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专题17.13 勾股定理（全章分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）在下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A． B．4，5，6 C． D．10，24，26
2．（2019下·八年级单元测试）如图，将一个含有 角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为
的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成
角，则三角板最长的长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019上·八年级单元测试）将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水
杯中，设筷子露在杯子外面的长为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考阶段练习）如图， 中， ，
是等腰三角形， ， ，交 于E， ，则 的值为（ ）
A．7 B． C．8 D．
5．（2017·河北石家庄·统考一模）如图，在 中， 平分 交 于点 ， 平分 ，
， 交 于点 ，若 ，则 （ ）A．75 B．100 C．120 D．125
6．（2019上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，直线上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分
别为5和13，则c的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．18
7．（2022·陕西西安·校考三模）如图，在 中， 边上的中线
交 于点O，则 的面积为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．25
8．（2023上·陕西西安·八年级统考期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格， 的顶点 ，
， 均在格点上．若 于点 ，则线段 的长为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
9．（2024·全国·八年级竞赛）如图，在 中， ， ， 交 于 ，若
， ，则 （ ）A．7 B． C．8 D．
10．（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）如图， 的两条直角边 ．分别以
的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为 ，则 的值为
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023上·重庆·九年级重庆第二外国语学校校考期中）如图，点B，C在数轴上对应的数分别是1
和 ， 于点C，且 ．以 为圆心， 的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则点D
在数轴上表示的数为 ．
12．（2020下·四川成都·八年级统考期中）如图 中，点 为 的中点， ， ，
，则 的面积是 ．13．（2021上·江苏常州·八年级统考期中）如图，在 中， ．将
沿射线 折叠，使点A与边 上的点D重合，E为射线 上的一个动点，当 的周长最小时，
的长为 ．
14．（2023上·浙江·八年级专题练习）葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长
各几何．（1丈=10尺）大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦
苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这
根芦苇的长度分别是多少？将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面
宽 尺，线段 ， 表示芦苇， 于点E．图中 尺；水的深度是 尺；这
根芦苇的长度是 尺．
15．（2024上·山西临汾·九年级统考期末）如图所示， 和 为等腰直角三角形，B、C、E
三点在同一条直线上， ，且 ，连接 ，点M，N分别是 ， 的中点，连接 ，
则 ．
16．（2024上·河南郑州·九年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，点
是斜边 上的动点且不与点 和点 重合，连接 ，点 与点 关于直线 对称，连接 ，当
垂直于 的直角边时， 的长为 ．17．（2016下·福建南平·八年级统考期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角
三角形，其中最大的正方形的边长为 ，则正方形 的面积之和为 ．
18．（2022上·河南郑州·八年级校考期中）如图， 纸片中， ， ， ，
，点D在边BC上，以AD为折痕 折叠得到 ， 与边BC交于点E，若 为
直角三角形，则BD的长是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2021上·八年级课时练习） 中， ， ， ，延长
AC到D，使 ，求 的度数．20．（8分）（2023上·浙江衢州·八年级统考期中）如图，在四边形 中， ，
， ， ，
（1）求证： ；
（2）求证： ， ；
（3）求证： （提示：尝试用两种不同的方法表示梯形 的面积）；
21．（10分）（2018下·全国·八年级统考期末）在 ABC中，AB=30，BC=28，AC=26．求 ABC的面积．
某学习小组经过合作交流给出了下面的解题思路，△请你按照他们的解题思路完成解答过程△．22．（10分）（2023上·辽宁丹东·八年级校考期中）在 中， ，D为 内一点．
连接 ， ，延长 到点E，使得 ．
（1）如图1，延长 到点F．使得 ．连接 ， ．求证： ；
（2）连接 ，交 的延长线于点H．依题意补全图2．若 ．判断 与 位置关
系．并证明．
23．（10分）（2023上·福建福州·八年级福州三牧中学校考期末）综合与实践：
操作发现：如图，已知 和 均为等腰三角形， ， ，将这两个三角形放置
在一起，使点 ， ， 在同一直线上，连接 ．
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图1， ，求 的度数；
拓广探索：
（3）如图2，若 ， ， 于点F，求 的长度．
24．（12分）（2023上·辽宁沈阳·八年级校联考阶段练习）【问题提出】
（1）如图1， 和 都是等边三角形，点D在 内部，连接 ．①求证： ；
②若 ，求证： ；
【问题探究】
（2）如图2， 是等边三角形，点D在 外部，若 仍然成立，求 的
度数；
【问题拓展】
（3）如图3， 中， ， ，点D为 外一点．若 ， ，
，请直接写出 的长．
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义解答即可；掌握勾股数是正整数，同时还
需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方成为解题的关键．
解：A、 ，但不是正整数，故选项错误；
B、 ，不能构成直角三角形，故选项错误；
C、 ，但不是正整数，故选项错误；
D、 ，能构成直角三角形，是整数，故选项正确．
故选D．
2．D
【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜
边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．解：过点C作CD⊥AD，
∴CD=3，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×2=4，
又∵三角板是有45°角的三角板，
∴AB=AC=4，
∴BC2=AB2+AC2=42+42=32，
∴BC= ，
故选D.
【点拨】本题考查等腰直角三角形和含30度角的直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和含
30度角的直角三角形.
3．C
【分析】观察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．
解：首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是12cm，则在杯外的最大长度是24-12=12；
再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC=
=13，则在杯外的最小长度是24-13=11cm．
所以h的取值范围是11≤h≤12．
故选C
【点拨】考核知识点：勾股定理运用.把问题转化为直角三角形模型是关键.
4．B
【分析】根据等腰三角形的性质得到 ，根据等式的性质得到 ，求得，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】此题参考直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证得 是解题的关键．
5．B
【分析】根据角平分线的定义推出 为直角三角形，然后根据勾股定理求得 ．
解：解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ 为直角三角形，
又∵ 平分 平分 ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理可知 ．
故选：B
【点拨】本题考查角平分线的计算，等腰三角形的判定及性质以及勾股定理的运用．解决本题的关键
是熟练掌握勾股定理．6．B
【分析】根据已知及全等三角形的判定可得到 ，从而得到c的面积 的面积 的面
积．
解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即
∴b的面积 的面积 的面积，
∴c的面积 的面积 的面积 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关
键．
7．C
【分析】根据等腰三角形的性质求出 ，再根据勾股定理求出 ，即可求出 的面积，根据三
角形中线的性质即可求出 的面积.
解： ，
，
在 中， ，是 边 上的中线，
故选：C．
【点拨】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是 ， ，
斜边长为 ，那么 ．
8．D
【分析】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，利用勾股定理得出 的长，再利用等面积
法得出 的长．
解：由图可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
故选：D．
9．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理；由 可判定 ，由全等三
角形的性质得 ，由勾股定理得 ，即可求解；掌握判定方法及性质，能证出
是解题的关键．
解： ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
（ ），
，
在 中，
，
，
；
故选：A．
10．D
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．证明
和 得到 ，设 ，利用勾
股定理求解即可．
解：由正方形的性质可得， ，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ， ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
11．
【分析】根据题意， ，结合勾股定理 ，根据 ，计算
，熟练掌握勾股定理，数轴上两点间的距离是解题的关键．
解：∵点B，C在数轴上对应的数分别是1和 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理逆定理等知识；延长 至 ，使 ，
连接CE，得到 ，证明 ，得到 ，进而证明 ，即可求
出△ABC面积．
解：如图，延长 至 ，使 ，连接CE，
∴ ，
∴在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
．
故答案为：
13．10
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，折叠的性质．明确周长最小时点 的位置是解题
的关键．
由 ，可得 是直角三角形，且 ，如图，连接 ，由折叠的性质可知，
， ， ， ，
则 ， ，由 的周长为 ，可知当 三点共
线即 重合时， 的周长最小，设 ，则 ，由勾股定理得，
，即 ，计算求解即可．
解：∵ ，
∴ ，即 是直角三角形，且 ，
如图，连接 ，由折叠的性质可知， ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ 的周长为 ，
∴当 三点共线即 重合时， 的和最小，即 的周长最小，
设 ，则 ，
由勾股定理得， ，即 ，解得， ，
∴ 的长为10，
故答案为：10．
14． 1 12 13
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是善于观察题目的信息，找到解题需要的 ，
设水深为x尺，表示斜边的长，根据勾股定理计算即可．
解：由题意可得： 尺，
设水深为x尺，芦苇 尺， 尺
中，由勾股定理： ，
解得： ，
所以 ，
答：水深12尺，芦苇的长度是13尺．
故答案为：1，12，13．
15．
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰直角三角形的性质等等，过点A作 于
O，以点O为原点， 所在的直线分别为x轴，y轴建立坐标系，根据等腰直角三角形的性质求出
， ，再由点M，N分别是 ， 的中点， ， ，据此利用两
点距离计算公式求解即可．
解：如图所示，过点A作 于O，以点O为原点， 所在的直线分别为x轴，y轴建立
坐标系，∵ 和 为等腰直角三角形， ， ，
∴
∴ ，
同理可得 ，
∵点M，N分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
16．1或3/3或1
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关
键在于能够利用分类讨论的思想进行求解．先利用勾股定理求出 ，然后进行讨论当 和
时，利用平行线和等腰三角形的性质与判定进行求解即可．
解：∵ ， ， ，
，
①如图1中，当 时，设直线 交 于 ，由轴对称的性质可知，直线 平分 ，
∴ 平分 ，
，
∵AC⊥BC， ，
∴ ，
，
，
；
②如图，当 于 时，同法可证 ，
综上所述，满足条件的 的值为1或3．
故答案为：1或3．
17．25
【分析】根据勾股定理的几何意义可直接解答．
解：如图，由勾股定理可得：正方形 的面积之和等于正方形E的面积，正方形 的面积之和等于正方形F
的面积，正方形 的面积之和等于正方形G的面积，
因此正方形 的面积之和 ，
故答案为：25．
【点拨】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的
面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
18． 或
【分析】根据勾股定理求得 的长，然后由翻折的性质可知： ，然后分
和 两种情况画出图形求解即可．
解：∵ 纸片中， ， ，
∴ ，
∵以 为折痕， 折叠得到 ，
∴ ， ， ．
当 时，如图1所示，∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图2所示， C与点E重合，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
综上所述， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了翻折的性质、勾股定理、三角形外角的性质、以及等腰三角形的判定，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
19． ．
【分析】如图所示，过点A作AE⊥BC于E，连接DE，先利用含30度角的直角三角形和等腰直角三角
形的性质求出CE=CD=1，从而得到∠CDE=∠CED=∠DAE=30°，则AE=ED=BE，∠EBD=∠EDB，由此求解
即可．
解：如图所示，过点A作AE⊥BC于E，连接DE，
∴∠AEC=∠AEB=90°，
∵∠ACB=60°，∠ABE=45°，
∴∠CAE=30°，∠EAB=∠EBA=45°，
∴ ，AE=BE，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 即 ，
∴CE=1，
∵CD=1，
∴CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
又∵∠CDE+∠CED=∠ACB=60°，
∴∠CDE=∠CED=∠DAE=30°，
∴AE=ED=BE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD+∠EDB=∠CED=30°，
∴∠CBD=15°．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角
形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
20．（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理的运用，三角形的面积，梯形，等腰直角三
角形．
（1）由勾股定理的逆定理可得出结论；
（2）由三角形外角的性质得到 ，由 即可证明 ，得到
；
（3）由梯形，三角形面积公式即可证明问题．
解：（1）证明： ，
，
，
，
，
；
（2）证明： ，
，
，
，
；
（3）证明：∵梯形 的面积 ，梯形 的面积 ，
，
，
．
21． ABC的面积为336
【分析△】根据题意利用勾股定理表示出AD2的值，进而得出等式求出答案．
解：过点D作AD⊥BC，垂足为点D．
设BD=x，则CD=28﹣x．
在Rt ABD中，AB=30，BD=x，
由勾股△定理可得AD2=AB2﹣BD2=302﹣x2，
在Rt ACD中，AC=26，CD=28﹣x，
由勾股△定理可得AD2=AC2﹣CD2=262﹣（28﹣x）2，
∴302﹣x2=262﹣（28﹣x）2，
解得：x=18，
∴AD2=AB2﹣BD2=302﹣x2=302﹣182=576，
∴AD=24，
S = BC•AD= ×28×24=336
ABC
△
则 ABC的面积为336．
【△点拨】此题考查勾股定理，解题关键是根据题意正确表示出AD2的值．
22．（1）证明见分析；（2） ，证明见分析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的
逆定理．
（1）利用“ ”证明 ，即可得证结论；
（2）延长 至点M，使 ，延长 交 于G，连接 ， ，由（1）同理可得，得到 ， ，由 ， ，可得 ，从而有
，证得 ，进而根据 得到 ，得证 ．
解：（1）在 和 中，
∴ ，
∴
（2） ，理由如下：
延长 至点M，使 ，延长 交 于G，连接 ， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
23．（1）见分析；（2） ；（3） ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是
正确寻找全等三角形解决问题．
（1）根据 证明 ，利用全等三角形的性质即可证明 ；
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）同法可证 ，推出 ，由 ，推出 即可解
决问题．
解：（1）证明：如图1中，
∵ ，
∴ ，
， ，
，
∴ ；
（2）解：如图1中，设 交 于 ．
，
，
，
，
，
，
即 ；
（3）解：设 交 于点 ，如图2中，，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
∴ ．
24．（1）①见分析②见分析（2） （3）3
【分析】（1）①证明 ，即可得出结论；②求出 ，利用勾股定理即可解得；
（2）先证明 ，再求出 ，即可求出答案；
（3）过点A作 ， ，连接 ，证明 ，可得 是等腰直角三
角形，可证 ，求出 ，在 中，由勾股定理即可求得答案．
解：①证明： 和 为等边三角形，
，
，
，
；
②证明： 为等边三角形，，
，
，
，
， ，
；
（2）解： 和 为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点A作 ， ，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在 中，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理及逆定理的应用，等腰直角三角形的性质等
知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
