文档内容
专题 00 高考选填题解题技巧全攻略
方法一 直接法…………………………………………………………………………1
方法二 排除法…………………………………………………………………………4
方法三 特例法…………………………………………………………………………7
方法四 构造法…………………………………………………………………………9
方法五 数形结合法……………………………………………………………………12
方法六 建系法…………………………………………………………………………16
多选题方法攻略…………………………………………………………………………21
选填题高考通关…………………………………………………………………………30
方法一 直接法
直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公
理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题
目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改
编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．
由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以常用到直接法进行求解.直接法是解决选择、填空
题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简化运
算过程，快速准确得到结果.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·北京·阶段练习）设等比数列 的各项均为正数， 为其前 项和，若
，则 （ ）
A．6 B．8 C．12 D．14
【答案】D
【分析】结合等比数列的性质可计算出公比 ，由等比数列前项和的定义即可求得 .
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，
又因为 ，则 ，所以
又等比数列 的各项均为正数，故 ，
则 .
故选：D.
2．（24-25高三上·河北沧州·期中）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用 值来表示溶液的酸碱度． 的计算公式为 ，其中 表示溶液中氢离子的浓度，
单位是摩尔/升．已知A溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升，则A溶液的 值约为（参考数据：
， ）
A．0.268 B．0.87 C．1.13 D．1.87
【答案】B
【分析】由 的计算公式及对数的基本运算求解即可.
【详解】解：由题意得
.
.
故选：B
3．（2024高三·全国·专题练习）每年的5月25日是全国大中学生心理健康日．某高校计划在这一天开展
有关心理健康的宣传活动，现计划将6位老师平均分成三组分别到三个不同的班级进行宣讲，则不同的排
法总数为（ ）
A．540 B．120 C．90 D．60
【答案】C
【分析】先将6位老师平均分成三组，再将三组分配即可.
【详解】将6位老师平均分成三组，共有 种可能，
三组老师分别到三个不同的班级进行宣讲，每个班级都有老师宣讲，
则有 种排法．
故选：C.
4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数 在 有且仅有2个极小值点，
且在 上单调递增，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】 ，求出 的范围，对应极小值点时，区间的右端点在 上， 对应单调
递增，包含在区间 上，分别得出 的范围后取交集可得．
【详解】 时， ，
在 有且仅有2个极小值点，则 ， ，
，则 ，又 在 上单调递增，
则 ， ，
所以 ，
故选：D．
二、填空题
5．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知向量 的夹角为 ，则
.
【答案】
【分析】利用向量的数量积的定义，求得 ，再根据 ，即可求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
6．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知抛物线 ，经过抛物线上一点 的切线截圆 ：
的弦长为 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】由题意可得： ，设切线方程 ，结合相切可得 ，根据垂径定理结合弦长
关系列式求解即可.【详解】因为抛物线y2=2px(p>0)过点 ，则 ，得到 ，所以 ，
显然切线斜率不为0，设切线方程为 ，
联立方程 ，消去x得 ，
则 ，整理得到 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即 ，
又因为圆 的圆心 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
由题意可得 ，整理得到 ，解得 或 （舍）.
故答案为：1.
方法二 排除法
排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的
选项，找到符合题意的正确结论．也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐
一剔除，从而获得正确的结论．具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除，比
如，可以把一些简单的数代入，符合条件的话就排除不含这个数的范围选项，不符合条件的话就排除含这
个数的范围选项，即：如果有两个选项A（ ）、B（ ），你就可以选取1这个数看是否符合题
意，如果1符合题意，你就排除B，如果1不符合题意，你就排除A，这样就能快速找到正确选项，当
然，选取数据时要考虑选项的特征，而不能选取所有选项都含有或都不含有的数；也可以根据各个选项对
熟悉的知识点进行论证再排除，比如，四个选项当中有四个知识点，你就可以把熟悉掌握的知识点进行论
证，看是否符合题意即可快速而且正确找到选项，而不会因为某个知识点不会或模棱两可得到错误选项.
而历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的，所以排除法是快速解
决部分高考选择试题从而节省时间的有效方法.那对于填空题呢，其实也是可以的，比如有些填空题如果你
已经求出了结果，但并不确定这个结果中的某个端点值是否要取，你就可以代入验证进行排除.所以，我们
要熟练掌握这种能帮助你快速找到正确结论的方法，从而提高解题效率，为后面的试题解答留有更充足的时间！
【典例训练】
1．下面四个命题：
：命题“ ”的否定是“ ”；
:向量 ，则 是 的充分且必要条件；
：已知双曲线 的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为 ；
：在等比数列 中，若 ， ，则 .
其中为真命题的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】方法一：
对于 ：命题“ ”的否定是“ ”，所以 是假命题，排除A，D；
对于 ：双曲线 的一条渐近线经过点 ，则有 ，则离心率
，所以 是真命题，排除C，故选B．
2．已知 为数列 的前 项和，且 ，则数列 的通项公式为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
当 时， ；（解题时，到这一步就可以进行排除，得出正确选项，因为 ，A、
C、D中的 均不为3，故可排除，选B.）
当 时， .
所以数列 的通项公式为 .故选B．3．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合函数的定义域，零点， 时函数值的符号，对各个选项进行分析判断，即可求解.
【详解】由 知， ，所以选项C不合题意；
又 时， ，所以 ，故选项B不合题意，
因为 时， ，根据指数函数的单调性可知， ，
又 弧度是第二象限角，故 ，于是 时， ，所以选项D不合题意，
故选：A.
4．若不等式 对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当 时，不等式为 ，恒成立，符合题意，排除A、B；
当 时，不等式为 ，不恒成立，不符合题意，排除D，故选C．
5．（2024高三·全国·专题练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，利用导数求得函数单调性，得到 ，得出 ，进而求得
，再利用作商法，将 的商的结果与1进行比较，从而可求得 ，得到 ，即可求解.【详解】由题意，得 ， ．
令 ， ，则 ，
所以 在(0,+∞)上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，则 ，故排除A，B．
因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
故选：D．
方法三 特例法
特例法也就是我们常说的特殊值验证法，有时也用特殊数值、特殊图形、特殊位置代替题设中普遍条
件，得出特殊结论，再对各选项进行检验，从而做出正确的选择．特别是对于一些比较棘手的高考选择题
或填空题，若能注意到其特殊情况，从特殊性入手，也许就可以简捷快速地解决问题.
常用的特例有特殊数值、特殊点、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例法是
解答选择题的最佳方法之一，具体是通过特例的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取值的
特殊情况，从而我们选取适当的特值帮助我们得到正确的结论.比如，某个数列，可以考虑等差数列或等比
数列的情形；某个三角形，可以考虑直角三角形或等边三角形；椭圆上某点，可以考虑长轴或短轴的端点
等，但考虑的前提是一定要满足这种情况适合题中所有条件.
近年来高考选择、填空题中可用或结合用特例法解答的试题能占到30%左右，所以要想快速准确地赢
得时间获取高分，一定要学会、会用并且灵活使用特例法！
【典例训练】
1．若 为偶函数，则 （ ）．
A. B. 0 C. D. 1
【答案】B
【详解】 为偶函数，则 ，得
2．已知曲线C： （ ），从C上任意一点P向x轴作垂线段 ， 为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
x2 y2 x2 y2
A. 1（ ） B. 1（ ）
16 4 y 0 16 8 y 0
y2 x2 y2 x2
C. 1（ ） D. 1（ ）
16 4 y 0 16 8 y 0
【答案】A
【详解】曲线C上取一点（0，4），向x轴作垂线段，中点坐标为（0，2），代入ABCD知，只有A符合
3．（2024·河南·模拟预测）若 ，则使 成立的一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用特殊值法代入可知A、B、D均错误，再利用基本不等式计算可得C正确.
【详解】对于A，易知当 时满足 ，但此时 不成立，可知A错误；
对于B，当 ，可知 成立，但 不成立，可知B错误；
对于C，由 可得 ，即可得 ，即充分性成立；
当 时，满足 ，但此时 不成立，即必要性不成立，可得C正确；
对于D，当 时，易知 成立，此时 不成立，可得D错误.
故选：C
4．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）下列函数，满足“对于定义域内任意两个实数 ， ，
都有 ”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用赋值法可判断ABD，令 ，利用导数可得 ，可判断
C.
【详解】对于A，令 ， ，则 ， ，不满足条件，故A错误；
对于B，令 ，则 ， ，不满足条件，故B错误；对于C，因为
，求导得 ，当 时， ，函数 在 单调递增，
当 时， ，函数 在 单调递减，
所以 ，即 ，所以
即 ，所以 ，满足条件, 故C正确；
对于D，令 ， ，则 ，不满足条件，故D错误.
故选：C.
6．（24-25高三上·四川·期中）已知 、 是函数 图象上不同的两点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设 ，利用对数的运算、对数函数的单调性以及基本不等式，特殊值法逐项判断即可.
【详解】由题意不妨设 ，因为 是增函数，所以 ，即 ．
，
则 ，即 ，A正确，B错误；
取 ， ，则 ， ， ，C错误．
取 ， ，则 ， ， ，D错误．
故选：A.
方法四 构造法
构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把
问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·广东·二模）函数 的定义域为 ，若 ，则 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】构造函数 ，解不等式即可得出答案.
【详解】构造函数 ，满足 ， ，
则由 可得 ，解得： .
故选：B.
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 .对于
任意的实数 ，均有 成立，若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，然后由已知可得 的单调性，最后将不等式转化为
，即可得到答案.
【详解】 ，令 ，
则 ，则 在 上单调递增.
由 ， 为奇函数，得 ，则 ，
从而原不等式 可化为 ，即 ，此即为 .
由于 在 上单调递增，故这等价于 ，所以不等式的解集为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件.
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知a， ，若 ， ，则b的可能值为（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6
【答案】B
【分析】构造函数 ，求导确定其单调性，结合 可得答案.
【详解】由 得 ，设 ，则 ，
又 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减．因为 ，所以 ．
结合选项可知B正确，ACD错误.
故选：B.
4．（2023·河北·三模）已知函数 在区间 上恰有2个零点，则实数a的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，令 ，转化为 在区间 上恰有2个实根，进而转化为
即 在区间 上恰有2个实根，得到 与 的图象在区间 上恰有2个交
点，利用导数求得函数ℎ(x)的单调区间和极值，进而得到答案.
【详解】由函数 在区间 上恰有2个零点，
令 ，可得 ，
令 ，则 在区间 上恰有2个实根，
因为 在 上单调递增，所以 即 在区间 上恰有2个实根，
所以函数 与 的图象在区间 上恰有2个交点，
又由 ，当 时， ；当 时， ，
所以函数ℎ(x)在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
当 时， ，且 ，所以 ，
所以实数a的取值范围是 .
故选：A.
5．（23-24高三上·山西运城·阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二项式展开式，得到 ，设 ，利用导数得到 在 上单调递增，
根据 ，得到 ，令 ，得到 ，即可求解.【详解】由 ，
设 ，可得 恒成立，函数 在 上单调递增，
所以 ，所以 在在 上恒成立，
所以 ，所以 ，
设 ，可得 ，
所以 ，所以
设 ，
可得 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，可得 ，即 ，
所以 .
故选：B.
方法五 数形结合法
数形结合法：对于一些含有几何背景的题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对
图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率
和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·北京·期中）已知定点 ， ，若点 在圆 上运动，则
的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设点 ，且 ，由此可求得 ，利用三角形两边之和大于第三边的性质可确定
当 三点共线时取得最小值.
【详解】设点 ，则 ，
设点 ，且 ， ，解得： ， 存在点 ，使得 ，
（当且仅当
三点共线时取等号），
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查圆的问题中的线段长度和最值的求解问题，解题关键是能够根据阿波罗尼
斯圆的性质，将所求线段进行长度转化，进而利用几何关系来进行求解.
2．（23-24高三上·江西南昌·开学考试）已知函数 和 的图象与直线 交点的横坐标分别
为 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出函数 和 的图象以及直线 的图象，即可判断 大小没判断A；利用反函
数的性质可判断B；利用基本不等式可判断C，D.
【详解】作出函数 和 的图象以及直线 的图象，如图，
由函数 和 的图象与直线 交点的横坐标分别为 ， ，
结合图象可知 ，A错误；
由题意知 ，也即 ，
由于函数 和 互为反函数，
二者图象关于直线 对称，而 为 和 的图象与直线 的交点，故 关于 对称，故 ，B错误；
由 ，故 ，C错误；
因为 ，故 ，
结合 ，即得 ，D正确，
故选：D
3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知 是单位向量，向量 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．1
【答案】B
【分析】设 ，由 ，可得点 在以 为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何
意义，可得 的最大值.
【详解】
设 ，因为 ，
即 ，即 ，
所以点 在以 为圆心，3为半径的圆上，
又 是单位向量，则 ，
故 最大值为 ，即 的最大值为4.
故选：B.
4．（2024·广东·模拟预测）已知 ，其中相邻的两条对称轴的距离为 ，且
经过点 ，则关于 的方程 在 上的不同解的个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】把方程解的个数问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而利用数形结合可找到答案.
【详解】由已知相邻两条对称轴的距离为 ，可得 ，又 ，可得 ，由函数 经过点 ，则 ，即 ，
又 ，可得 ，所以 ，
因为函数 的最小正周期为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，
所以在 函数 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点，
故选：A.
5．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知 ， ，若关于 的不等式 在
上恒成立，则 的最小值是（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点 ，由此得 是方程
的根，可得 的关系，消b再利用基本不等式求解最值可得.
【详解】设 ，
又 ，所以 在(0,+∞)单调递增，
当 时， ；当 时， ，
由 图象开口向上， ，可知方程g(x)=0有一正根一负根，
即函数 在(0,+∞)有且仅有一个零点，且为异号零点；
由题意知 ，则当 时， ；当 时， ，
所以 是方程 的根，则 ，即 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
则 的最小值是8，
故选：C
方法六 建系法
建立平面直角或空间直角坐标系，这样相对直观，易把题中条件转化，把代数与几何有机结合.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·广东梅州·模拟预测）直三棱柱 中， ， ，则异面直线
与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，以 为原点，建立空间直角坐标系，求出异面直线 与 所在直线的方向向量，由
空间向量夹角的余弦值的坐标公式求解即可.
【详解】以 为原点，在平面 中过 作 的垂线交 于 ，
以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
因为直三棱柱 中， ，
设 ，
所以 ， ，A(0,0,0)， ，， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选： .
2．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）图，已知圆柱 的轴截面ABCD是边长为2的正方形， 为下底面
圆周上一点，满足 ，则异面直线AE与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解即可.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
如图所示，以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,
所以 ,所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ,
则异面直线AE与 所成角的正弦值为 .
故选: A.
3．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在平行四边形 中， ， ， ， 是以 为
圆心， 为半径的圆上一动点，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用余弦定理求出 ，易得 ，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，设
，根据平面向量线性运算的坐标表示结合三角函数即可得解.
【详解】由题意 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
则 ，故 ，
如图，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ， ， ，设 ，
故 ， ， ，
又 ，
即 ，所以 ，所以 ，
所以 ，其中 ，
当且仅当 时， 取最大值，且它的最大值为 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.
二、填空题
4．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知正方形 的边长为2，以 为圆心的圆与直线 相切．若点
是圆 上的动点，则 的最大值是 ．
【答案】8
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设 ，用坐标表示向量的数量积，由 在圆上可求得最大
值．
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ，
易知圆 的半径为 ，圆方程为 ，
设 ，则 ，
则 ，
设 ，则 ，代入圆方程并整理得 ，
此方程有实数解，所以 ，解得 ，
所以 的最大值是2，
所以 的最大值是8．
故答案为：8．5．（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量 满足 ，且对任意的
实数t，均有 则 的最小值为
【答案】
【分析】利用向量的坐标运算，再用数形结合思想求出最小值.
【详解】
如图，建立直角坐标系，记 ，
因为 ，所以点 ，
作 ，设其坐标为 ，因为 ，
所以点 在以点 为圆心，1为半径的圆上，即 ，
因为对任意的实数t，均有 ，
所以 ，
由于上式对任意的实数t的一元二次不等式恒成立，
则 ，即 ，
设 又设 ，则 ，
整理得： ，所以可知点 在直线 上，
又因为点 在以点 为圆心，1为半径的圆上，且 ，所以可以把 看成两动点 和 的距离，
显然距离最小值为圆心 到直线 的距离减去半径1，
而点 到直线 的距离 ,
所以 ，即 的最小值为3,
故答案为：3.
【点睛】关键点点睛：确定B，C点轨迹解决问题的关键.
多选题方法攻略
1）直接法
在多项选择题中，有很多时候只能将题干直接转化以达到求解问题。
2）先易后难法
在多个正确选项当中，经过仔细分析，可以找到一个非常好选的选项，先选上这个选项，可以保证拿
到2分，如果其他选项没有把握的话，就赶紧去做下一个题，等把其他的题都做完了，再回来看没有把握
的多选题。一定要根据自己的真实水平从多选题中拿分，切忌不可贪心。
3）排除法
在多项选择题中，尤其是当你确定其中两个选项为错误时，则另外两个肯定是正确答案。特别是从近
年的高考试题中发现一个规律：四道多选题至少两道是只有两个选项对的。
4）对立法
对立的选项中必定有一个是错误的。例如选项中，AB互相对立，CD互相对立，则AB或CD不能同
时出现的答案中。在多项选择题中，如果存在一对内容互相对立的选项，而其他两项不存在内容对立的情
况，那么在此对立两项中至少有一个正确项；若存在两对内容互相对立的选项，则应该从两对对立项中分
别选择一个选项作为正确选项。
5）分类统一法
在多项选择题中，如果存在两对内容互近选项或类似选项，而这两对选项内容对立，则其中一对互近
或类似选项应该为正确选项。例如，ABCD四个待选项中，AB两项内容相近、类似，CD两项内容相近、
类似，而AB组与CD组内容对立，如果判断A项正确，那么AB组都正确：如果判断C项正确，那么CD
组都正确。
6）相辅相成法
在多项选择题中，如果两个或两个以上的选项之间存在承接关系或递进关系，即数个选项能同时成立，
则往往这几个选项应一起被选择。例如在ABCD四个待选项中，ABC三个选项间存在承接、递进关系，
能同时成立，若A正确，则ABC都应该为正确选项。
7）宁缺毋滥法
也叫“逃跑法”，三十六计走为上计。有把握的必选，没有把握的一定不选，蒙对的概率最多只有
50%，一旦蒙错，本题0分。做多项选择题时，谨慎选择的意识要更加明确，一般首先选出最有把握的2个选项，同时，在有足够把握确定还有其他正确答案时才继续选择，否则不选，以免选出错误选项。这样，
才能保证该题目得分。因此，要坚持宁缺勿滥，这一点与单项选择题不同。
另外，解题时首先完整读题，即不仅仅读题干，4个选择支也要读，通过选择支的特征确定选择题的
解题方法。理解题目的条件后迅速联想涉及到的概念、公式、定理以及常见思想方法，发现题目中的隐含
条件，理解题目的真正含义。忌讳题目没有读清楚就开始埋头苦算，结果不但浪费了大量的时间，还会被
选项中的干扰项干扰导致做错。
【典例训练】
一、多选题
1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列命题正确
的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 .
C．若 ，则
D．若 ，则 .
【答案】AC
【分析】根据空间直线和平面平行、垂直的判定与性质分别进行判断即可．
【详解】对于A：因为 ，可知在平面 内存在直线 ，使得 ，如图所示，
又因为 ，且 ，则 ，所以 ，因此A正确；
对于B：如图所示： ，但 ，故B错误；
对于C：若 ，则由线面垂直的判定定理得 ，故C正确.对于D： ，如图所示， ，故D错误.
故选：AC.
2．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）关于函数 的叙述中，正确的有（ ）
A． 的最小正周期为
B． 在区间 内单调递增
C． 的图象关于点 对称
D． 是偶函数
【答案】BD
【分析】A选项，由三角恒等变换得到 ，由 求出最小正周期；B选项，求
出 ，得到B正确；C选项，代入 ，求出 ，故C错误；D选项，
，由函数奇偶性定义得到D正确.
【详解】A选项，
，则 的最小正周期为 ，故A错误；
B选项，当 时， ，
由于 在 上为增函数，
在区间 内单调递增，故B正确；
C选项，当 时， ，此时 ，
即 的图象关于点 对称，故C错误；
D选项， ，
令 ，则 ，
故 是偶函数，故D正确.
故选：BD
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 （其中 ）的部分图象如图所示，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】先利用求导公式得到f′(x)，再根据函数 的一个极值点位于区间 得到 ，得
到 的大小关系，即可判断A，B，C选项的正误；根据题图得到 ，然后对 取特殊值，说
明 即可得到D错误.
【详解】选项A，B，C：由题意知，
令 ，解得 或 或 ，
由题图可知函数 的一个极值点位于区间 ，
因此 ，又 ，所以 ，故 ，因此A，B正确，C错
误.
选项D：由题图可知 ，
若取 ，则 ，解得 ，因此D错误.
故选：AB
4．（2024高三·全国·专题练习）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】先根据已知等式化简得出 再应用基本不等式判断A,结合 取值范围判断B，
C,再应用立方和公式结合已知条件，应用不等式取等条件判断D.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，B正确；
取 ， ，可得 ， ，满足条件 ，
此时则 ，A错误；
由 ，得 ，
所以 ，第二个等号在 ，即 时成立，故两个等号不同时成立，
因此 ，D正确；
取 ， ，可得 ， ，满足条件 ，
此时 ，C错误；
故选：BD.
5．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）定义在 上的函数 满足 ，当 时，
，则 满足（ ）
A．
B． 是偶函数
C． 在 上有最大值
D． 的解集为
【答案】ACD
【分析】赋值，令 ，可判断A；令 ，结合奇偶函数定义可判断B；根据抽象函数性质结合
函数单调性定义可判断C；利用函数单调性解不等式判断D.
【详解】令 ，则 ，即 ，故A正确；
令 ，则 ，即 ，
所以函数 为奇函数，故B错误；
任取 ，且 ，则 ，由题意可得 ，
所以 ，
则 ，则函数 为 上的减函数，
所以 在区间 上有最大值为 ，故C正确；
由 ，因为函数 为 上的减函数，
所以 ，即 ，
所以 的解集为 ，故D正确.
故选：ACD.
6．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数 在 处取得极值，则下列
说法正确的是（ ）A．若 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
B． 有3个零点
C． 在 上的最小值为
D． 在R上恒成立
【答案】BC
【分析】先求函数的导函数根据极值计算得 ，再进而得出单调区间，根据单调性判断A,再根据计算
零点判断B,根据极值及边界值求解最值判断C,根据特殊值法计算判断D.
【详解】由 ，得 .由 ，得 ，经检验，满足题意，
所以 ， ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
对于A，由 或 得 或 ，故A错误；
对于B，令 ，得 ， ， ，故B
正确；
对于C，结合 的单调性及 ， ，得当 时， ，故C正确；
对于D，由 ，得 ，
，
所以 ，不满足 在 上恒成立，故D错误.
故选:BC.
7．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ， ，过点
的直线 与椭圆 交于 两点（ 点位于 点上方），且 ，延长 ， 分别交椭圆 于
点 ， ，连接 交 轴于点 ，若 的面积是 的面积的3倍，则下列说法正确的有（）
A．椭圆 的离心率为 B． 的周长为
C． D．直线 的斜率是直线 的斜率的 倍
【答案】ACD
【分析】根据题意作图分析得 ，设 ，由余弦定理推得 ，即得 为等腰直
角三角形，求出椭圆的方程，继而易判断A，B项，对于C项，必须通过直线与椭圆联立，依次求得点
的坐标，根据直线 的方程求得点 即可判断；对于D项，根据C项推出的直线 和直线
的方程易判断.
【详解】
如图，因 的面积是 的面积的3倍，则 ，
不妨设 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理， ，
解得 或 （舍去）故 ， ， ， ，
则由 ，可得 为等腰直角三角形，
则 ， ，于是椭圆方程为 .
对于A，由上知，椭圆 的离心率为 ，故A正确；
对于B， 的周长为 ，故B错误；
对于C，由题意， ，则直线 代入 ，
整理得 ，解得 ，代入 ，得 ，又直线 ，即 代入 ，
整理得 ，由 解得 ，
代入 ，即得 ，
又直线 ，代入 ，整理得 ，解得 ，
代入 ，即得 ,
故直线 ，即 ，
令 ，解得 ，故 ，C正确；
对于D，由C已得 ，而 ,
故直线 的斜率是直线 的斜率的 倍，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线相交的综合问题，属于难题.一般思路是结合图形，运用
圆锥曲线的定义式，正余弦定理等知识，求出曲线方程，接着通过直线方程与圆锥曲线联立解决求点坐标，
弦长，中点弦等问题即可.
8．（24-25高三上·福建·期中）已知向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则
（ ）
A． B． 的最大值为
C． 的最小值为 D． 的最大值为
【答案】BC
【分析】根据向量的模长及夹角，不妨设 ， ， ，通过 ，可
求出 是以原点为起点，终点在以 为圆心， 为半径的圆上的向量.根据向量模长的坐标
运算可判断 项；根据圆上一点到圆上一点距离的最大值为直径可判断 项，根据圆内一点 到圆 上一点距离的范围为 可判断 ， 项.
【详解】根据题意不妨设 ， ， ，
则 ， ，所以 ，
化简得 ，记为圆 ，即 是以原点为起点，终点在以 为圆心，
为半径的圆上的向量.
对于 ， ，所以 ，故 错误；
对于 ， 表示原点 到圆 上一点的距离，
因为原点 在圆 上，所以 的最大值为圆 的直径，即 ，故 正确；
对于 ， ， 表示点 到圆 上一点的距离，
因为点 在圆 内，所以 的最小值为 ,
的最大值为 ，故 正确， 错误.
故选： .
一、单选题
1．（24-25高三上·北京·阶段练习）设 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊值判断ABC；通过分类讨论可判断D.
【详解】对于A，当 时， ，故A错误；
对于B，当 ， ，故B错误；
对于C，当 时， ，故C错误；对于D，当 时， ， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 时， ， ，则 ，
综上所述， ，故D正确.
故选：D.
2．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除B、D，再求出特殊点的函数值，得到答案.
【详解】函数 ，定义域为 ，
且 ，
所以函数 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B、D．
又 ，故A错误.
故选：C．
3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知等比数列 单调递增，前 项和为 ， ，
，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据下标和性质求出 ，即可求出 、 ，即可求出 ，再由求和公式计算可得.
【详解】因为等比数列 单调递增， ，则 ，又 ，解得 或 （舍去），所以 ，
所以 .
故选：D
4．（24-25高三上·天津滨海新·期中）函数 在 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判断函数的奇偶性，再通过特殊值，利用排除法，得到正确答案.
【详解】因为 ，
所以 ，
即 为奇函数，排除A、B；
又当 时， 时 ，
当 时， 时 ，排除D.
故选：C.
5．（24-25高三上·天津河西·阶段练习）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，
，点 为 关于渐近线的对称点.若 ，且 的面积为4，则 的方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】结合图形，利用中位线定理与条件求得 ，进而求得 ，从而得解.
【详解】依题意，不妨设点 为 关于渐近线 的对称点，
则直线 垂直平分线段 ，
设渐近线与 的交点为 ，
则N为 的中点， ，
又 为 的中点，所以 ，
因为 ，即 ，所以 ，则 ，
因为 的面积为4，
所以 ，则 ，
在 中， ，即 ，
渐近线 可化为 ， ，
所以 ，
所以 ，
故双曲线的方程为 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：设渐近线与 的交点为 ，说明 ，是解决本题的关键.
6．（24-25高三上·四川·期中）已知 、 是函数 图象上不同的两点，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设 ，利用对数的运算、对数函数的单调性以及基本不等式，特殊值法逐项判断即可.
【详解】由题意不妨设 ，因为 是增函数，所以 ，即 ．
，
则 ，即 ，A正确，B错误；
取 ， ，则 ， ， ，C错误．
取 ， ，则 ， ， ，D错误．
故选：A.
7．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若 ，满足 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】A，B项，根据同构函数 ，再应用函数的单调性得出不等关系；C，D项赋特值反例
可知.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
构造函数 ，则 ，
由 ，当 时， ，
可知函数 在 上单调递增，
A，B项，已知 ， ，又 ，
则由 可得 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以有 ，则 ，故A正确，B错误；
C，D项，取 ，则 .
则 ，
其中 不满足 ，也不满足 ，故C，D错误.
故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键，是通过指对运算，将不等式两边变换为同构形式，从而构造函数
利用函数单调性比较大小，进而证明不等式.
8．（2024高三上·山东济南·专题练习）把函数 的图象向右平移 个单位长度，
得到的函数图象关于点 对称，则当 取最小值时，曲线 与 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据正弦型函数的平移、对称性可得 的关系式，从而得 的最小值，在坐标系中作曲线
y=f (x)与 的图象，结合单调性即可得交点个数.
【详解】函数 的图象向右平移 个单位长度可得： ，
由于 是其对称中心，则可得 ，所以 ，
又 ，则 取最小值为 ，此时 ，
则可得函数曲线y=f (x)与 的大致图象：
由函数y=f (x)与 的单调性结合图象可得曲线y=f (x)与 的交点个数为3个.
故选：C.
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数 （ ），函数
，则函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据曲线 在点 处的切线方程判断曲线 和 的交点情况，求方程
的根，并根据函数的单调性及零点存在定理判断该根的大致范围，判断 的图象与直线
， 的交点情况【详解】函数 的零点个数即方程 的根的个数．令 ，则方程
等价于 ．
求曲线 在点 处的切线方程，得曲线 和 的交点情况
对于函数 ，易知当 时 ， ， ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，
因此曲线 和 无交点．（技巧：通过研究曲线 在点 处的切线，
数形结合判断曲线 和 的交点情况）
求方程 的根，并判断该根的大致范围：
将 代入 ，得 ，
则 ，令 ，得 或 ，
故当 时， ， 与 无交点，
作出函数 和 的大致图象如图所示，结合图象可知，
方程 有且仅有1个解，且此解就是方程 的解．
易知函数 是增函数，且 ， （点拨：因为
，所以 ，故 ）因此方程 的解 ．
又当 时， ，所以 无解，显然 有2个解，
所以函数 有2个零点，
故选：B．
10．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数 的导函数为 ，当 时， ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． 在 上单调递减 D．当 时，
【答案】D
【分析】A选项，令 得 ；D选项，构造函数 ，得到 的单调性，然后利用
单调性和 的性质即可得到结论；BC选项，根据 的正负判断.
【详解】在 中令 得 ，故A错；
令 ，则 ，
因为当 时， ，
所以 ， 在 上单调递增，
因为 ，所以当 时， ， 时， ，
因为在 时， ， 时， ，
所以 时， ，故D正确；
，则 ， ，故 的正负不确定，故B错；
当 时， ， ，故 在 的单调性不确定，故C错.
故选：D.
【点睛】方法点睛：构造函数的常见类型：
①乘积形式：例如 ， ；
②商的形式：例如 ， .
二、多选题
11．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知 ，下列选项能正确表示数列 的公式有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】ACD项根据给定的通项公式求出前几项判断是否符合已知数列各项；B项根据递推关系可推得，再由 可得.
【详解】对A，当 为奇数时， ，不符合数列 ，故A错误；
对B，由 ，可得 ，
由 可得 ，故 ，
由 ，可知当 为奇数时， ；由 ，可知当 为偶数时， .
故该递推公式 符合数列 ，故B正确；
对C，当 时， ，不符合数列 ，故C错误；
对D，当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
符合数列 的通项公式，故D正确.
故选：BD.
12．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． ， D． ，
【答案】ACD
【分析】求出函数的最小正周期，即可判断A；根据 即可判断B；由x的范围求出 的范围，
即可求出函数的值域，从而判断C，求出函数的导函数，即可判断D.
【详解】对A， 的最小正周期为 ， ，故A正确；
对B，因为 ， 不是奇函数，故B错误；
对C， ， ， ， ，故C正确；
对D， ，当 时，则 ，则D正确.
故选：ACD.
13．（24-25高三上·浙江·期中）已知数列 的前n项和为 ，满足 ，且
，则下列结论中正确的是（ ）
A． 为等比数列 B． 为等比数列C． D．
【答案】BCD
【分析】由题设得 是首项、公比为3的等比数列，即可判断A、B、C；应用错位相减法、等比数列前
n项和判断D.
【详解】由题设 ，且 ，故 是首项、公比为3的等比数列，
所以 ，则 ，故 不是等比数列，A错，B、C对；
由 ，则 ，
所以 ，
所以 ，D对.
故选：BCD
14．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知 ，若对任意的 ，不等式
恒成立，则（ ）
A．
B．
C． 的最小值为32
D． 的最小值为
【答案】ABD
【分析】依题意可得 恒成立，分析可得 时， ，当 时，
，从而得到 且 ，即可判断A、B；利用基本不等式判断C；利用基本不等式及二
次函数的性质判断D.
【详解】对于A、B：因为 ，即 恒成立，
又因为 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
因为对任意的 ，不等式 恒成立，
所以当 时， ，当 时， ，
所以对于函数 ，必有 ，单调递减，且零点为 ，
所以 ，所以 ，所以A正确，B正确；对于C，因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，与条件不符，所以C错误；
对于D，
，
令 ，则 ，当且仅当 时，等号成立．
则原式 ，
由二次函数的性质可得 的最小值为 ，
此时 ， ，所以D正确，
故选：ABD．
15．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极
图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.给出定义：在平
面直角坐标系中，能够将圆心位于坐标原点的圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函
数”.给出下列命题：
①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；
②函数 可以是某个圆的“优美函数”；
③余弦函数 可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数 是“优美函数”的充要条件为存在 ，使得 对 恒成立.
A．① B．② C．③ D．④
【答案】AB
【分析】根据定义分析可得优美函数的特征为函数图象关于圆心（即坐标原点）成中心对称，再逐一分析
各个命题即可得解.
【详解】依题意，函数 是优美函数，等价于函数 图象关于圆心（即原点）成中心对称，
对于A，以原点为对称中心的中心对称图形有无数个，如函数 ， 为常数，命题①是真命题，A正确；
对于B，函数 的定义域为R，
，
即函数 的图象关于原点成中心对称，命题②是真命题，B正确；
对于C，余弦函数不是关于原点成中心对称的图形，命题③是假命题，C错误；
对于D，函数 的图象关于点 成中心对称，而点 不一定为原点，命题④是假命题，D错误.
故选：AB
16．（2024高三·全国·专题练习）定义 若函数 ，且
在区间 上的值域为 ，则区间 长度可以是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】AD
【分析】根据定义列不等式，得到 的解析式，然后画出函数 的图象，根据函数图象求出区间
的长度即可.
【详解】令 ①，
当 时，不等式可整理为 ，解得 ，故 符合要求，
当 时，不等式可整理为 ，解得 ，故 ，
所以不等式①的解为 ；
由上可得，不等式 的解为 或 ，
所以
令 ，解得 ，令 ，解得 或 （舍），
令 ，解得 或 ，令 ，解得 或 ，
故函数 的图象如下：又结合图象计算可知， ， ，
要使 在区间 上的值域为 ，
可得 ， ，或 ，
所以 最大值为 ，最小值是 或 ，
即 的取值范围为 .
故AD正确，BC错误.
故选：AD.
17．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别
为 为椭圆 上异于 的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 的最大值为20
C． 的外接圆圆心到x轴的距离的最小值为
D．直线 的斜率之差可能为1
【答案】AC
【分析】得用已知椭圆求得 ，再结合每个选项的条件逐项计算可判断结论.
【详解】由椭圆C： 的方程可知， ，解得 ，
所以 ，即 ，故A正确；
因为 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，故B错误；
由 的外接圆的圆心在 的垂直平分线上，可得圆心在 轴上，由
，
所以 为锐角，且 在短轴的端点处时， 最大，
由外接圆的半径为 可知， 越大，半径越小，
此时外心到x轴的距离最小，设外心为 ，取 在上顶点时，
所以 ，解得 ，故C正确；
设 ，由 ，得 ，所以 ，
不妨取 ，则 ， ，
，
当且仅当 时取等号，
所以直线 的斜率之差不可能为1，故D不正确.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：根据点 在椭圆上，可求得 为定值，进而可利用基本不等式判断直线
的斜率之差是否可能为1.
18．（2024·广西柳州·一模）我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是
函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形
的充要条件是函数 为奇函数．已知 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，若
函数 是奇函数，函数 为偶函数，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D．
【答案】BCD
【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；举特例可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，因为函数 为奇函数，
所以，函数 的图象关于点 对称，
且函数 的定义域为 ，则 ，A对；对于B选项，不妨取 ，
因为 为奇函数，
则函数 符合题意， ，
所以， 为偶函数，
但 ，B错；
对于C选项，不妨取 ，则 为奇函数，
， 为偶函数，合乎题意，
但 不是奇函数，C错；
对于D选项，若 ，则该函数的最小正周期为 ，
，
所以， ，D错.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：
（1）若 ，则函数 关于 中心对称；
（2）若 ，则函数 关于 对称；
（3）若 ，则函数 的周期为 ；
（4）若 ，则函数 的周期为 .
三、填空题
19．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）若向量 ，且 ，则 在 上的投
影向量坐标为 .
【答案】
【分析】根据向量平行关系求 ，再结合投影向量公式求结论.
【详解】由题意知向量 ，因为 ，
所以 ，得 ，所以 ，又 ，
所以 ，设 的夹角为 ，则 ，所以 在 上的投影向量为： .
故答案为： .
20．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）过双曲线 的左焦点 作 轴的垂线 ，
为 上一动点，已知 ， ，若 的最大值为 ，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】由题意可求得 ，设 ，由对称性，不妨设 ，则 ，
，根据 代入计算可得最大值为 ，可得
，计算可求离心率.
【详解】由题意及 ，得 .
由已知可得 ， .
设 ，由对称性，不妨设 ，则 ， ，
，当且仅当 时等号成立，
所以 ，所以 ，即 ，
解得 ，所以 .故答案为： .
【点睛】方法点睛：双曲线的离心率的求法问题，通过三角恒等变换求得 的最大值，从而得到
的齐次式从而可求得双曲线的离心率.
21．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知正方形 的边长为2，以 为圆心的圆与直线 相切．若
点 是圆 上的动点，则 的最大值是 ．
【答案】8
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设 ，用坐标表示向量的数量积，由 在圆上可求得最大
值．
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ，
易知圆 的半径为 ，圆方程为 ，
设 ，则 ，
则 ，
设 ，则 ，代入圆方程并整理得 ，
此方程有实数解，所以 ，解得 ，
所以 的最大值是2，
所以 的最大值是8．
故答案为：8．
π
22．（2024·北京西城·二模）已知函数f (x)=sin(ωx+φ) ( ω>0,|φ|< ) ，直线 与曲线y=f (x)的
2
两个交点 如图所示.若 ，且 在区间 上单调递减，则 ； .【答案】 2
【分析】根据 和 ，可构造方程求得 ，并确定 为半个周期，根据正弦函数单
调性可构造方程组求得 .
【详解】设 ， ，
由 得： ， ，
又 ， ，解得 .
此时 的小正周期 ，
， 在区间 上单调递减，
和 分别为 单调递减区间的起点和终点，
当 时， ，
， ，
又 ， ，
综上所述： ， .
故答案为：2， .
23．（2024·陕西安康·模拟预测）已知实数 满足 ，则
【答案】2
【分析】由题意变形可得 ，构造函数 ，结合函数单调性可得 ，即可得
解.
【详解】由 ，则 ，即 ，由 ，则 ，
即有 ，即 ，令 ，有 ，
则 ，故 在(0,+∞)上单调递增，故 ，
则 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到 ，从而构造函数 ，结合单调性得到
.
