文档内容
人教版初中数学八年级下册
19.2.6 一次函数的应用 分层作业
夯实基础篇
一、单选题：
1．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元
者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球 个
（ ），则小东应付货款 （元）与篮球个数 （个）的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可．
【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠，
∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2），
则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是：
y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关
键．
2．自来水公司采用分段收费标准收水费，每月收取水费 元 与用水量 之间的函数关系如图所示，琪
琪家 月份用水 ，应收水费( )
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】C【分析】设当 时， 关于 的函数关系式为 ，根据函数图象上点的坐标特征利用待
定系数法即可求出 关于 的函数关系式，再将 代入其内求出 的值，此题得解．
【详解】解：设当 时， 关于 的函数关系式为 ，
将 、 代入 中，
则 ，
解得 ，
当 时， 关于 的函数关系式为 ，
当 时， ，
琪琪家 月份应交水费 元，
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用
待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
3．弹簧原长（不挂重物） ，弹簧总长 与重物重量 的关系如下表所示：
弹簧总长 16 17 18 19 20
重物重量 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
当重物重量为 （在弹性限度内）时，弹簧总长L是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据表格数据，建立数学模型，进而利用待定系数法可得函数关系式，当x=5时，代入函数解析
式求值即可．
【详解】解：根据题意得：弹簧总长 与重物重量 是一次函数的关系，
设弹簧总长 与重物重量 函数关系式为 ，
把（0.5，16），（1.0，17）代入得：，解得： ，
∴弹簧总长 与重物重量 函数关系式为 ，
当 时， ，
即当重物重量为 （在弹性限度内）时，弹簧总长L是26cm．
故选：D
【点睛】此题主要考查根据实际问题列一次函数关系式，解决本题的关键是得到弹簧长度的关系式，难点
是得到x千克重物在原来基础上增加的长度．
4．如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，
下表是这两个温度值之间的部分对应关系：
摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50
华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122
根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察表格中的对应数据的特征可知：摄氏温度每增加 ，华氏温度就增加 ，因此可判断y
与x之间是一次函数的关系，设一次函数表达式为 ，把 ， 代入
计算即可．
【详解】解：由表格中的对应数据的特征可知：摄氏温度每增加 ，华氏温度就增加 ，因此可判断
y与x之间是一次函数的关系，设一次函数表达式为 ，把 ， 代入得： ，
解得： ，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的关系式，解题的关键是从表格中获取信息．
5．某种藤类植物四个阶段的平均长度y（ ）与生长时间x（天）的函数关系图象如图所示．当藤蔓长度
大约在115 时，植物进入浆果生长期，此时植物的生长天数是（ ）
A．90 B．95 C．140 D．143
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出20＜x≤120时y与x之间的函数关系式，再把y＝115代入计算即可求解．
【详解】解：设20＜x≤120时，y＝kx+b，根据题意得：
，
解得 ，
∴y＝1.4x－18，
当y＝115时，1.4x－18＝115，
解得x＝95，
即此时植物的生长天数是95天．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量的
值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
6．如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图像由线段 和射线 组
成，则一次购买6千克这种苹果比分六次购买1千克这种苹果可节省的金额为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段 和设 的函数关系式，再分别求出当
和 时，y的值，用 即可求出一次购买6千克这种苹果比分六次购买1千克这种苹果节省
的钱数．
【详解】解：设y关于x的函数关系式为 ，
当 时，将 、 代入 中，
，
解得： ，
∴ ；
当 时，将 ， 代入 中，
，
解得： ，∴ ．
当 时， ，
当 时， ，
（元），
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，
观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段 和设 的函数关系式是解题的关键．
7．如图，某电信公司手机的收费标准有 两类，已知每月应缴费用 （元）与通话时间 （分）之间的
关系如图所示，当通话时间为 分钟时，按这两类收费标准缴费的差为（ ）
A．30元 B．20元 C．15元 D．10元
【答案】D
【分析】根据题意，待定系数法求得解析式，分别令 ，求得 是的值，进而即可求解．
【详解】解：设 类收费的解析式为 ，代入 ， ，
得 ，
解得 ，
∴ ，
类收费的解析式为 ，代入 ，
得 ，
解得 ，∴ ，
∴当 时， ， ，
∴ （元），
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，求得解析式是解题的关键．
二、填空题：
8．“六·一”儿童节，学校六（1）班王老师带领班上 名学生参观植物博览园．成人票单价20元，学生
票单价10元．总费用 （元）与 的函数关系式为______．（不要求写自变量取值范围）
【答案】y=10x+20
【分析】根据总费用=学生费用+老师费用列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意得：y=10x+20，
故答案为：y=10x+20．
【点睛】本题考查一次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．
9．一辆汽车加满油后，油箱中有汽油 ，汽车行驶时正常的耗油量为 ，则油箱中剩余的汽油量
关于加满后已驶里程 的函数表达式是________，自变量 的取值范围________．
【答案】
【分析】根据题意，找到等量关系，求出函数关系，即可求解．
【详解】解：原有油量 ，用油量 ，
由题意得：油箱中剩余的汽油两 关于加满后已驶里程 的函数表达式是 ，
自变量d的取值范围为： ．
故答案为： ， ．
【点睛】此题考查了函数的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出函数关系式．
10．某种储蓄的月利率为 ，如果存入2000元，不计利息税和复利，则本利和 （元）与所存月数
之间的函数关系式是_______________，10个月时本利和为___元．
【答案】 2040
【分析】根据题意可求出存 月后的利息为 ，进而即可得出本利和 （元）与所存月数 之间的函数关系式．再将 代入所求解析式即可求解．
【详解】解： 存 月后的利息为 ，
．
当 时， ．
故答案为： ；2040．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．理解题意，正确列出等式是解题关键．
11．某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用
完．信息如下表：
规格 每包食材含量 每包售价
A包装 1千克 45元
B包装 0.25千克 12元
已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为__________包时，每日所
获总售价最大，最大总售价为__________元．
【答案】 400 22800
【分析】设A包装的数量为x包，B包装数量为y包，总售价为W元，根据题意列出y与x的关系和W与x
的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】解：设A包装的数量为x包，B包装数量为y包，总售价为W元，
根据题意，得： ，
∴y=-4x+2000，
由x≥-4x+2000得：x≥400，
∴W=45x+12y=45x+12（-4x+2000）=-3x+24000，
∵-3＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x=400时，W最大，最大为-3×400+24000=22800（元），
故答案为：400，22800．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解答的关键是根据题意，正确列出
一次函数关系式，会利用一次函数性质解决问题．
12．为了加强公民的节水意识，我市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过 吨时，水价为每吨 元；超过 吨时，超过的部分按每吨 元收费．现有某户居民 月份用水 吨，应交水费 元，
则 关于 的函数关系式是______．
【答案】 /
【分析】由已知得水费 吨的水费 超过10吨的水费，由此可列出一次函数关系式．
【详解】解：依题意有 ．
所以y关于x的函数关系式是 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查的知识点是根据实际问题列一次函数关系式，解题的关键是根据题意，找到所求量的等
量关系是解决问题的关键．
13．某苹果种植合作社通过网络销售苹果，如图所示的线段AB反映了苹果的日销售量y（千克）与销售单
价x（元/千克）间的函数关系，已知1千克苹果的成本是5元，如果某天该合作社的苹果销售单价为8
元/千克，那么这天销售苹果的盈利是 _____元．
【答案】6600
【分析】求出AB的解析式，将x=8代入可得这天销售苹果的日销售量，即可求得这天销售苹果的盈利．
【详解】解：设AB的解析式是y=kx+b，
∴ ，解得 ，
即苹果日销售量y（千克）与苹果售价x（元）的函数解析式是y=-600x+7000（5≤x≤10），
x=8时，苹果日销售量y=-600×8+7000=2200，
∴这天销售苹果的盈利是2200×（8-5）=6600（元）．
故答案为：6600．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
14．漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函
数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位
是时间 的一次函数，下表是小明记录的部分数据，当 为8cm时，对应的时间 为______ ．
… 1 2 3 5 …
… 2.4 2.8 3.2 4 …
【答案】15
【分析】先根据一次函数的性质判断出错误的h值，再利用待定系数法求出h与t的关系式，最后将h=8代
入即可．
【详解】解：设一次函数的表达式为h=kt+b，t每增加一个单位h增加或减少k个单位，
∴由表可知，当t=3时，h的值记录错误．
将（1，2.4）（2，2.8）代入得，
，
解得k=0.4，b=2，
∴h=0.4t+2，
将h=8代入得，t=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查一次函数的应用，能熟练的求出一次函数表达式是解题关键．
三、解答题：
15．如图甲所示，弹簧测力计下面挂一实心圆柱体，将圆柱体从盛有煤油的容器上方离油面某一高度处匀
速下降，使其逐渐浸入煤油中某一深度，如图乙是整个过程中弹簧测力计示数F（N）与圆柱体下降高度h
（ ）变化关系的函数图象，根据图象解答下列问题：(1)求 段所在直线的函数表达式；
(2)当弹簧测力计的示数为 时，求此时圆柱体下降的高度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）把 代入（1）的结论即可．
【详解】（1）解：设 段所在直线的函数表达式为 ，根据题意得：
，
解得 ，
∴ 段所在直线的函数表达式为 ；
（2）当 时， ，
解得 ，
答：此时圆柱体下降的高度为 ．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用和待定系数法求函数解析式的技能，正确求解析式是解答本题的关
键．
16．为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗100棵．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树
苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
(2)若购买甲树苗不少于25棵，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？最少费用是多少元？【答案】(1)甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元
(2)购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少，最少费用是3250元
【分析】（1）设甲种树苗每棵的价格是 元，乙种树苗每棵的价格是 元，可得方程组，即可解得甲种树
苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；
（2）设购买两种树苗共花费 元，购买甲种树苗 棵，可得 ，而 ，
由一次函数性质可得购买甲种树苗25棵，则购买乙种树苗75棵，花费最少，从而计算最少费用．
【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是 元，乙种树苗每棵的价格是 元，
根据题意得： ，
解得 ，
答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；
（2）设购买两种树苗共花费 元，购买甲种树苗 棵，则购买乙种树苗 棵，
∵购买甲树苗不少于25棵，
∴ ，
根据题意： ，
，
随 的增大而增大，
时， 取最小值，最小值为 （元），
此时 ，
∴购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少，最少费用是 元．
【点睛】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
17．某一蔬菜经营商从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共 千克到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价
与零售价如表所示：
品名 黄瓜 茄子
批发价（元/千克）
零售价（元/千克）
(1)若批发黄瓜和茄子共花 元，则黄瓜和茄子各多少千克？
(2)设批发了黄瓜 千克，卖完这批黄瓜和茄子的利润是 元，求 与 的函数关系式．【答案】(1)批发黄瓜 千克，批发茄子 千克
(2) 与 的函数关系式是
【分析】（1）设批发黄瓜 千克，则批发茄子 千克，根据题意列一元一次方程求解即可；
（2）根据利润=每千克利润×数量列函数关系式即可求解．
【详解】（1）解：设批发黄瓜 千克，则批发茄子 千克，
由题意可得： ，
解得 ，
（千克），
答：批发黄瓜 千克，批发茄子 千克；
（2）解：由题意可得，
，
即 与 的函数关系式是 ．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、一次函数的应用，理解题意找准等量关系，正确列出方程和函数
关系式是解答的关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，正方形 的边长为4，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动．设点P运动的路程为
x， 的面积为y，则y与x之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】分点P在边 上，点P在边 上，点P在边 上三种情况，分别求出函数解析式，进行判断
即可．
【详解】解：①点P在边 上时，点P到 的距离为x，
此时： ，
∴ ，
图象为过原点的上升的直线；
②点P在边 上时，点P到 的距离不变为4，
此时： ，
∴ ，
图象为平行于 轴的直线；
③点P在边 上时，点P到 的距离为 ，
此时： ，；
图象为下降的直线；
纵观各选项，只有A选项图象符合．
故选：A．
【点睛】本题考查动点的函数图象问题．解题的关键是确定动点的位置，利用分类讨论的思想进行求解．
2．如图所示， 反映了天利公司某种产品的销售收入与销售量的关系， 反映了该种产品的销售成本与销
售量的关系．根据图象提供信息，下列说法正确的是．（ ）
A．当销售量为2吨时，销售成本是2000元
B．销售成本是3000元时，该公司的该产品盈利
C．当销售量为5吨时，该公司的该产品盈利1000元
D． 的函数表达式为
【答案】D
【分析】利用图象交点得出天利公司盈利以及天利公司亏损情况．
【详解】解：A. 当销售量为2吨时，销售成本是3000元，故选项A说法错误，不符合题意；
B. 销售成本是3000元时，销售利润是2000元，该公司的该产品亏损，故选项B说法错误，不符合题意；
C. 当销售量为5吨时，该公司的该产品盈利 元，故选项C说法错误，不符合题意；
D. 设 的解析式为 ，由图象，得， 解得： ，故 的解析式为： ，所
以，选项D正确，符合题意，
故选：D
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，熟练利用数形结合得出是解题关键．
3．因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是 ，货车行驶时的速度是 ．两车离甲地的路程 与时间
的函数图象如图所示．下列结论：① ②轿车追上货车时，轿车离甲地 ③轿车的速度为
④轿车比货车早 时间到达乙地．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】根据路程等于速度乘以时间及图形可得到货车的解析式，即可得到a的值，从而得到轿车的解析
式即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
货车第一段解析式为 ，
当 时， ，
解得 ，故①正确；
设货车第三段解析式为 ，将 ， 代入得，
，解得： ，
∴货车的解析式为
设轿车的为 ，将 ， ，代入得，
，解得： ，
∴轿车的解析式为： ，故③正确；由图像得辆车相遇时在 处，故②正确；
由图像可知轿车先到则有，
轿车到达时间： ，解得 ，
货车到达时间： ，
，故④错误；
故选A．
【点睛】本题考查用一次函数解决行程问题，解题的关键是看懂函数图像求出解析式．
二、填空题：
4．图中反映某网约车平台收费y（元）与所行驶的路程x（千米）的函数关系，根据图中的信息，当小明
通过该网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持 ，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），
他从家到机场需要_______分钟．
【答案】20
【分析】根据题意可得当 时，y与x的函数关系式，再把 代入函数关系式求出x的值，然后根据
网约车的速度可得答案．
【详解】解：根据图象可知，收费64元，行程以超过3千米，
设当 时，y与x的函数关系式为 ，
根据题意，得： ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
解得 ，
（分钟）．故答案为：20．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，求出相关函数关系式是解答本题的关键．
5．商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分后进行了降价促销，销售金额 （元）与销售量
（件）的函数关系如图所示，则售完这100件商品可盈利______元．
【答案】100
【分析】根据图像，先求降价段图像对应的表达式，然后再由总的销售金额减去总的成本金额即可得解．
【详解】解：设降价段图像的表达式为： ，
将 代入得：
，
解得： ，
；
当 时， （元），
故售完这100件商品可盈利 （元）；
故答案为：100．
【点睛】此时考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图像与性质、二元一次方程组的解法是解答此
题的关键．
6．如图，一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于点A、B两点，以 为边构造等腰直角三角
形 ， ，点C落在第一象限，则点C的坐标是___________．【答案】
【分析】过点C作 轴于点D，则 ， ，先求出点A，B的坐
标，再证明 ，可得 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作 轴于点D，则 ， ，
令 ， ，
令 ， ，
∴点 ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，是综
合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．三、解答题：
7．为了合理利用防疫物资，省防疫指挥部积极在各个地区之间进行物资调配，甲、乙两辆车沿相同的路
线由A地到B地匀速前进，A，B两地间的路程为 ，甲、乙两车前进的路程分别为 、 ，甲
车出发后的时间为 ，甲、乙两车前进的路程与时间的函数图象如图所示，根据图象信息回答下列问题：
(1)甲的速度是________ ，乙比甲晚出发_________h；
(2)请你分别求出甲、乙两人前进的路程 、 与甲出发后的时间 之间的函数关系式；
(3)甲经过多长时间被乙追上？此时两人距离B地还有多远？
【答案】(1)50；1
(2) ；
(3)甲经过 被乙追上；此时两人距离B地还有
【分析】（1）根据甲在 通过的路程为 求出甲的速度即可；根据图象即可得出乙比甲晚出发的时
间；
（2）用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）令 ，求出t的值，求出此时行驶的路程，用总路程减去行驶的路程即可得出此时两人
距离B地的距离．
【详解】（1）解：甲的速度是 ；
乙比甲晚出发 ；
故答案为：50；1．
（2）解：设甲、乙两人前进的路程 、 与甲出发后的时间 之间的函数关系式分别为： ，，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ；
把 ， 代入 得： ，
解得： ，
∴ ；
（3）解：令 ，
解得： ，
∴甲经过 被乙追上；
把 代入 得： ，
，
∴此时两人距离B地还有 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，两条直线的交点问题，解题的关键是熟
练掌握待定系数法，数形结合．
