文档内容
专题 14 一次函数的图象和性质的十种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、正比例函数与一次函数的理解............................................................................................................2
类型二、一次函数的图象和性质.......................................................................................................................4
类型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限.............................................................................................7
类型四、已知一次函数经过的象限求参数的范围.............................................................................................9
类型五、一次函数图象与坐标轴的交点问题...................................................................................................10
类型六、利用一次函数的增减性比较函数值的大小.......................................................................................12
类型七、根据一次函数的增减性求参数..........................................................................................................14
类型八、画一次函数的图象.............................................................................................................................16
类型九、一次函数的平移问题.........................................................................................................................20
类型十、求一次函数的表达式.........................................................................................................................22
压轴能力测评（18题）....................................................................................................................................25
解题知识必备
1. 一次函数的定义
1.正比例函数的概念：
一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。
2.一次函数的概念：
一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.
当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.
2.一次函数的图象和性质
1.正比例函数的图象与性质：
（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线 y=
kx 。
(2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；
当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。
2.一次函数的图象与性质：
一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ]如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数
概念
.当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.
图像 一条直线
k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；
性质
k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；
直线y=kx+b （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；
（k≠0）的位置与（3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限；
k、b符号之间的关（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；
系. （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；
（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
3.用待定系数法求一次函数的表达式
1.求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；
2.求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.
压轴题型讲练
类型一、正比例函数与一次函数的理解
例题1：（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】识别一次函数
【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键；根据一次函数的定义条件
进行逐一分析即可．
【详解】解：A．函数 其形式为 （ 为常数， ） ，不符合一次函数 （ ， 为
常数， ）的形式，故该选项不符合题意；
B．函数 是其自变量 的最高次数是 ，不符合一次函数自变量最高次数为 的要求，故该选项不
符合题意；
C．函数 可变形为 ，符合一次函数 （ ， ， ）的形式，故该选
项符合题意；
D．函数 是常数函数，无论 取何值， 的值恒为 ，不符合一次函数的形式，故该选项不符合题意；
故选：C．例题2：（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）下列函数（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） （k为常数）中，正比例函数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如 （k为常数， ）的函数叫做正比例函数，由此判
断即可．
【详解】解：(1) 是正比例函数；
(2) ，是一次函数，不是正比例函数；
(3) 不是正比例函数；
(4) 不是正比例函数；
(5) （k是常数），当 时，不是函数，当 时，是正比例函数；
所以是正比例函数的个数有1个，
故选：A．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题考查正比例函数的定义，根据形如y=kx(k≠0)的函数是正比例函数直接逐个判断即可得到
答案．
【详解】解：由题意可得，
是正比例函数， 不是正比例函数， 是一次函数， 不是函数，故选项A符
合题意，选项B、C、D不符合题意，
故选：A．
2．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）下列函数： ， ， ，
，其中一次函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】识别一次函数
【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数定义即可判断求解，解题的关键是正确理解一次函数定义，形如 ，其中 ， 是常数．
【详解】解：根据一次函数定义可得： 是一次函数； 是一次函数；
不是一次函数； 不是一次函数；
综上可得，一次函数为
故选： ．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）函数 ，其中是一次函数的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】识别一次函数
【分析】本题主要是一次函数的定义；一般地，形如 是常数）的函数，叫做一次函数，
据此进行判断即可．
【详解】解： ， 是一次函数，共2个，
故选：B．
类型二、一次函数的图象和性质
例题1：（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数 ，下列结论不正确的是（ ）
A．点 在函数 的图象上 B．y随x的增大而减小
C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：对于正比例函数 ， ，图象过原点，经过二、四象限，且 随 的增大而减
小，
当 时， ，即点 在函数 的图象上；
所以B、C、D三个选项正确，选项A不正确；
故选：A．
例题2：（24-25八年级上·江西抚州·期中）对于一次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大B．图象可由直线 向下平移1个单位得到
C．点 ， 都在直线 1上，则
D．图象经过第二、三、四象限
【答案】C
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性、比
较一次函数值的大小
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐
一分析各选项的正误是解题的关键．
【详解】解：A、 ， 的值随 值的增大而减小，原说法错误，不符合题意；
B、一次函数 可由直线 向上平移1个单位得到，原说法错误，不符合题意；
C、 的值随 值的增大而减小， ， ，则该说法正确，符合题意；
D、 ， ， 一次函数 的图象经过第一、二、四象限，原说法错误，不符合题
意；
故选：D ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）对于函数 （k是常数， ）的图象，下列说法不正确的是
（ ）
A．是一条直线 B．过点
C．y随x的增大而增大 D．经过一、三象限或二、四象限
【答案】D
【知识点】正比例函数的性质
【分析】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数 （ ）的图象是直线，当 ，经过第一、
三象限，y随x的增大而增大；当 ，经过第二、四象限，y随x的增大而减小．根据正比例函数的性质
求解．
【详解】解：对于函数 （k是常数， ）的图象，
A、是一条直线，说法正确，故本选项不合题意；
B、∵当 时， ，
∴直线 经过点 ，故本选项不合题意；
C、∵ ，
∴y随x的增大而增大，故本选项不合题意；
D、∵ ，∴直线 经过第一、三象限，不经过二、四象限，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）关于直线 ，下列说法正确的是（ ）
A．直线 在 轴上的截距是 B．直线 经过第二、三、四象限
C． 随 的增大而增大 D．点 在直线l上
【答案】B
【知识点】判断一次函数的图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键．
根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：A、当 时， ，
∴直线 在 轴上的截距是 ，选项说法错误，不符合题意；
B、 ，直线 经过第二、三、四象限正确，符合题意；
C、 ， 随 的增大而减小，选项说法错误，不符合题意；
D、当 时， ，点 不在直线l上，选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知一次函数 ，则下列判断错误的是（ ）
A．直线 在 轴上的截距为
B．直线 不经过第二象限
C．直线 在 轴上方的点的横坐标的取值范围是
D．该一次函数的函数值 随自变量 的值增大而增大
【答案】C
【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数解析式判断其经过
的象限
【分析】本题考查了一次函数图象经过的象限、一次函数的性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关
键．根据一次函数解析式中k、b的值可判断选项A、B、D；令 ，求得 ，则可判断选项C．
【详解】解：A、当 时， ，直线 在 轴上的截距为 ，故原说法正确，
B、直线 经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故原说法正确，
C、直线 在 轴上方的点，即 ，则横坐标的取值范围是 ，故原说法错误，
D、 ，该一次函数的函数值 随自变量 的值增大而增大，故原说法正确，
故选：C．
4．（24-25八年级下·上海·阶段练习）一次函数 经过点 ，那么这个一次函数（ ）A．y随x的增大而增大 B．图像与y轴交点在x轴的下方
C．图像与x轴交点在y轴的左侧 D．图像不经过第三象限
【答案】D
【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数解析式判断其经过
的象限、求一次函数解析式
【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的增减性，求一次函数解析式，一次函
数图像与其系数的关系，先利用待定系数法求出一次函数解析式，进而可判断增减性和经过的象限，再求
出与坐标轴的交点坐标即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴原一次函数解析式为 ，
∴y随x的增大而减小，图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故A说法错误，不符合题意；D说
法正确，符合题意；
当 时， ，当 时， ，
∴一次函数 与x轴，y轴分别交于 ，
∴图像与y轴交点在x轴的上方，图像与x轴交点在y轴的右侧，故B、C说法错误，不符合题意；
故选：D．
类型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限
例题：（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）一次函数 的图象不经过第 象限．
【答案】三
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
根据一次函数的性质判断其经过的象限，即可得出不经过的象限．
【详解】解：∵一次函数中 ， ， ，
∴一次函数 过第一、二、四象限，
∴一次函数 的图象不经过第三象限．
故答案为：三．
【变式训练】
1．（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）一次函数 的函数值y随x的增大而减小，它的图
象不经过的第 象限．
【答案】一
【知识点】根据一次函数增减性求参数、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查了一次函数的性质、判断一次函数的图象所经过的象限，由一次函数的增减性得出 ，结合 即可得出该函数图象经过第二、三、四象限，从而得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题
的关键．
【详解】解：∵一次函数 的函数值y随x的增大而减小，
∴ ，
∵ ，
∴该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故答案为：一．
2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知直线 与直线 平行，则直线 不经过第
象限．
【答案】三
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数图象经过的象限，根据两直线平行可知两直
线解析式的一次项系数相等，则 ，据此可得直线 经过的象限，进而可得答案．
【详解】解：∵直线 与直线 平行，
∴ ，
∴则直线 经过第一、三、四象限，不经过第三象限，
故答案为：三．
3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线 经过第一、三、四象限，那么直线
经过第 象限．
【答案】一、二、四
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题考查了一次函数的图象（已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数解析式判断其经过
的象限），熟练掌握 、 的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的关键：对于一次函数
（ ），当 时，一次函数图象必过一、三象限；当 时，一次函数图象必过二、四象
限；当 时，一次函数图象与 轴交于正半轴；当 时，一次函数图象与 轴交于负半轴；或者说：
当 ， 时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当 ， 时，一次函数图象经过第一、三、
四象限；当 ， 时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当 ， 时，一次函数图象经过
第二、三、四象限．
根据 、 的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案．
【详解】解： 直线 经过第一、三、四象限，
， ，
， ，
直线 经过第一、二、四象限，
故答案为：一、二、四．类型四、已知一次函数经过的象限求参数的范围
例题：（2025·湖南·二模）若一次函数 图像经过第四象限，则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图形经过象限的判定方法是关键．
根据一次函数经过第四象限，一次函数与 轴的交点即可判定．
【详解】解：一次函数 中， ，
∴一次函数图像与 轴交于正半轴，
∵一次函数图象经过第四象限，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2025·天津河东·一模）如果一次函数 的图象一定经过第二、三象限，那么常数 的值
可以是 （写出一个即可）．
【答案】2（答案不唯一）
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
根据一次函数的图象与系数的关系可知 ，进一步给 取值即可．
【详解】解：∵一次函数 （ 为常数）的图象经过第二、三象限，且恒过点 ，
∴一次函数 （ 为常数）的图象经过第一、二、三象限，
，即 ，
∴ 的值可以为2，
故答案为：2（答案不唯一）．
2．（2025·四川广安·模拟预测）已知一次函数 的图象不经过第三象限，则k的取值范围为
【答案】
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，由图象所在的象限得到关于k的不等式是解题的关键．由
一次函数不经过第三象限可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围．
【详解】解：∵一次函数 的图象不经过第三象限，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）直线 恒过一定点，则该定点的坐标为 ，若该直线不经过第二象限，则k的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题主要考查了一次函数图象与性质，以及函数图象与系数的关系，对于 与y轴交于
，若函数图象不经过第二象限，则 ， ，根据相关性质求解即可．
【详解】解： ，
当 时， ，
该函数的图象一定过定点 ，
该函数图象不经过第二象限，
，
，
故答案为： ； ．
类型五、一次函数图象与坐标轴的交点问题
例题：（24-25八年级下·上海·阶段练习）直线 与坐标轴围成的三角形的面积为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了一次函数的性质，三角形的面积等知识，求出直线与坐标轴的交点坐标即可解决问题，
解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
【详解】解：由直线 得：当 时， ，当 时， ，
∴直线与坐标轴的交点为 和 ，
∴与坐标轴围成的三角形的面积为 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）若直线 与x轴、y轴围成的三角形面积为9，则b＝
．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先用b表示出直线与x、y轴的交点，再利用三角形
的面积公式即可得出结论．【详解】解：一次函数 与x轴的交点为 ，与y轴的交点为 ．
∵直线 与x轴、y轴围成的三角形面积为9，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如果直线 与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值
为
【答案】 或
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，先根据坐标轴上点的坐标特征确定直线 与
轴的交点坐标为 ，与 轴的交点坐标为 ，再根据三角形面积公式得到 ，然后解
方程即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：把 代入 ，得 ，
把 代入 ，得 ，
解得： ，
∴直线 与 轴的交点坐标为 ，与 轴的交点坐标为 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： 或 ．
3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线 与x轴、y轴分别交于
A、B两点，点C是y轴负半轴上一点，点B关于直线 的对称点D落在x轴上，则点D的坐标是
【答案】
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、用勾股定理解三角形、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题主要考查一次函数的综合应用．利用勾股定理可得 ，由折叠得 ，即可
得出点D的坐标．【详解】解：把 代入 得 ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴ 、 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
由折叠得： ，
∴ ，
∴点 ，
故答案为： ．
类型六、利用一次函数的增减性比较函数值的大小
例题：（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知点 、 都在直线 上，则
．（填“>”、“<”或“=”）
【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数解析式得出 随着 的增大而增大，结合 即可得解，
熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．【详解】解：∵ ， ，
∴ 随着 的增大而增大，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知点 都在函数 的图象上，则
的大小关系为 ．（用“<”号连接）
【答案】
【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征即可求解，解答
本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴y随x的增大而减小，
∵ 都在函数 的图象上，且 ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·重庆·期中）若点 ，点 ，点 都在一次函数 的图象
上，则 与 的大小关系是 ．
【答案】
【知识点】求一次函数解析式、判断一次函数的增减性、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
先根据点 代入可得 ，再根据一次函数的增减性即可得．
【详解】 点 在一次函数 的图象上，
，解得： ，
一次函数解析式为 ，
，
随 的增大而减小，
又 点 ，点 都在一次函数 的图象上，且 ，
．
故答案为： ．3．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）点 在一次函数 的图像上，
当 时， ，则a的取值范围是 ．
【答案】 /
【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关
键．根据一次函数 的图像，当 时，y随着x的增大而减小分析即可．
【详解】 当 时， 随着 的增大而减小，
故答案为： ．
类型七、根据一次函数的增减性求参数
例题：（24-25八年级上·贵州毕节·期末）已知一次函数 ，若y随x的增大而减小，那么m
的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
根据一次函数的性质得出 ，求解即可．
【详解】解：∵一次函数 ，若y随x的增大而减小，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）若y关于x的一次函数 ，y随x的增大而增大，则
m的范围为 ．
【答案】
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握系数 的意义．
利用一次函数与系数的关系， 、 决定着函数图象的位置，在一次函数 中，当 ，y随x的
增大而增大，当 ，y随x的增大而减小，即可判断．
【详解】解：∵一次函数 ，y随x的增大而增大，
∴ ．∴ ．
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知一次函数 ，当 时，函数 的最小值是
5，则 ．
【答案】5或
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键，注意分情况讨论．
分情况讨论：① 时，当 时，函数 取得最小值5，② 时，当 时，函数 取得最小值
5，分别求解即可．
【详解】解：① 时，
当 时，函数 取得最小值5，
，
解得 ；
② 时，
当 时，函数 取得最小值5，
，
解得 ，
综上所述， 或 ，
故答案为：5或 ．
3．（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）已知 是直线 上的两点，若 ，
则k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了一次函数的增减性．熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
当 时， ，可知 随着 的增大而增大，即 ，计算求解即可．
【详解】解：∵当 时， ，
∴ 随着 的增大而增大，
，
解得， ，
故答案为： ．类型八、画一次函数的图象
例题：（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）作出函数 的图象，并根据图象回答问题：
(1)当 取何值时， ？
(2)当 时，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象
【分析】本题主要考查了画一次函数图象，求一次函数自变量和函数值的取值范围，利用数形结合的思想
求解是解题的关键．
（1）利用描点法画出对应的函数图象，再根据函数图象进行求解即可；
（2）根据函数图象进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示函数图象即为所求，
由函数图象可得，当 ．
（2）解：由函数图象可得，当 时， ．
【变式训练】1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于 、 两点．
(1)求 、 两点的坐标；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象．
【答案】(1) ，
(2)见解析
【知识点】画一次函数图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题主要考查一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数图像的画法是
解题的关键．
（1）根据一次函数解析式求出点 、 坐标即可；
（2）根据点 、 坐标，画出一次函数图象即可；
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，解得 ，
∴ ，
（2）如图，直线 即为所求．
2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数 的图象与直线 平行，且当 时，
．(1)求出这个一次函数的表达式；
(2)画出该函数的图象．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】画一次函数图象、求一次函数解析式
【分析】（1）根据一次函数 的图象与直线 平行，得 ，于是解析式变为 ，把
当 时， 代入解析式解答即可．
（2）利用描点法画图象即可．
本题考查了直线的平行条件，待定系数法，画函数图象，熟练掌握平行的条件，待定系数法是解题的关键．
【详解】（1）解：根据一次函数 的图象与直线 平行，
得 ，
故直线的解析式变为 ，
把当 时， 代入解析式得 ，
解得 ，
故直线的解析式为 ．
（2）解：根据描点法画图象， ，画图如下：3．（24-25八年级上·广东河源·期末）已知函数 ．
x 0
0
(1)填表，并画出这个函数的图象；
(2)若将函数 的图象向上平移2个单位，设平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，求
的面积．
【答案】(1)见解析
(2)1
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、一次函数图象平移问题
【分析】本题主要考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键．
（1）将 代入即可求出y的值，将 代入即可求出x的值；用描点法即可画出图象；
（2）先求出平移后的直线的表达式，再求出A、B两点的坐标，即可得出答案．
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时，即 ，
解得： ．
填写表格如下，
x 0
0
图象见下图：；
（2）解：平移后的直线为 ，
即 ，
当 时， ，
当 时， ，
解得： ，
则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
所以 的面积 ．
类型九、一次函数的平移问题
例题：（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）直线 的图象向下平移4个单位，所得直线的函数解
析式为： ．
【答案】 /
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】本题主要考查一次函数的平移，熟记平移法则“左加右减，上加下减”来直接得到平移后的解析
式．根据平移的规则“上加下减”即可得出结论．
【详解】解：直线 的图象向下平移4个单位，所得直线的函数解析式为 ，即
，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）直线 向右平移 个单位后过点 ，则 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据点的平移求得直线 向右平移 个单位前过点，再利用待定系数法即可求得 的值，根据平移规律得到平移前过点 是解题的关键．
【详解】解：∵直线 向右平移 个单位后过点 ，
∴直线 向右平移 个单位前过点 ，
把点 代入直线 得， ，
，
故答案为： ．
2．（2025·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，若将直线 向上平移 （
）个单位所得的直线经过点 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．
先根据平移规律求出直线 向上平移 个单位所得的直线 ，再把点 代入，即可
求出 的值．
【详解】解：∵直线 向上平移 个单位，
∴平移后的直线为 ，
∵所得的直线经过点 ，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线l经过 和 ，把直线l沿x轴向左平移2个单位，
再向下平移一个单位得到直线 ，则直线 的解析式为 ．
【答案】
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，先求出直线l的解析式，再根据一
次函数平移规律即可解答．
【详解】解：设直线l的解析式为 ，
∵直线l经过 和 ，则 ，
解得： ，
∴直线l的解析式为 ，
把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线 ，则直线 的解析式为 ，
故答案为： ．
类型十、求一次函数的表达式
例题：（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知正比例函数 的图象经过点 ．
(1)求这个函数的表达式；
(2)判断点 是否在该函数图象上？
【答案】(1)
(2)点 不在该函数图象上
【知识点】正比例函数的性质
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、正比例函数图象上的点的特征，熟练掌握知识点是解题的
关键．
（1）把把点 代入正比例函数 ，解出k的值即可得到解析式；
（2）将点 的横坐标 代入 ，解出y的值与点 的纵坐标对比即可得到答案．
【详解】（1）解：把点 代入正比例函数 ，
得
解得 ，
这个函数的解析式为 ，
（2）将点 的横坐标 代入 ，
得 ，
点 不在该函数图象上．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 过点
，且与x轴交于点A．
(1)求 的函数表达式；
(2)将 向下平移 个单位长度得到直线 ，若平移后的直线 经过点A关于y轴的对称点，求n的值．【答案】(1)
(2)2
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数的图象与性质、坐标与图形变化——轴对称，掌
握相关知识点是解题的关键．
（1）代入点 到 ，利用待定系数法即可求解；
（2）先求出点A的坐标，得出点A关于y轴的对称点的坐标，再根据一次函数的平移，设出 的函数表达
式，再代入对称点的坐标即可求出n的值．
【详解】（1）解：代入点 ，得 ，
解得： ，
的函数表达式为 ．
（2）解：令 ，则 ，
解得： ，
，
点A关于y轴的对称点为 ，
将 向下平移 个单位长度得到直线 ，
设 的函数表达式为 ，
代入 得， ，
解得： ，
n的值为2．
2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，O是原点，一次函数 的图像经过
和 两点．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)求直线 与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积．
（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法，即可求出该一次函数的表达式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线 与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的
面积公式，即可求出直线 与坐标轴围成的三角形的面积．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象经过 和 两点，
∴ ，
解得 ，
∴该一次函数的表达式为 ；
（2）解：设直线 与x轴、y轴分别交于A，B，
在 中，令 ，得 ，
∴ ，
∴ ；
令 ，得 ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故直线 与坐标轴围成的三角形的面积为 ．
3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数 （a为常数， ）的图象过点
．
(1)求一次函数的表达式．
(2)若点 ， 都在该函数的图象上．
①当 时，求 的取值范围．
②请判断 ， 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；② ，理由见解析【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、比较一次函数值的大小
【分析】本题考查一次函数的解析式，一次函数的性质．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①由（1）知一次函数的表达式，根据一次函数的性质确定出当 和 时的函数值，即可解
答；
②根据一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：根据题意，将点 代入一次函数 中，
则 ，
解得： ，
∴一次函数的表达式为 ；
（2）解：①由（1）知一次函数的表达式为 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
当 时，则 ，
当 时，则 ，
∴当 时， 的取值范围为 ；
② ，理由如下：
由①知一次函数 ， 随 的增大而减小，
∵ ，
∴ ．
压轴能力测评（18题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·广西梧州·期末）下列函数中，一次函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】识别一次函数
【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
根据一次函数的定义逐项判断即可．【详解】解：A. ，不是一次函数，故该选项不符合题意；
B. ，是一次函数，故该选项符合题意；
C. ，是二次函数，故该选项不符合题意；
D. ，当 时，不是一次函数，故该选项不符合题意；
2．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知点 在一次函数 的图象上，且
，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一次函数增减性求参数
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，解一元一次不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于 的不等式，可求得 的取值范围．
【详解】解：∵点 在一次函数 的图象上，且 ，
∴ 随 的增大而增大，
∴ ，解得： ，
故选：C．
3．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）关于一次函数 ，下列结论错误的是（ ）
A．函数图象是一条直线 B．函数图象过定点
C．函数图象经过第二、三、四象限 D．当 时，
【答案】D
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的
增减性
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质．根据一次函
数的图象与性质分别分析各选项即可．
【详解】解：A、∵函数 为一次函数，故图象是一条直线，A正确，不符合题意；
B、当 时， ，
∴该一次函数图象过定点 ，
故B正确，不符合题意；
C、∵ ， ，
∴该函数图象经过第二、三、四象限，
故C正确，不符合题意；D、∵当 时， ，
∵
∴y随x的增大而减小，
∴当 时， ，
故D不正确，符合题意；
故选：D．
4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在同一平面直角坐标系中，正比例函数 与一次函数
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的知识，掌握了以上知识是解题的关键；
根据正比例函数和一次函数的性质确定所经过的象限，进行作答，即可求解．
【详解】解：∵正比例函数 与一次函数 的比例系数都是 ，
∴两直线平行，
∴排除选项C和选项D，
∵当 时， 经过一、二、三象限，当 时， 经过二、三、四象限，
∴排除B选项，正确答案为A选项．
故选：A．
5．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）如图，点A，B，C在一次函数 的图象上，它们的横
坐标依次为 ，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A．1 B．3 C． D．4
【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及函数图象，根据一次函数的系数
结合函数图象，得出三个三角形均是底为 ，高为 的直角三角形是解题的关键.
【详解】由题意可知：三个三角形均是底为 ，高为 的直角三角形，
，
故选：B.
6．（24-25八年级上·安徽六安·期中）下列说法正确的是（ ）
A．直线 必经过点
B．若点 、 均在直线 上，且 ，那么
C．若直线 经过点 ， ，当 时，该直线不经过第二象限
D．若一次函数 的图象与y轴交点纵坐标是3，则
【答案】A
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、求一次函数解析式、比较一次函数值的大小
【分析】考查因此函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，这个选项进行判断，最后得出答案．
【详解】解：A、点 的坐标满足直线 的关系式，因此A选项符合题意；
B、直线 ，y随x的增大而减小，当 时， ，因此B选项不符合题意；
C、当 时，用待定系数法求出关系式为 ，进而得出直线经过第二象限，因此选项C不符
合题意；
D、因为 ，m不能为1，因此选项D不符合题意．
故选：A．
二、填空题
7．（24-25八年级上·四川成都·期末）直线 与x轴交点坐标为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式
是解题的关键．
令 ，求出x的值即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，解得 ，
即直线 与x轴的交点坐标为： ，故答案为： ．
8．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）已知正比例函数 ，y的值随x的值的增大而增大，那么
m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集、正比例函数的性质
【分析】本题考查正比例函数的性质，根据正比例函数 ，当 时，y的值随x的值的增大而
增大；当 时，y的值随x的值的增大而减小解答即可．
【详解】解：∵正比例函数 ，y的值随x的值的增大而增大，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
9．（24-25八年级上·山东青岛·期中）若 为一次函数，则 ．
【答案】3或5
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】本题考查一次函数的定义．根据一次函数的定义可得自变量的次数为1，且系数不为零可得关于
m的方程，然后求解即可．
【详解】解：∵ 是一次函数，
∴ ，且 ，
解得： 或3．
故答案为：3或5．
10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知一次函数 的图象不经过第二象限，则m
的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数 ，当 函数图象经过
一、二、三象限；当 时，函数图象经过一、三、四象限； 时，函数图象经过一、
二、四象限；当 时，函数图象经过二、三、四象限．依据一次函数 的图
象不经过第二象限，可得函数表达式中一次项系数大于0，常数项不大于0，进而得到m的取值范围．
【详解】解：∵一次函数 的图象不经过第二象限，∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
11．（24-25八年级下·全国·单元测试）若点 在函数 的图象上，则代数式 的值
等于 ．
【答案】2027
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式
是解题的关键．
由点 在函数 的图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出 ，将其代入
中即可求出结论．
【详解】解：∵点 在函数 的图象上，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2027．
12．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如果将函数 的图象向下平移得到直线 ，若直线 经过
点 ，且 ，则直线 对应的函数表达式为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换．根据“上加下减”的平移法则，设出直线 的函数
表达式，再结合 即可解决问题．
【详解】解：由题意知，设直线 的函数表达式为 ，
因为直线 经过点 ，
所以 ，
即 ．
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，所以直线AB的函数表达式为 ．
故答案为： ．
三、解答题
13．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知 是 的一次函数，且当 时， ；当 时，
．
(1)求一次函数的表达式；
(2)当 时，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求函数值，
（1）设这个一次函数的表达式为 ，利用待定系数法求解；
（2）将 代入计算即可．
【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为 ，
∵当 时， ；当 时， ．
∴ ，
解得 ，
∴这个一次函数的表达式是 ；
（2）当 时， ．
14．（广西壮族自治区梧州市2024-2025学年八年级上学期第一次月考考试数学试题）如图，直线 经过点
和点 ，且与x轴相交于点B．(1)求直线 的函数表达式．
(2)求三角形 的面积．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）设直线l的函数表达式为 ，把点A、P的坐标代入解析式，利用方程组求出k、b的值
即可得解；
（2）先求出B点坐标，根据点A、B的坐标求出 的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得
解．
【详解】（1）解：设直线l的函数表达式为
∵直线l经过点 和点 ，
，
解得
直线l的函数表达式为 ；
（2） 与x轴相交于点B，
，
，
， ，
．
15．（24-25八年级上·江苏常州·期末）已知关于 的一次函数为 ．
(1)若这个函数的图象经过原点，求m的值；
(2)若 ，求这个函数与两坐标轴的交点坐标；
(3)若这个函数的图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)与 轴的交点为 ，与 轴的交点为
(3)【知识点】求一次函数解析式、已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查的是一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上
各点一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
（1）直接把 代入求出 的值即可；
（2）利用坐标轴上点的坐标特征求得即可；
（3）根据一次函数的性质列出关于 的不等式组，求出 的取值范围即可．
【详解】（1）解： 这个函数的图象经过原点，
当 时， ，即 ，
解得 ；
（2）解：若 ，则函数为 ，
当 时， ；当 时， ，
这个函数与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ；
（3）解： 这个函数的图象经过第一、三、四象限，
，
解得 ．
16．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）已知点 在正比例函数 的图像上．
(1)求 的值；
(2)若点 在函数 的图像上，求出 的值；
(3)若点 在函数 的图像上，且 ，试比较 的大小．
【答案】(1)
(2)2
(3)
【知识点】正比例函数的性质、求一次函数解析式、正比例函数的图象
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式一次正比例函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关
键．
（1）将点 代入正比例函数 ，然后求解即可；
（2）由（1）可知，该正比例函数解析式为 ，将点 代入并求解即可；
（3）结合（1）可知该函数 随 的增大而减小，然后根据正比例函数的性质即可获得答案．
【详解】（1）解：将点 代入正比例函数 ，
可得 ，解得 ；
（2）由（1）可知，该正比例函数解析式为 ，将点 代入，可得 ；
（3）对于正比例函数 ，
∵ ，
∴函数 随 的增大而减小，
又∵ ，
∴ ．
17．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知函数 ．
(1)填表，并画出这个函数的图象：
x …… 0 ______ ……
…… ______ 0 ……
(2)根据函数 的性质或图象：
①当 ，x的取值范围是______；
②当 时，y的取值范围是______．
【答案】(1) ，2，见解析
(2)① ；②
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
（1）分别将 和 代入函数的解析式求解即可得；再利用描点法画出函数图象即可得；
（2）①结合函数图象求解即可得；
②结合函数图象求解即可得．
【详解】（1）解：对于一次函数 ，
当 时， ，
当 时， ，解得 ，故答案为： ，2．
利用描点法画出这个函数的图象如下：
（2）解：①结合函数图象可知，当 时， ，
故答案为： ；
②结合函数图象可知，当 时， ，
故答案为： ．
18．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A、点 ，直线 ：
与x轴、y轴分别交于点C、点D，直线 与 交于点 ．
(1)求m的值和直线 的表达式；
(2)点G是x轴上的一个动点，连接 ，求 的最小值和此时点G的坐标；
(3)在直线 上是否存在一点P，使得 的面积等于5，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1) ；
(2) 的最小值为 ；
(3)存在，点P的坐标为 或【知识点】用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】（1）把点 代入 求得点E（2，2），设直线AB的解析式为y=kx+b，解方程组即
可得到结论；
（2）作点B关于x轴的对称点F，连接 交x轴于G，则此时 的值最小，求得 ，利用待
定系数法求得直线 的解析式为 ，于是得到 ，根据勾股定理即可求解；
（3）当点P在y轴的左侧时，如图，当点P在y轴的右侧时，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：把点 代入 得 ，
∴点 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：作点B关于x轴的对称点F，连接 交x轴于G，
则此时 的值最小，
∵ ，
∴ ，
同理，直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，∴ ，
故 的最小值为 ；
（3）解：存在，
当点P在y轴的左侧时，如图，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
把 代入 得， ，
∴ ，
当点P在y轴的右侧时，同理可得 ，
综上所述，存在，点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理轴对称-最短路径问题，三
角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键．
