文档内容
专题 00 高考解答题解题技巧全攻略
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方法一 构建答题模板...................................................................................................................................................1
方法二 跳步答题...........................................................................................................................................................4
方法三 分类讨论...........................................................................................................................................................6
方法四 数形结合...........................................................................................................................................................8
方法五 特殊值探路.....................................................................................................................................................10
方法六 正难则反.........................................................................................................................................................12
方法一 构建答题模板
构建答题模板，步步为营，不因缺少步骤或者部分条件而导致扣分，是所有技巧的基础。
【典型例题】
1．（2024·广东江苏·高考真题）记 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 ，
(1)求B；
(2)若 的面积为 ，求c．
【详解】（1）由余弦定理有 ，
对比已知 ，
可得 ，（注意公式书写和化简）
因为 ，所以 ，
从而 ，
又因为 ，即 ，
注意到 ，（容易忽略）所以 .
（2）由（1）可得 ， ， ，从而 ， ，
而 ，
由正弦定理有 ，
从而 ，
由三角形面积公式可知， 的面积可表示为
，（分解分步，步骤得分）
由已知 的面积为 ，可得 ，所以 .
【变式训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）记 的内角 的对边分别为 ，面积为 ，已知
(1)求 ；
(2)若 边上的高为1且 ，求 的面积 ．
2．（2024·吉林·三模）已知数列 满足 ， .
(1)证明：数列 为等差数列，并求通项 ；
(2)求数列 的前n项和 .
3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图，在直四棱柱 中， 平面 ， ，
，其中 ， ， 是 的中点， 是 的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)若异面直线 、 所成角的余弦值为 ，求二面角 的余弦值.
4．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下
表为 年— 年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中 年— 年对应的代码
依次为 — .
年份代码
市场规模
， ， ，其中
参考公式：对于一组数据 、 、 、 ，其经验回归直线 的斜率和截距的最小
二乘估计公式分别为 ， .
(1)由上表数据可知，若用函数模型 拟合 与 的关系，请估计 年我国在线直播生活购物用
户的规模（结果精确到 ）；
(2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率 ，现从我国在线直播购物用户中随
机抽取 人，记这 人中选择在品牌官方直播间购物的人数为 ，若 ，求 的数学期
望和方差.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，实轴长
为2， 为 的右支上一点，且 ．
(1)求 的方程；(2)设 的左、右顶点分别为 ，直线 与 交于 两点，与 轴交于点 ，直线 与 交于
点 ，证明：点 在定直线上．
6．（24-25高三上·天津·阶段练习）设函数 ，其中 .
(1)若 a=−1，求曲线 在点 处的切线方程;
(2)若 ，
（i） 证明: 函数 恰有两个零点;
（ii） 设 为函数 的极值点， 为函数 的零点，且 ，证明: .
方法二 跳步答题
解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以假定某些结论是正确的往后推，看能否得到
结论，或从结论出发，看使结论成立需要什么条件。如果方向正确，就回过头来，集中力量攻克这一卡壳
处。如果时间不允许，那么可以把前面的写下来，再写出证实某步之后，继续有一直做到底，这就是跳步
解答。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想
不出来，可把第一问作已知，先做第二问，这也是跳步解答。
【典型例题】
2．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ， ，
，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得 ．
(1)证明： ；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
【详解】（1）由 ，
得 ，又 ，在 中，
由余弦定理得 ,所以 ，则 ，即 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
故 ；（可以将第一问证明当作条件应用于第二问）
（2）连接 ，由 ，则 ，
在 中， ，得 ，
所以 ，由（1）知 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，则 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，
则 ，
由 是 的中点，得 ，
所以 ，
设平面 和平面 的一个法向量分别为 ，
则 ， ，
令 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
设平面 和平面 所成角为 ，则 ，
即平面 和平面 所成角的正弦值为 .
【变式训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·河北·期中）已知数列 的前n项和为 ，且 ．(1)求证：数列 为等比数列；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
2．（2024高三·全国·专题练习）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，点 在线段 上，且 ， ，求 ．
3．（24-25高三上·河北·期中）如图，在平面五边形 中， ， ， ，
，将 沿 翻折，使点 到达点 的位置，得到如图所示的四棱锥 ，且
， 为 的中点．
(1)证明： ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
方法三 分类讨论
解题时常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下
去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳
得解，这就是分类讨论。
引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图
形位置的不确定性，变化、不等式的求解等均可能引起分类讨论。在分类讨论解题时，要做到标准统一，
不重不漏。
【典型例题】
3．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．【详解】（1）当 时， ，
故 ，
因为 在 上为增函数，
故 在 上为增函数，而 ，
故当 时， ，当 时， ，
故 在 处取极小值且极小值为 ，无极大值.
（2） ，
设 ，
则 ，（注意利用范围端点的性质来确定如何分类）
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 ，即 ，
所以 在 上为增函数，故 .
当 时，当 时， ，
故 在 上为减函数，故在 上 ，
即在 上f′(x)<0即 为减函数，
故在 上 ，不合题意，舍.
当 ，此时 在(0,+∞)上恒成立，
同理可得在(0,+∞)上 恒成立，不合题意，舍；
综上， .
【变式训练】
一、解答题
1．（23-24高三上·山东威海·期末）已知函数 .(1)当 时，求 的单调区间；
(2)设函数 ，若 是 的极大值点，求 的值.
2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知数列 的首项 ，且满足 （ ）．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)若 ，令 ，求数列 的前n项和 ．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆 ： 与椭圆 ： 的
离心率相等， 的焦点恰好为 的顶点，圆 分别经过 ， 的一个顶点.
(1)求 ， 的标准方程.
(2)过 上任意一点A作 的切线与 交于点M，N，点B是 上与M，N不重合的一点，且
（点O为坐标原点），判断点 是否在定圆上.若是，求出该圆的方程；若不是，
请说明理由.
方法四 数形结合
数形结合法：对于一些含有几何背景的题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对
图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率
和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等．
【典型例题】
4．（2024·上海松江·模拟预测）已知 为坐标原点，对于函数 ，称向㝵 为
函数 的互生向量，同时称函数 为向量 的互生函数．
(1)设函数 ，试求 的互生向量 ；
(2)记向量 的互生函数为 ，求函数 在 上的严格增区间；
(3)记 的互生函数为 ，若函数 在 上有四个零点，求实数
的取值范围．【详解】（1）因为 ，所以 的互生向量 .
（2）由题意可得 ，所以 ，
令 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以函数 在 上的严格增区间为 .
（3）由题 ，则 ，（数形结合利用三角函数
性质作出函数图象，由图象即可得解）
若函数 在 上有四个零点，则 在 上有四个实数根，
则函数 与 在 上的图象有四个交点，
因为 ，
所以 ，
则由三角函数性质作其函数图象如图所示，
由三角函数图象及性质可知k的取值范围为 .
【变式训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数的单调区间；(2)求 的零点个数．
(3) 在区间 上有两个零点，求m的范围？
2．（24-25高三上·上海松江·期中）在 中，角A，B，C对应边为 ， ， ，满足
(1)求 的大小；
(2)（i）已知 ，若 在AC上，且 ，求BD的最大值；
（ii）延长BC至点 ，使得 .若 求 的大小.
3．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知椭圆： 的右焦点 与抛物线 的焦点
重合．
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知 为抛物线 上一个动点，直线 ， ，求点 到直线 的距离之和的最小值；
(3)若点 是抛物线 上一点（不同于坐标原点 ）， 是 的内心，求 面积的取值范围．
方法五 特殊值探路
对于一些定值、定点问题可以利用特殊的点去检验，然后通过方程一般性设值去化简，即使运算量有
些达不到，扣去合并运算的那一步，还是能拿到大部分的分值。特别是在解析几何的位置、距离、特殊
点、特殊值的判断中，不妨转换个角度，根据现有条件猜测和利用数值求出一个可行的答案，再反向论证
即可。还有在数列中求解整数存在可能性，有些题的取值有限，不妨取 等值进行代入运
算，如果发现了几个满足题意的值，只需要再进行检验值的唯一性。
【典型例题】
5．（2024·北京通州·二模）已知椭圆 ： （ ）的长轴长为4，离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于 两点（不与左右顶点重合），点 在 轴正半轴上，
直线 交 轴于点P，直线 交 轴于点 ，问是否存在 ，使得 为定值？若存在，求出 的值
及定值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）因为椭圆 的长轴长为 ，离心率为 ，所以 ， ．
所以 ， ．所以 ．
所以椭圆 的方程为 ．
（2）当 时，若直线l斜率不存在，（斜率不存在，求出 为定值.）
不妨设 ， ，
所以 ， ．
所以 ．
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， ．
联立方程组 ，
消去 ，化简得 ．
则 ，即 ,
设M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
所以 ， ．
所以直线TM的方程为 ，直线 的方程为 ．
所以 ， ．
所以 ， ，
所以．
所以当 时， 为定值，
即 （负值舍）时， 有定值 ．
综上，当 时， 有定值 ．
【变式训练】
一、解答题
1．（2021·北京丰台·二模）已知椭圆 ，过点 的直线 交椭圆 于点 ．
(1)当直线 与 轴垂直时，求 ；
(2)在 轴上是否存在定点 ，使 为定值？若存在，求点 的坐标及 的值；若不存在，说明
理由．
2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）平面上一动点P(x,y)满足 ．
(1)求P点轨迹 的方程；
(2)已知A(−2,0)， ，延长PA交 于点Q，求实数m使得 恒成立，并证明：
为定值
3．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知椭圆 的长轴长是 ， 为右顶点， ， ，
， 是椭圆 上异于顶点的任意四个点，当直线 经过原点 时，直线 和 的斜率之积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)当直线 和 的斜率之积为定值 时，直线 是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若
不过定点，请说明理由.
方法六 正难则反
如果题目正面求解比较困难，或者说推翻一个结论性的问题，都可以从反面出发，假设反证或是举反例寻找矛盾都可以，这样可以简化题型思路。
【典型例题】
6．（2024·北京·高考真题）已知集合
．给定数列 ，和序
列 ，其中 ，对数列 进行如下变换：将 的第 项均
加1，其余项不变，得到的数列记作 ；将 的第 项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到 ，简记为 ．
(1)给定数列 和序列 ，写出 ；
(2)是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，写出一个符
合条件的 ；若不存在，请说明理由；
(3)若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，求证：“存在序列 ，使得 的各项都相
等”的充要条件为“ ”．
【详解】（1）因为数列 ，
由序列 可得 ；
由序列 可得 ；
由序列 可得 ；
所以 .
（2）由题意可知：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，
假设存在符合条件的 ，且 ，
因为 ，即序列 共有8项，
由题意可知： ，
检验可知：当 时，上式不成立，
即假设不成立，所以不存在符合条件的 .
（3）解法一：我们设序列 为 ，特别规定 .
必要性：
若存在序列 ，使得 的各项都相等.
则 ，所以 .
根据 的定义，显然有 ，这里 ， .
所以不断使用该式就得到 ，必要性得证.充分性：
若 .
由已知， 为偶数，而 ，所以
也是偶数.
我们设 是通过合法的序列 的变换能得到的所有可能的数列 中，使得
最小的一个.
上面已经说明 ，这里 ， .
从而由 可得 .
同时，由于 总是偶数，所以 和 的奇偶性保持不变，从而
和 都是偶数.
下面证明不存在 使得 .
假设存在，根据对称性，不妨设 ， ，即 .
情况1：若 ，则由 和 都是偶数，知
.
对该数列连续作四次变换 后，新的
相比原来的
减少 ，这与 的最小
性矛盾；
情况2：若 ，不妨设 .
情况2-1：如果 ，则对该数列连续作两次变换 后，新的
相比原来的
至少减少 ，这与 的
最小性矛盾；
情况2-2：如果 ，则对该数列连续作两次变换 后，新的
相比原来的
至少减少 ，这与 的
最小性矛盾.
这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的 都有 .假设存在 使得 ，则 是奇数，所以
都是奇数，设为 .
则此时对任意 ，由 可知必有 .
而 和 都是偶数，故集合 中的四个元素 之和为偶数，
对该数列进行一次变换 ，则该数列成为常数列，新的
等于零，比原来的
更小，这与 的最小性
矛盾.
综上，只可能 ，而 ，故
是常数列，充分性得证.
【变式训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）对于给定的数列 以及正整数m，若 ，使得
成立，则称 为“m阶可分拆数列”.
(1)设 ，证明： 为“3阶可分拆数列”；
(2)设 的前n项和为 ，若 为“1阶可分拆数列”，求实数a的值；
(3)设 ，是否存在m，使得 为“m阶可分拆数列”？若存在，请求出所有m的值；若不
存在，请说明理由.
2．（24-25高三上·山西·期中）在数列 中，若 满足：对于 ，都有 ，则称数
列 为“M类差数列”．
(1)设 为等差数列 的前n项和，已知 ，若数列 是“M类差数列” ，且
恒成立，求M的最大值；
(2)已知等比数列 是“2类差数列”，且 ，数列 不是“1类差数列”，设 ，若数列
是“3类差数列”：
①求数列 的通项公式；
②证明：数列 中任意三项都不构成等差数列．3．（2024·北京石景山·一模）已知集合 ，对于
， ，定义 与 之间的距离为 ．
(1)已知 ，写出所有的 ，使得 ；
(2)已知 ，若 ，并且 ，求 的最大值；
(3)设集合 ， 中有 个元素，若 中任意两个元素间的距离的最小值为 ，求证： ．
