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专题 04 一次函数的实际应用（五大题型）
【题型1：一次函数的实际应用-分配方案问题】
【题型2：一次函数的实际应用-最大利润问题】
【题型3：一次函数的实际应用-行程问题】
【题型4：一次函数的实际应用-其他问题】
【题型5：一次函数与几何综合】
【题型1：一次函数的实际应用-分配方案问题】
1．课题学习
已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套
（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到
国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案
可供选择：
方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为
20000元；
方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨．
请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高
利润（可设每月生产了x套产品，获得了y元的月利润）．
【答案】x=200，二种方案均可；0200，选择方
案一利润更高
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得方案一的
利润为y =400x−20000，方案二的利润为y =300x，然后可分y = y ，y y ，进而分类求解即可．
1 2
【详解】解：根据题意可得：
方案一的利润为：
y =(1000−550−50)x−20000，得y =400x−20000；
1 1方案二的利润为：
y =(1000−550−150)x，得y =300x．
2 2
∵当y = y 时，
1 2
400x−20000=300x，解得x=200；
当y y 时，400x−20000>300x，解得x>200．
1 2
∴当x=200时，二种方案均可；当0200时，
选择方案一利润更高．
2．随着人们生活水平的提高，大家更加注重周末娱乐生活的质量，而以“亲近自然”为主
题的周末休闲生活方式深受人们喜爱．近期，又是到草莓上市的季节，各草莓园纷纷推
出采摘草莓优惠活动．以下是两个草莓采摘园的活动情况．
(1)若欣欣草莓园和乐乐草莓园的付款金额分别记为y ，y 元，请你直接写出两个草莓
欣 乐
园付款金额y ，y 于采摘草莓的重量x千克的函数表达式及自变量x的取值范围．
欣 乐
(2)佳佳一家人计划周末去草莓园进行采摘草莓体验．佳佳妈妈根据欣欣草莓园和乐乐
草莓园的活动方案，认为去乐乐草莓园摘草莓更划算！请问：佳佳妈妈的说法正确吗？
如果不正确请通过计算说明．
【答案】(1)y =¿，y =32x(x≥0)
欣 乐
(2)佳佳妈妈的说法不正确，见解析
【分析】本题考查一次函数的应用-方案问题，解不等式，熟练掌握一次函数与不等式
的关系是解题的关键．
（1）根据付款金额=数量×单价或付款金额=数量×单价×打折率，列函数关系式，注意：
计算欣欣草莓园付款金额时，分两种情况：当0≤x≤2时，当x>2时，分别求解；
（2）根据当0≤x≤2时，y >y ；当x>2时， y >y ；y 2时，y =40×2+40(x−2)×60%=24x+32，
欣
∴y =¿，
欣
y =32x(x≥0)．
乐
（2）解：佳佳妈妈的说法不正确．
当0≤x≤2时，40x>32x，
∴y >y
欣 乐
∴去乐乐草莓园摘草莓更划算．
当x>2时，当y >y 时，24x+32>32x，解得x<4
欣 乐
所以，当采摘草莓小于4千克时，去乐乐草莓园划算；
当y 4
欣 乐
所以，当采摘草莓大于4千克时，去欣欣草莓园摘草莓更划算．
当y = y 时，24x+32=32x，解得x=4
欣 乐
所以，当采摘草莓4千克时，y = y 两家一样划算．
欣 乐
综上，佳佳妈妈的说法不正确．
3．观赏汉中百里油菜花海，感受汉中独特的风光．假期某校准备组织学生、老师从西安坐
高铁到汉中进行社会实践，为了便于管理，所有师生必须乘坐在同一列高铁上，其中学
生有50人，老师有15人．（师生均按原价购票）
西安到汉中的高铁票价格如下表
运行区间 票价
上车站 下车站 一等座 二等座
西安 汉中 155元/张 97元/张
由于某种原因，二等座高铁票单程只能买x张（502400，且4201.6−2400=1801.6（元），
∴该爱心企业计划用的2400元钱不够用，至少还需要再添加1801.6元．
答：该爱心企业计划用的2400元钱不够用，至少还需要再添加1801.6元．
10．冬至是我国重要的传统节气之一，民间流传着谚语“冬至不端饺子碗，冻掉耳朵没人
管”．某饭店准备了虾仁、羊肉两种饺子共200斤进行销售，其中虾仁饺子的数量不
高于羊肉饺子数量的一半．已知虾仁饺子的利润为9元／斤，羊肉饺子的利润为5元
／斤．设准备了虾仁饺子m（m为正整数）斤，这200斤饺子的销售总利润为w元
（假设这200斤饺子均可售出）．
(1)求w与m之间的函数关系式．
(2)该饭店如何准备这两种饺子的数量，才能获利最大？
【答案】(1)w=4m+1000
(2)准备虾仁饺子66斤，羊肉饺子134斤时，才能使获利最大，最大利润是1264元
【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握一次函数图象的性质，增减性，最值的
计算方法是解题的关键．
（1）设准备了虾仁饺子m（m为正整数）斤，羊肉有(200−m)斤，虾仁饺子的利润
为9元／斤，羊肉饺子的利润为5元／斤，由此列式即可求解；
（2）根据一次函数求最值的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：虾仁、羊肉两种饺子共200斤，虾仁饺子的利润为9元／斤，羊肉
饺子的利润为5元／斤，设准备了虾仁饺子m（m为正整数）斤，这200斤饺子的销
售总利润为w元（假设这200斤饺子均可售出），
∴羊肉有(200−m)斤，
∴销售总利润为：w=9m+5(200−m)=4m+1000．
（2）解：已知虾仁、羊肉两种饺子共200斤进行销售，其中虾仁饺子的数量不高于羊
肉饺子数量的一半，
1
∴m≤ (200−m)，
2
2
解得，m≤66 ，
3
∵w=4m+1000，
∴w随m的增大而增大，∵m为正整数，
∴当m=66时，w有最大值，
w =4×66+1000=1264，
最大
∴200−66=134．
答：该饭店准备虾仁饺子66斤，羊肉饺子134斤时，才能使获利最大，最大利润是
1264元．
11．某景区为响应《关于推动露营旅游休闲健康有序发展》精神，需要购买A、B两种型
号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型
号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．
(1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；
(2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购
1
买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的 ，为使购买帐篷的总费用最低，
3
应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
【答案】(1)每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元
(2)当A种型号帐篷为5顶时，B种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用，解题
的关键是理解题意，正确找出等量关系．
（1）设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶B种型号帐篷的价格为y元，根据题意列
方程组即可求解；
（2）设A种型号帐篷购买m顶，总费用为w元，则B种型号帐篷为(20−m)顶，由题
1
意得w=−400m+20000，m≤ (20−m)，得到00，
∴w随n的增大而增大，
∴当n取得最大整数解50时，w取得最大值，最大值为2×50+200=300，
3
此时n=50，则− ×50+100=25，
2
答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元．
13．某中学决定在“文体周”为一个节目制作A、B两种道具，共80个，制作的道具需要
甲、乙两种材料组合而成，现有甲种材料300件，乙种材料280件，已知组装A、B两
种道具所需的甲、乙两种材料，如下表所示：
甲种材料（件） 乙种材料（件）
A道 3 4
具
B道 5 2
具
经过计算，制作一个A道具的费用为5元，一个B道具的费用为4元．设组装A种道具
x个，所需总费用为y元．
(1)求y与x的函数表达式，并求出x的取值范围；
(2)问组装A种道具多少个时，所需总费用最少，最少费用是多少？
【答案】(1)y=x+320，50≤x≤60
(2)当组装A道具50个时，所需费用最少，最少费用是370元
【分析】本题考查了一次函数的应用，关键是通过实际问题列出一次函数关系，然后
根据一次函数的性质解决问题．
（1）设组装A种道具x个，则B种道具(80−x)个，根据“总费用=A种道具费用+B种道具费用”即可得出y与x的函数关系式；再根据题意列不等式组即可得出x的取值
范围；
（2）根据（1）的结论，结合一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：y=5x+4(80−x)
=x+320．
根据题意，得
{3x+5(80−x)≤300)
．
4x+2(80−x)≤280
解得50≤x≤60
x的取值范围是50≤x≤60．
∴（2）解：由（1）得y=x+320
y是x的一次函数，且1>0
∵y随着x的增大而增大．
∴当x=50时，y =50+320=370
最小值
∴答：当组装A道具50个时，所需费用最少，最少费用是370元．
14．第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的
二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关
注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖
店购进A，B两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．A种礼盒每个进价160元，售价
220元；B种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中
A种礼盒不少于60个．设购进A种礼盒x个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？
【答案】(1)y=20x+4000(60≤x<100)
(2)5500元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用．
（1）根据利润等于单件利润乘以数量建立函数关系式即可；
（2）先求出自变量的取值范围，再根据一次函数增减性求最值．
【详解】（1）解：由题知y=(220−160)x+(160−120)(100−x)=20x+4000，
∴y与x的函数表达式为y=20x+4000(60≤x<100)．{ x≥60 )
（2）解：由题知
160x+120(100−x)≤15000
∴60≤x≤75
由（1）知y=20x+4000
∵20>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=75时，y有最大值，y =20×75+4000=5500（元）．
最大
15．当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求
不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A、B两种配件．已
知购进50件A配件和125件B配件需支出成本20000元；购进40件A配件和40件B配
件需支出成本12400元．
(1)求A、B两种配件的进货单价；
(2)若该配件销售部门计划购进A、B两种配件共400件，B配件进货件数不低于A配件
4
件数的3倍．据市场销售分析，A配件提价16%销售，B配件的售价是进价的 ．怎样
3
安排A、B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？
【答案】(1)A配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元
(2)购进A配件100件，B配件300件获得利润最大，最大利润为10000元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，不等式的应用，
解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．
（1）设A配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据购进50件A配件和
125件B配件需支出成本20000元；购进40件A配件和40件B配件需支出成本12400
元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进A配件m件，则购进B配件(400−m)件，获得的利润为w元，得出
(4 )
w=250×16%m+ −1 ×60(400−m)=20m+8000，根据B配件进货件数不低于
3
A配件件数的3倍，求出m≤100，根据一次函数增减性求出结果即可．
【详解】（1）解：设A配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据题意
得：{50x+125 y=20000)
，
40x+40 y=12400
{x=250)
解得： ，
y=60
答：A配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元；
（2）解：设购进A配件m件，则购进B配件(400−m)件，获得的利润为w元，根据题
意得：
(4 )
w=250×16%m+ −1 ×60(400−m)
3
=40m+20(400−m)
=40m+8000−20m
=20m+8000，
∵B配件进货件数不低于A配件件数的3倍，
∴400−m≥3m，
解得：m≤100，
∵20>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=100时，获得利润最大，且最大利润为：20×100+8000=10000（元），
此时需要购进A配件100件，B配件300件．
【题型3：一次函数的实际应用-行程问题】
16．如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的距离是
60km，请根据图像回答：
(1)乙骑摩托车的速度是多少？
(2)甲骑自行车的速度是多少？
(3)两人相遇的时候，距B地还有多远？(4)乙比甲晚多少时间出发，又早到多少时间？
【答案】(1)40km/h
(2)10km/h
(3)20km
(4)乙比甲晚3h出发，又早到1.5h
【分析】本题主要考查了从函数图象中获得信息，解题的关键是数形结合，找出关键
点的意义．
（1）根据速度=路程÷时间，结合函数图象求出结果即可；
（2）根据速度=路程÷时间，结合函数图象求出结果即可；
（3）根据函数图象的交点坐标，得出答案即可；
（4）直接根据函数图象得出乙比甲晚3h出发，分别求出甲、乙到达B地时，对应的
函数图象的横坐标，再求出乙比甲早到1.5h即可．
【详解】（1）解：40÷(4−3)=40(km/h)，
乙骑摩托车的速度是40km/h．
（2）解：40÷4=10(km/h)，
甲骑自行车的速度是10km/h．
（3）解：根据图象可知，两函数图象的交点坐标为(4,40)，
∴两人相遇时距A地40km．
60−40=20(km)，
∴两人相遇的时候，距B地还有20km远．
（4）解：当甲骑自行车到达B地时，甲函数图象的横坐标为：
x=60÷10=6，
当乙骑摩托车到达B地时，乙函数图象的横坐标：
x=3+60÷40=4.5，
6−4.5=1.5(h)．
乙比甲晚3h出发，又早到1.5h．
17．A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，
甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速
行驶，结果比甲提前到达．(1)求点C的坐标
(2)甲、乙两人离开A地的距离s(km)与时间t(h)的关系如图所示，则乙出发几小时后和
甲相遇？
【答案】(1)(2,2)
11
(2)
5
【分析】（1）由题意得，点C的横坐标为1+1=2，点C的纵坐标为2×1=2，由此
即可得出点C的坐标；
（2）设甲离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的函数解析式为s =kt+b，将(0,0)，
甲
{ b=0 ) {k=4)
(5,20)代入，得 ，解得 ，于是可得s =4t(0≤t≤5)；由“乙以
5k+b=20 b=0 甲
2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶”可知，乙的速度在1∼2h
和2∼4h内是不同的，需要分别求解：设1∼2h内乙离开A地的距离s(km)与时间
之间的函数解析式为 ，将 ， 代入，得{k +b =0 )，解得
t(h) s =k t+b (1,0) (2,2) 1 1
乙 1 1 2k +b =2
1 1
{ k =2 )，于是可得 内函数解析式为 ，设 内乙离
1 1∼2h s =2t−2(1≤t≤2) 2∼4h
b =−2 乙
1
开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的函数解析式为s =k t+b ，将(2,2)，(4,20)代
乙 2 2
入，得{2k +b =2 )，解得{ k =9 )，于是可得 内函数解析式为
2 2 2 2∼4h
4k +b =20 b =−16
2 2 2s =9t−16(245，
∴油箱中的油够用．
19．一辆小轿车和一辆大客车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线O−A−B−C
和线段OD分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的关系，
其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题：(1)分别求小轿车和大客车的速度；
(2)小轿车和大客车出发后，是否能再次相遇，若能相遇，求出相遇时与甲地的距离；
若不能相遇，请说明理由；
(3)求出发后经过多少小时两车相距10km？
【答案】(1)小轿车的速度为60km/h，大客车的速度为40km/h
(2)能再次相遇，两车出发2.7小时后相遇，此时距离甲地108km
(3)0.5小时或2.6小时或2.8小时
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性
质和数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度；
（2）先确定BC与OD所在直线的解析式，再联立方程组求解即可确定两车出发多少
小时两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程；
（3）分三种情况，分别列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由图象可知：
小轿车的速度为：120÷2=60(km/h)，
大客车的速度为：120÷3=40(km/h)，
∴小轿车的速度为60km/h，大客车的速度为40km/h；
（2）设OD,BC交于点P，
由图像可知：A(2,120)，B(2.5,120)，D(3,120)，
∵小轿车往返的速度相同，
∴C(4.5,0)，设BC的解析式为s=k t+b ，过点B(2.5,120)，C(4.5,0)，
BC BC
{2.5k +b =120)
∴ BC BC ，
4.5k +b =0
BC BC
{k =−60)
解得： BC ，
b =270
BC
∴BC的解析式为s=−60t+270，
设OD的解析式为s=k t，过点D(3,120)，
OD
∴3k =120，
OD
解得：k =40，
OD
∴OD的解析式为s=40t，
{s=−60t+270)
联立方程组，得： ，
s=40t
{t=2.7)
解得： ，
s=108
∴点P的坐标为(2.7,108)，即两车出发2.7小时后相遇，此时距离甲地108km；
（3）设OA的解析式为s=k t，过点D(2,120)，
OA
∴2k =120，
OA
解得：k =60，
OA
∴OA的解析式为s=60t，
当0≤t≤2时，
得：60t−40t=10，解得：t=0.5；
当2
10
1
0
00
)
)
)
(2)方案二，见解析
(3)见解析
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数解析式是解题的关键：
（1）根据两种方案，写出函数解析式即可；
（2）将x=150分别代入，求出y值进行比较即可；
（3）分0≤x≤100，x>100，再根据y y ，进行求解即可．
1 2 1 2 1 2
【详解】（1）解：根据题意，得y =25x(x≥0)．
1
当0≤x≤100时，y =3000；
2
当x>100时，y =3000+20(x−100)=20x+1000，
2
y = { 3000(0≤x≤100) )
∴ ；
2 20x+1000(x>100)
（2）他应该选择方案二，才能得到更高的月工资．理由如下：
对于方案一：当x=150时，y =25×150=3750元；
1
对于方案二：当x=150时，y =20×150+1000=4000元；
2
3750<4000，
∴他应该选择方案二，才能得到更高的月工资．
（3）当x=100时，y =25×100=2500<3000．
1
∵25>0，
∴y 随x的增大而增大．
1
∴当0≤x≤100时，y 100时，令y y ，得25x>20x+1000．解得x>200．
1 2
∴当0≤x<200时，选择方案二能得到更高的月工资；
当x=200时，选择方案一和方案二得到的月工资相同；
当x>200时，选择方案一能得到更高的月工资．
26．如图，有三摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，图中标注了相关数据，请根据这些信息解答下列问题．
(1)最下面的碗的高度是 cm，每增加一个碗增加的高度是 cm．
(2)求第三摞碗的总高度y(cm)与碗的总个数x(个)之间的函数关系式，并通过计算判断
这摞碗的高度能否是1m．
(3)已知买一个碗需要2元，对于第三摞碗，若其高度不低于1.5m，求买这摞碗至少需
要多少钱．
【答案】(1)6,1.5；
(2)y=1.5x+4.5，这摞碗的高度不能是1m，理由见解析．
(3)买这摞碗至少需要194元．
【分析】本题考查了一次函数的应用，求函数解析式，不等式的应用等知识，掌握相
关知识是解题的关键．
（1）第一摞有4个碗，高度是10.5cm，第二摞有7个碗，高度为15cm，所以每增加
一个碗增加的高度为1.5cm，则最下面的碗的高度是6cm；
（2）根据（1）即可得出函数解析式，当y=100时，即1.5x+4.5=100，解得
191
x= ，
3
即可判断；
（3）对于y=1.5x+4.5，当y≥150，即1.5x+4.5≥150时，解得x≥97，即可求解．
【详解】（1）解：第一摞有4个碗，高度是10.5cm，第二摞有7个碗，高度为15cm，
∴每增加一个碗增加的高度为(15−10.5)÷(7−4)=1.5(cm)，
∴最下面的碗的高度是10.5−1.5×3=6(cm)，
故答案为：6,1.5；
（2）解：y=6+(x−1)×1.5=1.5x+4.5，
当y=100时，即1.5x+4.5=100，
191
解得：x= ，
3191
∵ 不是整数，
3
∴这摞碗的高度不能是1m．
（3）解：对于y=1.5x+4.5，当y≥150，即1.5x+4.5≥150时，
解得：x≥97，
∴若这摞碗的高度不低于1.5m，则这摞碗不少于97个，
∴买这摞碗至少需要97×2=194（元）．
27．如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小亮在地面平放一面镜子，在镜子
上做一个标记点C，小亮看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端点A在镜子中的像与
标记点C重合．经测量，小亮的眼睛离地面高度DE为1.6m，小亮与标记点C的距离
CE为2m，标记点C与旗杆底部点B的距离BC为12m．
(1)在图中建立适当的平面直角坐标系，并直接写出点C，D的坐标．
(2)在（1）的条件下，求直线AC的表达式及旗杆的高度．
【答案】(1)以点C为原点，C(0,0)，D(−2,1.6)，图见解析；以点E为原点，C(2,0)，
D(0,1.6)；以点B为原点，C(−12,0)，D(−14,1.6)；
(2)y=0.8x，9.6m
【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握代数系数法求解析式，一次函数求函数
值的方法是解题的关键．
（1）方法一：以点C为原点，结合坐标与图形得到点坐标；方法二：以点E为原点，
结合坐标与图形得到点坐标；方法三：以点B为原点，结合坐标与图形得到点坐标；
（2）方法一：以点C为原点，作点D关于y轴的对称点F，则点F的坐标为(2,1.6)，
可得直线AC的解析式为y=0.8x，当x=12时，y=0.8×12=9.6，即可求解；方法
二：以点E为原点，作点D关于直线x=2的对称点G，则G(4,1.6)，所以直线AC的
解析式为y=0.8x−1.6，当x=14时，y=0.8×14−1.6=9.6，由此即可求解；方法
三：以点B为原点，作点D关于直线x=−12的对称点M，则M(−10,1.6)，所以直线
AC的解析式为y=0.8x+9.6，当x=0时，y=0.8×0+9.6=9.6，由此即可求解．【详解】（1）解：如图1，以点C为原点，EB所在直线为x轴，建立平面直角坐标
系，
此时C(0,0)，D(−2,1.6)．
方法二：
如图2，以点E为原点，EB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
此时C(2,0)，D(0,1.6)．
方法三：
如图3，以点B为原点，EB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
此时C(−12,0)，D(−14,1.6)．
（2）解：方法一：作点D关于y轴的对称点F，由对称性可知：点F的坐标为(2,1.6)，由平面镜反射知识可知：∠DCE=∠ACB，
∴点A，F，C在一条直线上，
设直线AC的解析式为y=kx，
∴1.6=2k，
解得，k=0.8，
∴直线AC的解析式为y=0.8x，
当x=12时，y=0.8×12=9.6，
∴旗杆高度为9.6m．
方法二：作点D关于直线x=2的对称点G，由对称性可知：G(4,1.6)，
由平面镜反射知识可知：∠DCE=∠ACB，
∴点A，G，C在一条直线上，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将点C(2,0)，G(4,1.6)代入y=kx+b得¿，
解得¿，
∴直线AC的解析式为y=0.8x−1.6，
当x=14时，y=0.8×14−1.6=9.6，
∴旗杆高度为9.6m．
方法三：作点D关于直线x=−12的对称点M，由对称性可知：M(−10,1.6)，由平面镜反射知识可知：∠DCE=∠ACB，
∴点A，M，C在一条直线上，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将点C(−12,0)，M(−10,1.6)代入y=kx+b得¿，
解得¿，
∴直线AC的解析式为y=0.8x+9.6，
当x=0时，y=0.8×0+9.6=9.6，
∴旗杆高度为9.6m．
28．数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下
信息：
该超市购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起
形成购物车列，如图2所示．3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米，
且每增加一辆购物车，长度增加0.2米．
信
息
1
信 该超市购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电
息 梯一次只能转运1列购物车列，且长度最多为5.8米，直立电梯一次性最多能转运2
2 列长度均为2.6米的购物车列．
问题解决
任 若n辆购物车按图2的方式叠放，形成购物车列的长度为L米，则L=______；（用
务 含n的代数式表示）
1
任 该超市直立电梯一次最多能转运购物车数量；
务
2
任 若该超市需转运m辆购物车，单独使用直立电梯和单独使用扶手电梯均需要2次，
务 求这m辆购物车按图2的方式叠放，形成购物车列的长度的最大值．
3【答案】（1）L=0.2n+1；（2）16（辆）；（3）7.4m．
【分析】本题考查一次函数表达式，一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解
法是解题的关键；
任务1：根据题意作答即可；
任务2：将L=2.6代入L的表达式，求出对应n的值，再求计算2n的值即可；
任务3：根据题意，列关于m的一元一次不等式组并求其解集，将m的最大值代入L的
表达式，求出对应L的值即可；
【详解】任务1：根据题意，得L=1+0.2n.
故答案为：1+0.2n；
任务2：当L=2.6时，得1+0.2n=2.6，
解得n=8，
8×2=16（辆)；
答：该超市直立电梯一次最多能转运购物车数量16辆；
任务3：当L=5.8时，得1+0.2n=5.8，
解得n=24，
该超市直立电梯一次最多能转运购物车数量16辆，
根据题意单独使用直立电梯需要2次，可知17≤m≤32；
{17≤m≤32)
根据题意，得 ，
25≤m<48
解得25≤m≤32，
∵当m最大时，L最大，
∴当m=32时，L=1+0.2×32=7.4；
答：形成购物车列的长度的最大值为7.4m
29．千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生
活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易．
【观察实践】如图①，某兴趣小组为了探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x(x≥4)厘
米与秤钩所挂物重为y斤之间的关系，进行了6次称重记录出下表的一些数据．
x（厘 1 2 2 3
4 24
米） 2 0 8 6
y 0 1 2 2. 3 4
（斤 5
）【问题解决】
(1)在图②中，请以表格中的x值为横坐标，y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依
次连接起来．
(2)根据（1）中所描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条
直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由．
(3)当秤钩上所挂物重是3.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽水平距离是多少？
【答案】(1)见解析
1 1
(2)y= x− (x≥4)
8 2
(3)32cm
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质知识点，解题的关键是根据给定的数据
判断点是否共线，并能利用待定系数法求一次函数解析式，再根据函数解析式进行求
值计算．
（1）根据坐标描点连线；
（2）判断点共线后，用待定系数法，将两点坐标代入一次函数一般式求解；
（3）把物重代入函数解析式求解秤砣到秤纽水平距离．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由（1）中图象可知，所描各点在同一条直线上，
设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
将点(12,1)有(28,3)代入，{12k+b=1)
得 ，
28k+b=3
1
{ k= )
8
解得 ，
1
b=−
2
1 1
∴这条直线所对应的函数解析式为y= x− (x≥4)．
8 2
1 1
（3）解：当y=3.5时，y= x− =3.5，
8 2
解得：x=32厘米，
∴秤杆上秤砣到秤纽水平距离32cm．
【题型5：一次函数与几何综合】
1
30．如图，一次函数y= x+1与x轴，y轴分别相交于点A和点B．
2
(1)求点A和点B的坐标；
(2)在y轴上有一动点P，若△ABP的面积为3，请求出点P的坐标；
(3)在x轴上是否存在点Q，使得△ABQ是以AB为一腰的等腰三角形，若存在，请直接
写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为(−2, 0)，点B的坐标为(0, 1)；
(2)点P的坐标为(0, 4)或(0, −2)；
(3)存在，点Q的坐标为(2, 0)或(❑√5−2, 0)或(−❑√5−2, 0)
【分析】（1）由一次函数与坐标轴交点坐标特点即可求解；
（2）设P(0,b)，由（1）得点A的坐标为(−2, 0)，点B的坐标为(0, 1)，则OA=2，1
OB=1，PB=|b−1)，然后由 PB×OA=3即可求出b的值，从而求解；
2
（3）分①当AB=AQ =AQ =❑√5时和当AB=BQ 时进行分析即可；
1 2 3
本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用及
分类讨论思想是解题的关键．
1
【详解】（1）解：由y= x+1得，
2
1
当x=0时y=1；当y=0时， x+1=0，解得：x=−2，
2
∴点A的坐标为(−2, 0)，点B的坐标为(0, 1)；
（2）解：设P(0,b)，
由（1）得点A的坐标为(−2, 0)，点B的坐标为(0, 1)，
∴OA=2，OB=1，
∴PB=|b−1)，
∵△ABP的面积为3，
1 1
∴ PB×OA=3，即 |b−1)×2=3，
2 2
∴|b−1)=3，
解得：b=4或b=−2，
∴点P的坐标为(0, 4)或(0, −2)；
（3）解：存在，理由：如图，
∵点A的坐标为(−2, 0)，点B的坐标为(0, 1)，
∴AB=❑√5，
①当AB=AQ =AQ =❑√5时，
1 2∴Q 的坐标为(−❑√5−2,0)，Q 的坐标为(❑√5−2,0)，
1 2
②当AB=BQ 时，
3
∴OQ =OA=2，
3
∴Q 的坐标为(2,0)．
3
31．已知直线l :y=x+6与直线l :y=−2x交于点F．
1 2
(1)求点F的坐标；
(2)如图，直线l 的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C在线段AO上运动，过点C作
1
x轴的垂线交直线l 于点D，交直线l 于点E．
1 2
①当点C的坐标是(−3,0)，则△FDE的面积为 ；
②以OF为直角边作等腰直角三角形OFG，点G在第一象限内，直接写出点G的坐标．
【答案】(1)(−2,4)
3
(2)① ；②(4,2),(2,6)
2
【分析】（1）联立方程组求解即可；
（2）①根据题意可得 ， ，点 到 的距离为 ，
D(−3,3) E(−3,6) F DE ℎ −2−(−3)=1
F
由三角形面积公式即可求解；②根据题意得到∴A(−6,0),B(0,6)，分类讨论：当
OG⊥OF，∠FOG=90°，FO=OG，点G在第一象限内时, △OFG是以OF为直角
边作等腰直角三角形，如图所示，F(−2,4)，过点F作FP⊥x轴于点P，过点G作
GQ⊥x轴于点Q，可证△FPO≌△OQG(AAS)，得到OQ=FP=4,QG=OP=2，可
得点G的坐标；当GF⊥FO，∠OFG=90°，OF=FG，点G在第一象限内时,
△OFG是以OF为边的等腰直角三角形，如图所示，F(−2,4)，过点F作FP⊥x轴于
点P，过点G作GQ⊥PF延长线于点Q，可证△GQF≌△FPO(AAS)，得
QF=OP=2,QG=FP=4，QP=QF+FP=2+4=6，再证四边形QPOB是矩形，得BG=QG−QB=4−2=2，可得点G的坐标．
【详解】（1）解：直线l :y=x+6与直线l :y=−2x交于点F，
1 2
{y=x+6)
∴ ，
y=−2x
{x=−2)
解得， ，
y=4
∴F(−2,4)，
∴点F的坐标(−2,4)；
（2）解：①∵点C在线段AO上运动，过点C作x轴的垂线交直线l 于点D，交直线l
1 2
于点E，点C的坐标是(−3,0)，
∴当x=−3时，x+6=−3+6=3，−2x=−2×(−3)=6，
∴D(−3,3)，E(−3,6)，
∴DE=6−3=3，且F(−2,4)，
∴点F到DE的距离为ℎ −2−(−3)=1，
F
1 1 3
∴△FDE的面积= DE·ℎ = ×3×1= ；
2 F 2 2
②直线l :y=x+6的图象交x轴于点A，交y轴于点B，
1
∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=−6，
∴A(−6,0),B(0,6)，
当OG⊥OF，∠FOG=90°，FO=OG，点G在第一象限内时, △OFG是以OF为直
角边作等腰直角三角形，如图所示，F(−2,4)，过点F作FP⊥x轴于点P，过点G作
GQ⊥x轴于点Q，
∴OP=2,FP=4，∠FPO=∠OQG=∠FOG=90°，
∴∠FOP=90°−∠GOQ=∠OGQ，
又FO=OG，
∴△FPO≌△OQG(AAS)，∴OQ=FP=4,QG=OP=2，
∴G(4,2)；
当GF⊥FO，∠OFG=90°，OF=FG，点G在第一象限内时,△OFG是以OF为边
的等腰直角三角形，如图所示，F(−2,4)，过点F作FP⊥x轴于点P，过点G作
GQ⊥PF延长线于点Q，
∴OP=2,FP=4，∠Q=∠GFO=∠FPO=90°，
∴∠GFQ=90°−∠PFO=∠FOP，
又GF=FO，
∴△GQF≌△FPO(AAS)，
∴QF=OP=2,QG=FP=4，
∴QP=QF+FP=2+4=6，
∴QG与y轴交于点B(0,6)，
∵∠Q=∠FPO=∠POB=90°，
∴四边形QPOB是矩形，
∴QB=OP=2，
∴BG=QG−QB=4−2=2，
∴G(2,6)；
综上所述，点G的坐标为(4,2),(2,6)．
【点睛】本题主要考查两直线交点与二元一次方程组，一次函数与几何图形面积的计
算，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握一次函数图象的性质，
数学结合，分类讨论思想是解题的关键．
1
32．综合与探究：如图，一次函数y =− x+1的图象分别交x轴、y轴于A,E两点，一次
1 2
函数y =kx+b的图象分别交x轴、y轴于点B(−1,0)，D(0,−2)，交直线y 于点C．
2 1(1)求一次函数y 的表达式．
2
(2)若线段CD上有一点P，使得S =2S ，求点P的坐标．
△PED △PEC
(3)若F是直线y 上方且位于y轴上的一点，∠ACF=2∠CAO，判断△BCF的形状，
1
并说明理由．
【答案】(1)y =−2x−2
2
( 4 2)
(2)P − ,
3 3
(3)△BCF是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数图象
上点的坐标特征，勾股定理、面积的计算等知识．
（1）运用待定系数法求出一次函数y 的表达式即可；
2
（2）根据三角形面积公式求出S =3，由S =2S 得S =2，设
△CED △PED △PEC △PDE
1
P(x,−2x−2)，由S = DE·|x )=2列式求解即可；
△PDE 2 P
（3）根据勾股定理逆定理证明△FCD是直角三角形，求出CF=CB=❑√5，从而可得
出结论．
【详解】（1）解：把B(−1,0)，D(0,−2)代入y =kx+b，得：
2
{−k+b=0)
，
b=−2
{k=−2)
解得 ，
b=−2
所以，一次函数y 的表达式为y =−2x−2；
2 2
{ y=− 1 x+1)
（2）解：联立方程组，得 2 ，
y=−2x−2
{x=−2)
解得 ，
y=2∴C(−2,2),
过点C作CH⊥y轴于点H如图，
∴CH=2,OH=2,
∵D(0,−2),
∴OD=2,
1
对于y=− x+1，当x=0时，y=1,
2
∴E(0,1)，
∴OE=1,
∴DE=OD+OE=2+1=3,
1 1
∴S = DE⋅CH= ×3×2=3,
△CDE 2 2
∵S =2S ，
△PED △PEC
∴S =2，
△PED
1
设P(x,−2x−2)，则S = DE⋅|x )=2
△PED 2 P
1
∴ ×3×|x)=2
2
4 4
解得，x=− 或x= >0（舍去）
3 3
( 4 2)
∴P − , ；
3 3
（3）解：△BCF是等腰直角三角形，理由如下：
过点C作CG∥x轴，交y轴于点Q，则∠GCA=∠CAO,CG⊥y轴，如图，∵∠ACF=2∠CAO，
∴∠FCQ=∠ECQ,
∴FQ=EQ,
∵C(−2,2),E(0,1),
∴OE=1,OQ=CQ=2,
∴FQ=EQ=1,
∴DF=DQ+FQ=4+1=5,
在Rt△CQF中，CQ2+FQ2=CF2,
∴CF=❑√CQ2+FQ2=❑√22+12=❑√5，
∵CD2+CF2=25=52=DF2,
∴△CDF是直角三角形，且∠DCF=90°,
在Rt△BOD中，BO=1,DO=2,
∴BD=❑√BO2+DO2=❑√12+22=❑√5，
∴CB=CD−BD=2❑√5−❑√5=❑√5,
∴CB=CF，
∴△BCF是等腰直角三角形．
33．在平面直角坐标系中，直线y=−2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为
(1，0)，(1)求直线BC的函数表达式．
3
(2)点D是x轴上一动点，连接BD、CD，当△BCD的面积是△AOB面积的 时，求
2
点D的坐标．
(3)点E坐标为(0,−2),连接CE，点P为直线AB上一点，若∠CEP=45°，求点P坐
标．
【答案】(1)y=−4x+4
(2)(−2,0)或(4,0)
(18 8)
(3) ,− 或(−6,16)
7 7
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合、等腰直
角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知
识成为解题的关键．
（1）先求得A(2,0),B(0,4)，再结合点C的坐标，运用待定系数法求解即可；
（2）先求出S =4，进而得到△BCD的面积为6，如图：设D的坐标为(d,0)，则
△AOB
CD=|d−1)，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）由题意可得：OC=1 OE=2，如图：过C作CG⊥CE且CG=CE，
∠GCD+∠OCE=90°，再证明△OCE≌△DGC(AAS)可得
DG=OC=1,CD=OE=2，即OD=OC+CE=3，即G(3,−1)；再求出直线EG的
1
解析式为y= x−2，再与直线y=−2x+4即可确定点P的坐标； 如图：点F是点G
3
关于点C的对称点，则点F的坐标为(−1,1)，再求出直线EF的解析式为y=−3x−2，
再与直线y=−2x+4即可确定点P的坐标．
【详解】（1）解：∵直线 y=−2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A(2,0),B(0,4)，
∵点C 的坐标为(1,0)，
∴设直线BC的函数表达式为y=kx+b，
{k+b=0) {k=−4)
则 ，解得： ，
b=4 b=4
∴直线BC的函数表达式为y=−4x+4．
（2）解：∵A(2,0),B(0,4)，∴OA=2,OB=4，
1 1
∴S = OA⋅OB= ×4×2=4，
△AOB 2 2
3 3
∴△BCD的面积为 S = ×4=6，
2 △AOB 2
如图：设D的坐标为(d,0)，则CD=|d−1)，
1
则 |d−1)×4=6，解得：d=−2或4．
2
∴点D的坐标为(−2,0)或(4,0)．
（3）解：∵C(1,0)，E(−2,0)，
∴OC=1，OE=2，
如图：过C作CG⊥CE且CG=CE，∠GCD+∠OCE=90°
∴△CEG是等腰三角形，即∠CEP=45°,
过G作GD⊥x轴，垂足为D，
∴∠GCD+∠CGD=90°，
∴∠CGD=∠OCE，
∴△OCE≌△DGC(AAS)，
∴DG=OC=1,CD=OE=2，即OD=OC+CE=3，∴G(3,−1)，
设直线EG的解析式为y=kx+b，
{3k+b=−1) { k= 1 )
则 ，解得： 3 ，
b=−2
b=−2
1
∴直线EG的解析式为y= x−2，
3
{ y= 1 x−2 ) 18
联立 3 ，解得：x= ，
7
y=−2x+4
(18 8)
∴直线EG与直线AB的交点即为所求点P ,− ；
7 7
如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为(−1,1)，
设直线EF的解析式为y=mx+n，
{−m+n=1) {m=−3)
则 ，解得： ，
n=−2 b=−2
∴直线EG的解析式为y=−3x−2，
{y=−3x−2)
联立 ，解得：x=−6，
y=−2x+4
∴直线EG与直线AB的交点即为所求点P(−6,16)．
(18 8)
综上，点P的坐标为 ,− 或(−6,16)．
7 7
34．如图，直线y=kx−3与x轴，y轴分别交于B，C两点，且OB=1．
(1)求k的值；
3
(2)点D是直线上y=kx−3的一个动点，当△OBD的面积是 时，求点D的坐标；
2
(3)在（2）的条件下，且点D在第一象限，x轴上是否存在一点P，使△POD是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)k=3
(2)点D的坐标为(2,3)或(0,−3)
(13 )
(3)P (−2❑√2,0)，P (2❑√2,0)，P (4,0)，P ，0 ．
1 2 3 4 4
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积公式，等腰
三角形的性质．
（1）确定出点B的坐标，代入函数解析式中即可求出k；
（2）利用三角形的面积求出求出点A坐标；
（3）设出点P(m,0)，表示出DP，OP，计算出OD，分三种情况讨论计算即可得出
点P坐标．
【详解】（1）解：∵OB=1，
∴B(1,0)，
∵点B在直线y=kx−3上，
∴k−3=0，
∴k=3；
（2）由（1）知，k=3，
∴直线BC解析式为y=3x−3，
∵点D(x,y)是第一象限内的直线y=3x−3上的一个动点，
∴y=3x−3，
1 1 3
∴ S = ×OB×|y |= ×1×|3x−3|= ，
△DOB 2 D 2 2
解得x=2或x=0，
故点D的坐标为(2,3)或(0,−3)；
（3）x轴上存在一点P，使△POD等腰三角形；理由如下：
∵在①的条件下，且点D在第一象限，
∴点D的坐标为(2,3)，
设点P(m,0)，
∴OP=|m)， OD=❑√22+32=❑√13，①当OD=OP时，
∴❑√13=|m|，
∴m=±❑√13，
∴P (−❑√13,0),P (❑√13,0)，
1 2
②当OD=DP时，
∴❑√13=❑√(2−m) 2+9，
∴m=0(舍去)或m=4，
∴P (4,0)，
3
③当OP=DP时，
∴|m)=❑√(2−m) 2+9，
13
∴m= ，
4
(13 )
∴P ，0
4 4
综上所述，满足条件的所有P点的坐标为P (−2❑√2,0)，P (2❑√2,0)，P (4,0)，
1 2 3
(13 )
P ，0 ．
4 4
