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专题19.37 一次函数几何分类专题（三角形综合问题）
一、单选题
1．已知一次函数y＝x+1的图像与x轴、y轴分别交于点A点、B点，点P在x轴上，并且使以点
A、B、P为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP
上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD
的长为（ ）
A．2或 +1 B．3或 C．2或 D．3或 +1
3．已知直线 与直线 ，（ 为正整数），记直线 和 与 轴围
成的三角形面积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣ x＋8与x轴和y轴分别交于点A和点B，以AB
为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴，垂足为点F，交BD于点E，连接
AE，则三角形AFE的周长为（ ）A．14 B．16 C．21 D．22
5．如图，直线l： 交x轴于点A，交y轴于点 ，点 在直线l上，已知M是x
轴上的动点．当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
6．如图，直线 交x轴于点A，交y轴于点 ，点 在直线l上，已知M是x轴
上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
7．如图1，点P从 的顶点B出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶
点A．作 于点D，点P运动的路程为x， ，图2是点P运动时y随x变化的关系图
象，则 的长为（ ）A．2 B． C． D．
8．如图，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 在线段 上， 关于 轴
的对称点为 ，点 从 的运动过程中， 中依次出现的特殊三角形为（ ）
A．直角三角形 等腰三角形 等腰三角形 直角三角形
B．直角三角形 等腰三角形 直角三角形 等腰三角形
C．直角三角形 等腰三角形 等边三角形 等腰三角形
D．直角三角形 等腰三角形 等边三角形 直角三角形
9．在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图①；将AB折成正三角形，
使点A、B重合于点P，如图②；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于 轴对称，且点P
的坐标为（0,2），PM的延长线与 轴交于点N（n，0），如图③，当m= 时，n的值为（ ）
A． B． C． D．10．如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， 于点 ，点 为直线
上不与点 、 重合的一个动点．在 轴上存在（ ）个点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形
与 全等．
A．2 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．已知一次函数 经过 、 两点， ，且该函数的图象
与坐标轴围成的三角形面积是4，则k的值是 ．
12．如图，直线 与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线 于点A．若点C是射线
上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与 全等，则点
D的坐标为 ．
13．已知一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， ．以 为边在第一象限内作
三角形 ，且 ， ，作 的中垂线 交直线 于点 ，交 轴于点G．设
上有一点 ，且点 与点 位于直线 的同侧，使得 ，则点 的坐标为 ．14．如图，直线 的解析式为 ，分别与x轴，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴
负半轴于点C，且 ．若在x轴上方存在点D，使以A，B，D为顶点的三角形与
全等，则点D的坐标为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中已知点 和点 ， 是 的中点，若有一动点 在折线
上运动，直线 截 所得的三角形为直角三角形，则点 的坐标为 ．
16．图，直角坐标系 中，一次函数 的图象 分别与 ， 轴交于 ， 两点，正比
例函数的图象 与 交于点 ，则 ，一次函数 的图象为 ，且 ， ，
不能围成三角形，则 的值为 .17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与正比例函数 的图象交于点
，与 轴交于点B(5，0)，点 是 轴上一点，当以点 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形时，
则点 的坐标为 ．
18．在平面直角坐标系中，已知点 ， .
（1）若点 ， 且 ， 则 的值为 ．
（2）若点 ，在直线 上有两点 .使得以 为顶点的三角形与 全等，则
点 的坐标为 ．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴交于 两点，动点 从点 出发，
沿射线 方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点 从点 出发，以每秒1个单位的速度，沿
线段 向点运动，当 点到达点 时，点 也停止运动．连接线段 ，设点 运动的时间为 秒．
(1)经过 时，写出此时点 的坐标______，点 的坐标______．
(2)当线段 时，求此时点 运动的时间 ．
(3)点 为线段 中点，在点 、 运动过程中，以点 、 、 三点组成的三角形为等腰三角形时，求所有满足要求的 的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，且 ．
(1)若 ．
①求 、 两点的坐标；
②过点 作 轴的平行线交 于点 ，求点 的坐标；
(2)若点 在 的上方、三角形 的面积为10，且 ，求点 的坐标．
21．如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线
交 轴于点 ，且过 中点 ．
(1)求 两点的坐标及直线 的函数表达式；
(2)点 为直线 上一动点，当 的面积为6时，求点 的坐标；
(3)在坐标平面内找一点 ，使得以点 为顶点的三角形与 全等，请直接写出点
的坐标．22．如图，直线 在平面直角坐标系中，且 ，点 在 轴上，将 沿直线
折叠，点 刚好落在 轴上的点 处．
23．(1)请直接写出点 的坐标： （______，______）；
(2)求 的长；
(3)如图，点 是直线 与直线 的交点，求点 的坐标；若在 轴上存在一点 ，使得以
为顶点的三角形是直角三角形，请求出所有满足条件的点 的坐标．
23．如图，已知直线 ： 与过点 的直线 交于点 ，与x轴、y轴分别交于
点C、D，直线 交y轴于点E．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)若点M在直线 上， 轴，交直线 于点N，且 ，求点M的坐标；(3)若点P在直线 上，以P、D、E为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点P的坐标．
24．如图， ，延长 交 于D， ，解决下列问题：
(1) ________， 与 的位置关系是________________
(2)动点 P 从点 O 出发，沿线段 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动，动点Q从点B
出发沿射线 以每秒4个单位长度的速度运动．P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q
两点同时停止运动．设点P的运动时间为1秒， 的面积为S，请用含 的式子表示S，并直
接写出相应的t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，点F是直线 上的一点，且 ，是否存在t值，使以点B，O，P为
顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存
在，请说明理由．参考答案：
1．C
【分析】分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画圆，与x轴的交点即为所求的点M，线段AB的垂直
平分线与坐标轴的交点O也满足使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形．
【详解】如图，x轴上使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形的点M如图所示，共有4个．
故选：C．
【点拨】本题考查一次函数与坐标交点，解题的关键是掌握一次函数与坐标交点的求法.
2．D
【分析】利用一次函数与坐标轴的交点求出△AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得
∠CAD＝∠OBA，分别从∠ACD＝90°或∠ADC＝90°时，即当△ACD≌△BOA时，AD＝AB，或△ACD≌△BAO时，
AD＝OB，分别求得AD的值，即可得出结论．
【详解】解：∵直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，
∴A（1，0），B（0，2）．
∴OA＝1，OB＝2．
∴AB＝ ．
∵AP⊥AB，点C是射线AP上，
∴∠BAC＝90°，即∠OAB＋∠CAD＝90°，
∵∠OAB＋∠OBA＝90°，
∴∠CAD＝∠OBA，
若以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则∠ACD＝90°或∠ADC＝90°，
即△ACD≌△BOA或△ACD≌△BAO．
如图1所示，当△ACD≌△BOA时，∠ACD＝∠AOB＝90°，AD＝AB，∴OD＝AD＋OA＝ ＋1；
如图2所示，当△ACD≌△BAO时，∠ADC＝∠AOB＝90°，AD＝OB＝2，
∴OD＝OA＋AD＝1＋2＝3．
综上所述，OD的长为3或 ＋1．
故选：D．
【点拨】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图
象与性质是解题的关键．
3．A
【分析】变形解析式得到两条直线都经过点 ，即可证出无论 取何值，直线 与 的交点均为定点
；先求出 与 轴的交点和 与 轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出
，求出 ， ，以此类推 ，相加后得到 ．
【详解】解： 直线 ，
直线 经过点 ；
直线 ，直线 经过点 ．
无论 取何值，直线 与 的交点均为定点 ．
直线 与 轴的交点为 ， ，
直线 与 轴的交点为 ， ，
，
；
，
故选：A．
【点拨】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与
轴的交点的纵坐标为0，与 轴的交点的横坐标为0．
4．B
【分析】首先通过一次函数解析式，得到点A和B的坐标，进而即可得出 的长，再过点B作BN
平行于OF，交CF于N，利用AAS证明△CBN≌△ABO，得出BN＝BO＝8，CN＝OA＝6，再证明四边形
OBNF为正方形，得到CN＝OA＝6，BN＝BO＝8，进而得到点C的坐标，进而得到AF的长，然后利用
SAS再证明△CDE≌△ADE，进而得到AE＝CE，所以AE+EF＝CE+EF＝CF，即可算出△AEF的周长．
【详解】解：∵一次函数y＝﹣ x＋8与x轴和y轴分别交于点A和点B，
∴当x＝0，则y＝8，故B(0，8)，
当y＝0，则x＝6，故A(6，0)，∴AO＝6，BO＝8，
过点B作BN平行于OF，交CF于N，
∴∠NBO＝90°，
∴∠ABO+∠ABN＝90°，
∵∠CBN+∠ABN＝90°，
∴∠CBN＝∠ABO，
在△CBN和△ABO中，
∴△CBN≌△ABO（AAS），
∴BN＝BO＝8，CN＝OA＝6，
∵BN OF，∠BOF＝∠CFO＝90°，
∴四边形OBNF为正方形，
∴CN＝OA＝6，BN＝BO＝8，
∴C(8，14)，
∴CF＝14，OF＝8，
∴AF＝8﹣6＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，
∵BD是正方形的对角线，
∴∠CDE＝∠ADE，
在△CDE和△ADE中，
，
∴△CDE≌△ADE（SAS），
∴AE＝CE，
∴AE+EF＝CE+EF＝CF，
∴△AEF周长＝AE+EF+AF＝CF+AF＝14+2＝16．故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，解本题的关键在熟练掌握相关的性
质与判定定理．
5．B
【分析】根据题意，可以求得点A点B和点P的坐标，设出点M的坐标再根据分类讨论的方法结合勾股定
理即可求得点M的坐标．
【详解】解：∵直线l： 交x轴于点A，交y轴于点
∴当 ， ， ，
解得 ， ，
∴点A坐标为 ，
∵点 在直线l上
∴当 ， ，
解得 ，即
设M点坐标为
当 时，此时点P与点M横坐标相同，即 ，
∴ ；
②当 时，此时 ， ， ，根据勾股定理得
，解得， ，
∴ ；
综上所述∴ 或 ；
故选B．
【点拨】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，动点中的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利
用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
6．C
【分析】
利用待定系数法求出直线l的解析式，然后求出点A、P的坐标，再分 和 两种情
况，分别画出图形进行求解即可．
【详解】解：将 代入直线 得： ，
∴直线 ，
令 ，即 ，
解得： ，
则A点坐标为 ，
将 代入 ，得： ，
解得： ，
∴P点坐标为 ，
①如图，当 时，则 轴，
∴ ；
②如图，当 时，过点P作 轴于N，则 ，∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为 或 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法，正确分类讨论是解题的关键．
7．B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，正确理解几何图形与函数图形的关联是解答本题的
关键．根据已知图形中图1与图2的关联信息画出点 的运动路径，再根据 和 求出 ，
， 的长，最后根据勾股定理即可得到答案．
【详解】设点 为点 所在运动路径中的转折点，根据题意画出点 运动的路径图如图所示，
根据图2可知，当 时， ，
即此时 ， ，
，
又由图2知，当 时， ，
此时 ，，
，
，
，
．
故选B．
8．A
【分析】先画出运动中的图形，再结合 的位置与轴对称的性质，逐一分析即可．
【详解】解：当 与 重合时， 在 轴负半轴上，此时 为直角三角形，如图，
当 运动时，如图，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，当 时，则 ，
当 时，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
由等面积法可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由对称性可得： 为等腰三角形；
当 运动到 时，则此时 为直角三角形，
∴ 的变化状态为：
直角三角形 等腰三角形 等腰三角形 直角三角形；
故选A
【点拨】本题考查的是坐标与图形，轴对称的性质，勾股定理的应用，一次函数与坐标轴的交点，等腰三
角形的定义，二次根式的混合运算，清晰的分类讨论是解本题的关键．9．A
【详解】试题分析：根据根据题意得出得出点M的坐标为（ ，2－ ），然后求出直线PM的解析
式，从而得出点N的坐标．
考点：一次函数的性质
10．B
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定，根据题意，可知 ，要使
以 、 、 为顶点的三角形与 全等，则 ，再根据 ，只需再确定一组对边相
等，即可得到两个三角形全等，进行讨论即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 为直线 上不与点 、 重合的一个动点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵要使以 、 、 为顶点的三角形与 全等，则 ，
又∵ ，
∴分两种情况进行讨论，
①当 时，此时 或 ， ，如图所示：
或 ，②当 时，此时 或 ， ，如图所示，
或 ；
综上，共存在 个点 ；
故选B．
11．
【分析】本题考查一次函数解析式的确定及其与坐标轴围成面积的计算方法，由函数解析式确定与x轴的
交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ，然后根据函数图象与坐标轴的面积为4列出方程是解题
的关键．
【详解】解：∵一次函数 经过 、 两点， ，
∴ 随 的增大而减小，
∴ ，
∵在 中，
当 时， ；
当 时， ，
∴ 的图象与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ，
由题意可得： ，解得： （舍去）或 ．
故答案为： ．
12． 或
【分析】
本题考查一次函数与几何的综合应用，先求出 两点的坐标，进而求出 的长，分或 两种情况进行讨论求解即可．利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解
是解题的关键．
【详解】解：当 时， ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ，
∴点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
当以C、D、A为顶点的三角形与 全等时，共有 或 两种情况，
当 时， ，
∴点D的坐标为 ，即 ；
当 时， ，
∴点D的坐标为 ．
综上所述，点D的坐标为 或 ．故答案为： 或 ．
13．
【分析】先求出 、 两点的坐标，根据 是 的中垂线，则点 ，当 时， ，即
点 ，故可得出 的长；设 ，求出 的面积，由 ，得到
，即可求解；
【详解】解：如图，
是 的中垂线，
点 ，
当 时， 即 ，
设解得：
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，涉及到三角形全等、中垂线的性质、勾股定理的运
用，正确作出辅助线是解题的关键．
14． 或
【分析】求出 ， ，分当 平行x轴、 不平行x轴两种情况，求解即可．
【详解】解：∵直线 与y轴交于B两点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
①当 平行x轴时， ，
∴ ，
∴点 ；
②当 不平行x轴时，如下图所示， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 轴，且 ，∴ ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质等，并注意分类
求解，题目难度较大．
15． 、 、
【分析】分类讨论：当 时， ，易得P点坐标为 ；当 时， ，
易得P点坐标为 ；当 时，连接 ，可得 为 的垂直平分线，根据勾股定理得到 的
长，从而得到P点坐标．
【详解】解：当 时， ，
由点C是 的中点，可得P为 的中点，
此时P点坐标为 ；
当 时， ，
由点C是 的中点，可得P为 的中点，
此时P点坐标为 ；
当 时，如图，连接 ，
由点C是 的中点，可得 为 的垂直平分线，
∴ ，
由勾股定理可得， ，
∴ ，∴
此时P点坐标为 ，
综上所述，满足条件的P点坐标为 、 、 ．
故答案为: 、 、 ．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，掌握勾股定理是解题
的关键．
16． 2 ，2或 ．
【分析】利用待定系数法将点 代入 的解析式中即可求解m的值，根据 为正比例函数图象且过点 得
出具体解析式，再由 的解析式得其恒过点 ，后根据 图象移动变化可知当与 ， 平行或经过点
时符合题意，最后得出结论．
【详解】解：把点 代入 得，
，
，
如图，由题意得，
的解析式为 ， 与 相交于点 ， 为正比例函数图象，
设 的解析式为 ．，解得 ．
的解析式为 ．
的解析式为 ，当 时， ，
恒过点 ．
、 、 不能围成三角形，
当 与 平行时， 、 、 不能围成三角形， ；
当 与 平行时， 、 、 不能围成三角形， ；
当 经过点 时， 、 、 不能围成三角形， ．
当 ，2或 时， 、 、 不能围成三角形．
故答案为：2； ，2或 ．
【点拨】本题考查一次函数的图象与性质的理解与综合应用能力．主要涉及一次函数图象上点的坐标特征，
即经过函数的某点一定在函数的图象上；两直线平行，k值相等．恰当利用待定系数法求出一次函数与坐
标轴的交点坐标，巧用“图象信息”进行分析是解本题的关键．
17．（5+ ，0）或（5- ，0）或（-3，0）或（ ，0）
【分析】将点B(5，0)代入一次函数的解析式中即可求出b的值．解方程组求得点A的坐标．分三种情况讨
论，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】解：将点B(5，0)代入y=- x+b得：b= ，
∴一次函数的解析式为 ，
解方程组 得： ，
∴点A的坐标为(1，2)，∴AB= ，
当AB=BP= 时，则点P（5+ ，0）或（5- ，0）；
当AB=AP时，如图，过点A作AE⊥BO于E，则点E（1，0），
∵AB=AP，AE⊥BO，
∴PE=BE=5-1=4，
∴点P（-3，0）；
当PA=PB时，设点P（m，0），
则 ，
解得：m= ，
∴点P（ ，0），
综上所述：点P坐标为（5+ ，0）或（5- ，0）或（-3，0）或（ ，0）．
故答案为：（5+ ，0）或（5- ，0）或（-3，0）或（ ，0）．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质等知
识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
18． m=4或m=12 P (12,6)，P (4,12)，P (36,-12)
1 2 3
【分析】（1）利用待定系数法先求出直线AB的解析式，过C点作CM∥x轴交AB于点M，可求出M的坐
标，从而得出|CM|的长，根据S =S +S =30，可求得m的值；
ABC AMC BMC
△ △ △
（2）进行分类讨论：①当点P在线段AB上时，（ⅰ）若点P在B，Q之间，可得当OQ=OD=12，且
∠POQ=∠POD时， OPQ≌△OPD，根据 AOB的面积即可求出P的值；（ⅱ）若点P在A，Q之间，当
△ △PQ=OD=12，且∠OPQ=∠POD时， POQ≌△OPD，可得BP∶AB=20∶25=4∶5，所以S = S ，根据面积公式
POB AOB
△ △
△
即可求出P的坐标；②当点P在AB的延长线上时，（ⅰ）若点Q在B，P之间，且PQ=OD，∠OPQ=∠POD
时，△POQ≌△OPD，作OM⊥AB于点M，PN⊥OB于点N，可得P的纵坐标，将P的纵坐标代入解析式即可
得出P的坐标；（ⅱ）若点Q在BP的延长线上，或BP的反向延长线上，都不存在满足条件的P，Q两点．
【详解】解：（1）过C点作CM∥x轴交AB于点M，
设直线AB的表达式为y=kx+b，
把点 ， 代入，得
，
解得 ，
∴直线AB的表达式为 ，
∵点C的坐标为(m,9)，
∴点M的纵坐标为9，
当y=9时， ，解得x=8，
∴M(8,9)，
∴CM=|m-8|，
∴S =S +S = = = ，
ABC AMC BMC
△ △ △
∵S =30，
ABC
△∴ =30，
解得m=4或m=12．
（2）①当点P在线段AB上时，
（ⅰ）若点P在B，Q之间，
当OQ=OD=12，且∠POQ=∠POD时， OPQ≌△OPD，
∵OA=15，OB=20， △
∴AB=25，
设 AOB中AB边上的高为h，
则△AB h=OA OB，
∴h=12，
∴OQ⊥AB，
∴PD⊥OB，
∴点P的横坐标为12，
当x=12时， ，
∴P (12,6)；
1
（ⅱ）若点P在A，Q之间，当PQ=OD=12，且∠OPQ=∠POD时， POQ≌△OPD，
则BP=OB=20， △
∴BP∶AB=20∶25=4∶5，
∴S = S ，
POB AOB
△ △
作PH⊥OB于H，则S = OB PH，
POB
△
∴ OB PH= × OB OA，
∴PH= OA= ×15=12，
当y=12时， ，
解得x=4，
∴P (4,12)；
2
②当点P在AB的延长线上时，
（ⅰ）若点Q在B，P之间，且PQ=OD，∠OPQ=∠POD时，△POQ≌△OPD，
作OM⊥AB于点M，PN⊥OB于点N，
则PN=OM=12，
∴点P的纵坐标为-12，
当y=-12时， ，
解得x=36，
∴P (36,-12)；
3
（ⅱ）若点Q在BP的延长线上，或BP的反向延长线上，都不存在满足条件的P，Q两点．
综上所述，满足条件的点P为P (12,6)，P (4,12)，P (36,-12)．
1 2 3【点拨】本题考查了求一次函数解析式，一次函数实际应用，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关
键是要进行分类讨论，不要遗漏每一种情况．
19．(1)
(2)
(3) 或 或 或 或
【分析】本题考查了一次函数的应用，等腰三角形的分类标准，勾股定理，熟练掌握两点间距离公式是解
题的关键．
（1）根据题意， ，当 时， ，直线 与坐标轴交于 两点，
得到 ，继而得解．
（2）根据题意， ，得到 ， ， ，利用
得到方程 ，再解方程即可即可．
（3）根据点 为线段 中点，得到 ，再由 得到
， ，
，再分当 时，当 时，当 时三种情况列
方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意， ，当 时， ，
∵直线 与坐标轴交于 两点，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）根据题意， ，
∵直线 与坐标轴交于 两点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵线段 ， ，
∴ ，即 ；
解得 ，
∴
（3）∵ ，点 为线段 中点，
∴ ，
由（2）得： ，
∴ ，
，当 时，则 ，
故 ，
整理得 ，
解得 (舍去)；
当 时，则 ，
故 ，
整理得 ，
解得 ；
当 时，则 ，
故 ，
整理得 ，
解得 ；
综上所述： 或 或 或 或 ．
20．(1)① ；②
(2)
【分析】（1）①利用非负数的意义列出关于 ， 的方程组，解方程组即可得出结论；②利用待定系数法
求得直线 的解析式，再令 ，即可求得结论；
（2）延长 ，交 轴于点 ，利用（1）②中的方法求得点 的坐标，进而得到线段 的长度，利用
，列出关于 ， 的方程，将已知条件 代入解答即可得出结论．【详解】（1）解：① ， ， ，
，解得： ，
， ；
②设直线 的解析式为 ，
，解得： ，
直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
；
（2）解：过点 作 轴的平行线交 于点 ，交 轴于点 ，如图所示：
轴，
设直线 的解析式为 ，将 代入可得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
，
，
，
，，且 ，
，即 ，
，
，
，解得 ，
．
【点拨】本题主要考查了非负数的应用，点的坐标，待定系数法，三角形的面积等知识，利用点的坐标表
示出相应线段的长度是解题的关键．
21．(1) ， ，
(2) 或
(3) 或 或
【分析】（1）根据 ，求出 的坐标，进而求出 点坐标，待定系数法求出直线 的函数表
达式即可；
（2）分点 在 点的下方和上方，两种情况，进行讨论求解即可；
（3）分 和 ，两种情况进行讨论求解即可；
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
把 代入 ，得： ，解得： ，∴ ；
（2）∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点 为直线 上一动点， 的面积为6，
∴当 与 点重合时，满足题意；
当点 在点 上方时，设 ，
由题意，得： ，
解得： ，
∴ ，
综上： 或 ；
（3）当 时，则： ， ，
∴当 与点 重合时，满足题意，此时： ，
由对称性可知，当点 与点 关于 轴对称时，即： 时，满足题意；
当 时：则： ， ，
过点 作 轴，过点 作 轴，
则： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ 与原点重合，
∴ ，
综上： 或 或 ．
【点拨】本题考查一次函数的综合应用，涉及到一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，
三角形的面积问题，以及全等三角形的判定和性质，掌握数形结合和分类讨论的思想，是解题的关键．
22．(1) ，0
(2)
(3) 和
【分析】本题考查了一次函数与特殊三角形的综合，全等三角形的判定和性质，折叠问题，直角三角形的
存在性问题，联立确定交点坐标和以直角分类是解题的关键
（1）先利用勾股定理求出 的长，再根折叠的性质求出 ，即可得出结论；
（2）设 ，利用勾股定理建立方程求解即可；
（3）先用待定系数法求出 和 的解析式，联立解析式求出交点 的坐标，判断出 ，再分
两种情况讨论计算即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∵直线 沿 折叠，点B恰好落在x轴上的点C处，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ，0；
（2）解：由(1)知， ，
设 ，则 ，
在 中, ，
∴ ，
解得： ，即： ；
（3）解：由(2)知， ，
∴ ，
∴设直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ①，
同理：直线 的解析式为 ②，
联立①②解得 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵以 为顶点的三角形是直角三角形，
∴①当 时， 轴，∴ ；
②当 时，由折叠知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点Q和点A重合，
∴ ，
综合可得，满足条件的点Q坐标为 和 .
23．(1)
(2) 或
(3) 或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，相等垂直平分线的判定，等腰直角三角形的性质与判定：
（1）先求出点B的坐标，进而利用待定系数法求解即可；
（2）先求出 ，进而得到 ，设 ，则 ，即可得到 ，
进而得到 ，解方程即可得到答案；
（3）分当 时， 当 时， 当 时，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：在 中，当 时， ，
∴ ，
设直线 的函数表达式为 ，∴ ，
∴ ，
∴直线 的函数表达式为 ；
（2）解：在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴点M的坐标为 或 ；
（3）解：在 中，当 时， ，
在 中，当 时， ，
∴ ， ，
当 时，则 轴，
∴点P的纵坐标为4，此时点P与点D重合，不符合题意；
当 时，则 轴，
∴点P的纵坐标为8，在 中，当 时， ，
∴此时点P的坐标为 ；
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴点P在线段 的垂直平分线上，
∴点P的纵坐标为6，
同理可得此时点P的坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 ．
24．(1)2；
(2)
(3)存在， 或
【分析】（1）由 推导出 ，利用 ，得到 ；然后利用角的关
系得到 ， ， ，推导出 ， ；
（2）分两种情形讨论求解即可①当点 在线段 上时， ，②当点 在射线 上时，
，由三角形的面积公式可得出答案；
（3）分两种情形求解即可，①如图2中，当 时， ．②如图3中，当 时，
．
【详解】（1）解： ，
，
又 ，，
，
，
， ，
，
，
（2）解： ， ，
， ，
由题意 ， ，
①当点 在线段 上时， ，
．
②当点 在射线 上时， ，
．
综合以上可得 ；
（3）解：存在．理由如下：
①如图2中，当 时，
， ，
．
，，
解得 ；
②如图3中，当 时，
， ，
．
，
，
解得 ．
综上所述， 或 时， 与 全等．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积，列函数解析式等知识，
解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
