文档内容
专题 18 一次函数的实际应用问题四种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................1
类型一、一次函数的应用之分配方案问题........................................................................................................1
类型二、一次函数的应用之最大利润问题........................................................................................................6
类型三、一次函数的应用之行程问题..............................................................................................................10
类型四、一次函数的应用之几何问题..............................................................................................................17
压轴能力测评（15题）....................................................................................................................................24
解题知识必备
1. 一次函数的实际应用
1）数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既
合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、
抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
2）正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后
根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
3）选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，
寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
压轴题型讲练
类型一、一次函数的应用之分配方案问题
例题：（24-25八年级下·吉林长春·期中）“琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，
培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进 ， 两种图书作为年级竞诵活动的奖品．
经调查，则进 种图书的总费用 元与购进 种图书本数 之间的函数关系如图所示．(1)①当 时， 与 之间的函数关系式______；
②当 时， 与 之间的函数关系式______；
(2)现学校准备购进 ， 两种图书共100本，已知 种图书每本25元．若购进 种图书不少于50本，且
不超过 种图书本数的1.5倍，购进两种图书的总费用为 元，请求出 与 之间的函数表达式，当 为何
值时能使总费用最少？总费用最少为多少元？
【变式训练】
1．（24-25八年级下·江西吉安·期中）2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味
生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主
题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费
用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元．
(1)求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？
(2)学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》的数量
不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用．
2．（24-25八年级下·山东济南·期中）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批
航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的
数量是用2400元购买航海模型数量的 ．
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不
少于航海模型数量的 ，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
3．（2025·河南洛阳·一模）绿动未来--树木固碳护家园
[素材呈现】
在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳
排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果， 棵成年的阔叶树种（例如杨树）和
棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收 千克二氧化碳，而 棵成年的阔叶树种（例如杨树）和
棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收 千克二氧化碳．
【问题解决】
(1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是
多少千克？
(2)某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共 棵，设购买杨树 棵，这 棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为 千克．
求 与 的函数关系式；
杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这
棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大．
类型二、一次函数的应用之最大利润问题
例题：（2025·河南驻马店·二模）某商店销售 ， 两种型号的商品，销售1台 型和2台 型商品的利润
和为400元，销售2台 型和1台 型商品的利润和为320元．
(1)求每台 型和 型商品的销售利润；
(2)商店计划购进 ， 两种型号的商品共10台，其中 型商品数量不少于 型商品数量的一半，设购进
型商品 台，这10台商品的销售总利润为 元，求该商店购进 ， 两种型号的商品各多少台，才能使
销售总利润最大？
【变式训练】
1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）“传承红色基因，赓续红色血脉”，某中学九年级357名师生一起乘
坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话．
王老师：“客运公司有 两种型号的客车可供租用， 型
客车每辆租金1000元， 型客车每辆租金800元．”
小强：“七年级371人，租用5辆 型客车和3辆 型客车
恰好坐满．”
小国：“八年级364人，租用4辆 型客车和4辆 型客车
恰好坐满．”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)分别求每辆 型客车和 型客车坐满后的载客人数；
(2)因司机紧缺，客运公司只能给九年级师生安排8辆客车，要使九年级每位师生都有座位，九年级应租用
两种客车各多少辆才能使租金最少？最少租金为多少元？
2．（24-25八年级下·四川资阳·期中）某销售商准备采购一批丝绸，经调查，用 元采购 型丝绸的件
数与用 元采购 型丝绸的件数相等，一件 型丝绸进价比一件 型丝绸进价多 元．
(1)求一件 型， 型丝绸的进价分别为多少元?
(2)若销售商购进 型， 型丝绸共 件，其中 型的件数不大于 型的件数，且不少于 件，设购进 型
丝绸 件．
①求 的取值范围；
②已知 型的售价是 元/件， 型的售价为 元/件．则该商家应如何安排进货，才能使销售总利润最
大，最大利润为多少？
3．（2025·四川成都·二模） 年春节，随着电影《哪吒 》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖
丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多 元，用 元购进“哪吒”手办的个数与用 元购进“敖丙”手办的个数相同．
(1)单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种手办共 个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若
“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为 元/个、 元/个．设购进“敖丙”手办的个数为 个，两种
手办全部售完时获得的利润为 元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
类型三、一次函数的应用之行程问题
例题：（2025·浙江绍兴·一模）区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通
过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速．
某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时．甲车以105千米/小时的速度从起点驶入
该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚 小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小
时匀速行驶了 小时后，降低车速，以 千米/小时匀速行驶完剩余路段（减速时间忽略不计），当甲车
行驶了 小时时，行驶路程为 千米，此时乙车在甲车前方4千米处．已知在此区间测速路段，两车行驶
的路程 （千米）与甲车在此路段行驶的时间 （小时）之间的函数图象如图所示．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速．
【变式训练】
1．（24-25九年级下·浙江杭州·期中）已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到
B地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图1中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程 与时间 的函
数关系的图象，其中点F在OC上．请根据图象回答下列问题．(1)当乙出发后几小时甲追上了乙?
(2)设甲、乙两人相距的路程为 ，
①如图2，补全其图象；
②当 时，求对应t的值．
2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明和小亮喜欢骑自行车，某个周末，两人相约从绿博园北门出发
前往开封金明广场．小明骑车的速度较快，如果两人同时出发，小明肯定先到达．现在小明先让小亮骑若
干千米，小明在上午 出发．图中 ， 分别表示两人行驶的路程 与小明行驶时间 的关系．
(1)小亮先骑了 ， 先到达目的地， （填“ ”或“ ”）表示小明行驶的路程与行驶时间之间的关系；
(2)请分别求出小明和小亮在 这段时间内， 与 之间的函数表达式；
(3)若图中 ， 交点坐标为 ， 的实际意义是什么？
(4)请直接写出小明和小亮在什么时间两人相距 ？
3．（24-25八年级下·河北张家口·期中）甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速
游玩，设乙行驶的时间为 ，甲、乙两人距出发点的路程 、 关于 的函数图象如图1所示，甲、乙
两人之间的路程差 关于 的函数图象如图2所示，请你解决以下问题：(1)分别求出 、 与 的函数关系式；
(2)对比图1，图2可知： __________， __________， __________；
(3)甲、乙相遇前，乙出发多少小时，甲、乙两人相距 ？（直接写出 的值）
类型四、一次函数的应用之几何问题
例题：（23-24八年级下·重庆·期中）在 中， ， ， ，动点 从点 出
发沿着折线 运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是 秒， 的长度是 ，
请解答下列问题：
(1)请直接写出 与 的函数关系式及 的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质；
(3)根据图象直接写出当 时，自变量 的取值范围．
【变式训练】
1.（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图1所示，正方形 中， ，点 从点 出发，沿折
线 运动，当它到达点 时停止运动，连接 ，记点 运动的路程为 ，
的面积为 ．
(1)当 时，写出 与 之间的函数解析式______．当 时，写出 与 之间的函数解析式
______．
(2)根据自变量 的取值范围，在如图2所示的平面直角坐标系中画出点 整个运动过程中的函数图象；
(3)请根据函数的图象，写出该函数的一条性质；
(4)请根据函数的图象，直接写出当 时 的取值范围．
2.（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，动点以每秒 的速度从点 出发，沿折线 方向运动．动点 以每秒 的速度从点 同时出发，
沿折线 方向运动．当两者相遇时停止运动．设运动时间为 ，点 ， 的距离为 ．
(1)请直接写出 关于 的函数解析式，并注明自变量 的取值范围．
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质．
(3)当点 ， 相距 时，求出 的值．
3.（23-24八年级下·海南·期中）如图 ，在长方形 中， ， 、点 从 出发，沿
路线运动，到 停止；点 的速度为每秒 ， 秒时点 改变速度，变为每秒 ，图
是点 出发 秒后， 的面积 与 秒 的关系图象；
(1)当点 在 上运动时， 的面积会_______，点 在 上运动时， 的面积会______，点
在 上运动时， 的面积会________； 填“增大”或“减小”或“不变”
(2)根据图 提供的信息，求出 、 及图 中 的值；
(3)设点 离开点 的路程为 ，请写出动点 改变速度后 与出发后的运动时间 秒 的关系式．
(4)当点 出发后几秒时， 的面积 是长方形 面积的 ？压轴能力测评（15题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、
乙两车离开A城的距离y（km）与甲、乙两车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．有下列结论：
①A，B两城相距 ；②乙车比甲车晚出发 ，却早到 ；③乙车出发后 追上甲车；④当甲、乙
两车相距 时， 或 或 ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025八年级下·全国·专题练习）某通讯公司就宽带上网推出 三种月收费方式．这三种收费方式
每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示．小明根据图象得出如下四个结论：①每
月上网不足25小时，选择A方式最省钱；②每月上网费用为60元时，B方式上网的时间比A方式多；③
每月上网时间为 时，选择B方式最省钱；④每月上网时间超过 时，选择C方式最省钱．以上四个
结论中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②③
二、填空题
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，购买一种苹果所付款金额 （元）与购买量 （千克）之间的
函数图象由线段 和射线 组成，若一次购买5千克这种苹果所付金额为 （元），购买五次1千克所
付金额为 （元），则 ．4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）将七个边长为1的正方形按如图方式摆放在平面直角坐标系中，经过
点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为 ．
三、解答题
5．（2025·陕西咸阳·一模）某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况．当他们尝试施
用某种药物时，发现会对 ， 两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，
药物施用量 ( )与 ， 植物的生长高度 ( )， ( )的关系如图所示．
(1)请分别求植物 、植物 生长高度 与药物施用量 的函数关系式；
(2)请求出两种植物生长高度相同时，药物的施用量 ( )为多少？
6．（24-25八年级下·全国·期中）为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月用
水不超过10立方米时，水价为每立方米2.2元；超过10立方米时，超过部分按每立方米2.5元收费．
(1)若某户某月用水8立方米，应交水费多少元？若用水14立方米呢？
(2)写出每户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式；
(3)自来水公司到琪琪家收水费，爸爸、妈妈不在家，琪琪自己手里有30元的零花钱，他最多能交多少立
方米的水费？（水量x为整数）
7．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）深圳市南山区的无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司
旗下无人机配件销售部现有 和 两种配件，它们的进价和售价如表．用 元可购进 产品 件和
产品 件．(利润 售价 进价)
种类 种配件 种配件
进价(元/件)售价(元/件)
(1)求 种配件进价 的值．
(2)若该配件销售部购进 种配件和 种配件共 件，据市场销售分析， 种配件进货件数不低于 种配
件件数的 倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
8．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）镇北台位于榆林市境内，有“万里长城第一台”的称号，为古长城
沿线现存最大的边防要塞之一．周末，小宇一家开车从家出发，前往120千米远的镇北台进行参观，当他
们行驶1小时时，汽车突然发生故障、停车检修后又继续向前行驶，他们离家的距离 （千米）与离开家
的时间 （小时）之间的关系如图所示．
(1)求汽车修好后（图中 段） 与 之间的函数关系式；
(2)当 的值为2时，求小宇一家离镇北台的距离．
9．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）气温可用摄氏温度 和华氏温度 表示．下表是小华查阅资
料得到的部分对应数据：
1 2 3
0
0 0 0
3 5 6
a b
2 0 8
(1)小华发现，y是x的一次函数关系，请根据表中数据求出y与x的函数表达式；
(2)求出a，b的值；
(3)某天贵阳的最高气温是 ，海南的最高气温是 ，这一天海南的最高气温比贵阳的最高气温高多少
摄氏度？
10．（24-25九年级下·辽宁鞍山·开学考试）一辆巡逻车从 地出发沿一条笔直的公路匀速驶向 地，
后，一辆货车从 地出发，沿同一路线每小时行驶 匀速驶向 地，货车到达 地填装货物耗时 ，
然后立即按原路匀速返回 地，巡逻车、货车离 地的距离 与货车出发 之间的函数关系如图所
示，请结合图象解答下列问题：(1) 两地之间距离是_____________ ， _____________；
(2)结合图象，求线段 所在直线的解析式？
(3)货车出发多长时间时，两车相距 ？（直接写出答案）
11．（2025·陕西西安·二模）观赏汉中百里油菜花海，感受汉中独特的风光．假期某校准备组织学生、老
师从西安坐高铁到汉中进行社会实践，为了便于管理，所有师生必须乘坐在同一列高铁上，其中学生有50
人，老师有15人．（师生均按原价购票）
西安到汉中的高铁票价格如下表
运行区间 票价
上车站 下车站 一等座 二等座
西安 汉中 155元/张 97元/张
由于某种原因，二等座高铁票单程只能买 张（ ），其余的须买一等座高铁票，在保证每位参
与人员都有座位坐的前提下．
(1)请你写出购买高铁票的总费用（单程） 与 之间的函数关系式；
(2)购买高铁票的总费用（单程）为6885元，求购买二等座高铁票的数量．
12．（24-25八年级上·山东青岛·期末）学校准备组织学生、老师到潍坊进行社会实践，为了便于管理，师
生必须乘坐在同一列高铁上，根据报名人数，若都买一等座单程火车票需13950元，若都买二等座单程火
车票花钱最少，则需7316元：
青岛北到潍坊北的火车票价格如下表：
运行区间 票价
上车 下车 一等 二等
站 站 座 座
青岛 潍坊
93 59
北 北(1)参加社会实践的学生、老师各有多少人？
(2)由于各种原因，二等座火车票单程最多只能买 张（参加社会实践的学生人数 参加社会实践的总
人数），其余人需要买一等座火车票，在保证师生都有座位并且总费用最低的前提下，请你写出购买火车
票的总费用（单程） 与 之间的函数关系式．
13．（24-25七年级下·全国·课后作业）一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图①，蚂蚁从圆
心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬行，最后回到出发点．蚂蚁离出发点的距离s（单位：
m）与时间t（单位： ）之间的图象如图②所示．回答下列问题（π的值取3）：
(1)花坛的半径是_______m， _______；
(2)当 时，求s与t之间的关系式；
(3)若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了 ，且蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬
行且爬行速度不变．请求出蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点的距离．
14．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向 的出
行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间 之间的对
应关系，其中A品牌的收费方式对应 ，B品牌的收费方式对应 ，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)写出图中函数 ， 的图象交点P表示的实际意义；
(2)求 ， 关于x的函数表达式；
(3)①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的
平均行驶速度均为 ，小明家到工厂的距离为 ，那么小明选择__________品牌共享电动车更
省钱；（填“A”或“B”）
②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？
15．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在四边形 中， ， ， ，
．点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿折线 方向运动，点 从点 出发，以每秒个单位的速度沿 方向运动，到点 后以每秒1个单位的速度沿 方向运动，当两者相遇时停
止运动，设运动时间为 秒（ ）， 的面积为 ．
(1)请直接写出 关于 的函数表达式并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出 面积大于6时， 的取值范围．
