专题 04 一次函数的实际应用（五大题型）
【题型1：一次函数的实际应用-分配方案问题】
【题型2：一次函数的实际应用-最大利润问题】
【题型3：一次函数的实际应用-行程问题】
【题型4：一次函数的实际应用-其他问题】
【题型5：一次函数与几何综合】
【题型1：一次函数的实际应用-分配方案问题】
1．课题学习
已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套
（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到
国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案
可供选择：
方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为
20000元；
方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨．
请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高
利润（可设每月生产了x套产品，获得了y元的月利润）．
【答案】x=200，二种方案均可；0<x<200，选择方案二利润更高；x>200，选择方
案一利润更高
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得方案一的
利润为y =400x−20000，方案二的利润为y =300x，然后可分y = y ，y <y ，
1 2 1 2 1 2
y >y ，进而分类求解即可．
1 2
【详解】解：根据题意可得：
方案一的利润为：
y =(1000−550−50)x−20000，得y =400x−20000；
1 1方案二的利润为：
y =(1000−550−150)x，得y =300x．
2 2
∵当y = y 时，
1 2
400x−20000=300x，解得x=200；
当y <y 时，400x−20000<300x，解得x<200；
1 2
当y >y 时，400x−20000>300x，解得x>200．
1 2
∴当x=200时，二种方案均可；当0<x<200时，选择方案二利润更高；当x>200时，
选择方案一利润更高．
2．随着人们生活水平的提高，大家更加注重周末娱乐生活的质量，而以“亲近自然”为主
题的周末休闲生活方式深受人们喜爱．近期，又是到草莓上市的季节，各草莓园纷纷推
出采摘草莓优惠活动．以下是两个草莓采摘园的活动情况．
(1)若欣欣草莓园和乐乐草莓园的付款金额分别记为y ，y 元，请你直接写出两个草莓
欣 乐
园付款金额y ，y 于采摘草莓的重量x千克的函数表达式及自变量x的取值范围．
欣 乐
(2)佳佳一家人计划周末去草莓园进行采摘草莓体验．佳佳妈妈根据欣欣草莓园和乐乐
草莓园的活动方案，认为去乐乐草莓园摘草莓更划算！请问：佳佳妈妈的说法正确吗？
如果不正确请通过计算说明．
【答案】(1)y =¿，y =32x(x≥0)
欣 乐
(2)佳佳妈妈的说法不正确，见解析
【分析】本题考查一次函数的应用-方案问题，解不等式，熟练掌握一次函数与不等式
的关系是解题的关键．
（1）根据付款金额=数量×单价或付款金额=数量×单价×打折率，列函数关系式，注意：
计算欣欣草莓园付款金额时，分两种情况：当0≤x≤2时，当x>2时，分别求解；
（2）根据当0≤x≤2时，y >y ；当x>2时， y >y ；y <y ；y = y ；分
欣 乐 欣 乐 欣 乐 欣 乐
别列不等式与方程求解，即可得出结论．【详解】（1）解：由题意得：当0≤x≤2时，y =40x，
欣
当x>2时，y =40×2+40(x−2)×60%=24x+32，
欣
∴y =¿，
欣
y =32x(x≥0)．
乐
（2）解：佳佳妈妈的说法不正确．
当0≤x≤2时，40x>32x，
∴y >y
欣 乐
∴去乐乐草莓园摘草莓更划算．
当x>2时，当y >y 时，24x+32>32x，解得x<4
欣 乐
所以，当采摘草莓小于4千克时，去乐乐草莓园划算；
当y <y 时，24x+32<32x，解得x>4
欣 乐
所以，当采摘草莓大于4千克时，去欣欣草莓园摘草莓更划算．
当y = y 时，24x+32=32x，解得x=4
欣 乐
所以，当采摘草莓4千克时，y = y 两家一样划算．
欣 乐
综上，佳佳妈妈的说法不正确．
3．观赏汉中百里油菜花海，感受汉中独特的风光．假期某校准备组织学生、老师从西安坐
高铁到汉中进行社会实践，为了便于管理，所有师生必须乘坐在同一列高铁上，其中学
生有50人，老师有15人．（师生均按原价购票）
西安到汉中的高铁票价格如下表
运行区间 票价
上车站 下车站 一等座 二等座
西安 汉中 155元/张 97元/张
由于某种原因，二等座高铁票单程只能买x张（50<x<65），其余的须买一等座高铁
票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下．
(1)请你写出购买高铁票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式；
(2)购买高铁票的总费用（单程）为6885元，求购买二等座高铁票的数量．
【答案】(1)y=−58x+10075(50<x<65)
(2)55张
【分析】本题考查一次函数的实际应用：（1）二等座高铁票单程只能买x张，则购买一等座高铁票(65−x)张．根据单价、数量、
总价之间的关系列式即可；
（2）令y=6885，求出对应的x的值即可．
【详解】（1）解：所有参与人员总共有50+15=65（人），
二等座高铁票单程只能买x张，则购买一等座高铁票(65−x)张．
由题可得：y=97x+155(65−x) =−58x+10075(50<x<65)．
∴购买高铁票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式是
y=−58x+10075(50<x<65)；
（2）解：令y=6885，即−58x+10075=6885，
解得x=55，
∴购买二等座高铁票的数量是55张．
4．某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为师生的午餐，这
两种食品每包的营养成分表如下：
(1)若要从这两种食品中摄入3000kJ热量和45g蛋白质，应选取A，B两种食品各多少
包？
(2)若每份午餐选取这两种食品共5包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于60g，且热
量最低，应如何选取这两种食品？
【答案】(1)应选用A种食品3包，B种食品1包
(2)应选取A种食品3包，B种食品2包
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应
用．
（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据要从这两种食品中摄入3000kJ热量和
45g蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设选用A种食品m包，则选用B种食品(5−m)包，根据要使每份午餐中的蛋白质
含量不低于60g，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设每
份午餐的总热量为wkJ，利用每份午餐的总热量=每包A种食品的热量×选用A种食品
的数量+每包B种食品的热量×选用B种食品的数量，可找出w关于m的函数关系式，
再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
{700x+900 y=3000)
根据题意得： ，
10x+15 y=45
{x=3)
解得 ，
y=1
答：应选用A种食品3包，B种食品1包；
（2）解：设选用A种食品m包，则选用B种食品(5−m)包，
根据题意得：10m+15(5−m)≥60，
解得：m≤3．
设每份午餐的总热量为wkJ，则w=700m+900(5−m)，
即w=−200m+4500，
∵−200<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=3时，w取得最小值，此时5−m=5−3=2．
答：应选取A种食品3包，B种食品2包．
5．长城化工厂有化肥1000吨，安秦化工厂有化肥1500吨，现要把化肥运往两家农场，如
果从长城化工厂运往A农场和B农场运费分别是50元/吨与80元/吨，从安秦化工厂运
往A农场和B农场运费分别30元/吨与44元/吨，现已知A农场需要化肥1100吨，B农
场需要化肥1400吨．
(1)如果设从长城化工厂运往A农场x吨化肥，求此时所需的总运费y（元）与x（吨）之
间的函数关系式（直接写出自变量x的取值范围）．
(2)如果你是业务经理，请你计算一下怎样调运花钱最少，并求出最少运费．
【答案】(1)y=−16x+130600(0≤x≤1000)
(2)当从长城化工厂运往A农场1000吨，从安秦化工厂运往A农场肥料100吨，从安秦
化工厂运往B农场1400吨时总运费最少，最少运费是114600元．
【分析】此题考查了一次函数的应用．
（1）从长城化工厂运往B农场(1000−x)吨化肥，从安秦化工厂运往A农场化肥(1100−x)吨，则从安秦化工厂运往B农场，据此列出一次函数解析式即可；
（2）根据一次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：∵从长城化工厂运往A农场x吨化肥，
∴从长城化工厂运往B农场(1000−x)吨化肥，
从安秦化工厂运往A农场化肥(1100−x)吨，则从安秦化工厂运往B农场
1400−(1000−x)=(400+x)吨，
∴y=50x+80(1000−x)+30(1100−x)+44(400+x)=−16x+130600(0≤x≤1000)
（2）由于y=−16x+130600是一次函数，k=−16<0，
∴y随x的增大而减小．
∵x≤1000，∴当x=1000时，运费最少，最少运费是114600元，
∴当从长城化工厂运往A农场1000吨，从安秦化工厂运往A农场肥料100吨，从安秦化
工厂运往B农场1400吨时总运费最少，最少运费是114600元．
6．在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念，
建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，
决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提
供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：
型
载客量 租金单价
号
A 30人/辆 380元/辆
B 20人/辆 280元/辆
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．
设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．
(1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；
(2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求
出最低费用．
【答案】(1)y=100x+17360(20≤x≤62且x为整数)
(2)共有7种方案，当A型租20辆，B型租42辆时，最省钱，最低费用为19360元
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解
题意，学会利用函数的性质解决最值问题．
（1）根据租车总费用=A、B两种车的费用之和，列出函数关系式即可；
（2）列出不等式，求出自变量x的取值范围，利用函数的性质即可解决问题．【详解】（1）解：y=380x+280(62−x)
=380x+17360−280x
=100x+17360；
∵30x+20(62−x)≥1440，x≤62，
∴20≤x≤62；
函数解析式为y=100x+17360，自变量取值范围为：20≤x≤62且x为整数；
（2）解：∵100x+17360≤2000，
∴x≤26.4，
∴20≤x≤26.4，
因为x取整数，
所以x可取20，21，22，23，24，25，26，
所以有7种方案.
在y=100x+17360中， y随x的增大而增大，
所以当x=20时，最省钱，费用y=19360元，
答：共有7种方案，当A型租20辆，B型租42辆时，最省钱，最低费用为19360元．
7．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个
仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲，乙两个仓库分别可运出80t和100t有
机化肥，A，B两个果园分别需要110t和70t有机化肥．已知从甲仓库到A果园15千
米，到B果园20千米；从乙仓库到A果园25千米，到B果园20千米．
设甲仓库运往A果园xt有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元．
(1)根据题意，填写下表．
运量/t 运费/元
甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
A果园 x 110−x 2×15x 2×25(110−x)
B果园
(2)设总运费为y元，求y关于x的函数解析式，写出x的取值范围．
(3)怎样调运总运费最省，最省的总运费是多少元？
【答案】(1)80−x；x−10；2×20(80−x)；2×20(x−10)
(2)y=−20x+8300 (10≤x≤80)
(3)从甲仓库运往A果园80t有机化肥，从乙仓库运往A果园30t有机化肥，运往B果园70t有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元
【分析】本题考查了一次函数的应用；
（1）根据已知量列出整式，即可求解；
（2）总运费=运往甲仓库的运费+运往乙仓库的运费，据此列出一次函数，即可求解；
（3）由−20<0，且10≤x≤80，根据一次函数的增减性，求出运费最省时的方案，即
可求解；
理解实际意义，能根据一次函数的性质进行求解是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得：
甲仓库运往B果园：（80−x）t，
乙仓库运往B果园：70−(80−x)
=(x−10)（t），
甲仓库运往B果园所需运费：2×20(80−x)（元），
乙仓库运往B果园所需运费：2×20(x−10)（元）；
故答案：80−x；x−10；2×20(80−x)；2×20(x−10)；
（2）解：y=2×15x+2×25(110−x)+2×20(80−x)+2×20(x−10)，
即y=−20x+8300（10≤x≤80）；
（3）解：在一次函数y=−20x+8300中，
∵−20<0，且10≤x≤80，
∴当x=80时，
y最小=6700，
∴110−80=30（t），
∴80−10=70（t），
答：从甲仓库运往A果园80t有机化肥，从乙仓库运往A果园30t有机化肥，运往B果
园70t有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元．
【题型2：一次函数的实际应用-最大利润问题】
8．某商场计划购进A，B两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：
价格类型 进价（元/件） 售价（元/件）
A 30 50
B 50 75
(1)若商场预计用3400元进货，则这两种服装各购进多少件？
(2)若商场规定A种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？
【答案】(1)A种服装80件，B种服装20件
(2)购进A种服装50件、B种服装50件时获利最多，此时利润为2250元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（最大利润问题），二元一次方程组的应
用（销售、利润问题）等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系列出二元一次方程组
及一次函数解析式，并利用一次函数的性质求解其最值是解题的关键．
{ x+ y=100 )
（1）设购进A种服装x件，B种服装y件，根据题意得 ，解方程组
30x+50 y=3400
即可求出x、y的值；
（2）设A种服装进货为a件，则B种服装进货为(100−a)件，总利润为W元，根据“总
利润=（售价−进价）×销售数量”即可得出W与a的函数关系式，由题意即可得出a的
取值范围，然后根据一次函数的增减性即可求出最大利润．
【详解】（1）解：设购进A种服装x件，B种服装y件，
根据题意得：
{ x+ y=100 )
，
30x+50 y=3400
{x=80)
解得： ，
y=20
答：购进A种服装80件，B种服装20件；
（2）解：设A种服装进货为a件，则B种服装进货为(100−a)件，总利润为W元，
由题意得：
W =(50−30)a+(75−50)(100−a)=−5a+2500，
∵−5<0，
∴W随a的增大而减小，
∵商场规定A种服装进货不少于50件，购进A，B两种服装共100件，
∴50≤a<100，
∴当a=50时，W取得最大值，W =2250，
最大
∴100−a=100−50=50，
答：当购进A种服装50件、B种服装50件时才能使商场销售完这批货时获利最多，此时
利润为2250元．
9．我区爱心企业踊跃捐赠物资，以爱心助力校园抗“疫”，某爱心企业计划用2400元购
买A品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以打八折，打折后购买的数量比打折前多100个
(1)求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？
(2)由于学生的需求不同，该爱心企业决定购买A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共
808个，B品牌N95口罩每个原售价为7元，两种品牌N95口罩都打八折，且购买A
品牌N95口罩的数量不超过总数量的一半，请问该爱心企业计划用的2400元钱是否
够？如果够用，请设计一种最节省的购买方案，如果不够用，请求出至少还需要再添
加多少钱？
【答案】(1)6元
(2)该爱心企业计划用的2400元钱不够用，至少还需要再添加1801.6元
【分析】（1）设打折前每个A品牌N95口罩的售价是x元，则打折后每个A品牌
N95口罩的售价是0.8x元，利用数量=总价÷单价，结合打折后购买的数量比打折前多
100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A品牌N95口罩m个，购买800个口罩的总费用为w元，则购进B品牌
N95口罩(808−x)个，利用总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利
用一次函数的性质可得出w的最小值，将其与2400比较作差后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关
键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出
w关于m的函数关系式．
【详解】（1）解：设打折前每个A品牌N95口罩的售价是x元，
则打折后每个A品牌N95口罩的售价是0.8x元，
2400 2400
依题意得： − =100，
0.8x x
解得x=6，
经检验，x=6是原方程的解，且符合题意．
答：打折前每个A品牌N95口罩的售价是6元；
（2）解：设购进A品牌N95口罩m个，购买808个口罩的总费用为w元，
则购进B品牌N95口罩(808−m)个，
依题意得：w=6×0.8m+7×0.8(808−m)=−0.8m+4524.8，
∵−0.8<0，
∴w随m的增大而减小，
1
又∵m≤808× =404，
2∴当m=404时，w取得最小值，
最小值=−0.8×404+4524.8=4201.6．
∵4201.6>2400，且4201.6−2400=1801.6（元），
∴该爱心企业计划用的2400元钱不够用，至少还需要再添加1801.6元．
答：该爱心企业计划用的2400元钱不够用，至少还需要再添加1801.6元．
10．冬至是我国重要的传统节气之一，民间流传着谚语“冬至不端饺子碗，冻掉耳朵没人
管”．某饭店准备了虾仁、羊肉两种饺子共200斤进行销售，其中虾仁饺子的数量不
高于羊肉饺子数量的一半．已知虾仁饺子的利润为9元／斤，羊肉饺子的利润为5元
／斤．设准备了虾仁饺子m（m为正整数）斤，这200斤饺子的销售总利润为w元
（假设这200斤饺子均可售出）．
(1)求w与m之间的函数关系式．
(2)该饭店如何准备这两种饺子的数量，才能获利最大？
【答案】(1)w=4m+1000
(2)准备虾仁饺子66斤，羊肉饺子134斤时，才能使获利最大，最大利润是1264元
【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握一次函数图象的性质，增减性，最值的
计算方法是解题的关键．
（1）设准备了虾仁饺子m（m为正整数）斤，羊肉有(200−m)斤，虾仁饺子的利润
为9元／斤，羊肉饺子的利润为5元／斤，由此列式即可求解；
（2）根据一次函数求最值的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：虾仁、羊肉两种饺子共200斤，虾仁饺子的利润为9元／斤，羊肉
饺子的利润为5元／斤，设准备了虾仁饺子m（m为正整数）斤，这200斤饺子的销
售总利润为w元（假设这200斤饺子均可售出），
∴羊肉有(200−m)斤，
∴销售总利润为：w=9m+5(200−m)=4m+1000．
（2）解：已知虾仁、羊肉两种饺子共200斤进行销售，其中虾仁饺子的数量不高于羊
肉饺子数量的一半，
1
∴m≤ (200−m)，
2
2
解得，m≤66 ，
3
∵w=4m+1000，
∴w随m的增大而增大，∵m为正整数，
∴当m=66时，w有最大值，
w =4×66+1000=1264，
最大
∴200−66=134．
答：该饭店准备虾仁饺子66斤，羊肉饺子134斤时，才能使获利最大，最大利润是
1264元．
11．某景区为响应《关于推动露营旅游休闲健康有序发展》精神，需要购买A、B两种型
号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型
号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．
(1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；
(2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购
1
买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的 ，为使购买帐篷的总费用最低，
3
应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
【答案】(1)每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元
(2)当A种型号帐篷为5顶时，B种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用，解题
的关键是理解题意，正确找出等量关系．
（1）设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶B种型号帐篷的价格为y元，根据题意列
方程组即可求解；
（2）设A种型号帐篷购买m顶，总费用为w元，则B种型号帐篷为(20−m)顶，由题
1
意得w=−400m+20000，m≤ (20−m)，得到0<m≤5，最后根据一次函数的性质
3
即可求解．
【详解】（1）解：设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶B种型号帐篷的价格为y元．
{2x+4 y=5200)
根据题意列方程组为： ，
3x+ y=2800
{ x=600 )
解得 ，
y=1000
答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元；
（2）设A种型号帐篷购买m顶，总费用为w元，则B种型号帐篷为(20−m)顶，
由题意得w=600m+1000(20−m)=−400m+20000，1
其中m≤ (20−m)，
3
解得：m≤5，
∴ 0<m≤5，
故当A种型号帐篷为5顶时，总费用最低，总费用为
w=600×5+1000×(20−5)=18000元，
答：当A种型号帐篷为5顶时，B种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元．
12．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一
次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶
少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同．
(1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？
(2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小
洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，
请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多
少？
【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元
(2)购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解
题意是解答的关键．
（1）设A款的进货单价是x元，则B款的进货单价是(x+5)元，根据题意列分式方程
求解即可；
（2）设购进B款n个，先根据“A款的数量不小于B款的一半”求得n≤50；再设总
利润为w，则w=2n+200，然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A款的进货单价是x元，则B款的进货单价是(x+5)元，
500 750
根据题意，可得 = ，
x x+5
解得x=10，
经检验，x=10是该方程的解，
∴x+5=15，
答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元；1000−15n ( 3 )
（2）解：设购进B款n个，则购进A款 = − n+100 个，
10 2
又A款的数量不小于B款的一半，
3n 1
∴− +100≥ n，
2 2
解得：n≤50，
( 3 )
设总利润为w，则w=(12−10) − n+100 +(20−15)n=2n+200，
2
∵2>0，
∴w随n的增大而增大，
∴当n取得最大整数解50时，w取得最大值，最大值为2×50+200=300，
3
此时n=50，则− ×50+100=25，
2
答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元．
13．某中学决定在“文体周”为一个节目制作A、B两种道具，共80个，制作的道具需要
甲、乙两种材料组合而成，现有甲种材料300件，乙种材料280件，已知组装A、B两
种道具所需的甲、乙两种材料，如下表所示：
甲种材料（件） 乙种材料（件）
A道 3 4
具
B道 5 2
具
经过计算，制作一个A道具的费用为5元，一个B道具的费用为4元．设组装A种道具
x个，所需总费用为y元．
(1)求y与x的函数表达式，并求出x的取值范围；
(2)问组装A种道具多少个时，所需总费用最少，最少费用是多少？
【答案】(1)y=x+320，50≤x≤60
(2)当组装A道具50个时，所需费用最少，最少费用是370元
【分析】本题考查了一次函数的应用，关键是通过实际问题列出一次函数关系，然后
根据一次函数的性质解决问题．
（1）设组装A种道具x个，则B种道具(80−x)个，根据“总费用=A种道具费用+B种道具费用”即可得出y与x的函数关系式；再根据题意列不等式组即可得出x的取值
范围；
（2）根据（1）的结论，结合一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：y=5x+4(80−x)
=x+320．
根据题意，得
{3x+5(80−x)≤300)
．
4x+2(80−x)≤280
解得50≤x≤60
x的取值范围是50≤x≤60．
∴（2）解：由（1）得y=x+320
y是x的一次函数，且1>0
∵y随着x的增大而增大．
∴当x=50时，y =50+320=370
最小值
∴答：当组装A道具50个时，所需费用最少，最少费用是370元．
14．第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的
二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关
注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖
店购进A，B两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．A种礼盒每个进价160元，售价
220元；B种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中
A种礼盒不少于60个．设购进A种礼盒x个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？
【答案】(1)y=20x+4000(60≤x<100)
(2)5500元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用．
（1）根据利润等于单件利润乘以数量建立函数关系式即可；
（2）先求出自变量的取值范围，再根据一次函数增减性求最值．
【详解】（1）解：由题知y=(220−160)x+(160−120)(100−x)=20x+4000，
∴y与x的函数表达式为y=20x+4000(60≤x<100)．{ x≥60 )
（2）解：由题知
160x+120(100−x)≤15000
∴60≤x≤75
由（1）知y=20x+4000
∵20>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=75时，y有最大值，y =20×75+4000=5500（元）．
最大
15．当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求
不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A、B两种配件．已
知购进50件A配件和125件B配件需支出成本20000元；购进40件A配件和40件B配
件需支出成本12400元．
(1)求A、B两种配件的进货单价；
(2)若该配件销售部门计划购进A、B两种配件共400件，B配件进货件数不低于A配件
4
件数的3倍．据市场销售分析，A配件提价16%销售，B配件的售价是进价的 ．怎样
3
安排A、B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？
【答案】(1)A配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元
(2)购进A配件100件，B配件300件获得利润最大，最大利润为10000元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，不等式的应用，
解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．
（1）设A配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据购进50件A配件和
125件B配件需支出成本20000元；购进40件A配件和40件B配件需支出成本12400
元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进A配件m件，则购进B配件(400−m)件，获得的利润为w元，得出
(4 )
w=250×16%m+ −1 ×60(400−m)=20m+8000，根据B配件进货件数不低于
3
A配件件数的3倍，求出m≤100，根据一次函数增减性求出结果即可．
【详解】（1）解：设A配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据题意
得：{50x+125 y=20000)
，
40x+40 y=12400
{x=250)
解得： ，
y=60
答：A配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元；
（2）解：设购进A配件m件，则购进B配件(400−m)件，获得的利润为w元，根据题
意得：
(4 )
w=250×16%m+ −1 ×60(400−m)
3
=40m+20(400−m)
=40m+8000−20m
=20m+8000，
∵B配件进货件数不低于A配件件数的3倍，
∴400−m≥3m，
解得：m≤100，
∵20>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=100时，获得利润最大，且最大利润为：20×100+8000=10000（元），
此时需要购进A配件100件，B配件300件．
【题型3：一次函数的实际应用-行程问题】
16．如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的距离是
60km，请根据图像回答：
(1)乙骑摩托车的速度是多少？
(2)甲骑自行车的速度是多少？
(3)两人相遇的时候，距B地还有多远？(4)乙比甲晚多少时间出发，又早到多少时间？
【答案】(1)40km/h
(2)10km/h
(3)20km
(4)乙比甲晚3h出发，又早到1.5h
【分析】本题主要考查了从函数图象中获得信息，解题的关键是数形结合，找出关键
点的意义．
（1）根据速度=路程÷时间，结合函数图象求出结果即可；
（2）根据速度=路程÷时间，结合函数图象求出结果即可；
（3）根据函数图象的交点坐标，得出答案即可；
（4）直接根据函数图象得出乙比甲晚3h出发，分别求出甲、乙到达B地时，对应的
函数图象的横坐标，再求出乙比甲早到1.5h即可．
【详解】（1）解：40÷(4−3)=40(km/h)，
乙骑摩托车的速度是40km/h．
（2）解：40÷4=10(km/h)，
甲骑自行车的速度是10km/h．
（3）解：根据图象可知，两函数图象的交点坐标为(4,40)，
∴两人相遇时距A地40km．
60−40=20(km)，
∴两人相遇的时候，距B地还有20km远．
（4）解：当甲骑自行车到达B地时，甲函数图象的横坐标为：
x=60÷10=6，
当乙骑摩托车到达B地时，乙函数图象的横坐标：
x=3+60÷40=4.5，
6−4.5=1.5(h)．
乙比甲晚3h出发，又早到1.5h．
17．A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，
甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速
行驶，结果比甲提前到达．(1)求点C的坐标
(2)甲、乙两人离开A地的距离s(km)与时间t(h)的关系如图所示，则乙出发几小时后和
甲相遇？
【答案】(1)(2,2)
11
(2)
5
【分析】（1）由题意得，点C的横坐标为1+1=2，点C的纵坐标为2×1=2，由此
即可得出点C的坐标；
（2）设甲离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的函数解析式为s =kt+b，将(0,0)，
甲
{ b=0 ) {k=4)
(5,20)代入，得 ，解得 ，于是可得s =4t(0≤t≤5)；由“乙以
5k+b=20 b=0 甲
2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶”可知，乙的速度在1∼2h
和2∼4h内是不同的，需要分别求解：设1∼2h内乙离开A地的距离s(km)与时间
之间的函数解析式为 ，将 ， 代入，得{k +b =0 )，解得
t(h) s =k t+b (1,0) (2,2) 1 1
乙 1 1 2k +b =2
1 1
{ k =2 )，于是可得 内函数解析式为 ，设 内乙离
1 1∼2h s =2t−2(1≤t≤2) 2∼4h
b =−2 乙
1
开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的函数解析式为s =k t+b ，将(2,2)，(4,20)代
乙 2 2
入，得{2k +b =2 )，解得{ k =9 )，于是可得 内函数解析式为
2 2 2 2∼4h
4k +b =20 b =−16
2 2 2s =9t−16(2<t≤4) ，综上所述， s = {2t−2(1≤t≤2) )；依题意，联立方程组，
乙 乙 9t−16(2<t≤4)
{ s=4t )
得 ，解方程组即可求出t的值，进而可求出乙出发几小时后和甲相遇．
s=9t−16
【详解】（1）解：由题意得：
点C的横坐标为：1+1=2，
点C的纵坐标为：2×1=2，
∴点C的坐标为(2,2)；
（2）解：设甲离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的函数解析式为s =kt+b，
甲
将(0,0)，(5,20)代入，得：
{ b=0 )
，
5k+b=20
{k=4)
解得： ，
b=0
∴s =4t(0≤t≤5)，
甲
∵乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，
∴乙的速度在1∼2h和2∼4h内是不同的，需要分别求解，
设1∼2h内乙离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的函数解析式为s =k t+b ，
乙 1 1
将(1,0)，(2,2)代入，得：
{k +b =0 )
1 1
，
2k +b =2
1 1
{ k =2 )
1
解得： ，
b =−2
1
∴1∼2h内函数解析式为s =2t−2(1≤t≤2)，
乙
设2∼4h内乙离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的函数解析式为s =k t+b ，
乙 2 2
将(2,2)，(4,20)代入，得：
{2k +b =2 )
2 2
，
4k +b =20
2 2{ k =9 )
解得： 2 ，
b =−16
2
∴2∼4h内函数解析式为s =9t−16(2<t≤4)，
乙
s = {2t−2(1≤t≤2) )
综上所述， ，
乙 9t−16(2<t≤4)
依题意，联立方程组，得：
{ s=4t )
，
s=9t−16
16
解得：t= ，
5
16 11
−1= (h)，
5 5
11
答：乙出发 小时后和甲相遇．
5
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（行程问题），求一次函数解析式，两
直线的交点与二元一次方程组的解，写出直角坐标系中点的坐标，从函数的图象获取
信息，解二元一次方程组等知识点，能够从函数图象中获取正确信息并熟练掌握待定
系数法求一次函数解析式是解题的关键．
18．小明开车去某地旅游，汽车出发前油箱有油40L，行驶若干小时后，在加油站加油若
干升．图像表示的是从出发后，油箱中剩余油量y（L）与行驶时间t（h）之间的关系．
(1)汽车行驶h后加油，中途加油L；
(2)求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；
(3)已知加油前、后汽车都以80km/h匀速行驶，如果加油站距目的地240km，那么要
到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．【答案】(1)2，40
(2)y=−15t+40(0≤t≤2)
(3)够用，见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及速度，路
程和时间的关系是解题的关键．
（1）根据图象作答即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）根据时间＝路程÷速度求出汽车从加油站到目的地需用的时间，再计算出汽车每
小时的油耗，从而求出到达目的地需要的油量并与从加完油后出发时油箱中的油量比
较大小即可得出结论．
【详解】（1）由图象可知，汽车行驶2h后加油，中途加油50−10=40(L)．
故答案为：2，40；
（2）设加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式为y=kt+b(k,b为常数，且
k≠0)．
将坐标(0,40)和(2,10)分别代入y=kt+b，
{ b=40 )
得 ，
2k+b=10
{k=−15)
解得 ，
b=40
∴加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式为：
y=−15t+40(0≤t≤2)；
（3）油箱中的油够用．理由如下：
汽车从加油站到目的地需用的时间为240÷80=3(h)，
汽车每小时的油耗为(40−10)÷2=15(L)，
到达目的地需要的油量为15×3=45(L)，
∵50>45，
∴油箱中的油够用．
19．一辆小轿车和一辆大客车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线O−A−B−C
和线段OD分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的关系，
其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题：(1)分别求小轿车和大客车的速度；
(2)小轿车和大客车出发后，是否能再次相遇，若能相遇，求出相遇时与甲地的距离；
若不能相遇，请说明理由；
(3)求出发后经过多少小时两车相距10km？
【答案】(1)小轿车的速度为60km/h，大客车的速度为40km/h
(2)能再次相遇，两车出发2.7小时后相遇，此时距离甲地108km
(3)0.5小时或2.6小时或2.8小时
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性
质和数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度；
（2）先确定BC与OD所在直线的解析式，再联立方程组求解即可确定两车出发多少
小时两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程；
（3）分三种情况，分别列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由图象可知：
小轿车的速度为：120÷2=60(km/h)，
大客车的速度为：120÷3=40(km/h)，
∴小轿车的速度为60km/h，大客车的速度为40km/h；
（2）设OD,BC交于点P，
由图像可知：A(2,120)，B(2.5,120)，D(3,120)，
∵小轿车往返的速度相同，
∴C(4.5,0)，设BC的解析式为s=k t+b ，过点B(2.5,120)，C(4.5,0)，
BC BC
{2.5k +b =120)
∴ BC BC ，
4.5k +b =0
BC BC
{k =−60)
解得： BC ，
b =270
BC
∴BC的解析式为s=−60t+270，
设OD的解析式为s=k t，过点D(3,120)，
OD
∴3k =120，
OD
解得：k =40，
OD
∴OD的解析式为s=40t，
{s=−60t+270)
联立方程组，得： ，
s=40t
{t=2.7)
解得： ，
s=108
∴点P的坐标为(2.7,108)，即两车出发2.7小时后相遇，此时距离甲地108km；
（3）设OA的解析式为s=k t，过点D(2,120)，
OA
∴2k =120，
OA
解得：k =60，
OA
∴OA的解析式为s=60t，
当0≤t≤2时，
得：60t−40t=10，解得：t=0.5；
当2<t<2.5时，则80<40t<100，
得：20<120−40t<40，
此时，两车相距超过10km；
当2.5≤t≤4.5时，
得：|−60t+270−40t)=10，
解得：t=2.6或t=2.8；
综上所述，出发后经过0.5小时或2.6小时或2.8小时两车相距10km．
20．放学后小明和小亮兄弟两人都从学校（同一学校）回家，已知学校到家的距离为3000
米，由于小亮要值日，因此在小明先出发1000米后，小亮再出发．小明在回家途中速
度保持不变，小亮在出发5分钟后加快自己的速度，如图是小明、小亮两人离学校的距离y（米）与小亮出发的时间x（分）之间的函数图象．
(1)求CD段的函数表达式；
(2)当小亮回到家时，小明距离家还有多远？
【答案】(1)y=270x−1050
(2)800米
【分析】本题考查了一次函数的应用．
（1）设CD段的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，将点C(5,300),D(15,3000)代入求解
即可；
（2）先求出小明离学校的距离y的函数表达式y =80x+1000，将x=15代入求出
小明
与学校的距离，进而可求出小明距离家还有多远．
【详解】（1）解：设CD段的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
将点C(5,300),D(15,3000)代入，
{ 5k+b=300, )
得
15k+b=3000,
{ k=270, )
解得
b=−1050,
∴CD段的函数表达式为y=270x−1050．
（2）解：设小明离学校的距离y的函数表达式为y =mx+1000(m≠0)，
小明
将(25,3000)代入，得25m+1000=3000，
解得m=80，
∴y =80x+1000，
小明
当x=15时，80x+1000=80×15+1000=2200，
3000−2200=800（米），
∴当小亮回到家时，小明距离家还有800米．【题型4：一次函数的实际应用-其他问题】
21．小华发现弹簧的长度L(cm)是所悬挂物体的质量m(kg)的一次函数．当所悬挂物体的质
量为2kg时，弹簧的长度为16cm，且质量m每增加0.1kg，弹簧的长度L就增加0.2cm．
若弹簧所能拉伸的最大长度为40cm，则所悬挂物体的质量m的最大值为
kg．
【答案】14
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意．根据题意，可以得到
L与m的函数解析式，再令L=40求出相应的m的值，即可得所悬挂物体的质量m的最
大值．
【详解】解：质量m每增加0.1kg，弹簧的长度L就增加0.2cm，
即：质量m每增加1kg，弹簧的长度L就增加2cm．
∴所悬挂物体的质量为3kg时，弹簧的长度为18cm，
设L与m的函数解析式为L=km+b，
{2k+b=16)
∴ ，
3k+b=18
{k=2
)
解得 ，
b=12
∴L与m的函数解析式为y=2m+12，
当L=40时，2m+12=40，
解得：m=14，
即：弹簧所能拉伸的最大长度为40cm，则所悬挂物体的质量m的最大值为14kg，
故答案为：14．
22．某饭店有A，B两种午餐套餐，套餐中肉类、蔬菜类、主食含量如下表（不完整）：
套 肉 蔬菜
主食/g
餐 类/g 类/g
A 50 x 150
B 80 180
调查发现：6份A套餐中蔬菜类的总含量和5份B套餐中蔬菜类的总含量相同，每份A
套餐中蔬菜类的含量比每份B套餐中蔬菜类的含量少50g．
(1)①将表格补充完整；（用含x的代数式表示）
②求x的值．(2)小刚在该饭店预订了一周（7天）的午餐套餐．为了平衡饮食，小刚计划这周的午
餐中，蔬菜的总含量需不少于2kg．则小刚应怎样选择这两种套餐，才能使这周的午
餐中肉类的总含量最少？
【答案】(1)①表格见详解；②x=250
(2)小刚应选择2天A套餐和5天B套餐，才能使这周的午餐中肉类的总含量最少
【分析】本题主要考查一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关
键是理解题意；
（1）①根据“每份A套餐中蔬菜类的含量比每份B套餐中蔬菜类的含量少50g”可进
行求解；②由“6份A套餐中蔬菜类的总含量和5份B套餐中蔬菜类的总含量相同”
及①可得方程为6x=5(x+50)，然后进行求解即可；
（2）由（1）可知每份A套餐中蔬菜类的含量为250g，每份B套餐中蔬菜类的含量为
300g，则设一星期中有y(0≤ y≤7)天选择B套餐，由题意得250(7−y)+300 y≥2000，
然后可得5≤ y≤7，设小刚这周的午餐中肉类的总含量为wg，则有：
w=50(7−y)+80 y=30 y+350，进而根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：①由题意得：B套餐含蔬菜类的含量为(x+50)g，故补全表格如下：
套 肉 蔬菜 主
餐 类/g 类/g 食/g
A 50 x 150
B 80 (x+50) 180
②由题意得：
6x=5(x+50)，
解得：x=250；
（2）解：由（1）可知：每份A套餐中蔬菜类的含量为250g，每份B套餐中蔬菜类的
含量为300g，则设一星期中有y(0≤ y≤7)天选择B套餐，由题意得：
250(7−y)+300 y≥2000，
解得：y≥5，即5≤ y≤7，
设小刚这周的午餐中肉类的总含量为wg，则有：w=50(7−y)+80 y=30 y+350，
∴当5≤ y≤7时，w随y的增大而增大，
∴当y=5时，w有最小值，最小值为500；
答：小刚应选择2天A套餐和5天B套餐，才能使这周的午餐中肉类的总含量最少．
23．随着人们生活和消费水平的不断提高，单肩包越来越受人们的喜爱．如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单
层部分的长度，使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长
度忽略不计）加长或缩短．
【观察测量】
某项目学习小组对该背包的背带长度进行测量，该单层的部分长度是x(cm)，双层部
分的长度是y(cm)，得到如下数据：
．． ．．
单层部分的长度x(cm) 50 60 70 80 90
． ．
．． 55 50 45 42 35 ．．
双层部分的长度y(cm)
． ．
【探究发现】
（1）小组建立如图所示的平面直角坐标系，单层部分的长度x(cm)，双层部分的长度
y(cm)，描出以表格中所有数据为坐标的各点（只描出点即可）；
（2）经过观察思考，项目学习小组发现表格中有一组身高的数据有误，重新测量后证
实了这一发现．经过纠正，该组数据应为：单层部分的长度为__________cm时，双层
部分的长度约为__________cm；
（3）在平面直角坐标系中，描出这些数据对应的点，发现这些点大致位于同一个函数图象上，求该函数的表达式．
【结论应用】
（4）应用上述发现的规律推测：根据青青同学的身高和习惯，背带的总长度为110cm
时，背起来最舒适，此时单层部分的长度为__________cm．
1
【答案】（1）作图见详解；（2）80；40；（3）y=− x+80；（4）60
2
【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解表格信息，掌握待定系数法求解析式，
一次函数求自变量的值的计算是解题的关键．
（1）根据表格描点即可；
（2）根据表格数字信息进行分析即可；
（3）运用待定系数法即可求解；
( 1 )
（4）根据题意列式为x+ y=x+ − x+80 =110，由此即可求解．
2
【详解】解：（1）根据表格信息描点如下，
（2）根据表格信息，x增大，y有规律的逐渐减小，
即当x=60时，y=50，当x=70时，y=45，当x=80时，y=40，当x=90时，
y=35，
∴单层部分的长度为80cm时，双层部分的长度约为40cm，
故答案为：80，40；
（3）设函数解析式为y=kx+b(k≠0)，
当x=60时，y=50，当x=70时，y=45，
{60k+b=50)
∴ ，
70k+b=45{ k=− 1 )
解得， 2 ，
b=80
1
∴函数解析式为y=− x+80；
2
（4）背带的总长度为110cm时，即x+ y=110，
( 1 )
∴x+ − x+80 =110，
2
解得，x=60，
∴单层部分的长度为60cm，
故答案为：60．
24．如图（1）是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图，乙槽中放置一个圆柱形 玻璃块
（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙
两个水槽中水的深度y(cm)与注水时间x(min)之间的关系如图（2）所示
(1)注水前乙槽中水深 cm，玻璃块的高度为 cm；
(2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间．
【答案】(1)2，14
(2)注水2分钟，甲、乙两个水槽的水深度相同
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解方程组等知识点，解题的关键是读懂题
意，熟练运用待定系数法求出相关直线解析式，
（1）注水过程与函数图象结合，可知折线是乙槽中水位的变化情况，观察图象即可得
注水前乙槽中水深 为2cm，玻璃块的高度为14cm；
（2）求甲、乙水槽水位相同的注水时间，即是求线段ED与线段AB交点的横坐标，
求出AB、ED解析式，联立求交点即可．
【详解】（1）解：由题意可知，乙槽在注入水的过程中，水的高度不断增加，当水位达到玻璃块端时，高度变化情况又同前面不同，
∴折线表示的是乙槽的水深与注水时间的关系；
∴注水前乙槽中水深 为2cm，折线拐角处表示深度有所变化，
∴此时表示水位达到玻璃块顶端即玻璃块的高度为14cm，
故答案为：2，14．
（2）解：如图，
设AB的解析式为y=kx+b，
将点(0,12)、(6,0)代入得：
¿，解得¿，
∴AB的解析式为y=−2x+12，
设ED的解析式为y=mx+n，将点(0,2)、(4,14)代入得：
¿，解得¿，
∴ED的解析式为y=3x+2，
∴¿，解得¿，
答：注水2分钟，甲、乙两个水槽的水深度相同．
25．某服装店招聘销售人员，提供了如下两种月工资方案：
方案一：没有底薪，每售出一件商品提成25元；
方案二：底薪3000元，售出的前100件商品没有提成，超过100件的部分，每售出一
件商品提成20元．
设销售人员每月售出x件商品，方案一、方案二中销售人员的月工资分别为y ,y （单
1 2
位：元）．
(1)分别写出y ,y 关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
1 2
(2)若销售人员小王某月售出了150件商品，则他应该选择哪种方案，才能得到更高的
月工资？请说明理由．
(3)根据每月售出商品的件数，销售人员小王应如何选择方案，才能得到更高的月工资？【答案】(1)y
1
=25x(x≥0)，y
2
= {
20
30
x
0
+
0
1
(
0
0
0
≤
0
x
(x
≤
>
10
1
0
00
)
)
)
(2)方案二，见解析
(3)见解析
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数解析式是解题的关键：
（1）根据两种方案，写出函数解析式即可；
（2）将x=150分别代入，求出y值进行比较即可；
（3）分0≤x≤100，x>100，再根据y <y ，y = y ，y >y ，进行求解即可．
1 2 1 2 1 2
【详解】（1）解：根据题意，得y =25x(x≥0)．
1
当0≤x≤100时，y =3000；
2
当x>100时，y =3000+20(x−100)=20x+1000，
2
y = { 3000(0≤x≤100) )
∴ ；
2 20x+1000(x>100)
（2）他应该选择方案二，才能得到更高的月工资．理由如下：
对于方案一：当x=150时，y =25×150=3750元；
1
对于方案二：当x=150时，y =20×150+1000=4000元；
2
3750<4000，
∴他应该选择方案二，才能得到更高的月工资．
（3）当x=100时，y =25×100=2500<3000．
1
∵25>0，
∴y 随x的增大而增大．
1
∴当0≤x≤100时，y <y
1 2．
当x>100时，令y <y ，得25x<20x+1000．
1 2
解得x<200．
令y = y ，得25x=20x+1000．解得x=200．
1 2
令y >y ，得25x>20x+1000．解得x>200．
1 2
∴当0≤x<200时，选择方案二能得到更高的月工资；
当x=200时，选择方案一和方案二得到的月工资相同；
当x>200时，选择方案一能得到更高的月工资．
26．如图，有三摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，图中标注了相关数据，请根据这些信息解答下列问题．
(1)最下面的碗的高度是 cm，每增加一个碗增加的高度是 cm．
(2)求第三摞碗的总高度y(cm)与碗的总个数x(个)之间的函数关系式，并通过计算判断
这摞碗的高度能否是1m．
(3)已知买一个碗需要2元，对于第三摞碗，若其高度不低于1.5m，求买这摞碗至少需
要多少钱．
【答案】(1)6,1.5；
(2)y=1.5x+4.5，这摞碗的高度不能是1m，理由见解析．
(3)买这摞碗至少需要194元．
【分析】本题考查了一次函数的应用，求函数解析式，不等式的应用等知识，掌握相
关知识是解题的关键．
（1）第一摞有4个碗，高度是10.5cm，第二摞有7个碗，高度为15cm，所以每增加
一个碗增加的高度为1.5cm，则最下面的碗的高度是6cm；
（2）根据（1）即可得出函数解析式，当y=100时，即1.5x+4.5=100，解得
191
x= ，
3
即可判断；
（3）对于y=1.5x+4.5，当y≥150，即1.5x+4.5≥150时，解得x≥97，即可求解．
【详解】（1）解：第一摞有4个碗，高度是10.5cm，第二摞有7个碗，高度为15cm，
∴每增加一个碗增加的高度为(15−10.5)÷(7−4)=1.5(cm)，
∴最下面的碗的高度是10.5−1.5×3=6(cm)，
故答案为：6,1.5；
（2）解：y=6+(x−1)×1.5=1.5x+4.5，
当y=100时，即1.5x+4.5=100，
191
解得：x= ，
3191
∵ 不是整数，
3
∴这摞碗的高度不能是1m．
（3）解：对于y=1.5x+4.5，当y≥150，即1.5x+4.5≥150时，
解得：x≥97，
∴若这摞碗的高度不低于1.5m，则这摞碗不少于97个，
∴买这摞碗至少需要97×2=194（元）．
27．如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小亮在地面平放一面镜子，在镜子
上做一个标记点C，小亮看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端点A在镜子中的像与
标记点C重合．经测量，小亮的眼睛离地面高度DE为1.6m，小亮与标记点C的距离
CE为2m，标记点C与旗杆底部点B的距离BC为12m．
(1)在图中建立适当的平面直角坐标系，并直接写出点C，D的坐标．
(2)在（1）的条件下，求直线AC的表达式及旗杆的高度．
【答案】(1)以点C为原点，C(0,0)，D(−2,1.6)，图见解析；以点E为原点，C(2,0)，
D(0,1.6)；以点B为原点，C(−12,0)，D(−14,1.6)；
(2)y=0.8x，9.6m
【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握代数系数法求解析式，一次函数求函数
值的方法是解题的关键．
（1）方法一：以点C为原点，结合坐标与图形得到点坐标；方法二：以点E为原点，
结合坐标与图形得到点坐标；方法三：以点B为原点，结合坐标与图形得到点坐标；
（2）方法一：以点C为原点，作点D关于y轴的对称点F，则点F的坐标为(2,1.6)，
可得直线AC的解析式为y=0.8x，当x=12时，y=0.8×12=9.6，即可求解；方法
二：以点E为原点，作点D关于直线x=2的对称点G，则G(4,1.6)，所以直线AC的
解析式为y=0.8x−1.6，当x=14时，y=0.8×14−1.6=9.6，由此即可求解；方法
三：以点B为原点，作点D关于直线x=−12的对称点M，则M(−10,1.6)，所以直线
AC的解析式为y=0.8x+9.6，当x=0时，y=0.8×0+9.6=9.6，由此即可求解．【详解】（1）解：如图1，以点C为原点，EB所在直线为x轴，建立平面直角坐标
系，
此时C(0,0)，D(−2,1.6)．
方法二：
如图2，以点E为原点，EB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
此时C(2,0)，D(0,1.6)．
方法三：
如图3，以点B为原点，EB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
此时C(−12,0)，D(−14,1.6)．
（2）解：方法一：作点D关于y轴的对称点F，由对称性可知：点F的坐标为(2,1.6)，由平面镜反射知识可知：∠DCE=∠ACB，
∴点A，F，C在一条直线上，
设直线AC的解析式为y=kx，
∴1.6=2k，
解得，k=0.8，
∴直线AC的解析式为y=0.8x，
当x=12时，y=0.8×12=9.6，
∴旗杆高度为9.6m．
方法二：作点D关于直线x=2的对称点G，由对称性可知：G(4,1.6)，
由平面镜反射知识可知：∠DCE=∠ACB，
∴点A，G，C在一条直线上，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将点C(2,0)，G(4,1.6)代入y=kx+b得¿，
解得¿，
∴直线AC的解析式为y=0.8x−1.6，
当x=14时，y=0.8×14−1.6=9.6，
∴旗杆高度为9.6m．
方法三：作点D关于直线x=−12的对称点M，由对称性可知：M(−10,1.6)，由平面镜反射知识可知：∠DCE=∠ACB，
∴点A，M，C在一条直线上，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将点C(−12,0)，M(−10,1.6)代入y=kx+b得¿，
解得¿，
∴直线AC的解析式为y=0.8x+9.6，
当x=0时，y=0.8×0+9.6=9.6，
∴旗杆高度为9.6m．
28．数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下
信息：
该超市购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起
形成购物车列，如图2所示．3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米，
且每增加一辆购物车，长度增加0.2米．
信
息
1
信 该超市购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电
息 梯一次只能转运1列购物车列，且长度最多为5.8米，直立电梯一次性最多能转运2
2 列长度均为2.6米的购物车列．
问题解决
任 若n辆购物车按图2的方式叠放，形成购物车列的长度为L米，则L=______；（用
务 含n的代数式表示）
1
任 该超市直立电梯一次最多能转运购物车数量；
务
2
任 若该超市需转运m辆购物车，单独使用直立电梯和单独使用扶手电梯均需要2次，
务 求这m辆购物车按图2的方式叠放，形成购物车列的长度的最大值．
3【答案】（1）L=0.2n+1；（2）16（辆）；（3）7.4m．
【分析】本题考查一次函数表达式，一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解
法是解题的关键；
任务1：根据题意作答即可；
任务2：将L=2.6代入L的表达式，求出对应n的值，再求计算2n的值即可；
任务3：根据题意，列关于m的一元一次不等式组并求其解集，将m的最大值代入L的
表达式，求出对应L的值即可；
【详解】任务1：根据题意，得L=1+0.2n.
故答案为：1+0.2n；
任务2：当L=2.6时，得1+0.2n=2.6，
解得n=8，
8×2=16（辆)；
答：该超市直立电梯一次最多能转运购物车数量16辆；
任务3：当L=5.8时，得1+0.2n=5.8，
解得n=24，
该超市直立电梯一次最多能转运购物车数量16辆，
根据题意单独使用直立电梯需要2次，可知17≤m≤32；
{17≤m≤32)
根据题意，得 ，
25≤m<48
解得25≤m≤32，
∵当m最大时，L最大，
∴当m=32时，L=1+0.2×32=7.4；
答：形成购物车列的长度的最大值为7.4m
29．千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生
活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易．
【观察实践】如图①，某兴趣小组为了探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x(x≥4)厘
米与秤钩所挂物重为y斤之间的关系，进行了6次称重记录出下表的一些数据．
x（厘 1 2 2 3
4 24
米） 2 0 8 6
y 0 1 2 2. 3 4
（斤 5
）【问题解决】
(1)在图②中，请以表格中的x值为横坐标，y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依
次连接起来．
(2)根据（1）中所描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条
直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由．
(3)当秤钩上所挂物重是3.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽水平距离是多少？
【答案】(1)见解析
1 1
(2)y= x− (x≥4)
8 2
(3)32cm
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质知识点，解题的关键是根据给定的数据
判断点是否共线，并能利用待定系数法求一次函数解析式，再根据函数解析式进行求
值计算．
（1）根据坐标描点连线；
（2）判断点共线后，用待定系数法，将两点坐标代入一次函数一般式求解；
（3）把物重代入函数解析式求解秤砣到秤纽水平距离．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由（1）中图象可知，所描各点在同一条直线上，
设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
将点(12,1)有(28,3)代入，{12k+b=1)
得 ，
28k+b=3
1
{ k= )
8
解得 ，
1
b=−
2
1 1
∴这条直线所对应的函数解析式为y= x− (x≥4)．
8 2
1 1
（3）解：当y=3.5时，y= x− =3.5，
8 2
解得：x=32厘米，
∴秤杆上秤砣到秤纽水平距离32cm．
【题型5：一次函数与几何综合】
1
30．如图，一次函数y= x+1与x轴，y轴分别相交于点A和点B．
2
(1)求点A和点B的坐标；
(2)在y轴上有一动点P，若△ABP的面积为3，请求出点P的坐标；
(3)在x轴上是否存在点Q，使得△ABQ是以AB为一腰的等腰三角形，若存在，请直接
写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为(−2, 0)，点B的坐标为(0, 1)；
(2)点P的坐标为(0, 4)或(0, −2)；
(3)存在，点Q的坐标为(2, 0)或(❑√5−2, 0)或(−❑√5−2, 0)
【分析】（1）由一次函数与坐标轴交点坐标特点即可求解；
（2）设P(0,b)，由（1）得点A的坐标为(−2, 0)，点B的坐标为(0, 1)，则OA=2，1
OB=1，PB=|b−1)，然后由 PB×OA=3即可求出b的值，从而求解；
2
（3）分①当AB=AQ =AQ =❑√5时和当AB=BQ 时进行分析即可；
1 2 3
本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用及
分类讨论思想是解题的关键．
1
【详解】（1）解：由y= x+1得，
2
1
当x=0时y=1；当y=0时， x+1=0，解得：x=−2，
2
∴点A的坐标为(−2, 0)，点B的坐标为(0, 1)；
（2）解：设P(0,b)，
由（1）得点A的坐标为(−2, 0)，点B的坐标为(0, 1)，
∴OA=2，OB=1，
∴PB=|b−1)，
∵△ABP的面积为3，
1 1
∴ PB×OA=3，即 |b−1)×2=3，
2 2
∴|b−1)=3，
解得：b=4或b=−2，
∴点P的坐标为(0, 4)或(0, −2)；
（3）解：存在，理由：如图，
∵点A的坐标为(−2, 0)，点B的坐标为(0, 1)，
∴AB=❑√5，
①当AB=AQ =AQ =❑√5时，
1 2∴Q 的坐标为(−❑√5−2,0)，Q 的坐标为(❑√5−2,0)，
1 2
②当AB=BQ 时，
3
∴OQ =OA=2，
3
∴Q 的坐标为(2,0)．
3
31．已知直线l :y=x+6与直线l :y=−2x交于点F．
1 2
(1)求点F的坐标；
(2)如图，直线l 的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C在线段AO上运动，过点C作
1
x轴的垂线交直线l 于点D，交直线l 于点E．
1 2
①当点C的坐标是(−3,0)，则△FDE的面积为 ；
②以OF为直角边作等腰直角三角形OFG，点G在第一象限内，直接写出点G的坐标．
【答案】(1)(−2,4)
3
(2)① ；②(4,2),(2,6)
2
【分析】（1）联立方程组求解即可；
（2）①根据题意可得 ， ，点 到 的距离为 ，
D(−3,3) E(−3,6) F DE ℎ −2−(−3)=1
F
由三角形面积公式即可求解；②根据题意得到∴A(−6,0),B(0,6)，分类讨论：当
OG⊥OF，∠FOG=90°，FO=OG，点G在第一象限内时, △OFG是以OF为直角
边作等腰直角三角形，如图所示，F(−2,4)，过点F作FP⊥x轴于点P，过点G作
GQ⊥x轴于点Q，可证△FPO≌△OQG(AAS)，得到OQ=FP=4,QG=OP=2，可
得点G的坐标；当GF⊥FO，∠OFG=90°，OF=FG，点G在第一象限内时,
△OFG是以OF为边的等腰直角三角形，如图所示，F(−2,4)，过点F作FP⊥x轴于
点P，过点G作GQ⊥PF延长线于点Q，可证△GQF≌△FPO(AAS)，得
QF=OP=2,QG=FP=4，QP=QF+FP=2+4=6，再证四边形QPOB是矩形，得BG=QG−QB=4−2=2，可得点G的坐标．
【详解】（1）解：直线l :y=x+6与直线l :y=−2x交于点F，
1 2
{y=x+6)
∴ ，
y=−2x
{x=−2)
解得， ，
y=4
∴F(−2,4)，
∴点F的坐标(−2,4)；
（2）解：①∵点C在线段AO上运动，过点C作x轴的垂线交直线l 于点D，交直线l
1 2
于点E，点C的坐标是(−3,0)，
∴当x=−3时，x+6=−3+6=3，−2x=−2×(−3)=6，
∴D(−3,3)，E(−3,6)，
∴DE=6−3=3，且F(−2,4)，
∴点F到DE的距离为ℎ −2−(−3)=1，
F
1 1 3
∴△FDE的面积= DE·ℎ = ×3×1= ；
2 F 2 2
②直线l :y=x+6的图象交x轴于点A，交y轴于点B，
1
∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=−6，
∴A(−6,0),B(0,6)，
当OG⊥OF，∠FOG=90°，FO=OG，点G在第一象限内时, △OFG是以OF为直
角边作等腰直角三角形，如图所示，F(−2,4)，过点F作FP⊥x轴于点P，过点G作
GQ⊥x轴于点Q，
∴OP=2,FP=4，∠FPO=∠OQG=∠FOG=90°，
∴∠FOP=90°−∠GOQ=∠OGQ，
又FO=OG，
∴△FPO≌△OQG(AAS)，∴OQ=FP=4,QG=OP=2，
∴G(4,2)；
当GF⊥FO，∠OFG=90°，OF=FG，点G在第一象限内时,△OFG是以OF为边
的等腰直角三角形，如图所示，F(−2,4)，过点F作FP⊥x轴于点P，过点G作
GQ⊥PF延长线于点Q，
∴OP=2,FP=4，∠Q=∠GFO=∠FPO=90°，
∴∠GFQ=90°−∠PFO=∠FOP，
又GF=FO，
∴△GQF≌△FPO(AAS)，
∴QF=OP=2,QG=FP=4，
∴QP=QF+FP=2+4=6，
∴QG与y轴交于点B(0,6)，
∵∠Q=∠FPO=∠POB=90°，
∴四边形QPOB是矩形，
∴QB=OP=2，
∴BG=QG−QB=4−2=2，
∴G(2,6)；
综上所述，点G的坐标为(4,2),(2,6)．
【点睛】本题主要考查两直线交点与二元一次方程组，一次函数与几何图形面积的计
算，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握一次函数图象的性质，
数学结合，分类讨论思想是解题的关键．
1
32．综合与探究：如图，一次函数y =− x+1的图象分别交x轴、y轴于A,E两点，一次
1 2
函数y =kx+b的图象分别交x轴、y轴于点B(−1,0)，D(0,−2)，交直线y 于点C．
2 1(1)求一次函数y 的表达式．
2
(2)若线段CD上有一点P，使得S =2S ，求点P的坐标．
△PED △PEC
(3)若F是直线y 上方且位于y轴上的一点，∠ACF=2∠CAO，判断△BCF的形状，
1
并说明理由．
【答案】(1)y =−2x−2
2
( 4 2)
(2)P − ,
3 3
(3)△BCF是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数图象
上点的坐标特征，勾股定理、面积的计算等知识．
（1）运用待定系数法求出一次函数y 的表达式即可；
2
（2）根据三角形面积公式求出S =3，由S =2S 得S =2，设
△CED △PED △PEC △PDE
1
P(x,−2x−2)，由S = DE·|x )=2列式求解即可；
△PDE 2 P
（3）根据勾股定理逆定理证明△FCD是直角三角形，求出CF=CB=❑√5，从而可得
出结论．
【详解】（1）解：把B(−1,0)，D(0,−2)代入y =kx+b，得：
2
{−k+b=0)
，
b=−2
{k=−2)
解得 ，
b=−2
所以，一次函数y 的表达式为y =−2x−2；
2 2
{ y=− 1 x+1)
（2）解：联立方程组，得 2 ，
y=−2x−2
{x=−2)
解得 ，
y=2∴C(−2,2),
过点C作CH⊥y轴于点H如图，
∴CH=2,OH=2,
∵D(0,−2),
∴OD=2,
1
对于y=− x+1，当x=0时，y=1,
2
∴E(0,1)，
∴OE=1,
∴DE=OD+OE=2+1=3,
1 1
∴S = DE⋅CH= ×3×2=3,
△CDE 2 2
∵S =2S ，
△PED △PEC
∴S =2，
△PED
1
设P(x,−2x−2)，则S = DE⋅|x )=2
△PED 2 P
1
∴ ×3×|x)=2
2
4 4
解得，x=− 或x= >0（舍去）
3 3
( 4 2)
∴P − , ；
3 3
（3）解：△BCF是等腰直角三角形，理由如下：
过点C作CG∥x轴，交y轴于点Q，则∠GCA=∠CAO,CG⊥y轴，如图，∵∠ACF=2∠CAO，
∴∠FCQ=∠ECQ,
∴FQ=EQ,
∵C(−2,2),E(0,1),
∴OE=1,OQ=CQ=2,
∴FQ=EQ=1,
∴DF=DQ+FQ=4+1=5,
在Rt△CQF中，CQ2+FQ2=CF2,
∴CF=❑√CQ2+FQ2=❑√22+12=❑√5，
∵CD2+CF2=25=52=DF2,
∴△CDF是直角三角形，且∠DCF=90°,
在Rt△BOD中，BO=1,DO=2,
∴BD=❑√BO2+DO2=❑√12+22=❑√5，
∴CB=CD−BD=2❑√5−❑√5=❑√5,
∴CB=CF，
∴△BCF是等腰直角三角形．
33．在平面直角坐标系中，直线y=−2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为
(1，0)，(1)求直线BC的函数表达式．
3
(2)点D是x轴上一动点，连接BD、CD，当△BCD的面积是△AOB面积的 时，求
2
点D的坐标．
(3)点E坐标为(0,−2),连接CE，点P为直线AB上一点，若∠CEP=45°，求点P坐
标．
【答案】(1)y=−4x+4
(2)(−2,0)或(4,0)
(18 8)
(3) ,− 或(−6,16)
7 7
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合、等腰直
角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知
识成为解题的关键．
（1）先求得A(2,0),B(0,4)，再结合点C的坐标，运用待定系数法求解即可；
（2）先求出S =4，进而得到△BCD的面积为6，如图：设D的坐标为(d,0)，则
△AOB
CD=|d−1)，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）由题意可得：OC=1 OE=2，如图：过C作CG⊥CE且CG=CE，
∠GCD+∠OCE=90°，再证明△OCE≌△DGC(AAS)可得
DG=OC=1,CD=OE=2，即OD=OC+CE=3，即G(3,−1)；再求出直线EG的
1
解析式为y= x−2，再与直线y=−2x+4即可确定点P的坐标； 如图：点F是点G
3
关于点C的对称点，则点F的坐标为(−1,1)，再求出直线EF的解析式为y=−3x−2，
再与直线y=−2x+4即可确定点P的坐标．
【详解】（1）解：∵直线 y=−2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A(2,0),B(0,4)，
∵点C 的坐标为(1,0)，
∴设直线BC的函数表达式为y=kx+b，
{k+b=0) {k=−4)
则 ，解得： ，
b=4 b=4
∴直线BC的函数表达式为y=−4x+4．
（2）解：∵A(2,0),B(0,4)，∴OA=2,OB=4，
1 1
∴S = OA⋅OB= ×4×2=4，
△AOB 2 2
3 3
∴△BCD的面积为 S = ×4=6，
2 △AOB 2
如图：设D的坐标为(d,0)，则CD=|d−1)，
1
则 |d−1)×4=6，解得：d=−2或4．
2
∴点D的坐标为(−2,0)或(4,0)．
（3）解：∵C(1,0)，E(−2,0)，
∴OC=1，OE=2，
如图：过C作CG⊥CE且CG=CE，∠GCD+∠OCE=90°
∴△CEG是等腰三角形，即∠CEP=45°,
过G作GD⊥x轴，垂足为D，
∴∠GCD+∠CGD=90°，
∴∠CGD=∠OCE，
∴△OCE≌△DGC(AAS)，
∴DG=OC=1,CD=OE=2，即OD=OC+CE=3，∴G(3,−1)，
设直线EG的解析式为y=kx+b，
{3k+b=−1) { k= 1 )
则 ，解得： 3 ，
b=−2
b=−2
1
∴直线EG的解析式为y= x−2，
3
{ y= 1 x−2 ) 18
联立 3 ，解得：x= ，
7
y=−2x+4
(18 8)
∴直线EG与直线AB的交点即为所求点P ,− ；
7 7
如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为(−1,1)，
设直线EF的解析式为y=mx+n，
{−m+n=1) {m=−3)
则 ，解得： ，
n=−2 b=−2
∴直线EG的解析式为y=−3x−2，
{y=−3x−2)
联立 ，解得：x=−6，
y=−2x+4
∴直线EG与直线AB的交点即为所求点P(−6,16)．
(18 8)
综上，点P的坐标为 ,− 或(−6,16)．
7 7
34．如图，直线y=kx−3与x轴，y轴分别交于B，C两点，且OB=1．
(1)求k的值；
3
(2)点D是直线上y=kx−3的一个动点，当△OBD的面积是 时，求点D的坐标；
2
(3)在（2）的条件下，且点D在第一象限，x轴上是否存在一点P，使△POD是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)k=3
(2)点D的坐标为(2,3)或(0,−3)
(13 )
(3)P (−2❑√2,0)，P (2❑√2,0)，P (4,0)，P ，0 ．
1 2 3 4 4
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积公式，等腰
三角形的性质．
（1）确定出点B的坐标，代入函数解析式中即可求出k；
（2）利用三角形的面积求出求出点A坐标；
（3）设出点P(m,0)，表示出DP，OP，计算出OD，分三种情况讨论计算即可得出
点P坐标．
【详解】（1）解：∵OB=1，
∴B(1,0)，
∵点B在直线y=kx−3上，
∴k−3=0，
∴k=3；
（2）由（1）知，k=3，
∴直线BC解析式为y=3x−3，
∵点D(x,y)是第一象限内的直线y=3x−3上的一个动点，
∴y=3x−3，
1 1 3
∴ S = ×OB×|y |= ×1×|3x−3|= ，
△DOB 2 D 2 2
解得x=2或x=0，
故点D的坐标为(2,3)或(0,−3)；
（3）x轴上存在一点P，使△POD等腰三角形；理由如下：
∵在①的条件下，且点D在第一象限，
∴点D的坐标为(2,3)，
设点P(m,0)，
∴OP=|m)， OD=❑√22+32=❑√13，①当OD=OP时，
∴❑√13=|m|，
∴m=±❑√13，
∴P (−❑√13,0),P (❑√13,0)，
1 2
②当OD=DP时，
∴❑√13=❑√(2−m) 2+9，
∴m=0(舍去)或m=4，
∴P (4,0)，
3
③当OP=DP时，
∴|m)=❑√(2−m) 2+9，
13
∴m= ，
4
(13 )
∴P ，0
4 4
综上所述，满足条件的所有P点的坐标为P (−2❑√2,0)，P (2❑√2,0)，P (4,0)，
1 2 3
(13 )
P ，0 ．
4 4
