文档内容
第 03 讲 复数
（9 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算 无
2024年新Ⅱ卷，第1题，5
复数的模 无
分
2023年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 无
2023年新Ⅱ卷，第1题，5
复数的四则运算、复数的几何意义 无
分
2022年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 无
2022年新Ⅱ卷，第2题，5
复数的四则运算 无
分
2021年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 无
2021年新Ⅱ卷，第1题，5
复数的四则运算、复数的几何意义 无
分
2020年新I卷，第1题，5分 复数的四则运算 无
2020年新Ⅱ卷，第2题，5
复数的四则运算 无
分
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、
及纯虚数
2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数
3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意
义，题型较为简单。知识讲解
1．复数的定义
我们把形如 的数叫做复数，其中i叫做 ，满足 ， 虚数单位的周期为
．
【答案】 虚数单位 4
2．复数通常用字母z表示，即 ，其中的a与b分别叫做复数z的 与 ．
【答案】 实部 虚部
3．对于复数 ， 复数 ， 为实数 ； 为虚数； 为纯虚数 ； 为非纯虚数 .
即复数
【答案】 ；
4．在复数集 中任取两个数 ， ，规定 与 相等当且仅
当 ，即复数相等： ⇔ .
【答案】
5．共轭复数
（1）定义：当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不
等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
（2）表示方法：复数z的共轭复数用 表示，即如果 ，那么 ．
【答案】 相等 互为相反数
6．复数的几何意义
为方便起见，我们常把复数 说成点 或说成向量 ，并且规定， 的向量表示同一个复数.
【答案】相等
7．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 ．实轴上的点都
表示 ；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
【答案】 复平面 实轴 虚轴 实数
8．复数的模
向量 的模称为复数 的模或绝对值，记作 或 ．即 ，其中．如果 ，那么 是一个实数a，它的模就等于 ．
【答案】
9．复数的加、减法运算法则
设 ，则 ， ．
【答案】
10．复数加法的运算律
对任意 ，有
（1）交换律： ．（2）结合律： ．
【答案】
11．复数的乘法
（1）复数的乘法法则
设 是任意两个复数，那么它们的积
．
（2）复数乘法的运算律
对于任意 ，有
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
【答案】
12．设 的三角形式分别是 ，
那么， = .
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.简记为：模相乘，
辐角相加.
【答案】
13．设 的三角形式分别是 ，且 ，那么，
.
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减
去除数的辐角所得的差.简记为：模相除，辐角相减.
【答案】考点一、 复数的四则运算
1．（2024·全国·高考真题）设 ，则 （ ）
A． B．1 C．-1 D．2
【答案】D
【分析】先根据共轭复数的定义写出 ，然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得， ，故 .
故选：D
2．（2023·全国·高考真题） （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.
1．（2024·天津·高考真题）已知 是虚数单位，复数 ．
【答案】
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】 .
故答案为： .
2．（2023·全国·高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意首先计算复数 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得 ，则 .
故选：B.
3．（2024·河南·三模）已知 为虚数单位， （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可.
【详解】 .
故选：D
考点二、 求复数的实部与虚部
1．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 的实部是（ ）
A． B．i C．0 D．1
【答案】C
【分析】根据复数除法运算化简，由实部定义可得.
【详解】因为 ，所以z的实部是0.
故选：C．
2．（2024·黑龙江·三模）若 ，则 的虚部为（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【分析】先利用乘法运算法则化简复数 ，然后化简 得 ，即可求出其虚部.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，则 的虚部为 .
故选：A1．（2024·重庆·三模）设复数z满足 ，则z的虚部为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】设复数 ，根据题意，列出方程，结合复数相等，求得 的值，即可求解.
【详解】设复数 ，
因为复数z满足 ，可得 ，
即 ，则 ， ，解得 ，
所以复数 的虚部为 .
故选：A.
2．（2024·陕西·二模）复数 的实部为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】通过复数的运算将复数化简成 的形式，即可得到实部.
【详解】由 ，可得复数 的实部为3，
故选： .
3．（2024·江西鹰潭·二模）已知 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数 ，继而得 的虚部.
【详解】由 ，
则 ， 的虚部为2.
故选：D.
考点三、 复数相等
1．（2023·全国·高考真题）设 ，则 （ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2【答案】C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为 ，
所以 ，解得： ．
故选：C.
2．（2022·浙江·高考真题）已知 （ 为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数相等的条件可求 .
【详解】 ，而 为实数，故 ，
故选：B.
1．（2024·河南·模拟预测）已知 为虚数单位， ，满足 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简 ，再根据复数相等的充要条件得出方程组，求出 、
的值，即可得解.
【详解】因为 ，
又 且 ，所以 ，故 ．
故选：D．
2．（2024·安徽合肥·三模）已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设 ，则 ，根据题意，结合复数的乘法运算和相等复数建立方程组，解
之即可求解.
【详解】设 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
故选：D．
3．（2024·河北保定·三模）若复数 满足 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，根据复数相等，即可列式求 .
【详解】设 ，则 ，所以 ，
由 ，得 ，则 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
考点 四 、 复数的分类及纯虚数概念考查
1．（2024·河北·二模）已知复数 是实数，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据复数的四则运算法则计算得到 ，再根据实数的定义求解即可.
【详解】
因为 是实数，
所以 ，即 .
故选：D.2．（2024·河南·三模）已知复数 为纯虚数，则 的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法运算求出z，根据复数为纯虚数，列出相应等式和不等式，即可求得答案.
【详解】 ，
由题意得 ，所以 ，
故选：C．
1．（2024·辽宁大连·二模）设 ，则“ ”是“复数 为纯虚数”的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由复数 为纯虚数求得 的值，再根据充分必要条件关系判断.
【详解】因为复数 为纯虚数，所以 ，解得 ，
所以 是复数 为纯虚数的充要条件.
故选：A.
2．（2024·辽宁·模拟预测）若复数 为实数，则实数 等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】由复数的除法把 化简，表示成复数的代数形式，由虚部为0，求 的值.
【详解】 ，若复数 为实数，
则 ，即 .
故选：D.
考点 五 、 复数的几何意义1．（2023·全国·高考真题）在复平面内， 对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为 ，
则所求复数对应的点为 ，位于第一象限.
故选：A.
2．（2021·全国·高考真题）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的除法可化简 ，从而可求对应的点的位置.
【详解】 ，所以该复数对应的点为 ，
该点在第一象限，
故选：A.
3．（2024·山西·三模）已知复数 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】整理得到不等式组，解出即可.
【详解】由于 ，
故点 位于第四象限，因此 ，解得 ，
即 的取值范围是 .
故答案为： .
1．（2024·山东·二模）已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D【分析】由题意求出 ，进而解出 ，判断 在复平面内对应的点所在象限即可.
【详解】由题意知： ，
所以 ，所以 在复平面内对应的点 位于第四象限.
故选：D.
2．（2024·江西·模拟预测）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义，由复平面内复数 对应的点的坐标可以得出对应复数的代数形式，再结合
复数的四则运算法则，即可得解.
【详解】因为复数 对应的点的坐标为 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
故选：A．
3．（2024·江西·模拟预测）若复数 的共轭复数 满足 ，则 在复平面内对应的点的坐标为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得 ，得到 ，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由 ，可得 ，则 ，
则 在复平面内对应的点的坐标为 ．
故选：D.
考点 六 、 复数的模长及与模相关的轨迹问题
1．（2024·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若 ，则 .
故选：C.
2．（2023·全国·高考真题） （ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】由题意首先化简 ，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得 ，
则 .
故选：C.
3．（2024·广东揭阳·二模）已知复数 在复平面内对应的点为 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】借助导数的几何意义可得 ，再利用模长公式即可得.
【详解】由题意得 ，所以 ，则 .
故选：B.
1．（2024·福建南平·二模）若复数 满足 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算即可.
【详解】由题意可知，复数 满足 ，
则可转化为 ，
所以 .
故选：A.
2．（2024·贵州毕节·三模）若复数z满足 ，则 （ ）A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可求出 ，再由复数的模长公式求解即可.
【详解】因为 ，则 ，
即 ，
故 .
故选：B.
3．（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【分析】利用复数的几何意义及圆中最值问题数形结合计算即可.
【详解】 的几何意义是复数z对应的点Z到点 的距离为1，
即点Z在以点 为圆心，1为半径的圆上，
的几何意义是点Z到点 的距离．
如图所示，故 ．
故选：B．
考点 七 、 复数的三角形式
1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数 是虚数单位 在复平面内对应点为 ，设
是以 轴的非负半轴为始边，以 所在的射线为终边的角，则 ，把
叫做复数 的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：
， ，
复数 满足： ，则 可能取值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得 ，即
可得解.
【详解】设 ，
则 ，
所以 ， ，即 ，
所以
故 时， ，故 可取 ，
故选：D
【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再
利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式.
2．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式 （其中i为虚数单位）是由法
国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 在复平面内所对应的
点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.
【详解】 ，在复平面内所对应的点为 ，在第二象限.
故选：B.
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数
， ，则 .设
，则 的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】B
【分析】变形复数 ，根据题中定义进行计算，即可判定.
【详解】 ，
所以
,
所以 的虚部为 .
故选:B.
2．（2023·全国·模拟预测）已知复数 ，则 （ ）
A．2022 B．2023 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意结合复数运算可得 的方程 的根为 ，进而整理可得
，取 即可得结果.
【详解】设 ，
则 ，
由题意可得：可得关于 的方程 的根为 ，
故 ，
整理得 ，
即 ，
令 ，可得 ，
且2022为偶数，所以 .
故选：B.
考点 八 、 欧拉公式
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）欧拉公式 把自然对数的底数 ，虚数单位 ， 和
联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【分析】把 代入欧拉公式即可。
【详解】 .
故选：B
2．（2022·重庆北碚·模拟预测）欧拉是 世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由
《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“ ”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟
大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式： 的一种特殊情况．根据欧拉公式，
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简复数 ，利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】 ，因此， .
故选：C.
1．（2023·云南昆明·一模）欧拉公式： 将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数
中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断
【详解】由题意可得： 对应的点为 ，
∵ ，则 ，
故 位于第二象限.
故选：B.
2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知 ，则在下列表达式中表示 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题设 的表达式求出 的表达式，再代入选项逐一检验即得.
【详解】因 ，则 ，
对于A， ，故A项正确；
对于B， ，故B项错误；
对于C， ，故C项错误；
对于D，由B项知， ，故D项错误.
故选：A.考点 九 、 复数多选题
1．（2024·福建福州·三模）已知复数 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C．若 ，则 或 D．若 且 ，则
【答案】BCD
【分析】通过列举特殊复数验证A；设 ，则 ，通过复数计算即可判
断B；由 得 ，即可判断C；设 ，通过复数计算即可判断D.
【详解】对于A，设 ，则 ，所以 ，而 ，
所以 ，故A不正确；
对于B，设 ，
则 ，故B正确；
对于C，若 ，所以 ，所以 ，
所以 或 ，所以 至少有一个为0，故C正确.
对于D，设 ，则 ，
所以 ，而 ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.
2．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】利用共轭复数的定义可判定A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D.
【详解】对于A，由 ，得 ，则A错误.
对于B，因为 ，所以 ，解得 或 （舍去），则B正确.
对于C，设 （ ，且 ），则 ，所以 ，则C正确.
对于D，由 ，得 .
设 （ ，且 ），则 ，
，从而 ，则D正确.
故选：BCD
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数 满足： 为纯虚数， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． 的最小值为3 D． 的最小值为3
【答案】ABD
【分析】借助复数的基本概念与模长运算可得A；借助复数的几何意义计算可得B；借助圆与直线的距离
可得C、D.
【详解】对A： 为纯虚数， 可设 选项A正确；
对B：设 ， ，
则 ，即 ，
则 所对应点的轨迹是以 为圆心，以2为半径的圆，
， 选项B正确；
对C： 为纯虚数， 对应点在 轴上（除去原点），
所对应点的轨迹是以 为圆心，以2为半径的圆，
的取值范围为 ， 无最小值，选项C错误；
对D： ，
表示点 到以 为圆心，以2为半径的圆上的点的距离，
为纯虚数或0， 在 轴上（除去点 ），
当 时 取得最小值3，∴选项D正确.
故选：ABD．1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知 ， 都是复数，下列正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AD
【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断BC；根据复数的乘法运算
及复数的模的计算公式即可判断D.
【详解】设 ，
对于A， 若 ，则 ，故 ，故A正确；
对于B，当 时， ，故B错误；
对于C，当 时， ，故C错误；
对于D，若 ，则 ，所以 ，
，
同理 ，所以 ，所以 ，故D正确.
故选：AD.
2．（2024·山东济宁·三模）已知复数 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．“ ”是“ ”的必要不充分条件 D．“ ”是“ ”的充分不必要条件
【答案】AC
【分析】根据复数加法、乘法、乘方运算，结合复数的几何意义计算，依次判断选项即可.
【详解】A：设 ，则 ，
所以 ，
，则 ，故A正确；
B：设 ，则 ，
所以 ，
，则 ，故B错误；
C：由选项A知， ， ，
又 ，所以 ，不一定有 ，即推不出 ；由 ，得 ，则 ，则 ，即 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故C正确；
D：设 ，则 ，
若 ，则 ，即 ，推不出 ；
若 ，则 ，
又 ，
同理可得 ，所以 ， ；
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故D错误.
故选：AC
3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知方程 的两个复数根分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】解方程求出 ，再结合共轭复数、模的意义及复数运算逐项判断即可各个选项.
【详解】方程 可转化为 ，解得 或 ，
不妨设 ， ，
对于A，显然 ，故A正确；
对于B， ，故B 错误；
对于C，由 ，则 ，故C正确；
对于D， ，故D正确.
故选：ACD.
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知i是虚数单位，若 为纯虚数，则实数a的值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用复数的乘法计算，再借助纯虚数的定义求解即得.
【详解】依题意， 是纯虚数，于是 ，解得 ，
所以实数a的值为 .
故选：D
2．（2024·河北·三模）已知复数 满足 ，则 的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知求得 ，可求 的共轭复数的虚部.
【详解】由 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 的共轭复数的虚部是 .
故选：D.
3．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法法则及共轭复数的定义即可求解.
【详解】 ，
所以 .
故选：B．
4．（2024·河北沧州·模拟预测）设 ， 是复数，则下列命题中是假命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】对于A，利用复数模的定义即可判断；对于B，利用共轭复数的定义即可判断；对于C，利用复数
共轭复数相乘的性质即可判断；对于D，举反例即可判断.
【详解】设 ， ，其中 ．对于A，
，
，
所以 ，故A正确；
对于B， ， ，
，
所以 ，故B正确；
对于C， ， ，
由 ，得 ．
因为 ， ，
所以 不一定成立，如 ， ，
此时 ，而 ， ，即 ，故C错误；
对于D，由 ，得 ， ，
，所以 ，故D正确﹒
故选:C．
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题设求出 ，从而求出 的值.
【详解】由题知， ，
所以 .
故选：A.
6．（2024·山东泰安·二模）若复数 满足 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．1【答案】C
【分析】根据复数的乘、除法运算可得 ，则 ，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，故 .
故选：C
二、多选题
7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知复数 （ 为实数），若 ，则 的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】BC
【分析】根据题意结合复数的模长公式运算求解即可.
【详解】由题意可知： ，解得 ，
结合选项可知：BC正确；AD错误.
故选：BC.
8．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）设 为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ）
A． B．若 互为共轭复数，则
C．若 ，则 D．若复数 为纯虚数，则
【答案】ABD
【分析】根据复数的乘法运算，复数的模值运算，纯虚数的定义即可判断.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：令
则
所以 ，故A正确；
对于选项B：令 ， ，所以 ，故B正确；
对于选项C：令 ， ，根据复数的乘法运算可知：
， ， ，所以C错误；
对于选项D：若复数 为纯虚数，则 ，即 ，故D正确.故选：ABD
三、填空题
9．（2024·上海·三模）设 （ 为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为 ．
【答案】
【分析】根据给定的条件，利用纯虚数的定义列式计算即得.
【详解】由 为纯虚数，得 ，解得 ，
所以实数m的值为 .
故答案为：
10．（2024·广东·二模）设 ， 为虚数单位，定义 ，则复数 的模为 ．
【答案】
【分析】根据给定的定义求出复数，再利用模的意义计算得解.
【详解】依题意， ，
所以复数 的模为 .
故答案为：
一、单选题
1．（2024·河北保定·二模）复数 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据复数乘除法以及模长计算公式，整理化简即可求得结果.
【详解】 .
故选：D.
2．（2024·浙江杭州·三模）已知复数 满足 ，则 的共轭复数 在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D
【分析】利用复数的运算性质求出 ，再利用共轭复数的性质求出 ，最后利用复数和对应点的关系求解
即可.
【详解】由题意得 ，故 ，
故 ，显然 在复平面上对应的点是 ，在第四象限，故D正确.
故选：D
3．（2024·江苏南通·三模）已知 为复数，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】A
【分析】正向可得 ，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得 或 ，则必要性不成立.
【详解】若 ，则 ，则 ，故充分性成立；
若 ，设 ，则 ， ，
则 ， 或 与 不一定相等，则必要性不成立，
则“ ”是“ ”的充分非必要条件，
故选：A
4．（2024·四川成都·模拟预测）复数 在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数除法法则得到 ，从而得到方程，求出答案.
【详解】 在复平面上对应的点位于虚轴上，
∴ ，即 .
故选：D
5．（2024·广东广州·三模）当 时，复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先对复数进行化简，再确定实部和虚部的符号即可得解．
【详解】因为 ，所以 ，
故复数 在复平面内的对应点位于第一象限，
故选：A．
6．（2024·安徽·模拟预测）若 为虚数单位， ，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义可得复数 对应的点的轨迹为以点 为圆心，1为半径的圆，进而求出
的最大值.
【详解】根据题意，复数 对应的点的轨迹为以点 为圆心，1为半径的圆，
所求式子 的几何意义表示点 到圆上点的距离的最大值，
如图所示，最大值为 .
故选：D.
7．（2024·河南商丘·模拟预测）已知复数 和 满足 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】设 ，利用复数的模长结合已知组成方程组，解出即可.
【详解】设
因为 ，所以 ，即 ，①
又 ，所以 ，即 ，②
又 ，所以 ，即 ，③
② ③可得 ，④把①代入④可得 ，
所以 ，故A正确；
故选：A.
二、多选题
8．（2024·福建宁德·三模）已知 是两个复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 为实数，则
C．若 均为纯虚数，则 为实数 D．若 为实数，则 均为纯虚数
【答案】AC
【分析】根据题意，复数 ，根据复数的运算法则和复数的概念，结合选项，
逐项判定，即可求解.
【详解】设复数 ，则 ，
对于A中，由 ，且 ，可得 ，所以 ，
所以 ，所以A正确；
对于B中，由 ，可得 ，即 ，
但 与 不一定相等，所以 与 不一定相等，所以B错误；
对于C中，由 均为纯虚数，可得 ，
此时 ，所以C正确；
对于D中，由 为实数，即 ，
可得 ，但 不一定为 ，所以D错误.
故选：AC.
三、填空题
9．（2024·湖南衡阳·三模）已知 是关于 的方程 （其中p、q为实数）的一个根，则
的值为 .
【答案】
【分析】思路一：把 代入方程 中，再利用复数相等求出 、 ，即可得解.
思路二：依题意根据虚根成对原理可得 也是关于 的方程 的一个根，利用韦达定理求出
、 ，即可得解.【详解】方法一：由已知可得 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以 .
方法二：因为 是关于 的方程 （其中p、q为实数）的一个根，
所以 也是该方程的一个根，
由韦达定理得 ，解得 ，所以 .
故答案为： .
10．（2024·江西南昌·三模）已知复数 ， ，那么 .
【答案】
【分析】设出复数 的代数形式，利用复数模的意义列出方程组并求解即得.
【详解】设 ，则 ，即有 ，
解得 ，所以 .
故答案为：
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由 ，则 .
故选：A
2．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义先求出复数 ，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】 在复平面对应的点是 ，根据复数的几何意义， ，由共轭复数的定义可知， .
故选：D
3．（2023·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出 ，再由共轭复数的概念得到 ，从而解出．
【详解】因为 ，所以 ，即 ．
故选：A．
4．（2022·全国·高考真题）若 ．则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为 ，所以 ，所以 ．
故选：D.
5．（2022·全国·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
6．（2022·全国·高考真题）已知 ，且 ，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先算出 ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】
由 ,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得 ,即
故选:
7．（2021·全国·高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于 、 的等式，解出这两个未知
数的值，即可得出复数 .
【详解】设 ，则 ，则 ，
所以， ，解得 ，因此， .
故选：C.
8．（2021·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为 ，故 ，故
故选：C.
