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第 04 讲 一次函数的应用
【题型1：一次函数的实际应用-分配方案问题】
【题型2：一次函数的实际应用-最大利润问题】
【题型3：一次函数的实际应用-行程问题】
【题型4：一次函数的实际应用-其他问题】
【题型5：一次函数与几何综合】
一、分段函数
有的题目中，如下左图，当自变量 x 发生变化时，随着 x 的取值范围不同，y 和 x 的函
数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式
发生了变化。这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或
射线，我们把这类函数归类为分段函数。
在有的题目中，如下右图，含有两个一次函数的图像，我们需要对两个函数的相关变量进
行对比。
二、利用一次函数的知识解应用题的一般步骤
（1）设定实际问题中的变量；
（2）建立一次函数表达式；
（3）确定自变量的取值范围，保证函数具有实际意义；
（4）解答一次函数实际问题，如最大（小）值； （5）写出答案。【题型1：一次函数的实际应用-分配方案问题】
【典例1】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）【综合与应用】某校在冬季运动会来临之际
准备购进一批奖杯用于鼓励运动员，现了解到甲、乙商场对A、B两种奖杯推出了不同
的优惠活动，那么选择到哪个商场按何种方案更优惠呢？某数学学习小组针对此问题进
行了如下研究：
选择更优惠的奖杯购买方案
在甲或乙商场原价购买3个A种奖杯和4个B种奖杯共需180元；购买1个A种
奖杯和2个B种奖杯共需80元．
素
材
一
甲、乙两个商 甲商场：A、B两种奖杯均按原价的9折销售．
场的优惠方案
素
材 乙商场：①购买A种奖杯的数量不超过10个时，按原价销售；
二 数量超过10个时，超过的部分按原价的8折销售．②购买B种
奖杯不打折．
问题解决
任 （1）求A、B两种奖杯的原价．
务
一
任
（2）学校打算购买A、B两种奖杯共100个，若设购买A种奖杯m个，选择在甲
务 商场购买的总费用为y 元，选择在乙商场购买的总费用为y 元．请直接写出y 和
1 2 1
二 y 关于m的函数表达式，并为学校设计比较合算的购买方案．
2
【答案】（1）A种奖杯的原价为20元，B种奖杯的原价为30元；
（2）学校购买方案如下：当A种奖杯数量少于68个时，在甲商场购买比较合算；
当A种奖杯数量等于68个时，在甲、乙商场购买一样合算；
当A种奖杯数量多于68个且不超过100个时，在乙商场购买比较合算．
【分析】本题主要考查二元一次方程组，一次函数的运用，理解数量关系，正确列式，
并掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
（1）设A、B两种奖杯的原价分别为x元、y元，根据数量关系列式求解即可；（2）根据数量关系求解析式，根据一次函数图象的性质求解即可．
【详解】解：（1）设A、B两种奖杯的原价分别为x元、y元，
{3x+4 y=180)
根据题意，可列方程组 ，
x+2y=80
{x=20)
解得 ，
y=30
答：A种奖杯的原价为20元，B种奖杯的原价为30元．
（2）y =20×0.9m+30×0.9(100−m)=18m+2700−27m=−9m+2700，
1
当m≤10时，y =20m+30(100−m)=−10m+3000，
2
当m>10时，y =10×20+20×0.8(m−10)+30(100−m)=−14m+3040，
2
y = { −10m+3000(0≤m≤10) )
即 ，
2 −14m+3040(10y ．
1 2
综上所述，学校购买方案如下：
当A种奖杯数量少于68个时，在甲商场购买比较合算；
当A种奖杯数量等于68个时，在甲、乙商场购买一样合算；
当A种奖杯数量多于68个且不超过100个时，在乙商场购买比较合算．
【变式1-1】（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）东风商场文具部的某种毛笔每支售价
25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠方案，甲方案：买一
支毛笔就赠送一本书法练习本；乙方案：按购买金额打九折付款．某校欲为校书法小组
购买这种毛笔10支，书法练习本x(x≥10)本．(1)分别写出两种优惠方法实际付款金额y （元），y （元）与x（本）之间的函数关
甲 乙
系式；
(2)比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱？
【答案】(1)y =5x+200；y =5x+200
甲 甲
(2)买书法练习本50本时，乙种优惠方法省钱；买书法练习本50本时，甲、乙两种优惠
方法付款相同；买书法练习本大于10本小于50本时，甲种优惠方法省钱
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解一元一次不等式，解决本题的关键是读懂
题意，列出符合题意的函数关系式．解决方案类问题，会用分类讨论的思想是解题的关
键．
（1）根据y （元）=毛笔总价钱+(x−10)本练习本总价钱和y （元）=（毛笔总价
甲 乙
钱+练习本总价钱）×0.9，列式即可；
（2）比较（1）中的关系式即可，要注意分情况讨论．
【详解】（1）解：当x≥10时，
y =25×10+5(x−10)=5x+200；
甲
y =0.9(25×10+5x)=225+4.5x；
乙
（2）解：①当5x+200>225+4.5x时，x>50．
即买书法练习本50本时，乙种优惠方法省钱；
②当5x+200=225+4.5x时，x=50．
即买书法练习本50本时，甲、乙两种优惠方法付款相同；
③当5x+200<225+4.5x时，x<50．
即买书法练习本大于10本小于50本时，甲种优惠方法省钱．
【变式1-2】（24-25八年级上·浙江·期末）为了提升学生的数学素养，某校八年级举行说
题比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是18元和15元．根
据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共24本，并且购买A种笔记本的数量要不少于B种
1
笔记本数量的 ．
2
(1)问至少购买A种笔记本多少本？
(2)当购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少的费用是多少元？
【答案】(1)8本
(2)当购买A种笔记本8本，B种笔记本16本时，费用最少，最少的费用是384元【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题
意，列出相应的不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
1
（1）根据购买A种笔记本的数量要不少于B种笔记本数量的 ，可以列出相应的不等式，
2
然后求解即可；
（2）根据题意，可以写出总费用W与购买A种笔记本数量x的函数关系式，然后根据
一次函数的性质，可以得到总费用的最小值．
【详解】（1）解：设购买A种笔记本x本，则购买B种笔记本(24−x)本，
1
由题意可得x≥ (24−x)，解得x≥8．
2
答：至少购买A种笔记本8本．
（2）解：设购买A种笔记本x本，则购买B种笔记本(24−x)本，
设购买A，B两种笔记本的总费用为W元，
W =18x+15(24−x)=3x+360，
∵k=3>0，
∴W的值随x的增大而增大，
∴当x=8时，W有最小值，最小值是3×8+360=384，
∴24−x=24−8=16，
答：当购买A种笔记本8本，B种笔记本16本时，费用最少，最少的费用是384元．
【变式1-3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）学校今年“十一”期间要组团去北京旅游．
与旅行社联系时，甲旅行社提出每人次收300元旅行费，不优惠．乙旅行社提出每人
次收350元旅行费，但有3人可享受免费待遇，若不超过3人则正常按人次收费．
(1)分别写出甲、乙两旅行社的收费y 、y 与旅行人数x之间函数关系式；
1 2
(2)如果组织20人的旅行团时，选哪家旅行社比较合算？
(3)如果你是这次旅游的负责人，你会怎样根据出行人数选择旅行社？
【答案】(1)y
1
=300x， y
2
= {
y
y
=
2
3
=
5
3
0
5
x
0
−
x
1
(0
0
<
50
x
(
≤
x
3
>
)
3)
)
2
(2)选乙旅行社比较合算，理由见解析
(3)当旅行人数不超过3时，选择甲旅行社比较合算；当旅行人数超过21时，选择甲旅
行社比较合算；当旅行人数为21时，选择甲、乙旅行社所需费用相同；当旅行人数超
过3人且少于21时，选择乙旅行社比较合算．【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两种收费方法的组成是解
题的关键．
（1）根据甲旅行社的收费方案写出y 与x的函数关系；分03两种情况写
1
出y 与x的函数关系式；
2
（2）把x=20分别代入函数关系式计算，然后判断即可；
（3）分情况讨论，列出不等式或方程，然后求解即可．
【详解】（1）解：甲：y =300x；
1
乙：当旅行人数03时，
2
y =350(x−3)=350x−1050，
2
综上所述：y 1 =300x， y 2 = { y y = 2 3 = 5 3 0 5 x 0 − x 1 (0 0 < 50 x ( ≤ x 3 > ) 3) ) ；
2
（2）解：当x=20时，y =300×20=6000元，y =350×20−1050=5950，
1 2
∵6000>5950，
∴如果组织20人的旅行团时，选乙旅行社比较合算；
（3）解：当03时：①当y 21，
所以当旅行人数超过21人时，选择甲旅行社比较合算；
②当y = y ，即300x=350x−1050时，
1 2
解得x=21，
所以当旅行人数为21人时，选择甲、乙旅行社所需费用相同；
③当y >y ，即300x>350x−1050时，
1 2
解得x<21，
所以当旅行人数超过3人且少于21人时，选择乙旅行社比较合算．
综上所述，当旅行人数不超过3时，选择甲旅行社比较合算；当旅行人数超过21人时，
选择甲旅行社比较合算；当旅行人数为21人时，选择甲、乙旅行社所需费用相同；当
旅行人数超过3人且少于21人时，选择乙旅行社比较合算．
【题型2：一次函数的实际应用-最大利润问题】【典例2】（24-25九年级下·四川广安·阶段练习）某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种
商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元
购进乙种商品的数量相同．
(1)求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
(2)若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划
用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，当购进的甲、乙两种商品全部售
出后，甲种商品购进多少件，该商店获得利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)50元，30元
(2)当甲种商品购进12件，该商店获得利润最大，最大利润是780元．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用
等知识点，正确列出分式方程和函数表达式成为解题的关键．
（1）甲种商品每件进价x元，则乙种商品的进价为(x−20)元，然后根据“用2000元
购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同”列分式方程求解即可；
（2）甲种商品购进m件，再列不等式求得m的取值范围，然后列出该商店获得利润
w的函数表达式，最后运用一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：甲种商品每件进价x元，则乙种商品的进价为(x−20)元，
2000 1200
由题意可得： = ，解得：x=50，
x x−20
则x−20=30．
答：甲、乙两种商品每件的进价各是50元，30元．
（2）解：设购进甲种商品m件，则购买乙种商品(40−m)件，商品所获总利润为w元，
∵50m+30(40−m)≤1440，
∴m≤12．
根据题意可知，w=(80−50)m+(45−30)(40−m)=15m+600
∵15>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=12时，W可取得最大值，此时W的最大值为：15×12+600=780（元）．
∴最大利润w为780元．
答：当甲种商品购进12件，该商店获得利润最大，最大利润是780元．
【变式2-1】（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）“世界那么大，我想去看看”一句话
红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车2024年2月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后
A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相
同，则今年2月份A型车销售总额将比去年2月份销售总额增加25％．
今年A、B两种型号车的进货和销售价格如表：
A型车 B型车
进货价格（元／ 1100 1400
辆）
销售价格（元／ 今年的销售价格 2400
辆）
(1)求今年2月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；
(2)该车行计划今年3月份新进一批A型车和B型车共60辆，且B型车的进货数量不超
过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
【答案】(1)今年2月份A型车每辆销售价2000元．
(2)进货方案是A型车20辆，B型车40辆．
【分析】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及解一元一次不等式，解题
的关键是：（1）根据单价=总价÷数量，列出关于x的分式方程；（2）根据总利润=单
辆利润×购进数量，找出w关于m的函数关系式．
（1）设去年2月份A型车每辆销售价x元，那么今年2月份A型车每辆销售(x+400)
元，根据销售总额和每辆销售价列出方程，即可解决问题．
（2）设今年3月份进A型车m辆，则B型车(50−m)辆，获得的总利润为y元，先求
出m的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题．
【详解】（1）解：（1）设去年2月份A型车每辆销售价x元，那么今年2月份A型车
每辆销售(x+400)元，
32000 32000(1+25%)
根据题意得 = ，
x x+400
解得：x=1600，
经检验，x=1600是方程的解．
x=1600时，x+400=2000．
答：今年2月份A型车每辆销售价2000元．
（2）设今年3月份进A型车m辆，则B型车(60−m)辆，获得的总利润为y元，
根据题意得60−m≤2m，
解得：m≥20，∵y=(2000−1100)m+(2400−1400)(60−m)=−100m+60000，
∴y随m的增大而减小，
∴当m=20时，可以获得最大利润．
答：进货方案是A型车20辆，B型车40辆．
【变式2-2】（24-25八年级上·山西太原·期末）北京时间2024年4月25日，神舟十八号载
人飞船发射取得了圆满成功!神舟十八号航天员乘组将进行多次出舱活动，开展微重力
基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域实（试）验与
应用等各项任务．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天
载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞
船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进
价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元．
(1)求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
(2)该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航
天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方
案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的
进价是30元；
(2)当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，
获取的利润最大，最大利润是1700元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出
w关于m的函数关系式．
（1）设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞船模型的进价
是y元，根据“2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190
元；6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润为w元，则购进
(100−m)件乙种航天载人飞船模型，利用总利润=每个甲种航天载人飞船模型的销售
利润×购进甲种航天载人飞船模型的数量+每个乙种航天载人飞船模型的销售利润×购进
乙种航天载人飞船模型，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即
可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞
船模型的进价是y元，
{2x+5 y=190)
根据题意得： ，
6x+7 y=330
{x=20)
解得： ．
y=30
答：每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是
30元；
（2）解：设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润为w元，则
购进(100−m)件乙种航天载人飞船模型，
根据题意得：w=(40−20)m+(45−30)(100−m)，
即w=5m+1500，
∵k>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m≤40，
∴当m=40时，w取得最大值，最大值为5×40+1500=1700，
此时100−m=100−40=60．
答：当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完
后，获取的利润最大，最大利润是1700元．
【变式2-3】（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某
乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘
礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元．用2000元购进A品种柑橘礼盒数与用2500元
购进B品种柑橘礼盒数相同．
(1)求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
(2)已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超
过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍．总成本不超过54050元．要使农户收益最大，该乡镇
应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的
最大收益为多少元？
【答案】(1)A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为80元，100元
(2)要使农户收益最大，销售方案为售出A种柑橘礼盒595盒，售出B种柑橘礼盒405
盒，最大收益为34050元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意列出正确的方程是
解题的关键．
（1）设A种柑橘礼盒每件的售价为a元，则B种柑橘礼盒每件的售价为a+20元，根据
题意列出分式方程，即可求解；
（2）设售出A种柑橘礼盒x盒，则售出B种柑橘礼盒(1000−x)盒，根据题意列出不等
式组，得出595≤x≤600，设收益为y元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次
函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设A种柑橘礼盒每件的售价为a元，则B种柑橘礼盒每件的售价为
a+20元，
2000 2500
根据题意得： = ，
a a+20
解得：a=80，
∴a+20=80+20=100，
∴A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为80元，100元．
（2）解：设售出A种柑橘礼盒x盒，则售出B种柑橘礼盒(1000−x)盒，
{ x≤1.5(1000−x) )
根据题意得： ，
50x+60(1000−x)≤54050
解得：595≤x≤600，
设收益为y元，根据题意得：y=(80−50)x+(100−60)(1000−x)=−10x+40000，
∵−10<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=595时，y取得最大值，最大值为−10×595+40000=34050（元），
∴售出B种柑橘礼盒1000−595=405（盒），
∴要使农户收益最大，销售方案为售出A种柑橘礼盒595盒，售出B种柑橘礼盒405盒，最大收益为34050元．
【题型3：一次函数的实际应用-行程问题】
【典例3】（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知A， B两地相距200km，甲、乙两辆货
车装满货物分别从A， B两地相向而行，图中l ,l 分别表示甲、乙两辆货车离A地的
1 2
距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系．请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)分别求出直线l ,l 所对应的函数关系式；
1 2
(2)经过多长时间甲、乙两货车离A地的距离相等？
(3)经过多长时间甲、乙两货车相距20km？
100
【答案】(1)l 对应的函数关系式为s = t，l 所对应的函数关系式为
1 1 3 2
s =−40t+200
2
30
(2)经过 h甲、乙两货车离A地的距离相等
11
27
(3)经过 h或3h甲、乙两货车相距20km
11
【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，
相遇问题的等量关系，从图形中准确获取信息是解题的关键．
（1）设l 对应的函数关系式为s =k t，设l 对应的函数关系式为s =k t+200，分别
1 1 1 2 2 2
根据l 过点(6,200)，l 过点(5,0)，代入并求出k 和k 即可；
1 2 1 2
（2）根据s =s 求解即可；
1 2
（3）分两种情况：①相遇前两车相距20km，②相遇后两车相距20km，分别求解即可．
【详解】（1）解：设l 对应的函数关系式为s =k t，
1 1 1
因为l 过点(6,200)，
1
100
所以200=6k ，解得k = ．
1 1 3
100
即l 对应的函数关系式为s = t
1 1 3设l 对应的函数关系式为s =k t+200，
2 2 2
因为l 过点(5,0)，
2
所以0=5k +200，得k =−40．
2 2
即l 所对应的函数关系式为s =−40t+200．
2 2
（2）由题意可得s =s ，
1 2
100
即 t=−40t+200
3
30
解得t=
11
30
答：经过 h甲、乙两货车离A地的距离相等．
11
100 27
（3）①相遇前两车相距20km：−40t+200− t=20，解得t=
3 11
100
②相遇后两车相距20km： t−(−40t+200)=20，解得t=3．
3
27
故经过 h或3h甲、乙两货车相距20km．
11
【变式3-1】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）A,B两地在一条笔直的公路上，一辆货车
从A地出发匀速驶向B地，0.25h后一辆小轿车从B地出发匀速驶向A地，如图是它
们离B地的路程y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图像．
(1)求货车离B地的路程y₁(km)与它行驶的时间x(h)之间的函数表达式；
(2)求两车之间相距不超过54km时，货车行驶时间x的取值范围．
【答案】(1)y =−60x+240
1
(2)1.2≤x≤1.8
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次方程的应用；
（1）设货车离B地的路程y₁(km)与它行驶的时间x(h)之间的函数表达式是y =kx+b，
1
代入点(0,240)，(1.5,150)，再求解即可；（2）设小轿车从B地出发匀速驶向A地的函数关系式是：y =ex+n，代入点
2
(0.25,0)，(1.5,150)，可得函数解析式，结合|y −y )=54，再进一步解答即可；
1 2
【详解】（1）解：设货车离B地的路程y₁(km)与它行驶的时间x(h)之间的函数表达
式是y =kx+b，
1
代入点(0,240)，(1.5,150)，
{ b=240 )
得 ，
1.5k+b=150
{k=−60)
解得 ，
b=240
所以，货车离B地的路程y₁(km)与它行驶的时间x(h)之间的函数表达式是
y =−60x+240；
1
（2）解：设小轿车从B地出发匀速驶向A地的函数关系式是：y =ex+n，
2
代入点(0.25,0)，(1.5,150)，
{0.25e+n=0
)
得 ，
1.5e+n=150
{e=120)
解得： ，
n=−30
∴小轿车从B地出发匀速驶向A地的函数关系式是：y =120x−30，
2
当|y −y )=54时，
1 2
|−60x+240−120x+30)=54，即|270−180x)=54，
解得：x=1.2或x=1.8，
∴两车之间相距不超过54km时，货车行驶时间x的取值范围为：1.2≤x≤1.8.
【变式3-2】（2025·河北·一模）如图1，光滑桌面AB的长为120cm，两端竖直放置挡板
AC和BD，小球P（看作一点）从挡板AC出发，匀速向挡板BD运动，撞击挡板BD
后反弹，以原速返回挡板AC，过程中小球和挡板AC的距离y(cm)与时间x(s)的关系
图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计）(1)图中m=______，n=______，小球的速度为______cm/s．
(2)求图2中直线EF的函数解析式．
(3)若小球从挡板AC向挡板BD运动的过程中，同时，挡板AC以6cm/s的速度匀速向
挡板BD运动，运动过程中（小球与挡板BD撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中
点处时，运动时间为ts，请直接写出t的值．
【答案】(1)120，24，10；
(2)y=−10x+240
60
s
(3)
7
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求函数解析式，线段的中点，
数形结合是解答本题的关键．
（1）根据函数图象可知n=120，小球到达BD时x=12，进而可求出m和小球的速度；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）根据中点的定义列方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知n=120，小球到达BD时x=12，
∴小球的速度为120÷2=10cm/s．
∵撞击挡板BD后反弹，以原速返回挡板AC，
∴m=12×2=24s．
故答案为：120，24，10；
（2）解：直线EF的函数解析式为y=kx+b，把E(12,120),F(24,0)代入，得
{12k+b=120)
，
24k+b=0
{k=−10)
解得 ，
b=240
∴y=−10x+240；
（3）解：设挡板AC运动后的位置为A′C′，由题意，得
A′P=10t−6t,BP=120−10t，
∵小球恰好位于这两个挡板中点，
∴10t−6t=120−10t，
60
解得t= ，
7
60
∴t的值为 s．
7【变式3-3】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）周末小佳和小乐相约去农庄游玩．小
佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，
按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中
线段OD和折线A−E−B−C分别表示小佳和小乐离甲小区的路程s（千米）与时间t
（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列
问题：
(1)求小佳骑电动车的速度．
(2)求线段BC所在直线的函数表达式．
(3)小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程．
【答案】(1)0.5km/min
(2)s=t−16(26≤t≤36)；
(3)4km
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性
质和数形结合的思想解答．
（1）根据题意可知小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为20km，时间为40min，
进而可得出答案；
（2）求出B，C坐标，然后用待定系数法求出函数解析式；
（3）先求出两人相遇时所走的路程，再用总路程减去所走路程．
【详解】（1）解：∵小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为20km，时间为40min，
20
∴小佳骑电动车的速度 =0.5km/min；
40
（2）根据题意，点E坐标为(6,10)，A点坐标为(0,4)，
则点B坐标为(26,10)，
∵乙小区到超市6km，用时6分钟，6
∴小乐的速度为 =1km/min，
6
10
∴小乐从超市到农庄所用时间为 =10min，
1
∴点C坐标为(36,20)，
设线段CB的函数表达式为s=kt+b，
{26k+b=10)
把B(26,10)，C(36,20)，代入解析式得 ，
36k+b=20
{ k=1 )
解得： ，
b=−16
∴线段CB的函数表达式为s=t−16(26≤t≤36)；
（3）线段OD的函数解析式为s=mx
把点D(40,20)代入解析式得：20=40m，
1
解得m= ，
2
1
∴线段OD的函数解析式为s= t，
2
当小乐离开超市后追上小佳时，距离农庄的距离相同，
1
∴t−16= t，
2
解得t=32，
1
∴20− ×32=20−16=4km．
2
∴小乐离开超市去农庄的行程中，两人相遇时他们距离农庄的路程4km
【题型4：一次函数的实际应用-其他问题】
【典例4】（2025·广西·一模）在生物实验室，科研人员对一种生物标本进行真空冷却实验，
探索低温环境对标本细胞活性的影响．标本初始温度为45℃，在真空冷却过程中，温度T
（单位：℃）与冷却时间t（单位：分钟）满足一次函数关系：前8分钟，温度每分钟下降
2.5℃；8分钟后，调整冷却设备，温度每分钟下降2℃．同时，标本的细胞活性y与温度
T也满足一次函数关系，且当T=35℃时，y=0.7；当T=25℃时，y=0.3．根据以上信息，回答下列问题：
(1)求在不同阶段标本温度T关于冷却时间t的函数解析式；
(2)当细胞活性降至0.1时，求标本冷却时间．
【答案】(1)标本温度T关于冷却时间t的函数解析式表示为T=
{−2.5t+45,(0≤t≤8))
−2t+41.(t>8)
(2)当细胞活性降至0.1时，标本冷却时间是10.5分钟
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数解析式等知识点，审清题意、
正确列出函数关系式成为解题的关键．
（1）根据题意分0≤t≤8和t>8两种情况列出函数解析式即可解答；
（2）先运用待定系数法求得细胞活性y与标本温度T满足一次函数关系式
y=0.04T−0.7；当y=0.1时，可得T=20，然后结合（1）即可解答．
【详解】（1）解：根据题意得，当0≤t≤8时，T=−2.5t+45，
∵当t=8时，T=−2.5×8+45=25，
∴当t>8时，T=25−2(t−8)，即T=−2t+41，
∴标本温度T关于冷却时间t的函数解析式表示为
T=
{−2.5t+45(0≤t≤8))
．
−2t+41(t>8)
（2）解：∵细胞活性y与标本温度T满足一次函数关系，
∴设y=kT+b，
将T=35，y=0.7；T=25，y=0.3代入得：
{35k+b=0.7) {k=0.04)
，解得： ，
25k+b=0.3 b=−0.7
∴y=0.04T−0.7．
对于y=0.04T−0.7，当y=0.1时，0.04T−0.7=0.1，解得：T=20．
对于T=−2.5t+45(0≤t≤8)，当t=8时，T=−2.5×8+45=25．
∵20<25，
∴T=20时，t>8，
∴把T=20代入T=−2t+41，得：−2t+41=20，解得t=10.5，
∴当细胞活性降至0.1时，标本冷却时间是10.5分钟．
【变式4-1】（2025·陕西·模拟预测）电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给
传感器，传感器发生弹性形变，从而使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，进
而将该信号进行处理并输出到显示器．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，R(Ω)与踏板上人的质量
m(kg)之间的几组对应值如下表：
人的质量
0 30 60 90 120
m(kg)
可变电阻 240 180 120 60 0
R(Ω)
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，R与m符合初中学习过的某种函数关
系，则可能是__________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”）
(2)根据以上判断，求R关于m的函数关系式；
(3)当可变电阻R为100Ω时，求人的质量m应为多少kg？
【答案】(1)图见详解，一次
(2)R=−2m+240
(3)70kg
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性
质和数形结合的思想解答．
(1)根据表格中的数据，可以得到R与m符合初中学习过的哪种函数关系；
(2)根据(1)中的结果，可以设出相应的函数解析式，然后根据表格中的数据，即可得到
关于m的函数关系式；
(3)将R=100代入(2)中的函数关系式，即可得到人的质量m应为多少kg．
【详解】（1）解：由表格中的数据可得点的坐标，在坐标系中描出点
(0,240),(30,180),(60,120),(90,60),(120,0)，如图所示：由图可知，R与m符合初中学习过的一次函数关系，
故答案为∶一次；
（2）解：设R关于m的函数关系式为R=km+b，
将(0,240),(30,180)代入，
{ b=240 )
得 ，
30k+b=180
{k=−2)
解得 ，
b=240
即R关于m的函数关系式为R=−2m+240，
验证：当m=120时，R=0满足关系式；
（3）解：当R=100时，100=−2m+240，
解得，m=70，
即当可变电阻R为100Ω时，人的质量m应为70kg．
【变式4-2】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践
活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图1所示的液体漏壶，漏壶是由一
个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，
实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
(1)实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据如下表：
时间x（小时） 0 1 2 3 4
圆柱体容器液面高度y 3 5 7 9 11
（厘米）
在如图2所示的直角坐标系中描出表中各点，并用光滑的线连接；
(2)请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式；(3)如果本次实验记录的开始时间是上午8:00，那么当圆柱体容器液面高度达到15厘
米时是几点？
【答案】(1)见解析
(2)y=2x+3；
(3)当圆柱体容器液面高度达到15厘米时是下午2:00．
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关
键．
（1）描点并连线即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）求出当y=15时对应x的值，根据本次实验记录的开始时间计算即可．
【详解】（1）解：描点并连线如图所示：
（2）解：∵这些点的连线是一条直线，
∴y与x之间是一次函数关系．
设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，
将坐标(0,3)和(1,5)分别代入y=kx+b，
{ b=3 )
得 ，
k+b=5
{k=2)
解得 ，
b=3
∴y与x之间的函数表达式为y=2x+3；
（3）解：当y=15时，得2x+3=15，
解得x=6．
答：如果本次实验记录的开始时间是上午8:00，那么当圆柱体容器液面高度达到15厘米时是下午2:00．
【变式4-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）项目学习：认识杆秤
知识背景：阿基米德曾说：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话是物理学杠
杆原理夸张说法，而我国战国时代的墨子也提出杠杆原理，在《墨子·经下》中说“衡而必
正，说在得”，“衡，加重于其一旁，必捶，权重不相若也，相衡，则本短标长，两加
焉，重相若，则标必下，标得权也”．我国古代人民利用杠杆原理制作出了杆秤（如图
1），杆秤也是中华民族衡重的基本量具之一．
材料1：如图1，可以用秤砣（即秤锤）到秤纽（即绳纽）的水平距离，来得出秤钩上所挂
物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y
（斤）；则y是关于x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
x（厘米） 1 2 4 7 8 10
y（斤） 1.5 2 3 4 5 6
材料2：
根据以上素材，解决下面问题：
(1)上表中有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误
的；
(2)求出这个一次函数的关系式；
(3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？
【答案】(1)x=7, y=4这组数据是错误的1
(2)y= x+1
2
(3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时，秤钩所挂物重是10斤
【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵
活运用所学知识解决问题．
（1）利用描点法画出图形即可判断；
（2）设函数关系式为y=kx+b，利用待定系数法解决问题即可；
（3）根据（2）中求得的函数解析式，当x=18时，可求得秤钩所挂物重．
【详解】（1）描点如图所示：
由图可知，x=7，y=4这组数据是错误的；
（2）设这个一次函数的关系式为y=kx+b(k,b为常数，且k≠0）．
将坐标(2,2)和(4,3)分别代入y=kx+b，
{2k+b=2)
得 ，
4k+b=3
{k=0.5)
解得 ，
b=1
∴这个一次函数的关系式为y=0.5x+1；
（3）当x=18时，得y=0.5×18+1=10．
答：秤钩所挂物重是10斤．
【题型5：一次函数与几何综合】
1
【典例5】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l :y= x+1与
1 2
3
x轴交于点B，直线l 与直线l ，x轴分别交于点A(1, )，C(4,0)．
2 1 2(1)求直线l 的表达式．
2
(2)若D，E分别是直线l 和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为
2
顶点，AB为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，
请说明理由．
1
【答案】(1)y=− x+2
2
7 1
(2)存在，(−3, )或(3, )
2 2
【分析】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象
及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
（1）由待定系数法求直线的解析式即可；
1
（2）设D(t,− t+2)，E(0,m)，再分两种情况讨论：当AD为平行四边形对角线
2
时；当AE为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即
可．
【详解】（1）设直线l 的表达式为y=kx+b，
2
3
∵直线l 与直线l ，x轴分别交于点A(1, )，C(4,0)，
2 1 2
∴¿解得¿
1
∴直线l 的表达式为y=− x+2；
2 2
（2）解：存在.
1
∵l :y= x+1与x轴交于点B，
1 2
∴B(−2,0).
1
设D(t,− t+2)，E(0,m)，
2
①当AD为平行四边形的对角线时，3
∵A(1, )，B(−2,0)，
2
∴¿解得¿
7
∴D(−3, )；
2
②当AE为平行四边形的对角线时，
3
∵A(1, )，B(−2,0)，
2
∴¿
解得¿
1
∴D(3, ).
2
7 1
综上所述，点D的坐标为(−3, )或(3, )．
2 2
【变式5-1】（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线l 的
1
函数表达式为y=x，直线l 的函数表达式为y=kx−5k(k<0)．
2
(1)若直线l 与直线l 有交点C(1,1)，求△BCO的面积；
2 1
(2)在（1）的条件下，y轴上是否存在点P，使得△PAO的面积与△CAO的面积相等？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5
【答案】(1)
8
(2)存在，点P的坐标为(0,1)或(0,−1)
【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，三角形的面积，熟练掌握待定系数
法求一次函数的解析式，三角形的面积公式是解决问题的关键．
(1)过点C作CE⊥OB于点E，CD⊥OA于点D，将点C(1,1)代入y=kx−5k得
1，则直线 的表达式为 1 5，进而可求出点 ，点 ( 5)，则
k=− l y=− x+ A(5,0) B 0,
4 2 4 4 45
OB= ，OA=5，再根据点C(1,1)得CE=1，CD=1，据此可得△BCO的面积；
4
5 5
(2)先求出S = ，设点P的坐标为(0,a)，则OP=|a)，进而得S = |a)，进而
△CAO 2 △PAO 2
5 5
得 |a)= ，由此解出a=1或−1，则点P的坐标为(0,1)或(0,−1)．
2 2
【详解】（1）解：过点C作CE⊥OB于点E，CD⊥OA于点D，如图所示：
∵ l l C(1,1)
2 1
线 与直线 有交点 ，
∴1=k−5k，
1
解得：k=− ，
4
1 5
∴直线l 的表达式为：y=− x+ ，
2 4 4
1 5 5
对于y=− x+ ，当x=0时，y= ，
4 4 4
1 5
当y=0时，− x+ =0，解得：x=5，
4 4
( 5)
∴点A(5,0)，点B 0, ，
4
5
∴OB= ，OA=5，
4
∵点C(1,1)，
∴CE=1，CD=1
1 1 5 5
∴S = OB⋅CE= × ×1= ；
△BCO 2 2 4 8
（2）存在．
∵OA=5，CD=1，
1 1 5
∴S = OA⋅CD= ×5×1= ，
△CAO 2 2 2∵点P在y轴上，
∴设点P的坐标为(0,a)，
∴OP=|a)，
1 1 5
∴S = OA⋅OP= ×5×|a)= |a)，
△PAO 2 2 2
当△PAO的面积与△CAO的面积相等时，
5 5
∴ |a)= ，
2 2
∴|a)=1，
∴a=1或−1，
∴点P的坐标为(0,1)或(0,−1)，
即当点的坐标为(0,1)或(0,−1)时，△PAO的面积与△CAO的面积相等．
4
【变式5-2】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，直线y=− x+8与x轴、y轴分别交
3
于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点
B′处．求：
(1)求A、B两点坐标；
(2)求M坐标；
(3)在x轴上找一点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出
所有点P的坐标．
【答案】(1)A(6,0)，B(0,8)
(2)M(0,3)
( 7 )
(3)(4,0)或(1,0)或(−9,0)或 − ,0
8
【分析】本题考查一次函数、勾股定理于折叠、等腰三角形的定义等知识点，将图形
与数学知识相结合是解题的关键．
（1）令y=0可求得A点坐标；令x=0，得B点坐标；（2）由勾股定理可得线段AB=10，由折叠的性质可知AB=AB′=10，BM=B′M，
进而得到OB′=4，设OM=m，则BM=B′M=8−m，在Rt△OB′M中，由勾股定
理可得m值，即可确定点M坐标；
（3）由勾股定理可得B′M=5，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定
义和勾股定理求解即可．
4
【详解】（1）解：∵ y=− x+8，
3
∴令y=0，则x=6；x=0，则y=8；
∴ A(6,0)，B(0,8)；
（2）解：∵ A(6,0)，B(0,8)，
∴ OA=6，OB=8，
∴ AB=❑√OA2+OB2=10，
由折叠的性质可知AB=AB′=10，BM=B′M，
∴ OB′=AB′−OA=10−6=4，
设OM=m，则BM=B′M=8−m，
在Rt△OB′M中，由勾股定理可得m2+42=(8−m) 2，
解得m=3，
∴ M(0,3)；
（3）解：由（2）知OB′=4，OM=3，
∴ B′M=❑√OM2+OB′2=5；
①以点M为圆心，B′M长为半径画圆交x轴于一点P，此时MP=B′M=5，
∴OP=❑√M P2−OM2=❑√52−32=4
；
∴ P(4,0)；
②以点B′为圆心，B′M长为半径画圆交x轴于一点P，此时B′P=B′M=5，∴OP=5−4=1 OP=5+4=9
或 ，
∴ P(1,0)或(−9,0)；
③如图：作线段B′M的垂直平分线交x轴于一点P，此时，B′P=MP，
设OP=x，则B′P=MP=4−x，
在Rt△OPM中，由勾股定理可得32+x2=(4−x) 2，
7
解得x= ，
8
( 7 )
∴ P − ,0 ；
8
( 7 )
综合上述，点P的坐标为(4,0)或(1,0)或(−9,0)或 − ,0 ．
8
【变式5-3】（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线y=−2x+4交x轴于点
A，交y轴于点B，点C 的坐标为(1，0)，
(1)求直线BC的函数表达式．3
(2)点D是x轴上一动点，连接BD、CD，当△BCD的面积是△AOB面积的 时，求
2
点D的坐标．
(3)点E坐标为(0,−2),连接CE，点P为直线AB上一点，若∠CEP=45°，求点P坐
标．
【答案】(1)y=−4x+4
(2)(−2,0)或(4,0)
(18 8)
(3) ,− 或(−6,16)
7 7
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合、等腰直
角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知
识成为解题的关键．
（1）先求得A(2,0),B(0,4)，再结合点C的坐标，运用待定系数法求解即可；
（2）先求出S =4，进而得到△BCD的面积为6，如图：设D的坐标为(d,0)，则
△AOB
CD=|d−1)，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）由题意可得：OC=1 OE=2，如图：过C作CG⊥CE且CG=CE，
∠GCD+∠OCE=90°，再证明△OCE≌△DGC(AAS)可得
DG=OC=1,CD=OE=2，即OD=OC+CE=3，即G(3,−1)；再求出直线EG的
1
解析式为y= x−2，再与直线y=−2x+4即可确定点P的坐标； 如图：点F是点G
3
关于点C的对称点，则点F的坐标为(−1,1)，再求出直线EF的解析式为y=−3x−2，
再与直线y=−2x+4即可确定点P的坐标．
【详解】（1）解：∵直线 y=−2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A(2,0),B(0,4)，
∵点C 的坐标为(1,0)，
∴设直线BC的函数表达式为y=kx+b，
{k+b=0) {k=−4)
则 ，解得： ，
b=4 b=4
∴直线BC的函数表达式为y=−4x+4．
（2）解：∵A(2,0),B(0,4)，
∴OA=2,OB=4，1 1
∴S = OA⋅OB= ×4×2=4，
△AOB 2 2
3 3
∴△BCD的面积为 S = ×4=6，
2 △AOB 2
如图：设D的坐标为(d,0)，则CD=|d−1)，
1
则 |d−1)×4=6，解得：d=−2或4．
2
∴点D的坐标为(−2,0)或(4,0)．
（3）解：∵C(1,0)，E(−2,0)，
∴OC=1，OE=2，
如图：过C作CG⊥CE且CG=CE，∠GCD+∠OCE=90°
∴△CEG是等腰三角形，即∠CEP=45°,
过G作GD⊥x轴，垂足为D，
∴∠GCD+∠CGD=90°，
∴∠CGD=∠OCE，
∴△OCE≌△DGC(AAS)，
∴DG=OC=1,CD=OE=2，即OD=OC+CE=3，
∴G(3,−1)，设直线EG的解析式为y=kx+b，
{3k+b=−1) { k= 1 )
则 ，解得： 3 ，
b=−2
b=−2
1
∴直线EG的解析式为y= x−2，
3
{ y= 1 x−2 ) 18
联立 3 ，解得：x= ，
7
y=−2x+4
(18 8)
∴直线EG与直线AB的交点即为所求点P ,− ；
7 7
如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为(−1,1)，
设直线EF的解析式为y=mx+n，
{−m+n=1) {m=−3)
则 ，解得： ，
n=−2 b=−2
∴直线EG的解析式为y=−3x−2，
{y=−3x−2)
联立 ，解得：x=−6，
y=−2x+4
∴直线EG与直线AB的交点即为所求点P(−6,16)．
(18 8)
综上，点P的坐标为 ,− 或(−6,16)．
7 7
一、单选题
1．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）小王的妈妈即将出国旅行．出发前，小王帮妈妈
查询了当地的气温，抵达目的地当日气温是29−38华氏度（℉）我国常用的摄氏温标
9
x(℃)．和华氏温标y(℉)满足一次函数关系：y= x+32，那么小王应建议妈妈抵达
5
目的地时穿（ ）
A．春季服装 B．夏季服装 C．秋季服装 D．冬季服装
【答案】D【分析】本题考查了一次函数的应用，代入y=29，y=38，求得抵达目的地时的摄氏
温度范围是解题的关键．
9 5
【详解】解：当y=29时， x+32=29，解得：x=− ，
5 3
9 10
当y=38时， x+32=38，解得：x= ，
5 3
5 10
即：抵达目的地时的摄氏温度范围是− ℃~ ℃.
3 3
这个温度范围比较低，属于冬季的温度范围，所以小王应建议妈妈抵达目的地时穿冬季
服装，
故选：D．
2．（2025·陕西西安·一模）如图，入射光线MN遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光
1
线NP交x轴于点P(−1,0)，若光线MN满足的一次函数关系式为y=ax+ ，则a的值
2
是（ ）
1 1 ❑√2 ❑√3
A．− B．− C．− D．−
2 3 2 3
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的判定与性质，光的反射定律，掌握
广德反射定律是解题的关键．
延长MN交x轴于点E，则∠1=∠2=∠3，继而证明△NOP≌△NOE(ASA)，则
1
E(1,0)，再将其代入y=ax+ 即可求解．
2
【详解】解：延长MN交x轴于点E，由题意得∠1=∠2=∠3，OP=1
∵∠NOP=∠NOE=90°，ON=ON，
∴△NOP≌△NOE(ASA)，
∴OE=OP=1，
∴E(1,0)，
1 1
将E(1,0)代入y=ax+ 得：a+ =0，
2 2
1
解得：a=− ，
2
故选：A．
3．（2025·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，一次函数y=−❑√3x−3的图象与两坐标
轴所围成的三角形的面积为（ ）
3 3❑√3
A．❑√3 B． C．❑√2 D．
2 2
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，几何图形面积的计算，掌握一次函数图
象的性质是解题的关键．
根据一次函数图象与坐标轴的交点，几何图形面积的计算公式计算即可．
【详解】解：一次函数y=−❑√3x−3，当x=0时，y=−3，当y=0时，x=−❑√3，
1 3❑√3
∴S = ×|−3)×|−❑√3)= ，
△ 2 2
故选：D ．
4．（2025·山西·模拟预测）温度是影响声音传播速度的一个关键因素．在大多数情况下，
随着温度的升高，声速会增大．根据实验测量和理论计算可知，声音在淡水中的传播速
度v(m/s)与温度t(°C)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，则v与t之间的
函数关系式为（ ）温度t/°C ⋯ 20 25 30 ⋯
声速 ⋯ 1480 1505 1530 ⋯
v/(m/s)
A．v=20t+1480 B．v=5t−1380 C．v=−5t+1380 D．v=5t+1380
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．根据点
(20,1480)和(30,1530)，利用待定系数法求解即可得．
【详解】解：设v与t之间的函数关系式为v=kt+b(k≠0)，
{20k+b=1480)
将点(20,1480)和(30,1530)代入得： ，
30k+b=1530
{ k=5 )
解得 ，
b=1380
则v与t之间的函数关系式为v=5t+1380，
故选：D．
二、填空题
5．（2025·湖北黄冈·一模）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就出
现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．张欢同学依据漏刻的原理制作
了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位ℎ（单位：cm）是时间t（单位：
min）的一次函数，表中是张欢记录的部分数据，当t为20min时，对应的高度ℎ为
cm．
t/min … 1 2 3 …
ℎ /cm … 2 2.3 2.6 …【答案】7.7
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，根据表格信息，掌握待定系数法求解析式是
关键．
一次函数解析式为ℎ =kt+b(k≠0)，运用待定系数法求出解析式为ℎ =0.3t+1.7，把
t=20代入计算即可求解．
【详解】解：研究中发现水位ℎ（单位：cm）是时间t（单位：min）的一次函数，
∴设一次函数解析式为ℎ =kt+b(k≠0)，
{ k+b=2 )
∴ ，
2k+b=2.3
{k=0.3)
解得， ，
b=1.7
∴一次函数解析式为ℎ =0.3t+1.7，
∴当t=20时，ℎ =0.3×20+1.7=7.7，
∴当t为20min时，对应的高度ℎ为7.7cm，
故答案为：7.7 ．
6．（24-25八年级上·河南郑州·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周
时期就出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．张欢同学依据漏刻的
原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位ℎ（单位：cm）是时间t
（单位：min）的一次函数，表中是张欢记录的部分数据，当t为18min时，对应的高
度ℎ为 cm．
t/min … 1 2 3 …
h/cm … 2 2.3 2.6 …
【答案】7.1
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意求得一次函数解析式．设一次函数解析式为ℎ =kt+b，利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出当t为
18min时，对应的高度ℎ，即可解题．
【详解】解：设一次函数解析式为ℎ =kt+b，
{ k+b=2 )
根据表中数据可知， ，
2k+b=2.3
{k=0.3)
解得 ，
b=1.7
∴一次函数解析式为ℎ =0.3t+1.7，
当t为18min时，ℎ =0.3×18+1.7=7.1（cm），
故答案为：7.1．
三、解答题
7．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体
育运动”．引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体
育运动”的开展，学校计划购进A，B两种品牌的足球共50个，其中A品牌足球的价
格为100元/个，购买B品牌足球所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：个）之
间的关系如图所示．
(1)购买数量020时，y与x的函数表达式：
(3)若购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购
买方案，使购买总费用W（单位：元）最低，并求出最低费用．
【答案】(1)120
(2)y=96x+480
(3)当购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个时，总费用最少，最低费用是
5360元
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、一次函数的增减性及一元一次不等式组的解法是解题的关键．
（1）根据“所需费用÷购买数量”列式计算即可;
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球(50−m)个，列关于m的一
元一次不等式组并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和
m的取值范围，确定当m取何值时W的值最小，求出其最小值及(50−m)的值即可．
【详解】（1）解：购买数量020时，y与x的函数关系式为y=ax+b，
{20a+b=2400) {a=96
)
得 ，解得
40a+b=4320 b=480
即当x>20时，y与x的函数关系式为y=96x+480；
（3）解：设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球(50−m)个，
∵50−m≤m≤30，
解得25≤m≤30，
∵W =100(50−m)+96m+480=−4m+5480，
∵−4<0，
∴W随着m的增大而减小，
∴当m=30时，W取得最小值，此时W =−4×30+5480=5360，
∴50−m=20，
答：当购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个时，总费用最少，最低费用是
5360元．
8．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）某火锅店为吸引客户，推出两款双人套餐，下表
是近两天两种套餐的收入统计：
数量 收入
套餐时
间
A套餐 B套餐
第一天 20次 10次 2800元
第二天 15次 20次 3350元
(1)求这两款套餐的单价；(2)A套餐的成本约为45元，B套餐的成本约为50元，受材料和餐位的限制，该火锅店
1
每天最多供应50个套餐，且A套餐的数量不少于B套餐数量的 ，求火锅店每天在这
5
两种套餐上获得的最大利润．
【答案】(1)A套餐销售单价为90元，B套餐销售单价为100元
(2)2455元
【分析】（1）设A套餐销售单价为a元，B套餐销售单价为b元，根据题意列出二元一
次方程组，解方程组即可求解；
25
（2）设售出A套餐m个，总利润为w元，根据题意得出m≥ ，然后根据一次函数的
3
性质即可求解．
【详解】（1）解：设A套餐销售单价为a元，B套餐销售单价为b元，
{20a+10b=2800)
根据题意，得
15a+20b=3350
{a=90
)
解得
b=100
答∶A套餐销售单价为90元，B套餐销售单价为100元；
（2）设售出A套餐m个，总利润为w元，
则w=(90−45)m+(100−50)(50−m)=−5m+2500
1 1
∵A套餐的数量不少于B套餐数量的 ，即m≥ (50−m)，
5 5
25
∴ m≥ ，k=−5<0，
3
∴w随m的增大而减小，m为正整数，
∴当m=9时，w最大，w的最大值为2455元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应
用，根据题意列出方程组、不等式以及一次函数关系式是解题的关键．
9．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水
936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放出．当
放水时间增加时，游泳池的存水也随之减少，它们的变化情况如下表：
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6
游泳池的存水/立方米 858 780 702 546(1)请将上述表格补充完整；
(2)设放水时间为t小时，游泳池的存水量为Q立方米，写出Q与t的函数关系式．
(3)泳池中水多长时间放完？
【答案】(1)624，468
(2)Q=936−78t
(3)泳池中水12小时放完
【分析】本题考查有理数的运算，以及一次函数的应用，解题的关键在于读懂题意列
出关系式．
（1）根据“游泳池的存水=936立方米−放出的水”列式求解，即可解题；
（2）根据“游泳池的存水=936立方米−放出的水”列出Q与t的函数关系式，即可解
题；
（3）根据存水量Q为0求出防水时间，即可解题．
【详解】（1）解：936−4×78=624（立方米），
936−6×78=468（立方米），
故答案为：624，468；
（2）解：根据题意得，Q=936−78t；
（3）解：当存水量Q为0时，
有936−78t=0，
解得t=12，
答：泳池中水12小时放完．
10．（2025·山东济南·一模）“明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过
非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某
文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成
本价和销售价如下表：
成本价（元/件） 销售价（元/件）
泥塑兔子王 15 25
清照团扇 10 17.5
(1)该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？
(2)因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑
兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？
【答案】(1)该创店第一次购进泥塑兔子王25件，购进清照团扇55件；
(2)第二次购进泥塑兔子王60件，清照团扇40件时获利最大，最大利润为900元．
【分析】本题主要考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，找到等量关系是解
题的关键．
（1）设文创店第一次购进泥塑兔子王x件，购进清照团扇y件，根据题意列出二元一
次方程组计算即可；
（2）根据题意得到W =(25−15)a+(17.5−10)(100−a)，求出a≤60即可得到答案．
【详解】（1）解：设文创店第一次购进泥塑兔子王x件，购进清照团扇y件，
{ x+ y=80 )
根据题意得， ，
15x+10 y=925
{x=25)
解得 ，
y=55
答：该文创店第一次购进泥塑兔子王25件，购进清照团扇55件；
（2）解：由题知：a≤1.5(100−a)，
解得，a≤60，
W =(25−15)a+(17.5−10)(100−a)=2.5a+750，
∵2.5>0，
∴W随a的增大而增大，
∴当a=60时，W =2.5×60+750=900元，
max
此时，100−60=40件，
答：第二次购进泥塑兔子王60件，清照团扇40件时获利最大，最大利润为900元．
11．（24-25八年级上·广东深圳·期末）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将
自己的农副产品销往全国各地．河源市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位
售卖．已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的价格为
260元，百香果和金桔的成本价如下表所示：
品名 百香果 金桔
成本/箱 30元 40元
(1)求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？
(2)深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）．张先
生目前仅有金桔和百香果各库存300箱，在只能整箱销售的情况下，张先生该如何搭配销售，在满足公司要求的情况下，获利最大．
【答案】(1)每箱百香果和每箱金桔的售价分别为40元，55元
(2)张先生将100箱百香果和300箱金桔进行搭配销售时，获利最大
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据
题目中的等量关系列出方程组和函数关系式．
（1）先每箱百香果的售价为x元，每箱金桔的售价为y元，根据已知条件列出二元一
次方程组求解每箱百香果和金桔的售价；
（2）设设张先生将m箱金桔和(400−m)箱百香果进行搭配销售，获利为w元，然后列
出获利的函数关系式w=15m+10(400−m)，根据库存和采购要求得出取值范围，根
据函数性质求出获利最大时的搭配方案．
【详解】（1）解：设每箱百香果的售价为x元，每箱金桔的售价为y元，
{2x+3 y=245)
根据题意，得
x+4 y=260
{x=40)
解这个方程组，得 ，
y=55
答：每箱百香果和每箱金桔的售价分别为40元，55元．
（2）解：每箱百香果的利润为：30−40=10（元），
每箱金桔的利润为：55−40=15（元），
设张先生将m箱金桔和（400－m）箱百香果进行搭配销售，获利为w元，
则w=15m+10(400−m) =5m+4000，
∵5>0，
∴w随m的增大而增大．
又∵m≤300，∴当m=300时，w最大，
此时百香果的箱数为：400−300=100（箱）．
答：张先生将100箱百香果和300箱金桔进行搭配销售时，获利最大．
12．（24-25八年级上·山东青岛·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源
汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行
销售，已知3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计120万元；4辆A型汽车和3辆B
型汽车的进价共计132万元．
(1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用96万元购进以上两种型号的新能源汽车若干辆（两种型号的汽
车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利4000元，销售1辆B型汽车可获利
3000元，在（2）的购买方案中，当这些新能源汽车全部售出时，哪种方案获利最大？
最大利润是多少元？
【答案】(1)A，B两种型号的汽车每辆进价分别为24万元，12万元；
(2)共3种购买方案：分别为购进A型车1辆，B型车6辆或购进A型车2辆，B型车4
辆或购进A型车3辆，B型车2辆；
(3)购进A型车1辆，B型车6辆获利最大，最大利润是22000元．
【分析】（1）设A型汽车每辆进价为x万元，B型汽车每辆进价为y万元，根据“辆
A型汽车和3辆B型汽车的进价共计120万元；3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共
计132万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，解方程即可得到结论；
（3）设在（2）的条件下，这些新能源汽车全部售出时，获得利润为w元，根据总利
润=两种汽车利润之和列出函数解析式，再由函数的性质求最值．
【详解】（1）解：设A，B两种型号的汽车每辆进价分别为x万元，y万元，
{3x+4 y=120)
根据题意得： ，
4x+3 y=132
{x=24)
解得 ，
y=12
答：A，B两种型号的汽车每辆进价分别为24万元，12万元；
（2）解：设购进A型汽车m辆，B型汽车n辆，则24m+12n=96，
∴n=8−2m，
∵m，n均为正整数，
{m=1) {m=2) {m=3)
∴ 或 或 ，
n=6 n=4 n=2
∴共3种购买方案：分别为购进A型车1辆，B型车6辆或购进A型车2辆，B型车4
辆或购进A型车3辆，B型车2辆；
（3）解：设在（2）的条件下，这些新能源汽车全部售出时，获得利润为w元，
根据题意得：w=4000m+3000n=4000m+3000(8−2m)=−2000m+24000，
∵−2000<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=1时，w最大，最大值为22000，
此时n=6，∴购进A型车1辆，B型车6辆获利最大，最大利润是22000元．
【点睛】本题考查了一次函数、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解
题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组，二元一次方程，一次函数解析
式．
13．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线
1
AB:y = x+1与直线CD:y =mx+n交于点A(4,a)，直线CD交y轴于点D(0,9)．
1 2 2
(1)求出a的值；
(2)求直线CD的解析式；
(3)若点P在x轴上，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标．
【答案】(1)
a=3；
(2)
3
y=− x+9；
2
(3)(2,0)或(−6,0)．
【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、用待定系数法求一次函数解析式．
1
(1)把点A(4,a)的坐标代入直线AB:y = x+1的解析式，可得关于a的一元一次方程，
1 2
解方程求出a的值即可；
(2)把点A、D的坐标代入y =mx+n，可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n
2
的值，即可得到直线CD的解析式；
1
(3)根据三角形的面积公式可得：BP=4，当x=0时，可得 x+1=0，解方程求出x的
2
值即为点B的横坐标，从而可得|x +2)=4，解方程求出x 的值即可．
p p1
【详解】（1）解：把点A(4,a)的坐标代入直线AB:y = x+1的解析式，
1 2
1
可得：a= ×4+1=2+1=3，
2
∴a=3；
（2）解：由(1)可知点A的坐标为(4,3)，
把点A(4,3)和点D(0,9)的坐标代入直线CD:y =mx+n，
2
{4m+n=3)
可得： ，
n=9
{ m=− 3 )
解得： 2 ，
n=9
3
∴直线CD的解析式为y=− x+9；
2
（3）解：如下图所示，过点A作AE⊥x轴，
1 1
则△ABP的面积为S = BP×AE= BP×3=6，
△ABP 2 2
解得：BP=4，
1
当x=0时，可得 x+1=0，
2
解得：x=−2，
∴点B的坐标为(−2,0)，
设点P的坐标为(x ,0)，
p
则有|x +2)=4，
p
∴x +2=±4，
p
解得：x =2或−6，
p
∴点P的坐标为(2,0)或(−6,0)．14．（2025·陕西西安·二模）为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人
机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙
两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，
完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达
距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的
高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问
题：
(1)甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒；
(2)求线段PQ对应的函数表达式；
(3)甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时
间．
【答案】(1)6，3
(2)y=6x−48(14≤x≤20)
(3)17秒
【分析】本题考查一次函数的应用、解绝对值方程、解一元一次方程，掌握路程、速
度、时间之间的关系，待定系数法求一次函数的关系式、解绝对值方程是解题的关键．
（1）根据速度=路程÷时间计算即可；
（2）根据时间=路程÷速度求出乙无人机飞行PQ段所用时间，从而求出点P的坐标，
再利用待定系数法求出线段PQ对应的函数表达式即可；
（3）分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数
表达式，令二者差的绝对值为9列方程并求解即可．
【详解】（1）解：甲无人机的速度是36÷6=6（米/秒），乙无人机的速度是
(72−12)÷20=3（米/秒）．故答案为：6，3．
（2）解：甲无人机飞行PQ段用时(72−36)÷6=6（秒），20−6=14（秒），
∴P(14，36)，
设线段PQ对应的函数表达式为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标P(14，36)和Q(20，72)分别代入y=kx+b，
{14k+b=36)
，
20k+b=72
{ k=6 )
解得： ，
b=−48
∴线段PQ对应的函数表达式为y=6x−48(14≤x≤20)．
（3）解：设乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式
为y=k′x+b′，
{20k′+b′=72) {k′=3
)
将(0,12)、(20,72)代入，得 ，解得 ，
b′=12 b′=12
∴乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为
y=3x+12(0≤x≤20)．
当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，14≤x≤20，
由与乙无人机的高度差为9米得：3x+12−(6x−48)=9，
解得x=17，
∴当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，与乙无人机的高度差为9米时的时
间为17秒．
