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专题19.17 一次函数与方程、不等式（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图一次函数 的图象分别交 轴， 轴于点 、 ，
则方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024年陕西省部分学校九年级中考一模考试数学试题（B））已知关于 的方程 的解是
，则一次函数 （ 、 为常数，且 ）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，直线 与直线 交于点 ，则关于 的
不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·陕西·模拟预测）直线 与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线 与直线 关于y轴对称，直线 与x轴交于点C， 的面积为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
5．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）已知一次函数 的图象经过点 ，则下列结论正
确的是（ ）
A． B． 随 的增大而增大
C． 的解集是 D．直线不经过第四象限
6．（20-21八年级上·辽宁阜新·期末）如图直线 与直线 都经过点 ，则方程组
，的解是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点
，与正比例函数 的图象交于点 ，则 的面积为（ ）A． B． C． D．
8．（23-24八年级上·广东深圳·期末）一次函数 与 的图象如图所示，则下列说法不
正确的是（ ）
A． ，
B．这两个函数的图象与 轴围成的三角形的面积为
C．关于 的方程组 的解为
D．当 从0开始增加时，函数 比 的值先达到3
9．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数 和
，无论 取何值，始终有 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）如图，一次函数 第一象限的图象上有一点P，过点
P作x轴的垂线段，垂足为A，连结 ，则 的周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（19-20八年级下·四川巴中·期中）直线y＝2x+3与x轴的交点坐标是 ．
12．（23-24八年级上·四川成都·期末）若直线 与 的交点的坐标为 ，则方程
的解为 ．
13．（23-24八年级上·安徽合肥·期中） 函数 的图象如图所示，则关于 的不等式
的解集为 ．
14．（20-21八年级上·重庆·期中）如图，直线 与直线 交于点 ，则关于
， 的二元一次方程组 的解为 ．
15．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）同一平面直角坐标系中，一次函数 的图象与正比例
函数 的图象如图所示，则关于 的不等式 的解为 ．16．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）在平面直角坐标系中，直线 交x轴于点A，交y
轴于点B，以点A为圆心， 长为半径画弧，交x轴于点C，则点C的坐标是 ．
17．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ，
，直线 与线段 有公共点，则 的取值范围是 ．
18．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 分别为与
x、y轴交于A、B两点，将 沿x轴正方向平移1个坐标单位，平移后的三角形为 ， 与
交于点F，则阴影部分的面积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数 （k、b是常数， ）的图
象过 ， ．
（1）求 函数的表达式．
（2）若函数 （m，n是常数， ）的图象过 ，当 时，x的取值范围为
______．
20．（8分）（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，在平面直角坐标系中（O为坐标原点），点
、点 ，点C的坐标是 ．
（1）求直线 的函数表达式．
（2）设点 为x轴上一点，且 ，求点D的坐标．21．（10分）（23-24八年级上·江西九江·期末）如图，直线 与两坐标轴交于A，D两点，
直线 与两坐标轴交于C，E两点，且两直线交于 ， ．
（1）求直线 ， 的表达式；
（2）在y轴上有一点F，使得 ，求点F的坐标．
22．（10分）（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，直线 ： 与 轴交于点
，直线 分别与 轴交于点 ，与 轴交于点 两条直线相交于点 ，连接 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）求两直线交点 的坐标；
（3）根据图象直接写出 时自变量 的取值范围．23．（10分）（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某中学要添置某种教学仪器．
方案一：到商店购买，每件需要8元：
方案二：学校自己制作，每件需要4元．但另外需要制作工具的租用费120元．
设需要仪器 件．方案一的费用为 元，方案二的费用为 元．
（1）问 （元）， （元）关于 （件）的关系式分别是什么？（直接写结论，不用写出自变量的
取值范围）
（2）当添置仪器多少件时，两种方案所需的费用相同？
（3）若学校计划添置仪器60件，则采用哪种方案便宜？
24．（12分）（22-23八年级下·山西朔州·阶段练习）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研
究函数 的图象和性质，并解决问题．
（1）填空：①当 时， _________；
②当 时， __________；
③当 时， __________；
（2）在平面直角坐标系中作出函数 的图象；
（3）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有__________个交点，方程 有__________个解；
②方程 有__________个解．
参考答案：
1．C
【分析】根据方程 的解即为一次函数 与x轴交点的横坐标进行求解即可．
解：∵一次函数 的图象交 轴于点 ，
∴方程 的解为 ，
故选C．
【点拨】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟知一次函数与x轴交点的横坐标即为对
应的一元一次方程的解是解题的关键．
2．B
【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程 的解其实就是当
时一次函数 与x轴的交点横坐标解答．根据交点坐标的含义可得答案.
解：∵关于 的方程 的解是 ，
∴一次函数 的图象与x轴的交点坐标是 ．
∴只有选项B的图象符合题意，
故选：B
3．A【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的
值大于（或小于） 的自变量 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在 轴上（或
下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象得到当 时，函数 的图象都在
的图象上方，所以关于 的不等式 的解集为 ．
解：由函数图象知，当 时， ，
即不等式 的解集为 ．
故选：A．
4．B
【分析】由直线 的解析式为 即可求得 、 的坐标，然后根据轴对称求得 的坐标，由此
即可求出 ．
解：∵已知直线 的解析式为 与y轴交于点A，与x轴交于点B，
， ，
直线 与直线 关于y轴对称，直线 与x轴交于点C，
，
如图所示：
∴ 的面积= ，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了直线与坐标轴围成图形面积和轴对称图形性质．根据解析式求出与坐标轴交
点AB坐标是解题关键．
5．C
【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式等知识，根据一次函数的图象
与性质，一次函数与一元一次不等式的关系对各选项逐项分析判断即可得到答案，熟练运用数形结合求解
是解决问题的关键．解： 一次函数 的图象经过点 ，
，故A错误，不符合题意；
，
随 的增大而减小，故B错误，不符合题意；
， ，
一次函数 的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故D错误，不符合题意；
的解集是 ，故C正确，符合题意；
故选：C．
6．D
【分析】根据方程组 的解即为直线 与直线 的交点坐标进行求解即可．
解：∵直线 与直线 都经过点
∴方程组 的解是： ．
故选择：D．
【点拨】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，但是比较容
易出错，正确理解“方程组 的解即为直线 与直线 的交点坐标”是解题的关键．
7．B
【解析】略
8．D
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方
程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因
此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
根据两个一次函数与y轴的交点坐标即可求出 ， ，进而判断A选项；由图象得到两条直线交于点 ，即可判断C选项；然后利用三角形面积公式求解即可判断B选项；根据图象得到当
时， ，且 的图象在 图象的上面，进而求解即可．
解：∵一次函数 与y轴交于点
∴ ，
∵一次函数 与y轴交于点
∴ ，故A选项正确；
∵一次函数 与 的图象交于点
∴这两个函数的图象与 轴围成的三角形的面积为 ，故B选项正确；
∵一次函数 与 的图象交于点
∴关于 的方程组 的解为 ，故C选项正确；
由图象可得，当 时， ，且 的图象在 图象的上面
∴当 从0开始增加时，函数 比 的值先达到3，故D选项错误．
故选：D．
9．D
【分析】本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．先判断
两直线平行，始终有 ，求解当 过 时， ，再利用数形结合的方法
解题即可．
解：由题意可知：∵一次函数 的图象过定点 ，
一次函数 过定点 ，
∵无论 取何值，始终有 ，
∴两直线平行，才会始终有 ，∴ ，
当 过 时，
∴ ，
解得： ，
此时两条直线相交，
如图，
∴ 且 ，
当 时，如图，不符合题意；
故选：D
10．C
【分析】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积，垂线段最短．
设一次函数 的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，令 ，可求得点B的坐标，令
可求出点C的坐标，从而得到 ， 的长， 的面积．设点P的坐标为 （
），则 ，当 垂直一次函数 的图象时， 取得
最小值时， 的周长为最小．根据 的面积可求得 的最小值，即可解答．
解：如图，设一次函数 的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，
把 代入函数 中，得 ，
解得 ，
∴点B的坐标为 ，
把 代入函数 中，得 ，
∴点C的坐标为 ，
∵点P是一次函数 第一象限的图象上的一点，
∴设点P的坐标为 （ ），
∵ 轴于点A，
∴ ， ，
∴∴当 垂直一次函数 的图象时， 取得最小值， 的周长为最小．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∵ ，即 ，
∴ ，
即 的最小值为1， 的最小值为 ．
故选：C．
11．（ ，0）
【分析】令 求出x的值即可得出直线与x轴的交点坐标．
解：∵令 ，则 ，
∴直线 与x轴的交点坐标为（ ，0）．
故答案为：（ ，0）．
【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函
数的解析式是解答此题的关键．
12．
【分析】本题考查的知识点是一次函数与一元一次方程，一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练
的掌握一次函数与一元一次方程，一次函数的图象和性质，由交点坐标就是该方程的解可得答案．
解：关于x的方程 的解，即直线 与 的交点横坐标，
所以方程的解为 ，
故答案为 ．
13．【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，
即可得出答案．
解：由函数图象可知：函数 的图象经过 ，并且函数值y随x的增大而减小，
所以当 时，函数值大于0，即不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
14．
【分析】由图像可知交点的坐标就是方程组的解．
解：有图像可知 的解为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查利用一次函数的交点解二元一次方程组．理解方程组的解与函数图像交点之间的关
系是解决问题的关键．
15．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数与不等式的关系：一次函数 的
图象在正比例函数 的图象上方且在 轴下方部分，可得答案．数形结合是解题的关键．
解：由图象，得
关于 的不等式 的解为为 ，
故答案为： ．
16． 或
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点坐标，勾股定理，利用一元一次方程求一次函数与 轴的
交点的横坐标是解题的关键．
先根据一次函数的解析式求出点 的坐标，再根据勾股定理可得 的长，从而可得点C的坐标．
解：令 ，则 ，
∴ ，令 ，则 ，解得： ，
∴ ，
在 中， ，
∵以点A为圆心， 长为半径画弧，交x轴于点C，
∴ ，
当点 在点 的左边时， ，
∴ ，
当点 在点 的右边时， ，
∴ ，
∴点C的坐标是 或 ．
故答案为： 或 ．
17．
【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，利用一次函数图像上点的坐标特征结合直线与线
段 有公共点，列出关于 的不等式是解题的关键．
解：当 时， ，
直线 与线段 有公共点，
，
解得： ，
故答案为： ．
18．
【分析】本题考查图形的平移，一次函数的图象和性质，解题的关键是通过平移得出阴影部分面积等
于梯形 的面积．由平移的性质可得 ，进而可得阴影部分面积等于梯形 的面积，
由此可解．
解： 向x轴正方向平移1个单位长度得 ，
， ， ，
阴影部分面积等于梯形 的面积，对于 ，当 时， ，
当 时， ，
， ，
， ，
，
阴影部分面积等于 ．
故答案为： ．
19．（1） ；（2）
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，利用图象求不等式的解；
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）画出 和 的图象，根据图象求解即可．
（1）解：把 ， 代入 得： ，解得： ，
∴ 函数的表达式为
（2）解： 和 的图象如图所示，当 时，x的取值范围为 ，
故答案为： ．
20．（1） ；（2）点D的坐标为 或
【分析】本题考查了一次函数与几何问题，熟练掌握待定系数法以及三角形面积的计算是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由题意可知点D在线段 的垂直平分线上，求出点D的横坐标即可解决问题．
（1）解：设直线 的函数表达式为： ，把点 、点 代入得：
，
解得 ，
∴直线 的表达式为： ；
（2）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴点D的坐标为 或 ．
21．（1） ， ；（2） 或 ．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数与几何综合等知识点，掌握数形结合思想以及
待定系数法是解答本题的关键．
（1）将 代入 可得 。即可确定直线 的表达式；然后确定A、C点的坐标，再运用待定系数法即可求得 的表达式；
（2）由（1）知： ,再求得 ，设点 F 的坐
标为 ,则 ，再根据 列关于m的绝对值方程即可解答．
（1）解：将 代入 ，得 ，
∴ ，
∴ 的表达式为 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，将 ， 分别代入，得
，解得 ，
∴ 的表达式为 ；
（2）由（1）知： ,
∴ ，
设点 的坐标为 ，则 ，
令 ，则 ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，∴ 或 ，
∴点F的坐标为 或 ．
22．（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，求两条直线的交点坐标，观察图象判断自变
量取值范围，
（1）将点B，C的坐标代入关系式得到方程组，求出方程组的解即可；
（2）先求出 的关系式，再将两个关系式联立，求出解即可；
（3）观察图象直线 在直线 上方的部分，即可得出自变量的取值范围.
解：（1）设 的表达式为 ，
将 、 代入 得，
，
解得 ，
所以 的表达式为 ；
（2）将 代入 得， ，
所以直线 的表达式为 .
由方程组得 ，
解得 ，
故D点坐标为 ；（3）由图象可知，在 点左侧时， ，即 时， ．
23．（1） ， ；（2）当添置仪器30件时，两种方案所需的费用相同；（3）若学
校计划添置仪器60件，则采用方案二便宜．
【分析】本题考查了列函数关系式，求函数函数值，一元一次方程的应用．
（1）方案一：总费用=仪器的单价×仪器的数量；方案二：总费用=每件制作的成本×仪器的数量+工具
的租用费，据此可得出方案一和方案二的函数关系式；
（2）本题只需令（1）中得出的两个函数关系式相等，求出x的值，即可求得两种方案所需的费用相
同时，仪器的件数；
（3）可将 分别代入（2）中的两个函数式中，得出函数的值，然后比较哪种方案更便宜即可．
（1）解：根据题意，得
， ；
（2）解：根据题意，令 ，
得 ，
解得 ，
故当购买30件仪器时，两种方案所需的费用相同；
（3）解：把 分别代入 ， 中，
得 （元）， （元），
，
当学校添置60件仪器，选择方案二比较便宜．
24．（1）① ；② ；③ ；（2）见分析；（3）① ； ；②
【分析】（1）根据绝对值的性质，化简函数解析式，即可求解；
（2）根据（1）的结论，画出函数图象，即可求解；
（3）根据函数图象，即可求解．
（1）解：①当 时， ；
②当 时， ；③当 时， ；
故答案为： ； ；
（2）函数 的图象，如图所示：
（3）①函数图象与x轴有2个交点，方程 有2个解；
②方程 有1个解．
故答案为：2 ；2；1
【点拨】本题考查了一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
