文档内容
专题 02 二次根式的运算的七种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、最简二次根式......................................................................................................................................2
类型二、同类二次根式......................................................................................................................................4
类型三、二次根式的混合运算...........................................................................................................................6
类型四、二次根式中的分母有理化...................................................................................................................8
类型五、利用二次根式有关运算比较大小......................................................................................................12
类型六、二次根式中的新定义型探究问题......................................................................................................16
类型七、二次根式中的规律探究问题..............................................................................................................19
压轴能力测评（15题）....................................................................................................................................23
解题知识必备
知识点1 二次根式的乘法法则
1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广:
（1）
（2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则
进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
3.二次根式的乘法法则的逆用： （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平
方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广：
知识点2 二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则： （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广： .
知识点3 最简二次根式
1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.分母有理化
（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号.
知识点4 同类二次根式
1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法
分配律，如
知识点5 二次根式的加减
1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2. 二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
知识点6 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括
号里面的（或先去掉括号）
压轴题型讲练
类型一、最简二次根式
例题：（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】（23-24八年级下·青海玉树·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
类型二、同类二次根式
例题：（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列二次根式中，能与 合并的二次根式的是（ ）A． B． C． D．
【变式训练1】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在 ， ， 中与 可以合并的个数有
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式训练2】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是
（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【变式训练3】（2024八年级上·上海·专题练习）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那
么 的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．0
类型三、二次根式的混合运算
例题：（24-25八年级上·全国·期末）计算：
(1)
(2)
【变式训练1】（24-25八年级下·全国·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【变式训练2】（24-25八年级上·山东济南·期中）计算：
(1)
(2)
【变式训练3】（24-25九年级上·河南南阳·期中）计算：
(1) ；
(2) ．类型四、二次根式中的分母有理化
例题：（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）阅读材料并解决问题：
，像上述解题过程中， 与 相乘的
积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
请仿照上面的方法，解决下列问题：
(1)计算： ， ；
若n为正整数，请你猜想 ．
(2)计算： ；
【变式训练1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）在数学学习中，小明遇到一道题：已知 ，求
的值．小明是这样解答的：∵ ， ．请你根据小明的解
题过程，解决下列问题：
(1)填空： _______， _______；
(2)化简： ．
【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如 ，
的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有
理化．
例如：
．
(1)用上述方法化简 ；
(2) ．【变式训练3】（23-24八年级下·福建莆田·期中）在解决问题“已知 求 的值”，小明
是这样分析与解答的:
请你根据小明的分析过程，解决如下问题
(1)化简：
(2)若 ，求 的值．
类型五、利用二次根式有关运算比较大小
例题：（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积
不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如： ， ，我们称 和 互为有理化因式， 和 互为有理化
因式．
（1） 的有理化因式是______（写出一个即可）， 的有理化因式是_______（写出一个即可）；
[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中
不含根号，这种变形叫做分母有理化．
（2）利用分母有理化化简： ．
[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，
这种变形叫做分子有理化．
比如：
（3）试利用分子有理化比较 和 的大小．
【变式训练1】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题：(1)化简： ______， ______；
(2)利用上面的规律，比较 ______ （填“ ”或“ ”或“ ”）．
【变式训练2】（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）我们知道形如 ， 的数可以化简，其化简
的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如 ，
，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把 叫做 的有理化
因式， 叫做 的有理化因式，完成下列各题．
(1) 的有理化因式是_________， 的有理化因式是_________；
(2)化简： ；
(3)比较 ， 的大小，说明理由．
【变式训练3】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如
的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化” ；
．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化” ；
．
根据上述知识，请你解答下列问题：
(1)化简 ；
(2)比较 与 的大小，并说明理由．类型六、二次根式中的新定义型探究问题
例题：（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若 ，则称x和y是关于1的平衡数．
(1)4与______是关于1的平衡数； 与______是关于1的平衡数；
(2)已知m为整数，若 ，判断 与 是不是关于1的平衡数，并说明
理由．
【变式训练1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 是有理
数，则称 与 是关于 的“友好二次根式”．
(1)若 与 是关于15的友好二次根式，求 ；
(2)若 与 是关于4的友好二次根式，求 ．
【变式训练2】（24-25九年级上·湖南·阶段练习）定义：若两个二次根式a，b满足 ，且c是有理数，
则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与 是关于6的共轭二次根式，求a的值；
(2)若 与 是关于2的共轭二次根式，求m的值．
【变式训练3】（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）我们规定用 表示有序数对．给出如下定义：记
， ，其中 ， ，将 与 称为有序数对 的一对“对称数对”．例如；
的一对“对称数对”为 和 ．
(1)有序数对 的一对“对称数对”是＿＿＿；
(2)若有序数对 的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿；
(3)若有序数对 的一个“对称数对”是 ，则x的值为＿＿＿；
(4)若有序数对 的一个“对称数对”是 ，求 的值．
类型七、二次根式中的规律探究问题
例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一
般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：
等式①： ；等式②： ；
等式③： ；等式④：______________；……
(1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整；(2)【归纳猜想】若 为正整数，用含 的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；
(3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式 （ 均为正整数），若该等式符合上述规律，则
的值为______．
【变式训练1】（23-24八年级下·甘肃金昌·期中）观察下列各式及验证过程： ，
验证 ； ，
验证 ，
验证
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想 的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用 为任意的自然数，且 表示的等式，并给出证明．
【变式训练2】10．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）观察下列各式及其验证过程
，
验证：
，
验证：
(1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想 的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用 （ 为自然数且 ）表示的等式并给出说明．
压轴能力测评（15题）
一、单选题1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）下列根式中能与 合并的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是（
）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）若最简二次根式 与 是同类根式，则
．
6．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）请写出一个正整数m的值使得 是最简二次根式， ．
7．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）如最简二次根式 与 能进行合并，且 ，
化简： ．
8．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数 ， ，定义一种运算 如下：
，如 ，那么 ．
三、解答题
9．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）计算：
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ．
10．（23-24八年级下·云南昆明·期中）已知实数 ， ，定义“★”运算规则如下：
，求 的值．
11．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）分母有理化应用：
(1)填空： 的有理化因式是________；将 分母有理化得________；
(2)化简： ；
(3)利用以上解题方法比较 与 的大小，并说明理由．
12．（23-24八年级下·山东威海·期末）定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 为有理数，则称
与 是关于 的共轭二次根式．
(1) 与 是关于______的共轭二次根式；
(2)若 与 是关于2的共轭二次根式，则 ______；
(3)若 与 是关于12的共轭二次根式，求 的值．
13．（24-25九年级上·吉林长春·期末）阅读材料，回答下列问题．
【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为
有理化因式．例如： ，我们称 和 互为有理化因式， 和
互为有理化因式．
（1） 的有理化因式是______， 的有理化因式是______；（写出一个即可）
【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母
中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
（2）利用分母有理化化简： ；
【材料三】与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这
种变形叫做分子有理化．例如： ．
（3）用分子有理化直接比较 和 的大小．
14．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律，
特例1：
特例2：
特例3： ＝
特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子）
(2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ；
(3)请证明你的猜想；
(4)应用运算规律计算： ．
15．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列各式的计算过程，寻找规律：
；
；
；…
利用发现的规律解决下列问题．
(1)化简式子 ______；
(2)直接写出式子的值： ；
(3)计算： （n为正整数）．
