(1,−3)
由于图象过点 ，
5
−3 = a(1+1)2 +2 a = −
所以 ，解得：
4
5 5 5 3
y = − (x+1)2 +2 = − x2 − x+
所以二次函数的解析式为 ．
4 4 2 4
(4,−3)
(2)【答案】由题意可得：二次函数的顶点坐标为 ，
因为图象与x轴两交点之间的距离为6，
(1,0) (7,0)
所以两交点坐标分别为 和 ，
y = a(x−4)2 −3
设二次函数的解析式为 ，
1
0 = a(1−4)2 −3 a =
所以 ，解得 ，
3
1 1 8 7
y = (x−4)2 −3 = x2 − x+
所以二次函数的解析式为 ．
3 3 3 3
练2.1 【答案】 y = (x+2)2 −3
1 3 7
练2.2 【答案】y = − x2 − x+
4 2 4
例3 (1)【答案】 y = −x2 +2x+3
1 5
(2)【答案】y = x2 −3x+
2 2
练3.1 【答案】C
例4 【答案】（1）由题意可得： S = x(24−2x) ，其中 7 ≤ x < 12
S = −2x2 +24x(7 ≤ x < 12)
所以 ；
S = −2x2 +24x(7 ≤ x < 12) x = 6
（2）因为 ，对称轴为 ，所以 x = 7 时，S取最大值70，
即AB长为7m时，围成的面积最大，最大面积为70m 2 ．
练4.1 【答案】（1）根据题意，得 S = x(24−3x) ，
11
S = −3x2 +24x( ≤ x < 8)
即所求的函数解析式为： ，
3
AB x BC 24−3x
（2）根据题意，设 长为 ，则 长为 ，
−3x2 +24x = 45
则 ．
x2 −8x+15 = 0
整理，得 ，
x = 3
解得 或5，
x = 3 BC = 24−9 = 15 > 13
当 时， 不成立，
x = 5 BC = 24−15 = 9 < 13
当 时， 成立，
∴ AB 5m
长为 ；
S = 24x−3x2 = −3(x−4)2 +48
（3） ，
∵ 13m
墙的最大可用长度为 ，
∴ x = 4 48m2 24−3x = 12 < 13
当 ，有最大面积为 ．此时 ，
∴ 48m2 12m 4m
能围成最大面积为 的正方形花园，其长和宽分别为 、 ．
练4.2 【答案】解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
AE = 2BE
∴ ，
BE = FC = a AE = HG = DF = 2a
设 ，则 ，
DF +FC +HG+AE +EB+EF +BC = 80 8a+2x = 80
∴ ，即 ，
1 3
a = − x+10 3a = − x+30
∴ ， ，
4 4
3 3
y = (− x+30)x = − x2 +30x
∴ ，
4 4
1
a = − x+10 > 0
∵ ，
4
x < 40
∴ ，
3
y = − x2 +30x(0 < x < 40)
则 ；
4
3 3
y = − x2 +30x = − (x−20)2 +300(0 < x < 40)
（2）∵ ，且二次项系数为
4 4
3
− < 0
，
4
∴当 x = 20 时，y有最大值，最大值为300平方米．
【解析】（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE=2BE，设BE=FC=a，则AE=HG=DF=2a，
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC=80，即8a+2x=80，
1 3
∴a=﹣ x+10，3a=﹣ x+30，
4 4
3 3
2
∴y=（﹣ x+30）x=﹣ x +30x，
4 4
1
∵a=﹣ x+10＞0，
4
∴x＜40，
3
2
则y=﹣ x +30x（0＜x＜40）；
4
3 3 3
2 2
（2）∵y=﹣ x +30x=﹣ （x﹣20） +300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣ ＜
4 4 4
0，
∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．
例5 【答案】设抛物线解析式为 y = ax2 ，
B(10,−4) −4 = a×102
把点 代入解析式得： ，
1
a = −
解得： ，
25
1
y = − x2
∴抛物线的解析式为 ．
25
1
练5.1 【答案】解:在 y = − x2 中,
3
25
y = − x = ±5
当 时, ,
3
2×5 = 10
故水面的宽度为 米.
10
答:水面的宽度为 米.
25
【解析】根据题意，把y= 直接代入求解即可．
3
–
练5.2 【答案】 4√3
1
【解析】以拱桥最顶端为原点建立直角坐标系，抛物线解析式为 y = − x2 ，如果水面上升1米，
4
–
4√3
水面宽度为 米．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 4 讲 二次函数的应用
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】B
3 【答案】C4 【答案】B
5 【答案】B
6 【答案】B
7 【答案】B
8 【答案】C
9 【答案】D
10 【答案】由题意可知，抛物线顶点为 (0,0) , A(−10,−10),B(10,−10) ，则抛物线解析式
1
y = − x2 ，则C点坐标 (4,−1.6) ，则CD的长度8.4米.
10
【解析】答案：中柱右边第二根支柱的高度是8.4米．
提示：由题易知点B的坐标为 ，设抛物线的解析式为 ，将B的坐标代入
，得 ，解得 ．所以抛物线的表达式为 ．可设中柱右边
第二根支柱底端点的坐标为 ，于是 ，所以中柱右边第二根支柱的
高度是： （米）．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 4 讲 二次函数的应用
课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】A
3 【答案】C
4 【答案】C
5 【答案】（1）设二次函数的解析式为 y = a(x−h)2 +k ，
(6,5)
由于顶点坐标为 ，
∴ y = a(x−6)2 +5
．
A(0,2)
又 在抛物线上，
∴ 2 = 62⋅a+5
，
1
a = −
解得： ．
12
1
∴ y = − (x−6)2 +5
二次函数的解析式为 ，
12
1
y = − x2 +x+2
整理得： ．
121
y = 0 − x2 +x+2 = 0
（2）当 时， ．
12
−− −−
x = 6+2√15 x = 6−2√15
， （不合题意，舍去）．
−−
∴ OB = 6+2√15
．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 4 讲 二次函数的应用
精选精练
1 【答案】B
【解析】解：∵二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），
∴设这个二次函数的解析式为y=a（x-2） 2 +4，
把（0，-4）代入得a=-2，
∴这个二次函数的解析式为y=-2（x-2） 2 +4．
故选：B．
2 【答案】A
【解析】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，3），且过（0，0）点，
设二次函数y=a（x-1） 2 +3，
把（0，0）代入得0=a+3
解得a=-3．
故二次函数的解析式为y=-3（x-1） 2 +3．
故选：A．
3 【答案】C
A h = 15 15 = 20t−5t2
【解析】解： 、当 时， ，
t = 1 t = 3
解得： 1 ， 2 ，
15m
故小球的飞行高度能达到 ，故此选项错误；
B h = 20t−5t2 = −5(t−2)2 +20
、 ，
t = 2 20m
故 时，小球的飞行高度最大为： ，故此选项错误；
C ∵ h = 0 0 = 20t−5t2
、 时， ，
t = 0 t = 4
解得： 1 ， 2 ，
∴ 4s
小球从飞出到落地要用时 ，故此选项正确；
D t = 1 h = 15
、当 时， ，1s 15m
故小球飞出 时的飞行高度为 ，故此选项错误；
C
故选： ．
4 【答案】解：（1）设现在实际购进这种牛肉每千克 a 元，则原来购进这种牛肉每千克 (a+2) 元，
由题意，得
32(a+2) = 33a
，
a = 64
解得 ．
答：现在实际购进这种牛肉每千克64元；
y x y = kx+b
（2）设 与 之间的函数关系式为 ，
(80,40) (70,140)
将 ， 代入，
80k+b = 40 k = −10
{ {
得 ，解得 ，
70k+b = 140 b = 840
y x y = −10x+840
故 与 之间的函数关系式为 ；
x w
（3）设这种牛肉的销售单价为 元时，所获利润为 元，
则
w = (x−64)y = (x−64)(−10x+840) = −10x2 +1480x−53760 = −10(x−
x = 74 w
所以当 时， 有最大值1000．
答：将这种牛肉的销售单价定为74元时，能获得最大利润，最大利润是1000元．
5 【答案】解：（1） ∵ 由表格可知：销售单价每涨10元，就少销售 5kg ，
∴ y x
与 是一次函数关系，
∴ y x y = 100 −0.5(x−120) = −0.5x+160
与 的函数关系式为： ，
∵ /kg /kg
销售单价不低于120元 且不高于180元 ，
∴ x 120 ⩽ x ⩽ 180
自变量 的取值范围为： ；
w
（2）设销售利润为 元，
则
1 1
w = (x−80)(−0.5x+160) = − x2 +200x−12800 = − (x−200)2 +7200
2 2
1
∵ a = − < 0 ∴ x < 200 y x
， 当 时， 随 的增大而增大，
2
∴ x = 180
当 时 ， 销 售 利 润 最 大 ， 最 大 利 润 是 ：
1
w = − (180 −200)2 +7200 = 7000 )
（元 ，
2
答：当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元．
6 【答案】解：（1）设解析式为： h = a(t−3)2 +19.8 ，
(0,1.8) 1.8 = a(0−3)2 +19.8
把点 代入得： ，
∴ a = −2
，
∴ h = −2(t−3)2 +19.8
；（2）当第一发花弹发射3秒后，第二发花弹发射1秒，
t = 1 h = −2(t−3)2 +19.8 h = −2×(1−3)2 +19.8 = 11.8
把 代入 得， 米；
∵
（3） 这种烟花每隔2秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同，
h = −2(t−3)2 +19.8
皮皮小朋友发射出的第一发花弹的函数解析式为： ，
∴ h′ = −2(t−5)2 +19.8
第二发花弹的函数解析式为： ，
h = h′
皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，则令 ，
−2(t−3)2 +19.8 = −2(t−5)2 +19.8
得： ，
∴ t = 4 h = h′ = 17.8 > 16
秒，此时 米 米，
答：花弹的爆炸高度符合安全要求．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 5 讲 二次函数与方程不等式
例题练习题答案
例1 (1)【答案】 x 1 = −3 ； x 2 = 2
【解析】解：∵抛物线 y = ax2 +bx+c(a ≠ 0) 与x轴的两个交点的坐标分别是 (−3,0) ，
(2,0)
，
x = −3 x = 2 y = 0
∴当 或 时， ，
ax2 +bx+c = 0 x = −3 x = 2
即方程 的解为 1 ， 2 ．
x = −3 x = 2
故答案为 1 ， 2 ．
(2)【答案】A
y = x2 −2023x+2024 (m,0) (n,0)
【解析】解：∵抛物线 与x轴的交点为 ， ，
m2 −2023m+2024 = 0 n2 −2023n+2024 = 0
∴ ， ，
(m2 −2023m+2024) +(n2 −2023n+2024) = 0
∴ ．
故选：A．
练1.1 (1)【答案】 x 1 = −1 ； x 2 = 3
(2)【答案】C
7
练1.2 【答案】
2
5
【解析】∵方程 2x2 −3x−5 = 0 两根为 ， −1 ，
25
∴抛物线 y = 2x2 −3x−5 与x轴两个交点的横坐标是 ， −1 ，
2
∣5 ∣ 7
∴抛物线 y = 2x2 −3x−5 与x轴两个交点间距离为：∣ ∣ 2 −(−1) ∣ ∣ = 2 ．
7
故答案为： ．
2
例2 【答案】D
【解析】如图所示，二次函数与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为x=1
x2 −2x+k = 0 x = 3
可得，方程 的一个根为 1
x +x = 2x
∵方程的根 1 2
x = x −2x
∴ 2 1
x = −1
∴ 2
x2 −2x+k = 0
∴方程 的解为3，-1
答案为D．
练2.1 【答案】 x 1 = −1 ， x 2 = 5
练2.2 【答案】 x 1 = −1 ， x 2 = 3
例3 【答案】C
练3.1 【答案】 −1 < x < 3
练3.2 【答案】D
【解析】由对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为 (−1,0) ，
ax2 +bx+c < 0 x < −1 x > 5
由图象可知不等式 的解集是： 或 ．
例4 【答案】B
练4.1 【答案】0
a = 1 b = −2m c = m2 +3
【解析】 ， ， ，
Δ = b2 −4ac = −12 < 0
．
练4.2 【答案】C
例5 (1)【答案】令 −x+1 = x2 −3x+1 ，即 x2 −2x = 0 ①，
Δ = (−2)2 > 0
，所以有两个交点，
x = 0 x = 2
解①得： 或 ，
x = 0 y = 1
当 时， ；
x = 2 y = −1
当 时， ；
(0,1) (2,−1)
所以交点坐标为 、 ．
3x+b = x2 +2x−1 x2 −x−1−b = 0
(2)【答案】令 ，即 ，
因为只有一个交点，5
Δ = (−1)2 −4(−1−b) = 0 b = −
所以 ，解得： ．
4
练5.1 【答案】D
练5.2 【答案】 ±4
例6 【答案】抛物线 y = ax2 与直线 y = 2x+3 相交于A、B两点，
若点A的坐标是 (−1,1) ，
则点A坐标代入 y = ax2 ，
a = 1
解得 ；
x2 = 2x+3
将两方程联立得： ，
x = −1
解方程得： 或3，
x = 3 y = 9
当 时， ，
则点B坐标为 (3,9) ．
【解析】此题可以先将点A的坐标代入抛物线，求得a的值，再将两个函数联立成一元二次方程求得
另一个交点坐标B．
练6.1 【答案】B
能力提高 / 初三 / 秋季
第 5 讲 二次函数与方程不等式
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】D
4 【答案】C
5 【答案】C
6 【答案】C
7 【答案】B
8 【答案】B
9 【答案】B
10 【答案】（1） (3,0) 、 (−1,0)
（2）能力提高 / 初三 / 秋季
第 5 讲 二次函数与方程不等式
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】D
x2
【解析】解：∵抛物线y= -x-1与x轴的一个交点为（m，0），
m2
∴ -m-1=0，
m2
∴ -m=1，
m2
∴ -m+2016=1+2016=2017．
故选：D．
3 【答案】A
= (−4)2 −4×2×3 = −8 < 0
【解析】因为△ ，
所以抛物线与x轴没有交点．
故选：A．
4 【答案】D
5 【答案】（1）由题意得： B(2,−3) 在直线 y = −2x+m 上，
−3 = −2×2+m m = 1
所以 ，解得 ，
y = −2x+1
所以直线 ，
A(−2,n) y = −2x+1
因为 在直线 上，
n = −2×(−2)+1 n = 5
所以 ，解得 ，
A(−2,5)
所以 ，
A(−2,5) B(2,−3) y = x2 +bx+c
因为 、 在抛物线 上，5 = (−2)2 +(−2)b+c b = −2
{ {
所以 ，解得 ，
−3 = 22 +2b+c c = −3
y = x2 −2x−3
所以这条抛物线的解析式为 ；
x2 −2x−3 = 2x+k x2 −4x−3−k = 0
（2）令 ，即 ，
因为与抛物线没有交点
Δ = (−4)2 −4×(−3−k) = 28+4k < 0
所以 ，
k < −7
解得 ．
B(2,−3) y = −2x+m m = 1 y = −2x+1 A(−2,5)
【解析】（1）将 代入 ，解得 ，∴ ，∴
B(2,−3) A(−2,5) y = x2 +bx+c y = x2 −2x−3
将 ， 代入 ，∴
y = x2 −2x−3 y = 2x+b Δ < 0 b < −7
（2）联立 和 ， ，∴ ．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 5 讲 二次函数与方程不等式
精选精练
1 【答案】 (1,1)
b+c = 0
【解析】∵ ，
c = −b
∴ ，
y = x2 +bx+c = x2 +bx−b = x2 +b(x−1)
∴ ，
∴当 x−1 = 0 即 x = 1 时，与b值无关，
y = 1
此时 ，
(1,1)
即它的图象一定经过的一个定点 ．
(1,1)
故答案为： ．
2 【答案】28
【解析】∵抛物线 y = x2 +3x−4 与x轴的两个交点为（ x 1，0）、（ x 2，0），
x x x2 +3x−4 = 0
∴ 1、 2为方程 的两根，
x2 +3x −4 = 0
∴ 1 1 ，
x2 = −3x +4
∴ 1 1 ，
x2 −3x +15 = −3x +4−3x +15 = −3(x −x )+19
∴ 1 2 1 2 1 2 ，
x +x = −3
∵ 1 2 ，
x2 −3x +15 = −3×(−3)+19 = 28
∴ 1 2 ．3 【答案】 x 1 = −2 ， x 2 = 5
x a(x−1)2 +c = b−bx
【解析】关 于 的 一 元 二 次 方 程 变 形 为
a(x−1)2 +b(x−1)+c = 0
，
y = ax2 +bx+c x
把 抛 物 线 沿 轴 向 右 平 移 1 个 单 位 得 到
y = a(x−1)2 +b(x−1)+c
，
y = ax2 +bx+c A(−3,0) B(4,0)
因为抛物线 经过点 、 ，
y = a(x−1)2 +b(x−1)+c x (−2,0) (5,0)
所以抛物线 与 轴的两交点坐标为 ， ，
a(x−1)2 +b(x−1)+c = 0 x = −2 x = 5
所以一元二方程 的解为 1 ， 2 ．
9
4 【答案】−
8
5 【答案】 −0.5 ⩽ t ⩽ 4
b
【解析】∵
抛物线的对称轴为直线
x = − = 1
，解得
b = −2
，
2
∴ y = x2 −2x (1,−1)
抛物线解析式为 ，顶点坐标为 ，
x = −1 y = 3 x = 4 y = 8
当 时， ，当 时， ，
∵ x2 +bx−2t = 0(t −1 < x ⩽ 4
一元二次方程 为实数）在 的范围内有解，
∴ y = 2t y = x2 +bx −1 < x ⩽ 4
直线 与二次函数 在 范围内有交点，
∴ −1 ⩽ 2t ⩽ 8
，
∴ −0.5 ⩽ t ⩽ 4
．
6 【答案】解：（1） ∵ 抛物线 y = (x−h)2 +k 的对称轴是直线 x = 1 ，
∴ h = 1
，
y = (x−1)2 +k
把原点坐标代入 ，得，
(0−1)2 +k = 0
，
k = −1
解得 ；
∵ y = (x−1)2 +k x
（2） 抛物线 与 轴有公共点，
∴ (x−1)2 +k = 0 b2 −4ac = −4k ⩾ 0
对于方程 ，判别式 ，
∴ k ⩽ 0
．
x = −1 y = 4+k x = 0 y = 1+k
当 时， ；当 时， ，
∵ x = 1 −1 < x < 0 x
抛物线的对称轴为 ，且当 时，抛物线与 轴有且只有一个公共点，
∴ 4+k > 0 1+k < 0 −4 < k < −1
且 ，解得 ，
−4 < k < −1 x
综上，当 时，抛物线与 轴有且只有一个公共点．
能力提高 / 初三 / 秋季第 6 讲 垂径定理与圆周角定理
例题练习题答案
例1 【答案】如图，连接 OC ，
CD⊥AB CD = 8
∵弦 ， ，
1
CE = DE = CD = 4
∴ ．
2
AB O AB = 10
∵ 是⊙ 的直径， ，
1
在Rt△OCE中， OC = AB = 5 ， CE = 4 ，
2
−−−−−−−−−−
−−−−−−
OE = √OC2 −CE2 = √52 −42 = 3
∴ ，
BE = OB−OE = 5−3 = 2
．
练1.1 【答案】在△ABC中， ∠ACB = 90∘ ， AC = 3 ， BC = 4 ，
−−−−−−−−−−
−−−−−−
AB = √AC2 +BC2 = √32 +42 = 5
∴ ，
C CE⊥AB E
点 作 于点 ，
1 1 12
S = AC ⋅BC = AB⋅CE CE =
由 △ABC 2 2 ，得 5 ，
−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−− 12 2 9
在Rt△ACE中， AE = √AC2 −AE2 = √32 −( ) = ．
5 5
18
AD = 2AE =
由垂径定理得 ，
5
18 7
BD = AB−AD = 5− =
∴ ．
5 5
练1.2 【答案】C
例2 【答案】A
–
练2.1 【答案】 2√5
【解析】过点P作弦AB⊥OP，此时AB为过P点的最短弦，如图，∵OP⊥AB，
∴AP＝BP，
在Rt△APO中，
∵OP＝2，OA＝3，
−−−−−−−−−−
–
AP = √OA2 −OP2 = √5
∴ ，
–
AB = 2AP = 2√5
∴ ．
练2.2 【答案】C
【解析】如图示，
作AB⊥OG于G，
AG＝BG，
在Rt△AOG中，OG＝5，OA＝13，
−−−−−−−
AG = √132 −52 = 12
，
∴AB＝24，
故过点G的弦的长度在24和26之间，弦为25的有2条，还有直径1条，
所以过点G的弦中长度为整数的弦的条数为4．
例3 (1)【答案】 7
13cm 27cm
(2)【答案】 或
练3.1 【答案】2cm或14cm
练3.2 【答案】
15∘
或
105∘
【解析】分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
–
1 √2 1 1
∴AE= AC= ，AD= AB= ，
2 2 2 2
–
AE √2 AD 1
∴sin∠AOE= = ，sin∠AOD= = ，
AO 2 AO 2∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，
∴∠BAO=60°，∠CAO=90°﹣45°=45°，
∴∠BAC=45°+60°=105°，或∠BAC′=60°﹣45°=15°．
∴∠BAC=15°或105°．
例4 【答案】 40
练4.1 【答案】60
练4.2 【答案】 40
例5 【答案】C
⌢
【解析】如图，在 ⊙O 上取一点C，使 ACB 为优弧，连接AC、BC，
1
∠ACB = ∠AOB = 60∘
由圆周角定理，得 ，
2
∠ACB+∠APB = 180∘
由圆的内接四边形对角互补，得 ，
∠APB = 120∘
∴ ．
练5.1 【答案】D
练5.2 【答案】
30∘
或
150∘
【解析】如图，连接OA、OB，
⌢ ⌢
在⊙O上取C、D两点，使 ACB 为优弧、 ADB 为劣弧，
∠C ∠D AB
则 、 都是弦 所对的圆周角．
∵⊙O的半径为 1 ，且 AB = 1 ，
∴△AOB是等边三角形，∠AOB = 60∘
∴ ，
1
∠C = ∠AOB = 30∘
∴ ，
2
∠D = 150∘
∴ ，
AB 30∘ 150∘
∴弦 所对的圆周角的度数为 或 ．
30∘ 150∘
故答案为： 或 ．
例6 【答案】解：（1）∵在⊙ O 中， OD⊥ 弦 AB ，
1
AC = BC = AB = 4
∴ ，
2
OA x OD = OA = x
设 为 ，则 ，
CD = 2
∵ ，
OC = x−2
∴
RtΔACO AC2 +OC2 = AO2
在 中，
42 +(x−2)2 = x2
∴ ，
x = 5
解得 ，
OA = 5
∴ ；
BE
（2）连接 ，
OA = OE AC = BC
∵ ， ，
1
OC // BE OC = BE
∴ 且 ，
2
∠EBA = ∠OCA = 90∘
∴ ，
OC = OD−CD = 5−2 = 3
∵ ，
BE = 6
∴ ，
BC2 +EB2 = EC2
在Rt△ECB中，
42 +62 = EC2
∴ ，
−−
CE = 2√13
∴ ．
练6.1 【答案】（1）证明：∵ AD 平分 ∠CAB 交⊙ O 于点 D ，
∠CAD = ∠BAD
∴ ，
OA = OD
∵ ，
∠DAB = ∠D
∴ ，∠CAD = ∠D
∴ ，
∴OD∥AC；
BC BD BC OD E
（2）解：如图，连接 、 ，设 与 交于 ，
AD ∠CAB O D
∵ 平分 交⊙ 于点 ，
⌢ ⌢
CD = BD
∴ ，
∴ CE = BE ，OD⊥BC，
AB O
∵ 为⊙ 的直径，
∠C = ∠ADB = 90∘
∴ ，
−−−−−−−−−−
BC = √AB2 −AC2 = 6
∴ ，
CE = BE = 3
∴ ，
−−−−−−−−−−
OE = √OB2 −BE2 = 4
∴ ，
DE = 1
∴ ，
−−−−−−−−−− −−
BD = √DE2 +BE2 = √10
∴ ，
−−−−−−−−−− −−
AD = √AB2 −BD2 = 3√10
∴ ．
练6.2 【答案】 解：∵AB是⊙O的直径，
∠ACB ∠ADB 90∘
∴ ＝ ＝ ．
在Rt△ABC中，
AB2
＝AC
2
+BC
2
，
又∵AB＝10cm，AC＝6cm
−−−−−−−−−−
BC = √AB2 −AC2 = 8cm
∴ ．
又CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
⌢ ⌢
AD = DB
∴ ，
∴AD＝BD，
2 2 2 2
在Rt△ABD中，AD +BD ＝2BD ＝AB ，
−−−−−
AB2
–
∴BD= √ = 5√2cm
．
2
–
∴BC、BD的长分别为 8cm、5√2cm ．【解析】根据直径所对的角是90°，判断出△ABC和△ABD是直角三角形，根据圆周角∠ACB的平分
线交⊙O于D，判断出△ADB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 6 讲 垂径定理与圆周角定理
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】B
【解析】如图，连接OA，作OM⊥AB于M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OM的最大值为5，
∵OM⊥AB于M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
−−−−−−−−−−
−−−−− −−
√OA2 −AM2 √25−9 √16
在Rt△AOM中，OM= = = =4；
此时OM最短，
当OM是半径时最长，OM=5．
所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．
3 【答案】C
【解析】∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
1 1
BC = AC = AB = ×16 = 8
∴ ，
2 2
−−−−−−−−−−
−−−−−−−
在Rt△OCB中，由勾股定理得： OC = √OB2 −BC2 = √102 −82 = 6 ，
故选：C．
4 【答案】A【解析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O
连接OA．根据垂径定理，得AD=6
2 2
设圆的半径是r，根据勾股定理，得r =36+（r﹣4） ，解得r=6.5
5 【答案】D
6 【答案】C
7 【答案】D
【解析】该题考查的是圆内接四边形性质．
∠BCD+∠BAD = 180∘
圆内接四边形的对角互补， ，
∠BAD = 180∘ −∠BCD = 70∘
则 ，
故选D．
8 【答案】解：如图，连接OB，
AB = OC ∠A = 25∘ OC = OB
∵ ， ， ，
AB = OB ∠AOB = ∠A = 25∘
∴ ， ，
∠OBE = ∠A+∠AOB = 25∘ +25∘ = 50∘
∴ ．
OB = OE
∵ ，
∠E = ∠OBE = 50∘
∴ ，
∠EOD = ∠E +∠A = 50∘ +25 = 75∘
∴ ．
9 【答案】解：过O作EF⊥AB于点E，交CD于点F，连接OB、OD．
①当AB和CD在圆心O的同侧时，如图1所示，∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴EF的长即为AB与CD之间的距离．
又∵AB＝14cm，CD＝48cm，
1 1
∴
BE = AB = 7cm，DF = CD = 24cm，
2 2
又∵⊙O的半径为25cm，
−−−−−−−−−−
∴在Rt△BEO中， OE = √OB2 −BE2=24cm ，
−−−−−−−−−−
在Rt△DFO中， OF = √OD2 −DF2=7cm ，
EF = OE −OF = 17cm
∴ ；
②当AB和CD在圆心O的两侧时，如图2所示，
同理可得EF的长即为AB与CD之间的距离，且 OE=24cm ， OF=7cm ，
EF = OE +OF = 31cm
∴ ；
∴AB与CD之间的距离为17cm或31cm．
10 【答案】解：连接 OB 、 OC ，
∵ ∠A = 45∘ ，⊙O的半径为5，
∠BOC = 2∠A = 90∘
由圆周角定理得， ，
−−−−−−−−−−
–
BC = √OB2 +OC2 = 5√2
∴ ．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 6 讲 垂径定理与圆周角定理课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】D
3 【答案】A
4 【答案】 40∘ ≤ ∠BPD ≤ 80∘
5 【答案】解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∠ACB = 90∘
∴ ，
∠B = 72∘
∵ ，
∠CAB = ∠ACB−∠B = 18∘
∴ ．
∵OD∥BC，
∠AOD = ∠B = 72∘
∴ ，
OA = OD
∵ ，
180∘ −∠AOD
∠OAD = = 54∘
∴ ，
2
∠CAD = ∠OAD−∠CAB = 36∘
∴ ；
（2）∵AB是半圆O的直径， AB = 13 ， AC = 12 ，
−−−−−−−−−−
∠ACB = 90∘ BC = √AB2 −AC2 = 5
∴ ， ，
又∵OD∥BC，
∴OD⊥AC，
AE = CE
∴ ，
OA = OB
又∵ ，
1
OE = BC = 2.5
∴ ，
2
1
OD = OA = AB = 6.5
∵ ，
2
DE = OD−OE = 4
∴ ．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 6 讲 垂径定理与圆周角定理
精选精练
1 【答案】A
2 【答案】A3 【答案】C
【解析】∵OD⊥AB，
1
∴AD＝ BD = AB．
2
1
同理可得AE＝ CE = AC．
2
∵AB＝AC，∴AD＝AE．
连接OA，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，
∠ODA = ∠OEA = ∠A = 90∘
∴ ，
∴四边形ADOE为矩形．
又∵AD＝AE，∴四边形ADOE为正方形，
−−−−−−−−−− −−−−− –
OA = √AE2 +OE2 = √2AE2=√2cm
∴ ．
故选：C．
4 【答案】C
5 【答案】（1）证明：∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B．
又∵∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
1 1 – –
CE = CD = ×4√2=2√2
∴ ，
2 2
在Rt△OCE中， OC2 = CE2+OE2 ，
设⊙O的半径为r，则 OC = 1 ， OE = OA−AE = r−2 ，
r2 = (2√2 – ) 2+(r−2)2
∴ ，
r = 3
解得： ，
∴⊙O的半径为3．
6 【答案】过O作EF⊥AB于点E，交CD于点F，连接OB、OD．∵弦AB∥弦CD，
∴OF⊥CD，
∴EF的长即为所求的AB与CD之间的距离．
1 1
BE = AB DF = CD
∴ ， ，
2 2
∵⊙O的半径为13cm， AB = 24 cm， CD = 10 cm，
∴在Rt△OBE中，∵OB＝13cm，BE＝12cm，
∴OE＝ 5 cm，
在Rt△ODF中，OD＝13cm， DF = 5 cm，
∴OF＝ 12 cm，
∴EF＝ OE +OF ＝ 17 cm．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 【答案】B
【解析】该题考查的是一元二次方程的概念．
ax2 +bx+c = 0(a ≠ 0) x2
一元二次方程 ，二次项 前面的系数a叫做二次项系数，x前
面的系数b叫做一次项系数，c叫做常数项．因此，该题中二次项系数是1，一次项系数是
−2 −3
，常数项系数是 ．故选A．
2 【答案】A
3 【答案】A
4 【答案】A
5 【答案】A
6 【答案】C
7 【答案】A∵ OB = OC ∠OBC = 70∘
【解析】 ， ，
∴ ∠OCB = ∠OBC = 70∘
，
∴ ∠COB = 180∘ −70∘ −70∘ = 40∘
，
1 1
∴ ∠A = ∠COB = ×40∘ = 20∘
．
2 2
8 【答案】D
9 【答案】C
10 【答案】B
11 【答案】 x 1 = 0 、 x 2 = −4
x2
【解析】解： +4x=0
x（x+4）=0
x=0或x+4=0
x x
1=0， 2=-4
x x
故答案是： 1=0， 2=-4．
12 【答案】 (0,1)
y = x2 +1 (0,1)
【解析】抛物线 的顶点坐标为 ．
13 【答案】 k ≤ 3 且 k ≠ 0
14 【答案】3
225
15 【答案】
2
16 【答案】8
【解析】解：∵m是方程 x2 −3x+1 = 0 的一个实数根，
m2 −3m+1 = 0
∴ ，
1
m+ = 3
∴ ，
m
1
= m2 +1+
∴原式
m2
1 2
= (m+ ) −2+1
m
= 9−2+1
= 8
．
17 【答案】95
–
18 【答案】解： x 1 = −1−√2 ，
–
x = √2−1
2 ．
19 【答案】解：∵二次函数 y = ax2 +bx+c 的对称轴为 x = 3 ，最小值为 −2 ，
(3,−2)
∴此二次函数的顶点坐标为： ，y = a(x−3)2 −2
∴此二次函数为： ，
(0,1)
∵过 ，
9a−2 = 1
∴ ，
1
a =
解得： ，
3
1 1
y = (x−3)2 −2 = x2 −2x+1
∴此二次函数的解析式为： ．
3 3
20 【答案】解：（1）把 B(1,1) 代入 y = ax2 得： a = 1 ，
y = x2
∴抛物线解析式为 ．
A(m,4) y = x2 4 = m2
把 代入 得： ，
m = ±2
∴ ．
∵点A在第二象限，
m = −2
∴ ．
−2 < x < 1
（2）观察函数图象可知： 时，直线在抛物线的上方，
∴n的取值范围为： −2 < n < 1 ．
21 【答案】解：（1）∵方程有两个相等的实数根，
(2b)2 −4(a+c)(a−c) = 0
∴ ，
4b2 −4a2 +4c2 = 0
∴ ，
a2 = b2 +c2
∴ ，
∴△ABC是直角三角形．
（2）∵当△ABC是等边三角形，
a = b = c
∴ ，
(a+c)x2 +2bx+(a−c) = 0
∵ ，
2ax2 +2ax = 0 x2 +x = 0
∴ ，即
x = 0 x = −1
∴ 1 ， 2 ．
5
22 【答案】解：(1)∵C ，C是对称点，∴对称中心是(0, )；
1 2
(2)如图所示，△A BC 即为所求；
2 2
点A 的坐标为(-1,1)．
223 【答案】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
AD = AE AB = AC
∴ ， ，
∠EAC = 90∘ +∠CAD ∠DAB = 90∘ +∠CAD
又∵ ， ，
∠DAB = ∠EAC
∴ ，
∵在△ADB和△AEC中，
⎧⎪ AB ＝ AC
⎨∠BAD ∠CAE
＝ ，
⎩⎪
AD AE
＝
∴△ADB≌△AEC（SAS），
BD = CE ∠AEC = ∠ADB
∴ ， ；
∠AEC = ∠ADB ∠EFA = ∠DFC
（2）∵ ， ，
∠EFA+∠EAD+∠AEF = ∠DFC +∠ECD+∠CDF
，
∠ECD = ∠EAD = 90∘
所以 ．
24 【答案】解：如图，连接OA，OC，OC交AB于H，
∵C是弧AB的中点，
1
∴OH⊥AB， AH = BH = AB = 24 ，
2
在Rt△OAH中，OA=25，AH=24，
−−−−−−−−−−
根据勾股定理得：OH=
√OA2 −AH2
=7，
∴HC=OC-OH=25-7=18，
在Rt△AHC中，根据勾股定理得：
−−−−−−−−−−
AC=
√AH2 +HC2
=30，
∴AC的长为30．25 【答案】解：（1）把点 A(−3,0) 和点 C (0,3) 代入 y = −x2 +bx+c 得：
0 = −9−3b+c
{
3 = c
b = −2
{
解得 ．
c = 3
y = −x2 −2x+3
所以抛物线的解析式为 ．
y = −x2 −2x+3 B(1,0)
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为 ，则易得 ．
S = 4S
∵ △AOP △BOC，
1 1
∴ ×3×∣ ∣−x2 −2x+3∣ ∣ = 4× ×1×3 ，
2 2
−3 < x < 1 (x+1)2 = 0
整理，得 时： ；
x ≤ −3 x ≥ 1 x2+2x−7 = 0
或 时： ，
–
x = −1 x = −1±2√2
解得 或 ．
– –
则符合条件的点P的坐标为： (−1,4) 或 (−1+2√2,−4) 或 (−1−2√2,−4) ；
（3）设直线AC的解析式为 y = kx+t ，
k = 1
A(−3,0) C (0,3) {
将 ， 代入，解得 ，
t = 3
y = x+3
所以直线解析式为 ，
设Q点的坐标为 (x,x+3)(−3 ≤ x ≤ 0) ，则D点坐标为 (x,−x2 −2x+3) ，
DQ = (−x2 −2x+3) −(x+3)
3 2 9
= −x2 −3x = −(x+ ) +
，
2 4
3 9
∴当 x = − 时，QD有最大值 ．
2 4
−9−3b+c = 0
【解析】 A(−3,0) C(0,3) y = −x2 +bx+c {
（1）把 ， 代入 ，得 ，
c = 3
b = −2
{
解得 ．
c = 3
y = −x2 −2x+3
故该抛物线的解析式为： ．
y = −x2 −2x+3 B(1,0)
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为 ，则易得 ．
∵ S = 4S
ΔAOP ΔBOC，
1 1
∴ ×3×|−x2 −2x+3| = 4× ×1×3
．
2 2
(x+1)2 = 0 x2 +2x−7 = 0
整理，得 或 ，–
x = −1 x = −1±2√2
解得 或 ．
– –
P (−1,4) (−1+2√2,−4) (−1−2√2,−4)
则符合条件的点 的坐标为： 或 或 ；
AC y = kx+t A(−3,0) C(0,3)
（3）设直线 的解析式为 ，将 ， 代入，得
−3k+t = 0
{
，
t = 3
k = 1
{
解得 ．
t = 3
AC y = x+3
即直线 的解析式为 ．
Q (x,x+3) (−3 ⩽ x ⩽ 0) D (x,−x2 −2x+3)
设 点坐标为 ， ，则 点坐标为 ，
3 9
QD = (−x2 −2x+3)−(x+3) = −x2 −3x = −(x+ )2 +
，
2 4
3 9
∴ x = − QD
当 时， 有最大值 ．
2 4
26 【答案】解：（1） ∵ 抛物线 L : y = x2 −3x+c 经过 M(3,2) ，
∴ 9−9+c = 2
，
c = 2
解得： ．
3 1
∴ y = x2 −3x+2 = (x− )2 −
，
2 4
3 1
∴ L y = x2 −3x+2 ( − )
抛物线 的解析式为： ，顶点坐标为 ， ；
2 4
A(a,0) OA = |a| OB = 2OA = 2|a|
（2）设 ，则 ， ，
a > 0 B(2a,0)
①若 ，则
3
∵ x = A B
抛物线对称轴为直线： ，点 、 关于对称轴对称，
2
x +x 3 a+2a 3
∴ A B = =
，即 ，
2 2 2 2
a = 1
解得： ，
∴ A(1,0) 1−3+c = 0
代入抛物线解析式得： ，
c = 2
解得： ；
a < 0 B(−2a,0)
②若 ，则
a+(−2a) 3
∴ =
，
2 2
a = −3
解得： ，
∴ A(−3,0) 9+9+c = 0
代入抛物线解析式得： ，
c = −18
解得： ，
c −18
综上所述， 的值为2或 ．
∵ y = x+b M(3,2)
（3）① 直线 经过点 ，
∴ 3+b = 2 b = −1
，解得： ，
∴ y = x−1
直线解析式为 ，
x = 0 y = −1
当 时， ，∴ N (0,−1)
点 坐标为 ，
MN
②联立直线 与抛物线解析式得：
y = x−1
{ x2 −4x+c +1 = 0
， 整理得： ，
y = x2 −3x+c
= (−4)2 −4(c +1) = 0
当直线与抛物线只有一个交点时，△ ，
c = 3
解得： ，
x = x = 2
∴ { 1 2
方程的解为： ，
y = y = 1
1 2
∴ MN c = 3 MN L : y = x2 −3x+c
此时交点在线段 上，即 满足“线段 与抛物线 有唯
一公共点”，
M c = 2 MN
当抛物线经过点 时，解得 ，此时抛物线与线段 有2个公共点，
N c = −1 MN N
当抛物线往下平移到经过点 时，解得 ，此时抛物线与线段 只有交点 ，
∴ −1 ⩽ c < 2 MN
当 时，抛物线与线段 只有一个公共点，
∴ c
满足条件的正整数 的值为1和3．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 8 讲 与圆有关的位置关系
例题练习题答案
例1 (1)【答案】B
(2)【答案】C
练1.1 【答案】C
例2 (1)【答案】C
(2)【答案】D练2.1 【答案】B
例3 【答案】证明：∵PC为⊙O的切线，
∠PCO = 90∘
∴ ．
∠P = 30∘
又∵ ，
∠COP = 60∘
∴ ，
OA = OC
∵ ，
∠A = ∠OCA
∴ ，
∠COP = ∠A+∠OCA
∵ ，
1
∠A = ∠COP = 30∘
∴ ，
2
∠A = ∠P
∴ ，
CA = CP
∴ ．
又AB为⊙O直径，
∠ACB = ∠PCO = 90∘
∴ ，
∴△ACB≌△PCO(ASA)．
练3.1 【答案】C
练3.2 【答案】B
例4 【答案】（1）∵ ∠CAP = ∠P = 30∘ ，
∠ACP = 120∘
∴ ，
∠ACO = ∠CAP = 30∘
∴ ，
∠OCP = 120∘ −30∘ = 90∘
∴ ，
PC O
∴ 是⊙ 的切线；
AC = PC
（2）∵ ，
∠PAC = ∠P = ∠OCA
∴ ，
∠CAP +∠OCA = ∠COB = 2∠PCB
∵ ，
∠PCB = ∠CAP = ∠P
∴ ，
1
∠OCB = (180∘ −∠COB)
而
2
= 90∘ −∠PCB = 90∘ −∠BCP
，
∠OCP = ∠OCB+∠BCP = 90∘
故 ，
PC O
∴ 是⊙ 的切线．
练4.1 【答案】证明：连接 AD 、 DO ；AB O
∵ 是⊙ 的直径，
∠ADB = ∠ADC = 90∘
∴ ．
E AC
∵ 是 的中点，
DE = AE
∴ ，
∠EAD = ∠EDA
∴ A．
OA = OD
∵ ，
∠DAO = ∠ADO
∴ ，
∠EDO =∠EDA+∠ADO= ∠EAD+∠DAO= ∠CAB = 90∘
∴ ．
OD DE
∴ ⊥ ．
DE O
∴ 是⊙ 的切线．
【解析】
–
练4.2 【答案】∵ ME = 1 ， AM = 2 ， AE = √3 ，
ME2 +AE2 = AM2 = 4
∴ ，
AME ∠AEM = 90∘
∴△ 是直角三角形，且 ．
MN BC
又∵ ∥ ，
∠ABC = ∠AEM = 90∘ OB B
∴ ，即 ⊥ C．
OB O
又∵ 是⊙ 的半径，
BC O
∴ 是⊙ 的切线．
例5 【答案】 14
【解析】解：根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14，
故答案为：14．
练5.1 【答案】C
练5.2 【答案】C
【解析】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD
=PC+AC+DB+PD
=PA+PB
=10+10
=20．
故选：C．
例6 【答案】 1
练6.1 【答案】B
能力提高 / 初三 / 秋季
第 8 讲 与圆有关的位置关系
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】D
【解析】解：∵⊙O与直线l有两个交点，
∴⊙O与直线l相交，
∵圆的半径为3，
∴圆心O到直线l的距离 0 ≤ d < 3 ，
∴圆心O到直线l的距离不可能为3．
3 【答案】B
4 【答案】C
【解析】解：∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，
∵6＞5，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选：C．
5 【答案】B
6 (1)【答案】连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴CD⊥AB．
AC = BC
∵ ，∴
AD = BD．
AD = BD OB = OC
(2)【答案】∵ ， ，
∴OD是△BCA的中位线，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DF⊥OD．
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．
7 【答案】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∠1 ∠A
∴ ＝ ，
∠A ∠P 30∘
又∵ ＝ ＝ ，
∠1 30∘ ∠ACP 120∘
∴ ＝ ， ＝ ，
∠OCP 90∘
∴ ＝ ，
又∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，
∵AB＝4，
∴OA＝OB＝OC＝2，
∠OCP 90∘
由（1）得 ＝ ，∠P 30∘
又∵ ＝ ，
–
∴OP＝4，PC＝ 2√3 ，
∴BP＝OB，
1 1 1 –
S = S = ×( OC ⋅PC) = √3
∴ △PBC 2 △OPC 2 2 ．
8 【答案】D
9 【答案】C
【解析】根据切线长定理有AD=AE，BE=BF，CD=CF；
则△ABC的周长=AB+BC+AC
=AB+BF+CF+AC
=AB+BE+AC+CD
=AD+AE
=2AD
=40．
故选C．
10 【答案】（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点．
∴OD⊥BC，OE⊥AC，
∠C = 90∘
又 ，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD＝OE，
∴四边形ODCE是正方形；
（2）∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
−−−−−−−−−−
AB = √AC2 +BC2 = 10
∴
由切线长定理得AF＝AE，BD＝BF，CD＝CE，
∴ CD+CE = BC +AC −BD−AE = BC +AC −AB = 4
则CE＝2，
即⊙O的半径为2．
【解析】（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，又∠C=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形；
（2）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，−−−−−−−−−
√AC2+BC2
∴AB= =10，
由切线长定理得，AF=AE，BD=BF，CD=CE，
∴CD+CE=BC+AC﹣BD﹣CE=BC+AC﹣AB=4，
则CE=2，即⊙O的半径为2．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 8 讲 与圆有关的位置关系
课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】A
3 【答案】D
4 【答案】D
5 【答案】44
【解析】∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD＋BC＝AB＋CD＝22，
∴四边形ABCD的周长＝AD＋BC＋AB＋CD＝44．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 8 讲 与圆有关的位置关系
精选精练
1 【答案】D
P (4,3)
【解析】解：∵点 ，
−−−−−−
∴PO＝
√42 +32
＝5，
∵点P在⊙O内，
r > OP r > 5
∴ ，即 ，
故选：D．
2 【答案】A【解析】解：∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
如图所示：
∴这个圆与y轴相切，与x轴相离．
故选：A．
3 【答案】D
4 【答案】D
5 【答案】C
【解析】
；如图 ，
由四边形的内角和定理，得
∠BOA = 360°−90°−90°−80° = 100°
，
ˆ ˆ
AC = BC
由 ，得
∠AOC = ∠BOC = 50°
．
由圆周角定理，得
∠ADC = 1∠AOC = 25°
，
2
故选：C．
6 【答案】B
能力提高 / 初三 / 秋季
第 9 讲 圆中的计算
例题练习题答案例1 (1)【答案】A
(2)【答案】A
练1.1 【答案】B
–
练1.2 【答案】 √2 : 1
例2 (1)【答案】C
40
(2)【答案】 π
3
练2.1 【答案】B
4
练2.2 【答案】 π
3
2
例3 (1)【答案】 π
3
∠OBA′ = 45∘ OP = OB
(2)【答案】解：①∵ ， ′ ′ ，
OPB
∴△ ′ 是等腰直角三角形，
–
PB = √2BO
∴ ，
–
AP = AB−BP = 20−10√2
∴ ；
②阴影部分面积为：
S 阴影 = S 扇形O ′A ′P +S △O ′P B
1 1
= ×π ×100 +10×10× = 25π +50
．
4 2
练3.1 【答案】B
【解析】解：根据扇形面积公式，
(360 −30−60)⋅π⋅62
阴影部分面积= =27π．故选B．
360
练3.2 【答案】C
∵ ∠ACB = 90∘ AC = CB
【解析】解： ， ，
∴ ∠CBD = 45∘
，
∵ BC
又 是直径，
∴ ∠CDB = 90∘
，
∴ ∠DCB = 45∘
，
∴ DC = DB
，
∴ S = S
弓形CD 弓形BD，
1
∴ S = S +S = S −S = S − S
阴影 弓形ACB △BCD 扇形ACB △ACD 扇形ACB 2 △ABC
1 1 1
= π×32 − × ×3×3
4 2 29 9
= π −
．
4 4
B
故选： ．
例4 (1)【答案】C
(2)【答案】2
练4.1 【答案】B
【解析】根据三视图得到该几何体为圆锥，其中圆锥的高为4，母线长为5，圆锥底面圆的直径为
6，
6 2
= π×( ) = 9π
所以圆锥的底面圆的面积 ，
2
1
= ×5×π×6 = 15π
圆锥的侧面积 ，
2
所以圆锥的全面积＝9π＋15π＝24π．
练4.2 【答案】B
–
π √3
例5 (1)【答案】 −
．
6 4
8π
(2)【答案】 ．
练5.1 【答案】B
练5.2 【答案】16﹣4π．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 9 讲 圆中的计算
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】B
【解析】如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
OA = AB = 2
∴ ，
–
√3 –
OG = OA⋅sin60∘ = 2× = √3
∴ ，
2
–
√3
∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为 ．3 【答案】D
= 360 ∘÷6 = 60∘
【解析】圆内接正六边形的边所对的圆心角 ，
根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，
1
60× = 30∘ 180 ∘−30∘ = 150∘
边所对的圆周角的度数是 或 ．
2
4 【答案】B
5 【答案】A
6 【答案】C
7 (1)【答案】如图所示，AC即为所求．
OC//AD
【解析】利用切线的性质得 ，然后根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得到
∠OAC = ∠CAD
；
(2)【答案】
①∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∠BOC = ∠A = 45∘
∴ ，
OB = OC
∵ ，
180∘ −∠BOC
∠ABC = = 67.5∘
∴ ．
2
∠BOC = 45∘
②∵ ，
∠AOC = 135∘
∴ ，
135 ×π ×42
∴扇形AOC的面积为 = 6π ．
3608 【答案】解：（1）连接OB，交AD于M，
∵BC为⊙O切线，
∴∠OBC＝90°，
∵∠C＝30°，∠OBC＝90°，
∴∠BOD＝60°，
1
∴∠A＝
×60∘=30∘
；
2
（2）∵AD∥BC，∠OBC＝90°，
∴∠OMD＝∠OBC＝90°，
1 – –
∴由垂径定理得DM＝ ×4√3=2√3 ，
2
–
∵Rt△OMD中，DM＝2 √3 ，∠BOD＝60°，
–
2√3
∴OD＝ sin60∘ = 4 ，
在Rt△OBC中，OB＝4，∠BOC＝60°，
–
∴BC＝OB×tan∠BOC＝4×tan60°＝ 4√3 ，
1 – –
S = ×4×4√3 = 8√3
∴ ΔOBC 2 ，
60π×42 8π
S = =
∵ 扇形DOB 360 3 ，
– 8π
8√3−
∴阴影部分的面积＝ .
3
9 (1)【答案】解：（1）如图，连接 OC 、 OD ．
∵ C D AB
、 是以 为直径的半圆周的三等分点，
∴ ∠AOC = ∠COD = ∠DOB = 60∘
，
∵ OC = OD
又 ，
∴△ OCD
是等边三角形，
∴ ∠OCD = ∠AOC = 60∘ OC = CD = 6
， ，
⌢ 60×π ×8 8π
∴CD = =
的长 cm．
180 3
∵ ∠OCD = ∠AOC = 60∘
(2)【答案】 ，∴ CD // AB
，
∴ S = S
△ACD △OCD，
60π ⋅82 32π
∴ S = S = =
阴影 扇形OCD 360 3 ．
10 (1)【答案】证明：连接AD，
⌢ ⌢
BD = DE
∵ ，
∴ ∠BAD = ∠CAD AB = AC
，又 ，
∴ AD⊥BC
，
∴ ∠ADB = 90∘
，
∴AB为⊙O的直径；
(2)【答案】
∵AB为⊙O的直径，
∴点O在AB上，连接OE，
∠AOE = ∠BOE = 90∘
由圆周角定理得， ，
1 90π×42
×4×4+ =8+4π
∴阴影部分的面积是 ．
2 360
能力提高 / 初三 / 秋季
第 9 讲 圆中的计算课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】C
R r
【解析】解：设这块圆形纸片的半径为 ，圆锥的底面圆的半径为 ，
– –
– 90×π ×√2R √2
AB = √2R 2π r = r = R
则 ，根据题意得 ，解得 ，
180 4
– 2
– 2 −−2 √2
(√2R) = (3√30) +( R) R = 12
所以 ，解得 ，
4
24
所以这块圆形纸片的直径为 cm．
n×π×5
3 【答案】解：设它的侧面展开图的圆心角度数为 n∘ ，根据题意得 = 2π×3 ，
180
解得n=216，即它的侧面展开图的圆心角度数为
216∘
．
4 【答案】A
5 【答案】A
能力提高 / 初三 / 秋季
第 9 讲 圆中的计算
精选精练
1 【答案】D
【解析】连接AO，DO，
∵四边形ABCD是正方形，
∠AOD = 90∘
∴ ，
−−−−−−−−−−
–
AD = √OA2 +OD2 = 2√2
，
–
2√2
圆 内 接 正 方 形 的 边 长 为 ， 所 以 阴 影 部 分 的 面 积
= 1 ⋅[4π −(2√2 – ) 2 ] = (π −2)cm2
．
4
故选：D．
2 【答案】 4π
40π×36
【解析】扇形面积 = = 4π(cm2) ．
3604π
故答案是： ．
–
√3 π
3 【答案】 −
2 6
【解析】如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，
1
由题意知，OM⊥AB，且 OC = MC = ，
2
1
在RT△AOC中，∵ OA = 1 ， OC = ，
2
−−−−−−−−−− –
OC 1 √3
cos∠AOC = = AC = √OA2 −OC2 =
∴ ，
OA 2 2
–
∠AOC = 60∘ AB = 2AC = √3
∴ ， ，
∠AOB = 2∠AOC = 120∘
∴ ，
S = S −S
则
120π×12 1 – 1
= − ×√3×
360 2 2
–
π √3
= −
，
3 4
S = S −2S
–
1 π √3
= π ×1−2( − )
2 3 4
–
√3 π
= −
．
2 6
–
√3 π
−
故答案为： ．
2 6
4 【答案】如图，连接 OA ，作 OM⊥AD 于 M ．
∵ ⊙O
的半径为2，
∴ OA = 2
，
–
√2
–
∴ OM = OA = √2
，
2
–
∴ AB = 2OM = 2√2 A′B′ = 2OA = 4
， ，
–
∴ S : S = AB2 : A′B′2 = (AB : A′B′) 2 = (2√2 – : 4) 2 = ( √2 ) 2 = 1
．
内 外 2 2
5 (1)【答案】解：EF是⊙O的切线
证明：连接OE，OA = OE
∵ ，
∠A = ∠AEO
∴ ，
BF = EF
∵ ，
∠B = ∠BEF
∴ ，
∠ACB = 90∘
∵ ，
∠A+∠B = 90∘
∴ ，
∠AEO +∠BEF = 90∘
∴ ，
∠OEG = 90∘
∴ ，
∴EF是⊙O的切线；
【解析】连接OE，根据等腰三角形的性质得到 ∠A = ∠AEO ， ∠B = ∠BEF ，于是得到
∠OEG = 90∘
，即可得到结论；
(2)【答案】∵AD是⊙O的直径，
∠AED = 90∘
∴ ，
∠A = 30∘
∵ ，
∠EOD = 60∘
∴ ，
∠EGO = 30∘
∴ ，
AO = 2
∵ ，
OE = 2
∴ ，
–
EG = 2√3
∴ ，
1 – 60⋅π×22 – 2
= ×2×2√3− = 2√3− π
∴阴影部分的面积
2 360 3
【解析】由AD是⊙O的直径，得到 ∠AED = 90∘ ，根据三角形的内角和得到
∠EOD = 60∘ ∠EGO = 30∘
，求得 ，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结
论．
6 (1)【答案】证明：作直径CH，连接EH．
∵CH是直径，
∠CEH = 90∘
∴ ，
∠ECH +∠EHC = 90∘
∴ ，∠BCE = ∠EDC ∠EDC = ∠EHC
∵ ， ，
∠BCE +∠ECH = 90∘
∴ ，
∠BCH = 90∘
∴ ，
∴BC⊥CH，
∴BC是⊙O的切线．
【解析】作直径CH，连接EH．只要证明BC⊥CH即可；
AD = EC
(2)【答案】解：猜想： ．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CD，
∠AED = ∠CDE
∴ ，
ˆ ˆ
AD = EC
∴ ，
AD = EC
∴ ．
ˆ ˆ
AD = CE AD = EC
【解析】结论： ，只要证明 即可；
(3)【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC = AD = 2 ，AB∥DC，
∠AED = ∠CDE
∴ ，
∠BCE = ∠CDE = ∠AED = 30∘
∴ ，
∠AOD = 2∠AED = 60∘
∴ ，
OA = OD
∵ ，
∴△AOD是等边三角形，
OA = OD = AD = 2
∴ ，
S = S −S
∴ 阴 扇形OAD ΔAOD
–
60⋅π⋅22 √3
= − ×22
360 4
2 –
= π −√3
．
3
能力提高 / 初三 / 秋季第 10 讲 反比例函数初步
例题练习题答案
例1 (1)【答案】③ k = 1 ；④ k = m2 +2 ；⑤ k = −π ；⑦ k = π−3.14
−1
(2)【答案】
|m|−2 = −1 m = ±1 m−1 ≠ 0 m = −1
【解析】 ， ，且 ，解得 .
练1.1 (1)【答案】A
m = 2
(2)【答案】
练1.2 (1)【答案】D
例2 (1)【答案】如图：
(2)【答案】B
练2.1 (1)【答案】A
(2)【答案】C
练2.2 (1)【答案】B
(2)【答案】A
例3 【答案】因为点在图象上，把点代入函数得：
k
3 =
2
k = 6
解得：6
y =
所以反比例函数解析式为：
x
1
练3.1 【答案】y = −
2x
6
练3.2 【答案】y =
x
例4 (1)【答案】 4
1
(2)【答案】
4
【解析】∵点A在双曲线y=
的图象上，
x
1
∴△AOH的面积 = × 4＝2．
2
2
点B在双曲线y=
的图象上，
x
1
∴△HOB的面积 = × 2＝1．
2
∴△AOB的面积＝△AOH的面积﹣△HOB的面积＝2﹣1＝1．
练4.1 【答案】(1)3
3
(2)
2
练4.2 (1)【答案】1
(2)【答案】6
S +S = 5 S +S = 5 S +S = 6
【解析】 1 ， 2 ， 1 2 .
阴影 阴影
能力提高 / 初三 / 秋季
第 10 讲 反比例函数初步
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】D
2
y = (m−1)xm −2
【解析】∵函数 是反比例函数，
2
∴m﹣1≠0，m ﹣2=﹣1．
解得m=﹣1．
故选：D．
3 【答案】C
4 【答案】Cm−1
【解析】解：∵反比例函数y= 的图象在第一、三象限，
x
∴m-1＞0，解得m＞1．
故选：C．
5 【答案】A
6 【答案】A
7 【答案】C
8 【答案】D
9 【答案】D
10 【答案】（1）当点 A(1,1) 时，点B的坐标为 B(−1,−1) ， S ΔABC = 2 ；
1 1
当点 A(2, 2 ) 时，点B的坐标为 B(−2,− 2 ) ， S ΔABC = 2 ．
1
B(−a,− ) S = 2
（2） a ； ΔABC ．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 10 讲 反比例函数初步
课堂落实答案
1 【答案】C
y = 2xm−5
【解析】解：∵ 为反比例函数，
m−5 = −1
∴ ，
m = 4
解得 ．
故选C．
2 【答案】B
a > 0
【解析】提示：当 时，一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过一、三象限，选B；
a < 0
当 时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限，没有正确选项.
3 【答案】D
1−m > 0
【解析】提示：
4 【答案】B
【解析】提示：使用待定系数法
6
5 【答案】y = − (x < 0)
．
x
|k|
【解析】 = 3 k = −6 x < 0
提示： ，图象在第二象限，即 ，只取第二象限部分，故 ．
2能力提高 / 初三 / 秋季
第 10 讲 反比例函数初步
精选精练
1 【答案】C
m2 −3m+1 = −1 m2 −3m+2 = 0 m = 1
【解析】解：由题意知： ，整理得 ，解得 1 ，
m = 2
2 ．
m = 1 m2 −m = 0
当 时， ，不合题意，应舍去．
∴m的值为2．
故选：C．
2 【答案】C
【解析】解：A、从反比例函数图象得a>0，则对应的一次函数y=ax-a图象经过第一、三、四象
限，所以A选项错误；
B、从反比例函数图象得a>0，则对应的一次函数y=ax-a图象经过第一、三、四象限，所
以B选项错误；
C、从反比例函数图象得a>0，则对应的一次函数y=ax-a图象经过第一、三、四象限，所
以C选项正确；
D、从反比例函数图象得a>0，则对应的一次函数y=ax-a图象经过第一、三、四象限，所
以D选项错误．
故选：C．
3 【答案】C
(−1,2)
【解析】解：由图象可知：图象过 点，代入得：
k = −2
，
2
y = −
∴ ．
x
故选：C．
4 【答案】 (2,−3)
【解析】解：根据题意，知
点A与B关于原点对称，
∵点A的坐标是 (−2,3) ，
∴B点的坐标为 (2,−3) ．(2,−3)
故答案是： ．
5 【答案】B
【解析】解：过点B作BE⊥x轴于点E，
∵D为OB的中点，
1
∴CD是△OBE的中位线，即 CD = BE．
2
k k k k k
A(x, B(2x, CD = AD = −
设 ），则 ）， ， ，
x 2x 4x x 4x
∵△ADO的面积为1，
1 1 k k 8
AD⋅OC = 1 − )⋅x = 1 k =
∴ ， （ ，解得 ，
2 2 x 4x 3
故选：B．
6 【答案】3
【解析】解：连接OB，如图所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积，
k
∵D、E在反比例函数y= （x>0）的图象上，
x
∴△OAD的面积=△OCE的面积，
1
∴△OBD的面积=△OBE的面积= 四边形ODBE的面积=3，
2
1 3
∵BE=2EC，∴△OCE的面积= △OBE的面积= ，
2 2
∴k=3；
故答案为：3．
能力提高 / 初三 / 秋季第 11 讲 反比例函数综合
例题练习题答案
例1 【答案】解：
k
（1）∵A（2，2）在反比例函数 y = 的图象上，
x
∴k＝4．
4
y =
∴反比例函数的解析式为 ．
x
1 4
又∵点B（ ，n）在反比例函数 y = 的图象上，
2 x
1
∴ n = 4 ，解得：n＝8，
2
1
即点B的坐标为（ ，8）．
2
1
由A（2，2）、B（ ，8）在一次函数y＝ax+b的图象上，
2
2 = 2a+b
{
得： 8 = 1a+b ，
2
a = −4
{
解得： ，
b = 10
∴一次函数的解析式为y＝﹣4x+10．
（2）将直线y＝﹣4x+10向下平移m个单位得直线的解
析式为y＝﹣4x+10﹣m，
4
∵直线y＝﹣4x+10﹣m与双曲线 y = 有且只有一个交点，
x
4
−4x+10−m =
令 ，
x
得4x2 +（m﹣10）x+4＝0，
∴△＝（m﹣10） 2 ﹣64＝0，
解得：m＝2或m＝18．
练1.1 【答案】C
练1.2 【答案】 −2 ≤ b ≤ 2
1
【解析】解：根据题意，方程 x+b = − 最多只有一个解，
x
x2 +bx+1 = 0
即方程 最多只有一个实数根，
b2 −4 ≤ 0
∴ ，
−2 ≤ b ≤ 2
解得： ．
k
例2 【答案】解：（1）把A（2，5）分别代入 y = 和y＝x+b，
x
k = 5
{ 2
得 ，
2+b = 5
解得k＝10，b＝3；（2）由（1）得，直线AB的解析式为y＝x+3，
10
y =
反比例函数的解析式为 ．
x
y = 10 x = 2 x = −5
{ x { {
由 ，解得： 或 ．
y = x+3 y = 5 y = −2
则点B的坐标为（﹣5，﹣2）．
由图象可知，当y ＞y 时，x的取值范围是
1 2
x＜﹣5或0＜x＜2．
练2.1 【答案】D
【解析】观察图象即可．
练2.2 【答案】C
6
例3 【答案】（1） y = − ；
x
y = −x−1
（2） ；
−3 < x < 0 x > 2
（3） 或 ．
【解析】和（2）用待定系数法即可；（3）观察图象可得．
练3.1 【答案】A
练3.2 【答案】-2＜x＜0或x＞1
1
例4 【答案】（1） y = ；
x
1
A(1,1) B(− ,−2)
（2） ， ；
2
1
0 < x < 1 x < −
（3） 或 ；
2
– –
P (1,0) P (√2,0) P (2,0) P (−√2,0)
（4）存在， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ．
(a,b) (a+k,b+k+2)
【解析】（1）∵一次函数的图象经过 、 两点，
2a−1 = b
{ k = 2
∴ ，解得 ，
2(a+k)−1 = b+k+2
1
y =
∴反比例函数的解析式为： ；
x
1 1
⎧ ⎧
y = x = − x = 1
（2）解 ⎨ x 得 ⎨ 1 2 ， { 2 ，
⎩ ⎩ y = 1
y = 2x−1 y = −2 2
1
1
A(1,1) B(− ,−2)
∴ ， ．
2
1 k
0 < x < 1 x < − > 2x−1
（3）根据函数图象可得： 或 时， ；
2 2x
（4）存在．
AP = OP AP ⊥x P (1,0)
当 1 1， 1 轴，∴ 1 ；
–
AO = OP P (√2,0)
当 2，∴ 2 ；
AO = AP P (2,0)
当 3，∴ 3 ；
–
AO = P O P (−√2,0)
当 4 ，∴ 4 .练4.1 【答案】6
C (3,2)
【解析】可求得 ．
练4.2 【答案】（1）∵点 A(−1,n) 在一次函数 y = −2x 的图象上．
n = −2×(−1) = 2
∴
∴点A的坐标为 (−1,2)
∵点A在反比例函数的图象上．
k = −2
∴
2
y = −
∴反比例函数的解析式是 ．
x
（2）点P的坐标为 (−2,0) 或 (0,4) 或 (0,0) ．
– –
（3）点P的坐标为 (−2,0) ， (−√5,0) ， (√5,0) ， (−2.5,0) ．
A(−1,2)
【解析】（2）∵ ，
−−−−−−−−−
–
OA = √(−1)2 +22 = √5
∴ ，
∵点P在坐标轴上，
∴当点P在x轴上时设 P (x,0) ，
PA = OA
∵ ，
−−−−−−−−−−−−−−−
–
√(x+1)2 +(0+2)2 = √5 x = −2
∴ ，解得 ；
当点P在y轴上时，设 P (0,y) ，
−−−−−−−−−−−−−−−
–
√(0+1)2 +(y −2)2 = √5 y = 4
∴ ，解得 ；
当点P在坐标原点，则 P (0,0) ．
∴点P的坐标为 (−2,0) 或 (0,4) 或 (0,0) ．
PA = OA
（3）当 时，由（2）可知
P点的坐标为 (−2,0) ；
–
PO = OA OA = √5
当 时，∵ ，
– –
∴P点的坐标为 (−√5,0) ， (√5,0) ，
当PA=OP时，作OA的垂直平分线交x轴于P，此时P的坐标为 (−2.5,0) ，
–
点P的坐标为 (−2,0) ， (−√5,0) ，
–
(√5,0) (−2.5,0)
， ．
例5 【答案】（1）点B坐标为 B(2,1) ；
y = x−1
一次函数解析式为 .
（2）点P坐标为: ① P (0,1) ② P (0,3) ．
∠APB = 90∘ P (0,1)
【解析】（2）①当 时， ；
∠ABP = 90∘ P (0,3)
②当 时， ．3
练5.1 【答案】（1） y = ；
x
4
（2） ；
– –
(−4,0) (4,0) (−√7−1,0) (√7−1,0)
（3）存在， 或 或 或 ．
k
【解析】（1） A(1,3) ，代入 y = 得 k = 3 ，
x
3
y =
∴反比例函数的解析式为： ．
x
（2） C (3,1) ．过A作 AM⊥x 轴，过C作 CN⊥x 轴，
1
∴ ΔAOC 的面积等于梯形AMNC的面积， S ΔAOC = 2 ×(3+1)×(3−1) = 4
⎧y = x+2
x = 1 x = −3
⎨ 3 { 1 { 2
（3）存在．解⎩y
=
得
y = 3
，
y = −1
，
x 1 2
B(−3,−1)
∴ ．
当AB为直角三角形的斜边时：
P (x,0) (x−1)2 +32 +(x+3)2 +12 = (1+3)2 +(3+1)2
设 ，则
x2 +2x−6 = 0
整理得： ，
– –
x = −√7−1 x = √7−1
解得 1 ， 2 ，
– –
∴P点坐标为： (−√7−1,0) 或 (√7−1,0) ．
当AB为直角三角形的直角边时，
(x−1)2 +32 +(1+3)2 +(3+1)2 = (x+3)2 +12 x = 4
，解得 ；
(x+3)2 +12 +(1+3)2 +(3+1)2 = (x−1)2 +32 x = −4
或 ，解得 ．
∴P点坐标为： (4,0) 或 (−4,0) ．
– –
综上，P点坐标为： (−√7−1,0) 或 (√7−1,0) 或 (4,0) 或 (−4,0) ．
练5.2 【答案】解：（1）∵直线 y = kx+b 过 A(0,−2) ， B(1,0) 两点
b = −2
{
∴ ，
k+b = 0
k = 2
{
解得： ，
b = −2
y = 2x−2
∴一次函数的表达式为 ，
M (p,q) MD x D
∴设 ，作 ⊥ 轴于点 ，
S = 2
∵ △OBM ，1
OB⋅MD = 2
∴ ，
2
1
q = 2
∴ ，
2
q = 4
∴ ，
M (p,4) y = 2x−2 4 = 2p−2
∴将 代入 得 ，
p = 3
∴ ，
m
M (3,4) y = (m ≠ 0)
∵ 在双曲线 上，
x
m
4 =
∴ ，
3
m = 12
∴ ，
12
y =
∴反比例函数的表达式为： ；
x
MD x D
（2）作 ⊥ 轴于 ，
1 M (3,4) MP AM x P
①如图 ，过点 作 ⊥ 交 轴于点 ，
P (11,0)
∴此时点 的坐标为 ．
2 A(0,−2) AP AM x P
②如图 ，过点 作 ⊥ 交 轴于点 ，
P (−4,0)
此时点 的坐标为 ．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 11 讲 反比例函数综合
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】D3 【答案】A
4 【答案】A
4
【解析】解：∵直线 y 1=-2x+6与双曲线 y 2= 在同一坐标系的交点坐标是（1，4）和（2，2），
x
y y
∴当 1＞ 2时，直线在双曲线上面，
y y
∴当 1＞ 2时，x的取值范围是x＜0或1＜x＜2，
故选：A．
5 【答案】C
6 【答案】B
7 【答案】解：（1）由题意A（﹣2，4），B（4，﹣2），
∵一次函数过A、B两点，
4 = −2k+b
{
∴ ，
−2 = 4k+b
k = −1
{
解得 ，
b = 2
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2；
（2）设直线AB与y轴交于C，则 C (0,2) ，
1 1
S AOC = ×OC ×|A | S BOC = ×OC ×|B |
∵ Δ 2 x ， Δ 2 x
S =S +S BOC
∴$$ ΔAOB ΔAOC Δ
1 ∣ ∣ 1 ∣ ∣
= ⋅OC ⋅∣A ∣+ ⋅OC⋅∣B ∣
2 ∣ x ∣ 2 ∣ x∣
1 1
= ×2×2+ ×2×4
2 2
= 6
；
（3）由图象可知：一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围是x＜﹣2或
0＜x＜4．
【解析】提示：（2）设直线AB与y轴交于C，则 C (0,2) ，
1 1
S = ×OC ×|A | S = ×OC ×|B |
∵ ΔAOC 2 x ， ΔBOC 2 x ，
S = S +S = 6
∴ ΔAOB ΔAOC ΔBOC ．
（3）由图像可知，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围是
x < −2 0 < x < 4
或 ．
8 【答案】B9 【答案】C
10 【答案】C
能力提高 / 初三 / 秋季
第 11 讲 反比例函数综合
课堂落实答案
1 【答案】A
【解析】A
2 【答案】B
y < y
【解析】利用函数图像求解， 1 2说明直线在双曲线的下方
3 【答案】A
1−k
【解析】联立 2+k+3 =
2
4 【答案】D
【解析】提示：易知△ABC为等腰直角三角形，面积为8，
BC = AC = 4 B(4,2)
∴ ，所以 即可求得解析式．
5 【答案】解：
2
（1）∵反比例函数y= 的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A、B，点A、B的横坐
x
标分别为1，﹣2，
∴A（1，2），B（﹣2，﹣1），
k+b = 2
把A、B的坐标代入y＝kx+b得 { ，
−2k+b = −1
k = 1
{
解得 ，
b = 1
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）∵B（﹣2，﹣1），
由图象可知，当﹣2＜x＜0时，y＜﹣1.
【解析】提示：利用反比例函数解析式和待定系数法可以求出A、B的坐标，然后即可求出一次函数
解析式
能力提高 / 初三 / 秋季第 11 讲 反比例函数综合
精选精练
1 【答案】C
【解析】解：设 AC = a ， OC = b ，故点A坐标 (b,a) ，
由点A在双曲线上得： ab = 2 ，根据勾股定理得： a2 +b2 = 16 ，
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 = 16+4 = 20
则 ，
– –
a+b = 2√5 OC +AC = 2√5
∴ ，即 ，
又∵OA的垂直平分线交OC于M，
OM = AM
∴ ，
∴△AMC的周长
–
C = AM +MC +AC = OM +MC +AC = OC +AC = 2√5
故选：C．
m
2 【答案】解：（1）把 A(−4,2) 代入 y = ，得 m = 2×(−4) = −8 ，
x
8
y = −
所以反比例函数解析式为 ，
x
8
B(n,−4) y = − −4n = −8
把 代入 ，得 ，
x
n = 2
解得 ，
A(−4,2) B(2,−4) y = kx+b
把 和 代入 ，得
−4k+b = 2
{
，
2k+b = −4
k = −1
{
解得 ，
b = −2
y = −x−2
所以一次函数的解析式为 ；
y = −x−2 y = 0 x = −2
（2） 中，令 ，则 ，
即直线 y = −x−2 与x轴交于点 C (−2,0) ，
S = S +S
∴ ΔAOB ΔAOC ΔBOC
1 1
= ×2×2+ ×2×4 = 6
；
2 2m
kx+b− > 0 x < −4 0 < x < 2
（3）由图可得，不等式 的解集为： 或 ．
x
k
3 【答案】解：（1）把 B(1,3) 代入 y = 得 k = 1×3 = 3 ；
x
故答案为：3；
3
y =
（2）反比例函数解析式为 ，
x
3
设A点坐标为 (a, ），
a
∵PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，
3 3
∴D点坐标为 (0, ），P点坐标为 (1, ），C点坐标为 (1,0) ，
a a
3 3
PB = 3− PC = − PA = 1−a PD = 1
∴ ， ， ， ，
a a
PC
−3
1 PD 1
a
∴ = = ， = ，
PB 3− 3 1−a PA 1−a
a
PC PD
∴ = ，
PB PA
∠CPD = ∠BPA
而 ，
∴△PCD∽△PBA，
∠PCD = ∠PBA
∴ ，
∴CD∥BA，
而BC∥DF，AD∥EC，
∴四边形BCDF、ADCE都是平行四边形，
BF = CD AE = CD
∴ ， ，
BF = AE
∴ ，
（3）∵四边形ABCD的面积 = S ΔPAB −S ΔPCD，
1 3 1 3 21
⋅(3− )⋅(1−a)− ⋅1⋅(− )=
∴ ，
2 a 2 a 4
3 3
a+ = 0 a = −
整理得 ，解得 ，
2 2∴P点坐标为 (1,−2) ．
4 【答案】
k
2
A(−1,2) y = k = −2
解：（1）把 代入 ，得到 2 ，
x
2
y = −
∴反比例函数的解析式为 ．
x
2
B(m,−1) y = −
∵ 在 上，
x
m = 2
∴ ，
−k +b = 2 k = −1
1 1
{ {
由题意 ，解得 ，
2k +b = −1 b = 1
1
y = −x+1
∴一次函数的解析式为 ．
A(−1,2) B(2,−1)
（2）∵ ， ，
–
AB = 3√2
∴ ，
PA = PB (n+1)2 +4 = (n−2)2 +1
①当 时， ，
n = 0
∴ ，
n > 0
∵ ，
n = 0
∴ 不合题意舍弃．
–
AP = AB 22 +(n+1)2 = (3√2)2
②当 时， ，
n > 0
∵ ，
−−
n = −1+√14
∴ ．
–
BP = BA 12 +(n−2)2 = (3√2)2
③当 时， ，
n > 0
∵ ，
−−
n = 2+√17
∴ ．
−− −−
n = −1+√14 2+√17
综上所述， 或 .
k
5 【答案】解：（1）∵双曲线 y = 经过点 D(6,1) ，
x
k
= 1
∴ ，
6
k = 6
解得 ；（2）设点C到BD的距离为h，
∵点D的坐标为 (6,1) ，DB⊥y轴，
BD = 6
∴ ，
1
S = ×6⋅h = 12
∴ ΔBCD 2 ，
h = 4
解得 ，
∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，
∴点C的纵坐标为 1−4 = −3 ，
6
= −3
∴ ，
x
x = −2
解得 ，
∴点C的坐标为 (−2,−3) ，
设直线CD的解析式为 y = kx+b ，
−2k+b = −3
{
则 ，
6k+b = 1
k = 1
{ 2
解得 ，
b = −2
1
所以，直线CD的解析式为 y = x−2 ；
2
（3）AB∥CD．
理由如下：
6
∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，设点C的坐标为 (c, ），点D的坐标为 (6,1) ，
c
∴点A、B的坐标分别为 A(c,0) ， B(0,1) ，
设直线AB的解析式为 y = mx+n ，
mc +n = 0
{
则 ，
n = 1
m = −1
{ c
解得 ，
n = 1
1
所以，直线AB的解析式为 y = − x+1 ，
c
设直线CD的解析式为 y = ex+f ，
ec +f = 6
{ c
则 ，
6e+f = 1
e = −1
{ c
解得 ，
f = c+6
c
1 c +6
∴直线CD的解析式为 y = − x+ ，
c c
1
∵AB、CD的解析式k都等于 − ，
c
∴AB与CD的位置关系是AB∥CD．
6 【答案】 22018 −2能力提高 / 初三 / 秋季
第 12 讲 相似经典模型
例题练习题答案
例1 【答案】C
【解析】∵D、E是AB的三等分点，且DF∥EG∥BC，
∴△ADF∽△AEG，
DF 1
=
∴ ，
EG 2
S 1
ADF =
∴ ，
S 4
AEG
S S 1 1
1 = ADF = =
∴ ，
S S −S 4−1 3
2 AEG △ADF
S 1
ADF =
同理 ，
S 9
ABC
S : S = 1 : 5
∴ 1 3 ，
S : S : S = 1 : 3 : 5
∴ 1 2 3 ，
故选：C．
练1.1 【答案】B
【解析】解：A、所有的矩形都是相似形，对应边的比值不一定相等，故此选项错误；
B、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，此角度一定是顶角，即可得出两三角形相
似，故此选项正确；
C、对应角相等的两个多边形相似，对应边的比值不一定相等，故此选项错误；
D、对应边成比例的两个多边形相似，对应角不一定相等，故此选项错误；
故选：B．
练1.2 【答案】C
【解析】解：∵矩形ABCD∽矩形AEFB，
AD AB
∴ = ．
AB AE
1
设AD=x，AB=y，则AE= x．
2
x y
∴ = ，
y 1x
2
1
y2 x2 x2 2y2
故 = ，即 = ，
2
–
√2
则x= y，AD x –
√2
则 = = ．
AB y
故选：C．
例2 (1)【答案】∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC．
∵BD⊥DC，
∴∠BDC=90°．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BDC．
∴△ABD∽△DCB．
(2)【答案】∵△ABD∽△DCB，
AD BD
∴ = ．
BD CB
2
∴BD =AD•CB．
∵AD=4，BC=9，
∴BD=6．
【解析】根据相似三角形的相似比即可求得BD的长．
练2.1 【答案】D
【解析】A．∵ ∠A = ∠A ， ∠ABP = ∠C ，∴△ABP∽△ACB；
B．∵ ∠A = ∠A ， ∠APB = ∠ABC ，∴△ABP∽△ACB；
AP AB
C．∵ ∠A = ∠A ， = ，∴△ABP∽△ACB；
AB AC
D．不能判定△ABP∽△ACB．
故选：D．
练2.2 【答案】A
【解析】∵△ABC与△
A′B′C′
相似，△
A′B′C′
与△A″B″C″相似，
∴△ABC与△A″B″C″相似，
∵△ABC与△ A′B′C′ 的相似比为 2 : 3 = 10 : 15 ；
△ A′B′C′ 与△A″B″C″的相似比为 5 : 4 = 15 : 12 ，
∴△ABC与△A″B″C″相似比为 10 : 12 = 5 : 6 ．
故选：A．
例3 【答案】A
【解析】解：根据位似变换的性质和图形可知，位似中心坐标是（6，2）．
故选：A．练3.1 (1)【答案】A
(2)【答案】①如图，四边形OA′B′C′为所求．
②由图可知，A′（﹣2，2），B′（﹣4，﹣2），
C′（﹣2，﹣2）．
练3.2 【答案】C
【解析】解：∵点E（-4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，
∴点E的对应点E′的坐标为：（2，-1）或（-2，1）．
故选：C．
例4 (1)【答案】4或6
AMN ABC
【解析】若△ ∽△
AM MN
=
则
AB BC
3 MN
=
∴
9 12
MN = 4
∴
ANM ABC
若△ ∽△
AM MN
=
则
AC BC
3 MN
=
∴
6 12
MN = 6
∴MN = 6 MN = 4
∴ 或
x AE = 20−x CF = 12−x
(2)【答案】解：①设菱形的边长为 ，则 ，
∵
DE∥BC
ΔAED ΔABC
∴ ∽
AE DE 20−x x
= =
∴ ，即
AB BC 20 12
15
x =
∴
2
15
∴菱形的边长是
2
S DE 2 25 S DF 2 9
ΔAED = ( ) = ΔCDF = ( ) =
②∵ ，
S BC 64 S AB 64
ΔABC ΔCBA
BEDF ΔABC
∴菱形 的面积与 的面积之比
25 9 15
= 1− − =
．
64 64 32
练4.1 【答案】D
【解析】根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，所以相似，
②△ABC与△DEF是相似图形，且相似比是 AB : DE = 2 : 1 ，
③△ABC与△DEF的周长比等于相似比，即 2 : 1 ，
④△ABC与△DEF是相似图形，所以对应角相等，即 ∠BAC = ∠EDF ．
综上所述，正确的结论是：①③④．
故选：D．
3
练4.2 【答案】
7
例5 【答案】解：⑴∵四边形 EGHF 为正方形
BC EF AEF ABC
∴ ∥ ，∴△ ∽△
a
⑵设正方形零件的边长为 mm
KD = EF = a AK = 80−a
则 ，
∵
EF∥BC
，∴△
AEF
∽△
ABC
EF AK
AD BC =
∵ ⊥ ，∴
BC AD
a 80−a
= a = 48
∴ ，解得
120 80
48mm
答：正方形零件的边长为
EF = x EG = y
⑶设 ， ，
AEF ABC
∵△ ∽△
EF AK
=
∴
BC AD
x 80−y
=
∴
120 802
y = 80− x
∴
3
∴矩形面积为
2 2
S = xy = − x2 +80x =− (x−60)2 +2400(0 < x < 120)
3 3
x = 60 2400mm2
故当 时，此时矩形的面积最大，最大面积为
【解析】（1）∵四边形EGFH为矩形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
（2）设正方形零件的边长为a
在正方形EFGH中，EF∥BC，EG∥AD
∴△AEF∽△ABC，△BEG∽△BAD
EF AE EG BE
= =
∴ ， ，
BC AB AD AB
EF EG AE BE
+ = + = 1
∴ ，
BC AD AB AB
a a
+ = 1
即：
120 80
解得：a=48
即：正方形零件的边长为48；
（3）设长方形的长为x，宽为y，
当长方形的长在BC时，
y x
+ = 1
由（1）知： ，
120 80
−−−−−−−−
y x y x
+ ≥ 2√ ×
∵ ，
120 80 120 80
y x
= = 0.5
∴当 ，即x=60，y=40，xy最大为2400
120 80
x y
+ = 1
当长方形的宽在BC时， ，
120 80
−−−−−−−−
x y x y
+ ≥ 2√ ×
∵ ，
120 80 120 80
x y
= = 0.5
∴当 ，即x=40，y=60，xy最大为2400，
120 80
又∵x≥y，所以长方形的宽在BC时，面积＜2400
综上，长方形的面积最大为2400．
练5.1 【答案】B
x 10−x
【解析】设正方形边长为 x ，容易得 =
15 10
2
练5.2 【答案】360cm
AGF ABC DG = xcm
【解析】由题易知△ 与△ 底边之比与高之比相等，设 ，则
32−x 38−x
GF = (38−x) cm = x = 20 DEFG
，则 ，解得 ，所以矩形 的面积
32 48
20×(38−20) = 360 cm2
为 ．例6 【答案】D
【解析】
过点A作AG∥BC交CF延长线于点G
∴△AEG∽△DEC
AG AE
= = 3
∴
DC DE
∵D为中点
∴BC=2DC
AG AG 3
= =
∴
BC 2DC 2
又∵△AFG∽△BFC
AF AG 3
= =
∴
BF BC 2
BF BF 2
= =
∴
AB AF +BF 5
练6.1 【答案】D
【解析】解：A、∵ ∠DAC ＝ ∠DBC ， ∠AOD ＝ ∠BOC
∴△AOD∽△BOC，故此选项正确，不合题意；
B、∵△AOD∽△BOC
AO OD
=
∴
BO CO
AO BO
=
∴
OD CO
∠AOB ∠COD
又∵ ＝
∴△AOB∽△DOC，故此选项正确，不合题意；
C、∵△AOB∽△DOC
∠BAO ∠ODC
∴ ＝
∵AC平分 ∠DAB
∠DAC ∠BAC
∴ ＝
∠CAD ∠BDC
∴ ＝
∠DAC ∠DBC
∵ ＝
∠CDB ∠CBD
∴ ＝
∴CD＝BC，故此选项正确，不合题意；
D、无法得出 BC ⋅CD ＝ AC ⋅OA ，故此选项错误，符合题意．故选：D．
练6.2 【答案】4
ADF BDE AGF CGE
【解析】△ ≌△ ，△ ∽△ ，
EC 3 BC BC 2
= , = =
∴
AF 1 EB AF 1
能力提高 / 初三 / 秋季
第 12 讲 相似经典模型
自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
AB = BC
∴ ，
BE = CE
∵ ，
AB = 2BE
∴ ，
又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，
∴①DM与AB是对应边时， DM = 2DN
DM2 +DN2 = MN2 = 1
∴
1
DM2 + DM2 = 1
∴ ，
4
–
2√5
DM =
解得 ；
5
1
②DM与BE是对应边时， DM = DN ，
2
DM2 +DN2 = MN2 = 1
∴ ，
DM2 +4DM2 = 1
即 ，
–
√5
DM =
解得 ．
5
– –
2√5 √5
∴DM为 或 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
5 5
故选：C．2 【答案】解：如图所示：
．
【解析】利用位似图形的性质分别得出对应点位置进而得出答案．
3 【答案】C
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
S AD 2 9
△ADE = ( ) =
∴ ，
S AB 16
△ABC
S = 48
∵ ΔABC ，
S = 27
∴ ΔADE ，
故选：C．
4 【答案】D
5 【答案】D
【解析】∵DE∥BC，DF∥BE，
AD AE AF AD DE AD
= = =
∴ ，△ADE∽△ABC， ， ，
BD EC FE BD BC AB
AF DF AD
= =
，
AE BR AB
AE AF
=
∴ ，
EC FE
∴选项A、B、C正确，D错误．
6 【答案】A
【解析】设边长HG为x
易证：△AHG∽△ABC
x h−x
=
∴
a hah
∴x=
a+h
7 【答案】C
8 【答案】A
【解析】解：∵BE和CD是△ABC的中线，
1
∴DE= BC，DE∥BC，
2
DE 1
∴ = ，△DOE∽△COB，
BC 2
S DE 1 1
△DOE 2 2
∴ =（ ） =（ ） = ，
S BC 2 4
△COB
故选：A．
9 【答案】C
10 【答案】B
【解析】易得：AF=FB=1,EM=0.5, △ABE∽△NCE
∴CN=AB=2,AN=2AE
由8字模型易得：△AFM∽△NCM
AM AF 1
= =
∴
MN CN 2
AM 1
=
∴
AM +1 2
∴AM=1
∴AN=2AE=3
能力提高 / 初三 / 秋季
第 12 讲 相似经典模型
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】（4，﹣2）或（﹣4，2 ）
1
【解析】∵E（﹣8，4），以点O为位似中心画三角形，使它与△EFO位似，且相似比为 ，
2
∴点E的对应点的坐标为：（4，﹣2）或（﹣4，2 ）．
故答案为：（4，﹣2）或（﹣4，2 ）．
3 【答案】A
【解析】设边长为x
易得：△ADE∽△ABCx 8−x
=
∴
12 8
24
x =
∴
5
4 【答案】C
【解析】由8字模型得：△ABE∽△CGE，△ABF∽△DGF
AB BE 5 AB BF 7
= = = =
∴ ,
CG EG 2+FG GD FG FG
AB 5 AB 7
= =
∴ ,
AB+DG 2+FG GD FG
2+FG FG
−1 =
∴
5 7
21
∴FG=
2
5 【答案】A
能力提高 / 初三 / 秋季
第 12 讲 相似经典模型
精选精练
1 【答案】C
2 【答案】解：（1） △ FDB 与 △ ABC 相似，理由如下：
∵DE是BC垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵AB=AD，
∴∠ABC=∠ADB，
∴△FDB∽△ABC；
（2）∵△FDB∽△ABC，
FD BD 1
∴ = =
AB BC 2
∴AB=2FD，
∵AB=AD，
∴AD=2FD，
∴DF=AF．
3 【答案】A
AD PN K
【解析】解：如图，设 交 于点 ．∵ PM : PQ = 3 : 2
，
∴ MP = 3k PQ = 2k
可以假设 ， ．
∵ PQNM
四边形 是矩形，
∴ PM//BC
，
∴ ΔAPM ∽ ΔABC
，
∵ AD⊥BC BC//PM
， ，
∴ AD⊥PN
，
PM AK
∴ =
，
BC AD
3k 80−2k
∴ =
，
120 80
k = 20mm
解得 ，
∴ PM = 3k = 60mm
，
A
故选： ．
4 【答案】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，
AD AE 3
=
∴ =
AB AC 5
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
AF AE
=
∴ ，
AG AC
AF 3
∴ =
AG 5
5 【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC∴△DMN∽△CMB，△DMN∽△ABN
∴△CMB∽△ABN
即有3对相似三角形
故选：A．
6 【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
S S
∵ △DEF： △ABF=4：25，
DE 2
∴ = ，
AB 5
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3．
故选：A．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 13 讲 相似的应用
例题练习题答案
例1 【答案】证明：∵DE⊥CA
CD2 = CE ×CA
∴
∵DF⊥CB
CD2 = CF ×CB
∴
CE ×CA = CF ×CB
∴
CE CF
=
∴
CB CA
∠ECF = ∠BCA
又∵
△ CEF ∽△ CBA
∴
–
练1.1 (1)【答案】 3√3
25
(2)【答案】
3例2 【答案】
AB = 2 BC = 4 BD = 1
（1）证明：∵ ， ，
AB 2 1 BD 1
= = =
∴ ，
BC 4 2 AB 2
AB BD
=
∴
BC AB
∠ABD = ∠CBA
∵
ABD CBA
∴△ ∽△
（2）解：∵
DE∥AB
CDE CBA
∴△ ∽△
ABD CDE
∴△ ∽△
DE = 1.5
∴
–
练2.1 【答案】 3√5
CD DF FC
【解析】△ CDF ∽△ DAB ，故 = =
AD AB DB
CD AD AD
= =
∴
DF AB CD
– –
DF = x CD = √5x CF = √6x
设 ，则 ，故 ，
−−
3√30
x =
由等面积法可求得 ，
5
−−−−−−−−−−
– –
CD = 3√6 CG = √CD2 −DG2 = 3√5
∴ ，
– –
练2.2 【答案】 √2 ， √6
FB 1
【解析】 = ，然后利用射影定理计算即可．
CD 2
例3 【答案】作 AC ⊥ x 轴于 C ， BD ⊥ x 轴于 D ，
AC OC 1
AOC OBD = =
容易证△ ∽△ ， –；
DO BD √3
– –
DO = √3 BD = 2√3
,
– –
B (√3,2√3)
所以 点坐标为 ．
练3.1 【答案】1或4
【解析】BP = x CP = 5−x
设 ，则
若△ABP∽△PCD
1 x
∴ =
5−x 4
x = 1 x = 4
经检验： 1 ， 2
若△ABP∽△DCP
1 x
∴ =
4 5−x
x = 1
经检验：
∴PB长度为1或4
练3.2 【答案】B
【解析】
过点D作 DF⊥BC 交BC于点F，
−−−−−− –
∴DF= √32 −12 = 2√2
–
∴AB= 2√2
易证：△DAE∽△EBC
AD AE
=
∴
EB BC
–
1 2√2−BE
=
∴
EB 2
–
∴BE= √2
–
∴AE= √2
−−−−−−−−− −−−−−−−−−
∴DE= √12 +(√2 – ) 2 = √3 – ,CE= √(√2 – ) 2 +22 = √6 –
–
∴CE= √2DE
例4 【答案】解： ∵ △ABC为等边三角形∴ ∠B = ∠C = 60∘
.
若△ DBP ∽△PCE
DB BP
∴ =
PC CE
3 BP
=
∴
8−BP 4
BP = 2 BP = 6
∴ 或
若△ DBP ∽△ECP
DB BP
∴ =
EC CP
3 BP
∴ =
4 8−BP
24
BP =
∴ .
7
24
BP = 2 BP = 6 BP =
∴ 或 或
7
练4.1 【答案】（1）容易证， ∠BDE = ∠DFC ， ∠B = ∠C ，
BDE CFD
∴△ ∽△ ；
BD FC
=
（2） ．
BE CD
5
可求得BE=
3
6
练4.2 【答案】
5
例5 【答案】解：（1） ∵ AB = AC = 6 ，
∴ ∠B = ∠C
，
∵ ∠BDE = 180∘ −∠B−∠BED ∠CEF = 180∘ −∠DEF −∠BED
， ，
∵ ∠DEF = ∠B
，
∴ ∠BDE = ∠CEF
，
∴ ΔDBE ∽ ΔECF
；
∵ ΔDBE ∽ ΔECF
（2） ，
BD BE
∴ =
，
CE CF
∵ F AC
是线段 中点，
1
∴ CF = AC = 3
，
2
2 BE
∴ =
，
5−BE 3
∴ BE = 2
或3；
∵ ΔDEF ΔDBE
（3） 与 相似，
∴ ∠BED = ∠EDF ∠DFE = ∠BED
，或 ，
∠BED = ∠EDF
当 ，
∴ DF//BC
，∴ ∠ADF = ∠B ∠AFD = ∠C
， ，
∴ ∠ADF = ∠AFD
，
∴ AD = AF = 4
，
∵ AC = 6
，
∴ CF = 2
；
∠DFE = ∠BED
当 ，
∵ ΔDBE ∽ ΔECF
，
∴ ∠BED = ∠CFE
，
∴ ∠DFE = ∠CFE ∠BDE = ∠FDE
， ，
∴ E ∠BDF ∠DFC
点 在 与 的角平分线上，
E EM⊥AB M EN⊥AC N EG⊥DF G AE
过 作 于 ， 于 ， 于 ，连接 ，
∴ EM = EG = EN
，
∴ AE ∠BAC
是 的角平分线，
5
∴ BE = CE =
，
2
∵ ΔDBE ∽ ΔECF
，
BD BE
∴ =
，
CE CF
5
2
= 2
即 ，
5 CF
2
25
∴ CF =
．
8
25
FC
综上所述， 的长为2或 ．
8
练5.1 (1)【答案】∵ AB = AC ，
∠B = ∠C
∴ ，
∠BDE = 180∘ −∠B−∠DEB
∵ ，
∠CEF = 180∘ −∠DEF −∠DEB
，
∠DEF = ∠B
∵ ，
∠BDE = ∠CEF
∴ ，
∴△BDE∽△CEF；∠B = ∠C
【解析】根据等腰三角形的性质得到 ，根据三角形的内角和和平角的定义得到
∠BDE = ∠CEF
，于是得到结论；
(2)【答案】∵△BDE∽△CEF，
BE DE
=
∴ ，
CF EF
∵点E是BC的中点，
BE = CE
∴ ，
CE DE
=
∴ ，
CF EF
∠DEF = ∠B = ∠C
∵ ，
∴△DEF∽△ECF，
∠DFE = ∠CFE
∴ ，
∴FE平分 ∠DFC ．
BE DE CE DE
【解析】根据相似三角形的性质得到 = ，等量代换得到 = ，根据相似
CF EF CF EF
三角形的性质即可得到结论．
练5.2 【答案】C
例6 (1)【答案】如图：形成影子的光线，路灯灯泡所在的位置G．
【解析】根据题意画出图形即可；
(2)【答案】解：由题意得：△ABC∽△GHC，
AB BC
=
∴ ，
GH HC
1.6 3
=
∴ ，
GH 6+3
GH = 4.8(m)
解得： ，
答：路灯灯泡的垂直高度GH是 4.8m ．
AB BC
【解析】根据题意得到△ABC∽△GHC，根据相似三角形的性质得到 = ，代入即可
GH HC
求出答案；
(3)【答案】
A B C GHC
解：△ 1 1 1∽△ 1，
A B B C
1 1 = 1 1
∴ ，
GH HC
1
设 B 1 C 1长为xm，
1.6 x
=
则 ，
4.8 x+3
3
x =
解得： (m)，
2
3
B C =
即 1 1 (m)，
2
3
B C
答：小刚的影子 1 1的长是 m
2
A B C GHC
【解析】与（2）类似得到△ 1 1 1∽△ 1，根据相似三角形的性质推出
A B B C
1 1 1 1
=
，代入即可求出答案．
GH HC
1
练6.1 【答案】C
【解析】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
3 x
=
则 ，解得x=4.5，
15 22.5
所以另一段长为22.5-4.5=18，
因为18÷3=6，所以是第6张．
故选：C．
练6.2 【答案】 7.8
DG = 9m
【解析】根据题意得： ，∵EF∥AG
∴△DEF∽△DAG
AG EF
=
∴ ，
DG DF
AG 30
=
即： ，
9 45
AG = 6
解得： ，
AB = AG+GB = AG+DC = 6+1.8 = 7.8
∴ 米，
7.8
故答案为： ．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 13 讲 相似的应用
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】A
3 【答案】
解：过点A作 AE⊥BC 交BC于点E，设 DE = x ，则 CE = x+7 .
∵ AB = AC AE⊥BC
, .
∴ BE = CE = x+7
，
AB2 = BE ×BD
由射影定理得：
∴ 152 = (x+7)(2x+7)
(x+16)(2x−11) = 0
∴
11
x = x = −16
解得 1 ， 2 （不合题意，舍去）
2
∴ BE = 12.5
∴ BC = 2BE = 25
.
4 【答案】D
5 【答案】C
6 【答案】B
7 【答案】解：（1）证明：∵ AB ⊥ BC ， DC ⊥ BC ，∠B = ∠C = 90∘ ∠BAE +∠AEB = 90∘
∴ ， ，
AE DE
∵ ⊥ ，
∠AED = 90∘
∴ ，
∠AEB+∠DEC = 90∘
∴ ，
∠DEC = ∠BAE
∴ ，
△ ABE∽ △ ECD
∴ ；
Rt △ ABE AB = 4 AE = 5
（2）解： 中，∵ ， ，
BE = 3
∴ ，
BC = 5
∵ ，
EC = 5−3 = 2
∴ ，
△ ABE∽ △ ECD
由（1）得： ，
AB EC
=
∴ ，
BE CD
4 2
=
∴ ，
3 CD
3
CD=
∴ ；
2
AD AB CD AD = AB+CD
（3）解：线段 、 、 之间数量关系： ；
E EF AD F
理由是：过 作 ⊥ 于 ，
△ AED∽ △ ECD
∵ ，
∠EAD = ∠DEC
∴ ，
∠AED = ∠C
∵ ，
∠ADE = ∠EDC
∴ ，
DC BC
∵ ⊥ ，
EF = EC
∴ ，
DE = DE
∵ ，
Rt △ DFE Rt △ DCE HL
∴ ≌ （ ），
DF = DC
∴ ，
△ ABE △ AFE
同理可得： ≌ ，
AF = AB
∴ ，
AD = AF +DF = AB+CD
∴ ．8 【答案】B
9 【答案】B
【解析】解：∵AB：BC＝1：8，
∴AB：AC＝1：9，
∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
AB BE 1
= =
∴ ，
AC CD 9
∵BE＝ 1.2m ，
∴CD＝ 10.8m ，
故选：B．
10 【答案】
设CD、EH交于点G
∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD∥AB
∴△CGE∽△AHE
CG EG
=
∴
AH EH
CD−EF FD
=
即：
AH FD+BD
3−1.6 2
=
∴
AH 2+15
AH = 11.9
∴
∴ AB = AH +HB = AH +EF = 11.9+1.6 = 13.5 （m）．
【解析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，
AH和HB部分，其中 HB = EF = 1.6m ，剩下的问题就是求AH的长度，利用CG EG
△CGE∽△AHE，得出 = ，把相关条件代入即可求得 AH = 11.9 ，所以
AH EH
AB = AH +HB = AH +EF = 13.5m
．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 13 讲 相似的应用
课堂落实答案
1 【答案】B
25
2 【答案】
3
3 【答案】C
4 【答案】D
5 【答案】B
∠APB = ∠CPD ∠ABP = ∠CDP
【解析】由题意知： ， ，
Rt △ ABP∽Rt △ CDP
∴ ，
AB BP 1.2×12
= CD = = 8
∴ ，∴ （米）．
CD DP 1.8
故选：B．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 13 讲 相似的应用
精选精练
1 【答案】A
2 【答案】解： ∵ AD 、BD的长度是 x2 −10x+m = 0 的两个根
∴ AD+BD = 10 AD⋅BD = m
,
∵ S = 20
△ABC
1
∴ ⋅(AD+BD)⋅CD = 20
2
∴ CD = 4
∠C = 90∘ AB⊥CD
由题意得： ，
CD2 = AD⋅BD
由射影定理可得：∴ m = AD⋅BD = 42 = 16
3 【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， AB = 12 ， BM = 5 ，
MC = 12−5 = 7 ∠BAM+∠MAE = 90∘ ∠B = ∠C = 90∘
∴ ， ， ．
∵ME⊥AM，
∠AME = 90∘
∴ ，
∠MAE +∠AEM = 90∘
∴ ．
∠BAM = ∠AEM
∴ ，
△ ABM∽ △ EMA
∴ ，
AB BM AM
= =
∴ ,
EM MA EA
AB = 12BM = 5
∵ , ,
−−−−−−−−−−
AM = √AB2 +BM2 = 13
∴ ,
5 13 169
= AE =
∴ ,得 ,
13 AE 5
169 109
DE = AE −AD = −12 =
∴
5 5
故选：B．
m+n
4 【答案】
n
∠DEF = 90∘ ∠BEF +∠CED = 90∘
【解析】∵ ，∴ ．
∠BEF +∠BFE = 90∘
又 ，
∠BFE = ∠CED ∠B = ∠C
∴ ．又 ，
∴△BEF∽△CDE．
EF : FB = DE : EC
∴ ．
BE : EC = m : n
∵ ，
BE = mk EC = nk DE = (m+n)k
∴可设 ， ，则 ．
EF DE (m+n)k m+n
= = =
∴ ．
FB EC nk n
AF = EF
∵ ，
m+n
AF : FB =
∴ ．
n
m+n
故答案为： ．
n
5 【答案】解：存在．
CD DP 4 DP
PCD APB = = DP = 2 12
①若△ ∽△ ，则 ，即 ，解得 或 ；
PB AB 14−DP 6
CD DP 4 DP
PCD PAB = = DP = 5.6
②若△ ∽△ ，则 ，即 ，解得 ．
AB PB 6 14−DP
DP = 2 12 5.6 PCD PAB
∴当 或 或 时，△ 与△ 相似．6 【答案】由题意可知： CG = EH = 1.6 米， CD = 1.2 米， CE = 3 米， EF = 2.4 米，
AB∥CG∥EH，
∴△DGC∽△DAB，△FHE∽△FAB，
CG CD EH EF
= =
∴ ， ，
AB BD AB BF
1.6 1.2 1.6 2.4
= =
即 ， ，
AB BC +1.2 AB BC +3+2.4
1.2 2.4
=
∴ ，
BC +1.2 BC +3+2.4
BC = 3
解得： ，
1.6 1.2 1.2
= =
∴ ，
AB BC +1.2 3+1.2
AB = 5.6
解得： ，
5.6
答：路灯的高度是 米．
【解析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太
阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 14 讲 解三角形
例题练习题答案
例1 (1)【答案】A
(2)【答案】B
练1.1 【答案】B
练1.2 【答案】C
例2 (1)【答案】D
–
√2
(2)【答案】
2
练2.1 【答案】A
练2.2 【答案】B
例3 【答案】B
1
练3.1 【答案】
2
–
BC √3
【解析】 sinA = =
解：∵ ，
AB 2∠A = 60∘
∴ ，
A 1
sin = sin30∘ =
∴ ．
2 2
练3.2 【答案】A
– – –
例4 【答案】（1）原式 = √3−2√2+3+2−√3
–
= 5−2√2
1 1
= 2× +3× −4×1
（2）原式
2 2
3
= −
2
–
– √3
练4.1 【答案】 = 3+√3−3× +1= 4
原式
3
–
– √3
【解析】 = 3+√3−3× +1
原式
3
= 4
–
3+2√6
练4.2 【答案】
4
– –
1 2 √2 2 – √3
【解析】 解：原式=（ ） +（ ） + √2 × ×1
2 2 2
–
1 1 √6
= + +
4 2 2
–
3+2√6
= ．
4
例5 【答案】在 Rt △ ACM 中，
CM 3
sin∠CAM = =
∵ ，
AM 5
CM = 3x AM = 5x
∴设 ，则 ，
−−−−−−−−−−−
AC = √AM2 −CM2 = 4x
根据勾股定理得： ，
M BC
又∵ 为 的中点，
BC = 2CM = 6x
∴ ，
AC 4x 2
Rt △ ABC tanB = = =
在 中， ．
BC 6x 3
练5.1 【答案】C
1
练5.2 【答案】
5
例6 【答案】过点A作AD⊥BC，与BC交于点D，
∠ADB = ∠ADC = 90∘
则 ,
在Rt△ABD中，∵ ∠ABD = 45∘ ，
BD = AB⋅cos45∘ = 2 AD = AB⋅sin45∘ = 2
∴ ， ，2
在Rt△ADC中，∵ tanC = ，
3
AD
CD = = 3
∴ ，
tanC
−−−−−−−−−− −−
AC = √AD2 +CD2 = √13
∴ ，
BC = BD+CD = 5
．
练6.1 【答案】过点A作AE⊥BC，与BC交于点E，
–
–
√2
在Rt△ACE中，∵ AC = √2 ， cosC = ，
2
−−−−−−−−−−
CE = AC ⋅cosC = 1 AE = √AC2 −CE2 = 1
∴ ， ，
1
在Rt△ABE中，∵ tanB = ，
5
AE
BE = = 5
∴ ，
tanB
BC = BE +CE = 6
∴ ．
3
练6.2 【答案】（1）在Rt △ ABC 中，∵ sinB = ， AB = 10 ，
5
AC = AB⋅sinB =
∴ 6，
−−−−−−−−−−
BC = √AB2 −AC2 = 8
∴ ．
（2）过点D作DE⊥AB，与AB交于点E，
D BC
∵点 为边 的中点，
1
BD = CD = BC = 4
∴ ，
2
1 1
S = AB⋅DE = AC ⋅BD
∵ △ABD 2 2 ，
AC ⋅BD 6×4 12
DE = = =
∴ ，
AB 10 5
−−−−−−−−−− 16
△ BDE BE = √BD2 −DE2 =
在Rt 中， ，
5
34
AE = AB−BE =
∴ ，
5
DE 6
△ ADE tan∠BAD = =
在Rt 中， ．
AE 17
例7 (1)【答案】B
–
16+5√3
(2)【答案】
练7.1 【答案】200【解析】∵C位于A北偏东
60∘
方向，
∠CAB = 90∘ −60∘ = 30∘
∴ ，
∵C位于B北偏东
30∘
方向，
∠ABC = 90∘ +30∘ = 120∘
∴ ，
∠C = 180∘ −∠CAB−∠ABC = 30∘
∴ ，
∠CAB = ∠C
∴ ，
AB = BC = 200m
∴ ．
练7.2 【答案】解：由题意，可得 ∠FED = 45∘ ．
Rt △ DEF ∵ ∠FDE = 90∘ ∠FED = 45∘
在 中， ， ，
–
–
9√2
∴ DE = DF = 1.8 EF = √2DE =
， ．
5
∵ ∠AEB = ∠FED = 45∘
，
∴ ∠AEF = 180∘ −∠AEB−∠FED = 90∘
．
Rt △ AEF ∵ ∠AEF = 90∘ ∠AFE = 39.3∘ +45∘ = 84.3∘
在 中， ， ，
–
9√2
–
∴ AE = EF ⋅tan∠AFE ≈ ×10.02 = 18.036√2
．
5
Rt △ ABE ∵ ∠ABE = 90∘ ∠AEB = 45∘
在 中， ， ，
–
–
√2
∴ AB = AE ⋅sin∠AEB ≈ 18.036√2× ≈ 18
．
2
AB
故旗杆 的高度约为18米．
例8 【答案】解：作 BM⊥ED ，BM交 ED 的延长线于 M ，
CN⊥DM ，CN交 ED 的延长线于于 N ．
CN 1 4
Rt △ CDN = =
在 中，∵
DN 0.75 3
CN = 4k DN = 3k
设 ，
CD = 10
∵
(3k)2 +(4k)2 = 100
∴
k = 2
∴
CN = 8 DN = 6
∴ ，
BMNC
∵四边形 是矩形
BM = CN = 8 BC = MN = 20 EM = MN +DN +DE = 66
∴ ， ，
AM
Rt △ AEM tan24∘ =
在 中，
EM8+AB
0.45 =
∴
66
AB = 21.70
∴ （米）
练8.1 【答案】在 Rt △ ABC 中，∵ ∠ABC = 70∘ ，
AC = AB⋅sin∠ABC = AB⋅sin70∘ = 2.632
∴ ，
AC
即这架木梯的顶端离地面的距离 为2.6米．
练8.2 【答案】（1）过B作BG⊥AD于G，
则四边形BGDF是矩形，
BG = DF = 5
∴ 米，
AB = 13
∵ 米，
−−−−−−−−−−
AG = √AB2 −BG2 = 12
∴ 米，
BG
∴AB的坡度 i = = 1 : 2.4 ；
AG
CF 3CF
Rt △ BCF BF = =
（2）在 中， ，
tan∠CBF 4
CF CF
Rt △ CEF EF = =
在 中， ，
tan∠CEF 2
BE = 4
∵ 米，
3CF CF
BF −EF = − = 4
∴ ，
4 2
CF = 16
解得： ．
DC = CF +DF = 16+5 = 21
∴ 米．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 14 讲 解三角形
课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】C
3
3 【答案】
24 【答案】B
–
5 【答案】 10√3
能力提高 / 初三 / 秋季
第 14 讲 解三角形
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】D
5
【解析】解：如图，∵ sin∠A ＝ ，
13
∴设BC＝5k，AB＝13k，
−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−
由勾股定理得，AC＝
√AB2 −BC2
＝
√(13k)2 −(5k)2
＝12k，
AC 12k 12
cos∠A
∴ ＝ ＝ ＝ ．
AB 13k 13
故选：A．
3 【答案】A
4 【答案】B
5 【答案】A
AD 1
6 【答案】在Rt△ADC中， tanC = = ，
DC 2
AD = k CD = 2k
设 ， ，
−−−−−−−−−− –
AC = √AD2 +CD2 = √5k
，
–
AC = 3√5
∵ ，
– –
√5k = 3√5 k = 3
∴ ，解得 ，
AD = 3 CD = 6
∴ ， ，
在Rt△ABD中，
−−−−−−−−−− −−−−−− –
BD = √AB2 −AD2 = √42 −32 = √7
，
∴ △ ABC 的 周 长
– – – –
= AB+AC +BD+CD = 4+3√5+√7+6 = 10+3√5+√7
．
7 【答案】过点A作AD⊥BC，与BC交于点D∠ADB = ∠ADC = 90∘
则 ,
在Rt△ABD中，∵ ∠B = 45∘ ，
BD = AB⋅cos45∘ = 2 AD = AB⋅sin45∘ = 2
∴ ， ，
在Rt△ADC中，∵ ∠C = 30∘ ，
AD –
CD = = 2√3
∴ ，
tan30∘
–
BC = BD+CD = 2+2√3
∴ ．
8 【答案】过点A作AD⊥BC于点D，
∵A地位于B地北偏东
67∘
方向，距离B地520km，
∠BAD = 67∘
∴ ，
BD = AB⋅sin67∘ = 520 ×0.92 = 478.4km
∴ ，
AD = AB⋅cos67∘ = 520 ×0.39 = 202.8km
．
∵C地位于A地南偏东
30∘
方向，
∠CAD = 30∘
∴ ，
– –
√3 202.8√3
CD = AD⋅tan30∘ = 202.8× = km
∴ ，
3 3
–
202.8√3
BC = BD+CD = 478.4+ 595(km)
∴ ≈ ．
3
答：B地到C地之间高铁线路的长为595km．
9 【答案】过点A作AE⊥BC与BC交于点E，则 ∠AEB = 90∘ ，
在Rt△ABE中，∵ ∠BAE = 30∘ ，
–
BE = x AE = √3x
设 ，则 ，
–
CD = AE = √3x
，
在Rt△ACE中，∵ ∠EAC = 45∘ ,–
CE = √3x
∴ ，
–
CE = AD = AE = CD = √3x
则 ，
–
BE +CE = x+√3x = 120
∴ ，
–
x = 60(√3−1)
解得 ，
–
DC = 180 −60√3
∴ （米）．
–
10 【答案】在Rt△ABE中，设 AE = x ，则 BE = √3x ，
AE2 +BE2 = x2 +(√3 – x) 2 = 2002
，
x = 100 AE = 100
则 ，则 ，
CE = AE −AC = 100 −20 = 80
∴ ，
1 : 4
∵坡度比为 ，
DE = 320
所以 ，
−−−−−−−−−− −−
在Rt△CDE中， CD = √CE2 +DE2 = 80√17 米．
–
∵ ∠AEB = 90∘ AB = 200 1 : √3
【解析】 ， ，坡度为 ，
–
1 √3
∴ tan∠ABE = =
– ，
√3 3
∴ ∠ABE = 30∘
，
1
∴ AE = AB = 100
，
2
∵ AC = 20
，
∴ CE = 80
，
∵ ∠CED = 90∘ CD 1 : 4
，斜坡 的坡度为 ，
CE 1
∴ =
，
DE 4
80 1
=
即 ，
ED 4
ED = 320
解得， ，
−−−−−−−−−
−−
∴ CD = √802 +3202 = 80√17
米，
−−
CD 80√17
答：斜坡 的长是 米．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 14 讲 解三角形
精选精练
1 【答案】C2 【答案】解：原式 = cos21∘ +⋯+cos244∘ +cos245∘ +sin244∘ +⋯+sin21∘
= cos21∘ +sin21∘ +⋯+cos244∘ +sin244∘ +cos245∘
– 2
√2
= 44+( )
2
89
=
2
3 【答案】（1）证明：如图1，取AC的中点D，连接BD，
–
√3
∠C = 90∘ tanA =
∵ ， ，
2
–
BC √3
=
∴ ，
AC 2
–
BC = √3x AC = 2x
∴设 ，则 ，
D AC
∵ 是 的中点，
1
CD = AC = x
∴ ，
2
−−−−−−−−−−
−−−−−−−
BD = √CD2 +BC2 = √3x2 +x2 = 2x
∴ ，
AC = BD
∴ ，
∴△ABC是“好玩三角形”；
（2）①如图2，取DE的中点G，连接FG，则 FG = DE ,
DF = EF
∵ ,
1 1
∴ DG = DE = FG ，FG⊥DE，
2 2
在直角△FDG中，由勾股定理得到：
−−−−−−−−−−
–
FD = √DG2 +FG2 = √5DG
，
– –
FD √5DG √5
= =
∴ ；
DE 2DG 2
②如图3，取EF的中点M，连接DM，由题意知 DM = EF = DF ，作DH垂直EF于H，
FH = MH FH = MH = 1 ME = 2 DF = 4
则 ，设 ，则 ， ，
在Rt△DFH中，根据勾股定理得：
DH2 = 15
，
– –
在Rt△DEH中，根据勾股定理得： DE = 2√6 ，从而可得腰与底的比为： √6 : 3 ．
– –
√5 √6
综上所述，腰和底的比值是 或 ．
2 3
4 【答案】过点C作CE⊥AB，与AB交于点E–
√2
–
在Rt△BCE中，∵ sinB = ， BC = 2√2
2
–
– √2
CE = BC ⋅sinB = 2√2⋅ = 2
∴
2
−−−−−−−−−−
BE = √BC2 −CE2 = 2
1
在Rt△ACE中，∵ tanA =
2
CE
AE = = 4
∴
tanA
AB = AE +BE = 6
则
∵D是AB的中点
1
BD = AB = 3 DE = BD−BE = 1
∴ ，
2
−−−−−−−−−− –
在Rt△CDE中， CD = √CE2 +DE2 = √5
–
DE √5
cos∠CDB = =
∴
CD 5
5 【答案】C
GF A J BH⊥AJ H CK⊥GJ K EM⊥GJ
【解析】如图，延长 交过点 的水平线于 ，作 于 ， 于 ， 于
M
CD = EF = 5k FM = DN = 4k EM = CN = 3k
设 ， 则 ， ，
1 – –
BH = AB = 1 AH = √3BH = √3
， ，
2
– –
∴ AJ = √3+1.5+1.5+6k = √3+3+6k GJ = 2+8k+1 = 3+8k
， ，
GJ 3
∵ tan37∘ = =
，
AJ 4
3+8k 3
∴ =
– ，
√3+3+6k 4
∴ k ≈ 0.156
，
∴ GJ = 3+8×0.156 ≈ 4.3(m)
．
6 【答案】（1）作CD⊥BA交BA的延长线于点D
BC = 120 ∠CBD = 30∘
由题意可知， 米，
CD = 60
则 米
∠DCA = 30∘
∵
CD 60 –
AC = = = 40√3
∴ 米
cos30∘
√3
2
（2）作
A′N⊥BC
于点N，作
A′E⊥BA
交BA的延长线于点E
由题意可知
∠1 = 30∘ ∠EA′B = 75∘ ∠EA′A = 30∘ ∠CBD = 30∘
， ， ，
∠AA′B = 45∘
则
∠2 = 15∘
∴
∠A′BE = 15∘
∴
A′B ∠ABC
∴ 平分
A′N = A′E
∴
AA′ = x
设
– –
√3 √3
A′E = x A′N = x
则 ，
2 2
–
CA′ = √3x
∴
–
AC = 40√3
∵
– –
x+√3x = 40√3
∴
– –
x = 60−20√3 60−20√3
得 ，即此时小明所乘坐的小船走的距离为（ ）米
能力提高 / 初三 / 秋季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 【答案】C
2 【答案】C
∠AOB ∠ACB A ˆ B ∠AOB = 100∘
【解析】∵ 与 都对 ，且 ，
1
∠ACB = ∠AOB = 50∘
∴ ，
2
故选：C．
3 【答案】C4 【答案】C
5 【答案】A
【解析】∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DEF＝∠BCF，∠EDF＝∠CBF，
∴△EDF∽△CBF，
ED EF
=
∴ ，
BC FC
∵AE＝2ED，
ED ED 1
= =
∴ ，
AD BC 3
EF 1
=
则 ，
FC 3
6 【答案】D
7 【答案】D
8 【答案】B
9 【答案】D
10 【答案】D
3
11 【答案】
2
【解析】∵DE∥AC，
∴DB：AB=BE：BC，
∵DB=4，AB=6，BE=3，
∴4：6=3：BC，
9
解得：BC= ，
2
9 3
∴EC=BC﹣BE= ﹣3= ．
2 2
12 【答案】2016
13 【答案】 m ≤ 1
–
14 【答案】 2√7
15 【答案】
27∘
16 【答案】①②⑤
17 【答案】 0
3
18 【答案】解： x 1 = 1 ， x 2 = ．
2
19 【答案】解：(1)作法：连接AE与BD，则AE，BD是△ABC的两条高线；
(2)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BC．
又AC=AB，
∴∠1=∠2．
连接OD，OE，
∴∠DOE=∠BOE．
∴DE=BE．
20 【答案】解：（1） m = 3 ；
B(−1,0) C (0,3)
（2） ， ．
21 【答案】解：∵ AB ⊥ BC ， CE ⊥ BC ，
AB CE
∴ ∥ ，
ABD ECD
∴△ ∽△ ，
AB BD AB 60
= =
∴ ，即 ，
CE CD 25 30
AB = 50(m)
∴ ，
AB 50m
答:两岸间的大致距离 为 ．
22 【答案】解：（1）∵ PB = PC ，
∠B = ∠PCB
∴ ，
∵PC平分 ∠ACB ，
∠PCA = ∠PCB
∴ ，
∠PCA = ∠B
∴ ，
∠A = ∠A
又∵ ，
∴△APC∽△ACB．
AP AC
=
（2）由（1）得： ，
AC AB
3 AC –
= AC = 3√3
∴ ，∴ ．
AC 3+6
23 【答案】解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∠ACB = 90∘
∴ ，
∴AC⊥BC，DC = CB
又∵ ，
AD = AB
∴ ，
∠B = ∠D
∴ ．
（2）解：设 BC = x ，则 AC = x−2 ，在Rt△ABC中， AC2 +BC2 = AB2 ，
– –
(x−2)2 +x2 = 42 x = 1+√7 x = 1−√7( )
∴ ，解得： 1 ， 2 舍去
∠B = ∠E ∠B = ∠D
∵ ， ，
∠D = ∠E
∴ ，
CD = CE
∴ ，
CD = CB
∵ ，
–
CE = CB = 1+√7
∴ ．
24 【答案】解：（1）如图，连接OD，
∠BAD = ∠CAD
根据角平分线的定义得 ，
∠OAD = ∠ODA
∵ ，
∠ODA = ∠CAD
∴ ，
∴OD∥AC，由于 ∠C = 90∘ ，
∠ODB = 90∘
∴ ，
∴BC是⊙O的切线；
∠B = 30∘
（2）∵ ，
∠BAC = 60∘
∴ ，
∠CAD = 30∘
∴ ，
在Rt△ADC中， DC = 4 ，
– –
AC = √3DC = 4√3
∴ ，
在Rt△ABC中， ∠B = 30∘ ，
–
AB = 2AC = 8√3
∴ ．
25 【答案】证明：（1）∵ Δ = b2 −4ac = (k+2)2 −8k = (k−2)2 ≥ 0 ，
∴无论k取任意实数值，方程总有实数根．
解：（2）分两种情况：
b = c
①若 ，x2 −(k+2)x+2k = 0
∵方程 有两个相等的实数根，
Δ = b2 −4ac = (k−2)2 = 0
∴ ，
k = 2
解得 ，
x2 −4x+4 = 0 x = x = 2
∴此时方程为 ，解得 1 2 ，
∴△ABC的周长为5；
b ≠ c b = a = 1 c = a = 1
②若 ，则 或 ，即方程有一根为1，
x = 1 x2 −(k+2)x+2k = 0 1−(k+2)+2k = 0
∵把 代入方程 ，得 ，
k = 1
解得 ，
x2 −3x+2 = 0
∴此时方程为 ，
x = 1 x = 2
解得 1 ， 2 ，
∴方程另一根为2，
∵1、1、2不能构成三角形，
∴所求△ABC的周长为5．
综上所述，所求△ABC的周长为5．
26 【答案】解：（1）设直线 AD 对应的函数关系式为 y = ax+b ．
∵ AD A(3,5) E(−2,0)
直线 过点 ， ，
3a+b = 5 a = 1
∴{ {
解得
−2a+b = 0 b = 2
∴ AD y = x+2
直线 的解析式为 ．
∵ A(3,5) O C
（2） 点 关于原点 的对称点为点 ，
∴ C (−3,−5)
点 的坐标为 ，
∵ CD//y
轴，
∴ D (−3,a)
设点 的坐标为 ，
∴ a = −3+2 = −1
，
∴ D (−3,−1)
点 的坐标为 ，
k
∵ y = D
反比例函数 的图象经过点 ，
x
∴ k = −3×(−1) = 3
；
（3）如图：∵ A C
点 和点 关于原点对称，
∴ CDGF
阴影部分的面积等于平行四边形 的面积，
∴ S = 4×3 = 12
．
27 【答案】解： ∵ AD⊥BC ，
∴ ∠DAC +∠C = 90∘
．
∵ ∠BAC = 90∘
，
∴ ∠BAF = ∠C
．
∵ OE⊥OB
，
∴ ∠BOA+∠COE = 90∘
，
∵ ∠BOA+∠ABF = 90∘
，
∴ ∠ABF = ∠COE
．
∴ ΔABF ∽ ΔCOE
．
O AC BC H OH//AB
过 作 垂线交 于 ，则 ，
∠ABF = ∠COE ∠BAF = ∠C
∵ ， ，
∴ ∠AFB = ∠OEC
，
∴ ∠AFO = ∠HEO
，
∠BAF = ∠C
而 ，
∴ ∠FAO = ∠EHO
，
∴ ΔOEH ∽ ΔOFA
，
∴ OF : OE = OA : OH
∵ O AC OH//AB
又 为 的中点， ．
∴ OH ΔABC
为 的中位线，1 1
∴ OH = AB OA = OC = AC
， ，
2 2
OF OA 2 4
∴ = = =
．
OE OH 3 3
2
