文档内容
专题 16 分式与分式方程中的规律探究和新定义型问题的四种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、分式中的规律探究问题.......................................................................................................................2
类型二、分式方程中的规律探究问题................................................................................................................5
类型三、分式中的新定义型问题.......................................................................................................................9
类型四、分式方程中的新定义型问题..............................................................................................................13
压轴能力测评（12题）....................................................................................................................................17
解题知识必备
1.分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果
要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，
代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为
2.解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
压轴题型讲练
类型一、分式中的规律探究问题
例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）观察下列等式的规律，并回答下列问题：
第 个等式： ；第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；
(1)请写出第 个等式：__________________；
(2)请你写出第 个等式，并证明．
【变式训练1】（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）观察下列等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：___________________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【变式训练2】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）有下列等式：
① ，
② ，
③ ，
④ ，
……
按照以上规律，解决下面问题：
(1)写出第⑤个等式：____________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含正整数n的等式表示），并说明猜想的正确性．类型二、分式方程中的规律探究问题
例题：（22-23八年级上·河北石家庄·期末）解方程：
① 的解是 ；
② 的解是 ；
③ 的解是 ；
④ 的解是 ；
（1）请完成上面的填空；
（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ；
（3）请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解 ．
【变式训练1】（23-24八年级·全国·随堂练习）阅读下列材料：
方程 的解为 ，
方程 的解为x=2，
方程 的解为 ，
……
(1)根据上述规律，可知解为 的方程为_________；
(2)通过解分式方程说明你写的方程是正确的．
【变式训练2】（23-24八年级上·北京朝阳·期末）下面是一些方程和它们的解．
的解为 ， ；
的解为 ， ；
的解为 ， ；
……
根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题：
(1) 的解为_______；
(2)关于x的方程 的解为_______；
(3)关于x的方程 的解为_______．类型三、分式中的新定义型问题
例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】
若分式 与分式 的差等于它们的积， ，则称分式 是分式 的“友好分式”．如 与 ，
因为 ， ，所以 是 的“友好分式”．
【知识应用】
（1）分式 ______ 分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）；
（2）小明在求分式 的“友好分式”时，用了以下方法：
设 的“友好分式”为 ，则 ，
，
．
请你仿照小明的方法求分式 的“友好分式”；
【拓展延伸】
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“友好分式”______；
②若 是 的“友好分式”，求 的值．
【变式训练1】（2024七年级下·安徽·专题练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为
“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，
对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的
次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如 ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可
以化为带分式（即 整式与真分式的和的形式）．
如： ；
解决下列问题：
(1)分式 是 分式（填“真分式”或“假分式”）；(2)将假分式 化为带分式；
(3)如果 为整数，分式 的值为整数，求所有符合条件的 的值．
【变式训练2】（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）阅读材料，并解决问题：
我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为
“假分式”；当分子的次数小于字母的次数时，我们称之为“真分式”．
如 ， 这样的分式就是假分式；再如 ， 这样的分式就是真分式，假分数 可以化成
（即 ）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式，如：
，再如：
，这样，分式就被
拆分成了带分式（即一个整式 与一个分式 的差）的形式．
解决问题：
(1)判断： 是真分式还是假分式： （填“真分式”或“假分式”）；如果是，化成带分式的形
式： ；
(2)思考：当x取什么整数时，分式 的值为整数？
(3)探索：当a为何值时，分式 有最大值？最大值是多少？
类型四、分式方程中的新定义型问题
例题：（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列
为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特
殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两
个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断一元一次方程 与分式方程 是否是“相似方程”，并说明理由；
(2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程 与分式方程 是“相伴方程”？若存
在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
【变式训练1】（23-24八年级上·北京延庆·期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于 的分式方程 的解是 成立，那么我们就把实数a，b称为关于 的分式方程 的一个“方程数
对”，记为[a，b]．例如： ， 就是关于x的分式方程 的一个“方程数对”，记为[2，
]．
(1)判断数对①[3， ]，②[ ，4]中是关于 的分式方程 的“方程数对”的是 ；（只填序号）
(2)若数对[ ， ]是关于 的分式方程 的“方程数对”，求 的值；
(3)若数对[ ]（ 且 ， ）是关于 的分式方程 的“方程数对”，用含m的代数
式表示k．
【变式训练2】（23-24八年级上·湖南怀化·期末）定义：若分式 与分式 的差等于它们的积，即
，则称分式 是分式 的“可存异分式”．如 与 ，因为 ，
，所以 是 的“可存异分式”．
(1)填空： 分式 __________分式 的“可存异分式”（填“是”或“不是”）；
分式 的“可存异分式”是__________；
(2)已知分式 是分式 的“可存异分式”．
求分式 的表达式；
求整数 为何值时，分式 的值是正整数，并写出分式 的值．
压轴能力测评（12题）
一、单选题
1．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）根据 ， ， ， ，…所蕴含的规律可得 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级上·重庆江津·期末）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比真分数、假分数，
我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假
分式”．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．假分式也可以化为带分式．如：
； ．则下列
说法中正确的个数是（ ）
①分式 是真分式；②分式 是假分式；③把分式 化为带分式的形式为 ；④将假分式
化为带分式的形式为 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
3．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）对于代数式 ， ，定义运算“ ”： ，
例如： ，若 ，则 ．
4．（2023·湖北恩施·一模）对于正数 ，规定 ，例如： ， ，
， …利用以上的规律计算：
．
三、解答题
5．（24-25八年级上·湖南常德·期中）解方程：
① 的解为 ；
② 的解为 ；
③ 的解为 ；④ 的解为 ；
……
(1)请根据发现的规律直接写出第⑤、⑥个方程及他们的解；
(2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
6．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）有下列等式：
① ，
② ，
③ ，
④ ，
……
按照以上规律，解决下面问题：
(1)写出第⑤个等式：____________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含正整数n的等式表示），并说明猜想的正确性．
7．（2023·安徽六安·三模）观察以下等式：
第1个等式： ；
第2个等式：， ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
根据以上规律，解决下列问题．
(1)写出第5个等式：______﹔
(2)写出你猜想的第 个等式：______（用含 的等式表示），并证明．
8．（24-25九年级上·全国·课后作业）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和
的形式，则称这个分式为“和谐分式”如： ，
，则 和 都是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）；① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ．
(2)将和谐分式 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______；
(3)应用：先化简 ，并求 取何整数时，该式的值为整数．
9．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
…
(1)观察上述方程的解，猜想关于 的方程 的解是________；
(2)根据上面的规律，猜想关于 的方程 的解是________；
(3)由（2）可知，在解方程： 时，可以变形转化为方程 的形式求值，按要求写出
你的变形求解过程．
10．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）定义：若分式 与分式 的差等于它们的积，即 ，
则称分式 是分式 的“关联分式”．如 与 ，因为 ，
，所以 是 的“关联分式”．
(1)分式 __________分式 的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
(2)小明在求分式 的“关联分式”时，用了以下方法：
设 的“关联分式”为 ，则 ， ，
．请你仿照小明的方法求分式 的“关联分式”．
(3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”：__________．
②用发现的规律解决问题：若 是 “关联分式”，求实数 ， 的值．11．（24-25八年级上·北京·阶段练习）新定义：如果两个实数 使得关于x的分式方程 的解是
成立，那么我们就把实数 组成的数对 称为关于x的分式方程 的一个“关联数对”．
例如： ， 使得关于x的分式方程 的解是 成立，所以数对 就是
关于x的分式方程 的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程 的“关联数对”，若是，请在括号内打“ ” 若不是，
打“ ”．① （ ）；② （ ）．
(2)若数对 是关于x的分式方程 的“关联数对”，求 的值．
(3)若数对 是关于x的分式方程 的“关联数对”，且关于x的方程
有整数解，求整数 的值．
12．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如 （m，n不为零），且两个解分别为
， 的方程称为“十字分式方程”．
例如 为十字分式方程，可化为 ，∴ ， ．
再如 为十字分式方程，可化为 ．∴ ， ．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若 为十字分式方程，则 ______， ______．
(2)若十字分式方程 的两个解分别为 ， ，求 的值．
(3)若关于x的十字分式方程 的两个解分别为 ， （ ， ），
求 的值．
