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专题19.26 一次函数（全章分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（22-23九年级上·北京西城·开学考试）点 在第一象限内，且 ，点 的坐标为 ．
设 的面积为S，则下列图象中，能正确反映S与x之间的函数关系式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九年级·全国·竞赛）与直线 关于原点对称的直线是（ ）．
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）同一平面直角坐标系中，一次函数 与
（ 为常数）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八年级·全国·竞赛）七个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线 将这
七个正方形分成面积相等的两部分，则 的值为（ ）
A． B． C． D．15．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）将 的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，再沿x轴翻折
所得函数图象的对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西·二模）已知一次函数 ，当 时，函数值 的取值范围是 ，则
的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
7．（23-24七年级上·山东泰安·期末）一次函数 的图像过点 ， ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）定义符号 ，其意义为：当 时， ；当
时， ．例如： ，若关于 的函数 ，则该函数的最
大值为（ ）
A．0.5 B．2 C．3 D．5
9．（23-24八年级下·全国·随堂练习）如图，M为一次函数 （k、b是常数， ）图象上一
点，过点M作直线 轴，已知直线l与x轴的距离为2，则关于x的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24八年级下·全国·随堂练习）已知关于x的分式方程 无解，且一次函数 的图象不经过第二象限，则符合条件的所有m的值之和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24八年级上·山西运城·期末）若一次函数 的图象过点 ，则 ．
12．（2013·山东潍坊·中考真题）一次函数 中，当 时， ＜1；当 时， ＞0则
的取值范围是
13．（2024·浙江温州·一模）如图，直线 过点 ，且与直线 交于点 ，则
不等式组 的解集是 ．
14．（2015·辽宁沈阳·中考真题）如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现
在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间x（s）
之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要 s能把小水杯注满.
15．（2024八年级·全国·竞赛）如图是函数 的图象，则点 的坐标是 ．16．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，已知直线 与直线 的交点的横坐
标为 ，则不等式 的解集为 ．
17．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，直线 与x轴，y轴分别交于A和B，点C、
D分别为线段 的中点，P为 上一动点，当 的值最小时，点P的坐标为 ．
18．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别
是 ， ， ， ， 和 ．若直线l： 将多边形OABCDE分
割成面积相等的两部分、则 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024七年级下·全国·专题练习）小明从家骑自行车去C处，先走上坡路到达A处，再
走平路到达B处，最后走下坡路到达C处．小明的行程情况（图1）和时间分配情况（图2）如图．
（1）平路每分钟比上坡每分钟多行几米？
（2）小明骑自行车下坡用时多少分钟？
20．（8分）（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）如图，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于
点 ，直线 的解析式为 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）求直线 被直线 和y轴所截线段的长．21．（10分）（23-24八年级下·上海闵行·期中）已知一次函数 的图像与 轴、 轴分
别相交于 、 两点，点 、 分别在线段 、 上， ．
（1）求 、 两点的坐标；
（2）求 的度数；
（3）如果 的面积是 面积的 ，求点 的坐标．
22．（10分）（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）鲜花是云南的名片，更是云南送给世界的礼物．
在日新月异的技术加持下，云南鲜花为各地带去了来自高原的芬芳与绚烂．元旦前夕，某批发商购进
两种类型的玫瑰花共100束，其中 种类型的玫瑰花价格为每束25元，购买 种类型的玫瑰花所需费用
（单位：元）与购买数量 （单位：束）的函数关系图象如图所示．（1）求 与 的函数关系式；
（2）若购买 种类型玫瑰花所需的数量不超过60束，但不少于 种类型玫瑰花的数量，试问如何购
买能使购买费用最少，并求出最少费用．
23．（10分）（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 ：
分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线 ： 交于点A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）直接写出关于x的不等式 的解集；
（3）若D是直线 上的点，且 的面积为12，求点D的坐标．
24．（12分）（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线 的图像与 轴、 轴分别交于 ，
两点，且 ．（1）求 点坐标和 值．
【问题探究】
（2）点 在直线 的图像上，当点 的横坐标是 时，求 的面积；
【问题发现】
（3）若点 是直线 图像上在第二象限内的一个动点，求 的面积 与 的函数关系
式；
【问题拓展】
（4）①问题（3）中当 点运动到某位置时， 的面积为 ，求此时 点坐标；
②在①成立的情况下， 轴上是否存在一点 ，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条
件的所有 点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：1．C
【分析】
根据点 在第一象限内，且 ，点 的坐标为 ，从而可以得到 关于 的函数关系式，
从而可以解答本题．
解：
解： 点 在第一象限内，且 ，点 的坐标为 ，
， ，可排除B、D选项，
，可排除A选项．
故选：C．
【点拨】本题考查函数图象、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系，利
用数形结合的思想解答．
2．B
【分析】本题考查了一次函数的几何变换和关于原点对称的特征，设直线 与 ， 轴的交点
为 ， ，求出 ， 坐标，然后求出关于原点对称的点 ， ，最后利用待定系数法求解即
可，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质和两点关于坐标原点对称的特征．
解：设直线 与 ， 轴的交点为 ， ，
由直线 中，当 时， ，当 时， ，
∴ 与 ， 轴的交点坐标 ， ，
∴ ， 关于原点对称的点是 ， ，
设 解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴原点对称的直线是 ，
故选： ．
3．C
【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，利用一次函数的性质进行判断．
解：若 ，则一次函数 与 都经过第一、二、三象限，没有符合条件的选项；
若 ，则一次函数 与 都经过第一、三、四象限，没有符合条件的选项；
若 ，则一次函数 经过第一、二、三象限， 经过第二、三、四象限，
没有符合条件的选项；
若 ，则一次函数 经过第一、三、四象限， 经过第一、二、四象限，C
选项符合条件；
故选：C．
4．A
【分析】本题考查求一次函数解析式，把图形补全得到一个边长为3的正方形，写出点A和点B的坐
标，根据梯形面积是 列出关于k的方程．解方程即可得到k的值．数形结合是解题的关键．
解：如图，把图形补全得到一个边长为3的正方形，直线 将这个正方形分成面积相等的两部分，
每部分的面积为 ，则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
根据直线下方梯形的面积得到 ，
解得 ，
故选：A
5．A
【分析】本题考查了一次函数的平移和翻折，根据平移规律“上加下减”得到 平移后的解析式，
再设平移后新函数的图象上一点P的坐标为 ，沿 轴翻折后的坐标为 ，再将 代入平移
后新函数解析式即可求解．
解： 的图象沿y轴向上平移2个单位长度，平移后解析式为 ，
设 的图象上一点P的坐标为 ，则沿 轴翻折后的坐标为 ，
沿 轴翻折后为 ，整理得 ，
故选：A．
6．B
【分析】
本题考查了一次函数的图象与性质，由一次函数的性质，分 和 时两种情况讨论求解，解题
的关键是分两种情况来讨论．
解：
解：当 时， 随 的增大而增大，即一次函数为增函数，
∴当 时， 当 时，
代入一次函数解析式 得：
，
解得： ，
当 时， 随 的增大而减小，即一次函数为减函数，
∴当 时， 当 时，
代入一次函数解析式 得：
，
解得： ，
故选：B．7．A
【分析】根据一次函数的增减性求解即可．
本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数 （k为常数， ），当 时，y随x
的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小．
解： ，
∴y随x增大而减小，
，
，
即 ，
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了新定义、一次函数的图象及性质．
根据定义分情况列出不等式：①当 时， ；②当
时， ，再根据一次函数的性质可得出结果．
解：①当 ，即 时， ，
∵ ，y随x的增大而减小，
∴当 ，y有最大值，为 ；
②当 ，即 时， ，
∵ ，y随x的增大而增大，
∴当 ， ．
综上所述， ，即y的最大值为3．
故选：C
9．A
【分析】
本题考查根据两条直线的交点情况，求不等式的解集，利用图象得到的坐标，根据坐标得到不等式
的解集，即可解题．
解： 过点M作直线 轴，且直线l与x轴的距离为2，点M的纵坐标为2，
由图知，点M的横坐标为 ，
，
关于x的不等式 的解集为： ；
故选：A．
10．C
【分析】
题目主要考查解分式方程及一次函数的性质，根据题意得出 或 或 ，确定 或
或 ，再由一次函数的性质得出 ，即可求解，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
解：
解：分式方程两边同时乘 ，得 ，
整理，得 ．
∵此分式方程无解，
∴ 或 或 ，
∴ 或 或 ．
∵一次函数 的图象不经过第二象限，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴满足条件的m的值之和是 ．
故选C．
11．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特点，代数式求值，将 代入一次函数 ，可得，然后代入代数式计算即可．
解： 一次函数 的图象过点 ，
，
，
故答案为： ．
12． ．
解：根据题意，得 ．
13．
【分析】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元一次不等式组，求出 解析式是解题关键．将
和点 代入 ，求出 、 的值，进而得到 ，再将不等式组变形求解即
可．
解： 直线 过点 和点 ，
，解得： ，
，
不等式组 可化为 ，
解得： ，
故答案为： ．
14．5
解：试题分析：首先设一次函数的解析式为y=kx+b，将（0,1）和（2,5）代入可得：函数解析式为：
y=2x+1，根据题意可得：小杯注满时y=11，则2x+1=11，解得：x=5.考点：一次函数的应用
15．
【分析】本题考查分段函数图象，一次函数的性质．由图象获取到点 是函数增减性的转折点是解题
的关键．
根据点 是函数增减性的转折点，则点 的横坐标是4，把 代入函数解析式计算即可求解．
解：由图象可知：点 是函数增减性的转折点，
点 的横坐标是4，
当 时，则
∴ ．
故答案为： ．
16．
【分析】本题主要考查直线与不等式，先求出两直线的交点为 ，代入 ，求出 ，及直线
与 的交点坐标，结合函数图象可得结论．
解：∵直线 与直线 的交点的横坐标为 ，
∴ ，
∴直线 与直线 的交点坐标为 ，
∴
解得， ，
∴
当 时， ，
∴ 与 轴的交点坐标为∴ 的解集为 ，
故答案为：
17．
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径
问题，根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质
找出点 的坐标，结合点C、 的坐标求出直线 的解析式，令 即可求出x的值，从而得出点P的
坐标．
解：作点D关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，此时 值最小，最小值为 ，如
图．
令 中 ，则 ，
∴点B的坐标为 ；
令 中 ，则 ，解得： ，
∴点A的坐标为 ．
∵点C、D分别为线段 的中点，
∴点 ，点 ．
∵点 和点D关于x轴对称，
∴点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，
∵直线 过点 ，∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
令 ，则 ，解得： ，
∴点P的坐标为 ．
故答案为： ．
18．
【分析】本题考查了平面直角坐标系内根据点的坐标求面积，一次函数图象上点的坐标特征，解决问
题的关键是面积公式．设直线l： 将多边形 的边交于点 两点，根据一次函数关
系式求出点 的坐标，得 ，求出 ，根据直线l：
将多边形 分割成面积相等的两部分，得关于a的方程，即可求解．
解：设直线l： 将多边形 的边交于点 两点，
当 时， ，
∴
当 时，
∴ ，∴ ，
∵直线l： 将多边形 分割成面积相等的两部分，
∴
∴ ，
解得 ．
故答案为：
19．（1）50米；（2）5分钟
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系．从函数图象和统计图中有效的获取信息是解题的
关键．
（1）根据图象求出平路和上坡的速度，即可；
（2）根据上坡所用时间占到 ，求出总时间，再乘以下坡所占的百分比即可．
解：（1）平路的速度为： （米/分），
上坡的速度为 （米/分），
（米），
答：平路每分钟比上坡每分钟多行50米；
（2） （分钟），
答：小明骑自行车下坡用时5分钟．
20．（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与一次函数的交点以及勾股定理．
（1）用待定系数法求一次函数解析式即可．
（2）先求出两条之间的交点C，过点C作 轴于点D，求得 和 ，利用勾股定理求出
即可．
（1）解：由题意，设 为 ，
再将A、B两点代入得∶，
解得： ，
∴直线 的解析式为：
（2）设直线 和直线 的交点为C，
联立两方程： ，
解得： ，
∴ ，
过点C作 轴于点D，如图，
则 ， ， ，
在 中， ，
故直线 被直线 和y轴所截线段的长为 ．
21．（1） ， ；（2） ；（3）【分析】
（1）将 ， 分别代入 ，即可求解，
（2）计算 的边长，求出 ，由 ，根据等边对等角，三角形外角定理，即可
求解，
（3）作 ，设 ，由“ 的面积是 面积的 ”列出等量关系式，求出 的
长度，即可求解，
本题考查了，一次函数图像上的点，含 角的直角三角形，勾股定理，三角形外角定理，解题的关
键是：根据题意列出等量关系．
解：（1）
解：当 时， ，解得： ，
∴点 ，
当 时， ，解得： ，
∴点 ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）
解：过点 作 ，垂足为点 ，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，整理得： ，解得： ， ，
∵ 、 分别在线段 、 上，
∴ ，即： ，解得： ，
∴ ，
.∴点 ．
22．（1） ；（2）购买 种类型的玫瑰花40束，购买 种类型的玫瑰花60束时，
购买费用最少，最少费用为 元
【分析】
此题考查了一次函数的应用，根据图象求出函数关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法分别求出当 和 时的函数关系式即可；
（2）设购买 种类型玫瑰花的数量为 束，则A种类型的玫瑰花的数量为 束，总费用为
元，先求出 ．再求出 ．根据一次函数的性质得到当 时， 有最小值为
元．即可得到答案．（1）解：由图知：当 时，设函数关系式为 ，把点 代入得到，
，
解得 ，
∴ ．
当 时，设 与 的函数关系式为 ．
它的图象经过点 与点 ．
，
解这个方程组，得 ，
∴ ，
与 的函数关系式为 ．
（2）设购买 种类型玫瑰花的数量为 束，则A种类型的玫瑰花的数量为 束，总费用为
元．
由题知： 且 ，解得 ．
．
，
随 的增大而减小．
，
当 时， 有最小值为 元．
此时，A种类型的玫瑰花： （束）．
答：购买 种类型的玫瑰花40束，购买 种类型的玫瑰花60束时，购买费用最少，最少费用为
元．
23．（1） ， ， ；（2） ；（3） 或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数与不等式之间的关系，求一次函数与坐标轴的交点坐
标，求两直线的交点坐标等等：
（1）令直线 中 求得C点对应的坐标；令直线 中 得B点对应的坐标；联立两条直线即可
解得点A的坐标；
（2）找到直线 的图象在直线 的图象上方时自变量的取值范围即可；
（3）利用直线 的关系设点D的横纵坐标，结合 的面积即可求得坐标；
（1）解：解方程组 得 ，
∴点A的坐标为 ，
对于 ，当 时得 ；
当 时， ，
∴点B、C的坐标分别为 ， ．
（2）解：∵不等式 的解集对应到图象上为直线 图象在直线 图象上方时自变量的取
值范围，
∴由函数图象可知，不等式 的解集为 ．
（3）
解：设点D的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的面积为12，
∴ ，解得 ，
∴点D的坐标为 或 ．
24．（1） 点坐标为 ， ；（2） 的面积为 ；（3） ；（4）① 点
坐标为 时， 的面积为 ；②存在一点 ，使 是等腰三角形，满足条件的所有 点坐标为
或 或 或 ，理由见分析
【分析】本题考查了一次函数的应用，涉及三角形的面积，等腰三角形的性质，解题的关键是分类讨
论．
（1）由 与 轴相交于点 ，可得 ，根据 ，求出 ，即可求出 点坐标，
将 点坐标代入 ，即可求出 值；
（2）求出 ，根据 即可求解；
（3）由 即可求解；
（4）①当 时， ，求出 ，再将 代入 中即可求解；②设 ，
则 ， ， ，当 时， ；当 时，
；当 时， ；分别解方程即可求解．
解：（1） 与 轴相交于点 ，
，
，
，
点坐标为 ，
把 点坐标 代入 ，得， ；
（2）由（1）知 ，
把 代入 得 ，
，
；
（3） ，
；
（4）①当 时， ，
解得 ，则 ，
点坐标为 时， 的面积为 ；
②存在一点 ，使 是等腰三角形，理由如下：
设 ，
， ， ，
当 时， ，
解得： ，
；
当 时， ，
解得： （不合题意，舍去）或 ，
；
当 时， ，解得： 或 ，
或 ；
综上所述，点坐标为或或或．
