文档内容
专题04 一次函数的应用重难点题型专训（5大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 方案分配问题
题型二 最大利润问题
题型三 行程问题
题型四 几何问题
题型五 其他综合性问题
【经典例题一 方案分配问题】
1．（2024年四川省成都市中考数学预测题（一））2024年世界园艺博览会将在成都举行，某社区决定采
购甲、乙两种盆栽美化环境，若购买20盆甲种盆栽和10盆乙种盆栽，则需要130元；若购买30盆甲种盆
栽和20盆乙种盆栽，则需要220元．
(1)甲、乙两种盆栽的单价各是多少元？
(2)若该社区联合附近社区购买甲、乙两种盆栽共1000盆，设购买m盆（ ）乙种盆栽，总费用
为W元，请你帮社区设计一种购买方案，使总花费最少，并求出最少费用．
2．（2023·河南濮阳·二模）濮阳市为改善空气质量，降低空气污染，决定让公交公司逐步淘汰原有的汽油
公交车，更换节能环保的电动公交车 公司准备采购 型和 型两种公交车共 辆，其中每辆的价格，年
均载客量如下表所示：
型
型
价格（万元 辆）
年载客量（万人 车）
若购买 型公交车 辆， 型公交车 辆，共需 万元；若购买 型公交车 辆， 型公交车 辆，共需
万元．
(1)求 、 两种型号公交车的单价分别是多少万元；
(2)如果该公司要确保这 辆公交车的年均载客量总和不少于 万人次 请你设计一个方案，使购买的总
费用最少．3．（23-24八年级上·四川成都·期末）七中育才学校数学组组织学生举行“数学计算大赛”，需购买甲、
乙两种奖品．若购买甲奖品3个和乙奖品4个，需160元；购买甲奖品4个和乙奖品5个，需205元．
(1)甲、乙两种奖品的单价各是多少元？
(2)学校计划购买奖品200个，设购买甲奖品 个，购买这200个奖品的总费用为 元．
①求 关于 的函数关系式；
②若购买甲奖品的数量不少于30个，同时又不超过80个，则该学校购进甲奖品、乙奖品各多少个，才能
使总费用最少？
4．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）某市 两个蔬菜基地得知四川 两个灾民安置点分别急
需蔬菜 和 的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知 蔬菜基地有蔬菜 ， 蔬菜基地有蔬菜
，现将这些蔬菜全部调运 两个灾民安置点，从 地运往 两处的费用分别为每吨 元和
元，从 地运往 两处的费用分别为每吨 元和 元．设从 地运往 处的蔬菜为 吨．
(1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时 的值：
总计/
总计/
(2)设 两个蔬菜基地的总运费为 元，求出 与 之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
(3)经过抢修，从 地到 处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少 元（ ），其
余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【经典例题二 最大利润问题】
5．（2024·陕西西安·一模）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进5千克甲种水果和3千克乙种水果共需38元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多2元．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和9元/千克，若水果店购进这两种水果共300千克，其中甲
种水果的重量不低于乙种水果的2倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
6．（2024·山东济宁·一模）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知一件甲种商品的进价与一件乙种商品的
进价的和为20元，用50元购进甲种商品的件数与用150元购进乙种商品的件数相同．
(1)求每件甲种、乙种商品的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其中甲种商品的件数少于乙种商品的件数，商场决定此次进货
的总资金不超过1100元，已知甲种商品的售价为12元，乙种商品售价为25元，试问该商场如何进货利润
最大？最大利润是多少？
7．（2024·云南昆明·一模）繁花歌舞团准备采购甲、乙两种道具，某商场对甲种道具的出售价格根据购买
量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设繁花歌舞团购买甲种道具x件，付款y元，y与x之间
的函数关系如图所示：
(1)求出当 和 时，y与x的函数关系；
(2)若繁花歌舞团计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的 ，乙
种道具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使繁花歌舞团付款总金额w（元）最少？8．（2023·河南周口·二模）为了迎接“五一”小长假的购物高峰．某家用电器专卖店准备购进甲、乙两种
电器．其中甲、乙两种电器的进价和售价如下表：
价格 甲 乙
进价/（元/台） m
240
售价/（元/台） 1600
0
已知用30000元购进甲种电器的数量与用24000元购进乙种电器的数量相同．
(1)求m的值．
(2)要使购进的甲、乙两种电器共200台的总利润（利润 售价 进价）不少于217000元，且不超过223000
元，问该专卖店有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，怎么安排进货，该专卖店能够获得最大利润？最大利润是多少？
【经典例题三 行程问题】
9．（2024·浙江宁波·模拟预测）在同一直线道路上，小明从学校出发到新华书店，小红从新华书店到学校，
小红先出发，图中的折线表示两人之间的距离y（米）与行走的时间t（分钟）
(1)求小红行走的速度；
(2)小红与小明相向而行至两人相遇时，求y（米）与行走的时间t（分钟）的函数关系；
(3)两人都到各自目的地时间差多少分钟？10．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）在一条笔直的道路上依次有 ， ， 三地，男男从 地跑步
到 地，同时乐乐从 地跑步到 地，休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男早1分钟到达 地，两人
均匀速运动，如图是男男跑步时间 （分钟）与两人距 地路程 （米）之间的函数图象．
(1) ，乐乐去 地的速度为 ；
(2)结合图象，求出乐乐从 地到 地的函数解析式并写出自变量的取值范围；
(3)求两人第二次相遇时距离 地的路程．
11．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）甲、乙两人骑自行车从 地到 地．甲先出发骑行3千米时，乙才出发；
开始时，甲、乙两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变； 小时后，甲到
达 地，在整个骑行过程中，甲、乙两人骑行路程 （千米）与乙骑行时间 （小时）之间的关系如图所
示．
(1)求出图中 的值；
(2)求甲改变骑行速度后， 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(3)当乙到达 地后，求甲离 地的路程．12．（23-24九年级下·黑龙江鸡西·开学考试）甲、乙两车同时从 地出发，匀速开往 地，甲车行驶到
地后立即沿原路线以原速度返回 地，到达 地后停止行驶．当甲车到达 地时，乙车恰好到达 地，并
停止行驶．已知甲车的速度为 ，设甲车出发的时间为 （单位： ），甲、乙两车之间的距离为
（单位： ），图中的折线 表示整个运动过程中 与 之间的函数关系．
(1) ， 两地之间距离是 ，乙车的速度是 ；
(2)求线段 的函数解析式（不需写出自变量的取值范围），并指出点 的实际意义；
(3)求甲车出发多长时间，两车相距 ．
【经典例题四 几何问题】
13．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，已知直线 与直线 相交于点 ，分别交 轴于点 ， ，且 ．
(1)求点 的坐标及 的值；
(2)如图， 为直线 上一点，且横坐标为 ，若 为 轴上的一个动点，当 的值最大时，求点
的坐标；
(3)若 为线段 上一点，且 ，求 的长．
14．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为 ，直线
与 交于点 ，与 轴交于点 ，其中 ， 满足 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)若直线 有一点P，使得 ，请求出点 的坐标；(3)已知平行于 轴且位于 轴左侧有一动直线，分别与 ， 交于点 、 ，且点 在点 的下方，点
为 轴上一动点，且 为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点 的坐标．
15．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，直线 与x轴交于点 ，直线
与x轴， 轴分别交于 两点，并与直线 相交于点D．
(1)点D的坐标为___________；
(2)求四边形 的面积；
(3)若点P为x轴上一动点，当 的值最小时，求点P的坐标．
16．（22-23 八年级上·四川成都·期中）如图，已知直线 经过点 ， ，与直线
交于点 ， 的横坐标为3，且直线 交 轴于点 ．(1)求直线 的函数表达式；
(2)求点B，点D的坐标；
(3) 为直线 上异于点 的一点，且 ，求 的坐标．
【经典例题五 其他综合性问题】
17．（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它
由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速
上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下
实验探究：
（实验观察）实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表：
供水时间x（小时） 0 2 4 6 8
4
箭尺读数y（厘米） 6 18 30 54
2(1)（探索发
现）：
若以供水时间x为横轴，箭尺读数y为纵轴，建立平面直角坐标系，描出以表格中数据为坐标的各点，试
判断这些点是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式；如果不在同
一条直线上，说明理由．
(2)（结论应用）应用上述发现的规律估算：供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？
(3)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？
18．（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）随着网络的普及和城市交通的多样化，人们出行方式、时间有
了更多的选择，我市有 类快车、 类快车等网约车，收费标准如下．
类快车：起步价8.5元，超过3.5千米的部分2元/千米，时长费：0.4元/分钟（ 类快车行驶的平均速度
为40千米/时）
类快车：起步价8元，超过3千米的部分1.8元/千米（函数图像如下图所示）．(1)图中 ______， ______；
(2)若乘坐 类快车的里程数是10千米，则 类快车的费用是______元；当里程数超过3.5千米时，求 快
车的费用 （元）与行驶路程x（千米）之间的函数表达式；
(3)求 与x之间的函数表达式；
(4)若从甲地到乙地有5千米，你将选择哪种网约车？为什么？
19．（2023·江苏盐城·统考一模）我县安徒生童话乐园门票价格如图所示，甲、乙两校，计划在“国庆”
黄金周期间组织员工及家属到该景点游玩．两校组织游玩人数之和为90人，乙校组织游玩人数不超过40
人，设甲校组织游玩人数为x人．如果甲、乙两校分别购买门票，两校门票款之和为W元．(1)求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围：
(2)若甲校人数不超过80人，请说明甲、乙两校联合购票比分别购票最多可节约多少钱？
(3)“国庆”黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过40人时，门票价格不变；人数超
过40人但不超过80人时，每张门票降价a元；人数超过80人时，每张门票降价 元，在（2）的条件下，
若甲、乙两校“国庆”黄金周之后去游玩，最多可节约3500元，求a的值．
20．（2023·江苏苏州·统考中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道 ，长度为
的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿 方向从左向右匀速滑动，滑动速度为 ，滑动开
始前滑块左端与点 重合，当滑块右端到达点 时，滑块停顿 ，然后再以小于 的速度匀速返回，直
到滑块的左端与点 重合，滑动停止．设时间为 时，滑块左端离点 的距离为 ，右端离点 的距
离为 ，记 与 具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当 和 时，与之
对应的 的两个值互为相反数；滑块从点 出发到最后返回点 ，整个过程总用时 （含停顿时间）．
请你根据所给条件解决下列问题：
(1)滑块从点 到点 的滑动过程中， 的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）
(2)滑块从点 到点 的滑动过程中，求 与 的函数表达式；(3)在整个往返过程中，若 ，求 的值．
【拓展培优】
1．（2023·四川德阳·二模）如图，矩形 的顶点 ， 坐标分别为 ， ，若 时，直
线 ： 与矩形 的边有交点时， 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
2 ． （ 22-23 八 年 级 上 · 辽 宁 沈 阳 · 阶 段 练 习 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点
，若一次函数 的图像将四边形 分成面积比为
的两部分，则m的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，
甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚 出发，并且在中途停留 后，按原来速度的一半继续前进．
此过程中，甲、乙两人离A地的路程s（ ）与甲出发的时间t（ ）之间的关系如图．下列说法：①A，
B两地相距 ；②甲比乙晚到B地 ；③乙从A地刚出发时的速度为 ；④乙出发 与甲第三
次相遇．其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233
名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下
表：
甲种客车 乙种客车
载客量（单位：人/辆） 45 30
租金（单位：元/辆） 400 280
则最节省费用的租车方案是（ ）
A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆
C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆
5．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该
产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）
的函数图象．下列结论错误的是（ ）
A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元
C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润
6．（2023年吉林省长春汽车经济开发区毕业班中考模拟综合模拟试题（二）数学）如图，直线
与坐标轴交于 、 两点，点 为 轴负半轴上一点， ．则点 的坐标是 ．7．（2024·河南·一模）某快递公司每天上午 为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙
仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量 （件）与时间 （分）之间的函数图象如图所示，
那么从 开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同．
8．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客
车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留 小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后
停止 已知两车距甲地的距离（ ）与所用的时间( )的关系如图所示 当两车相距 时，两车出发了
小时．
9．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）2023年杭州亚运会竞赛项目中，有一个中华民族传统运动项目
－赛龙舟，此项比赛共分为六个小项目，中国健儿成绩骄人，共获得五金一银．在500米直道竞速赛道上，
甲、乙两队所划行的路程y（单位：米）与时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示，根据图中提供的
信息，有下列说法：①甲队比乙队提前0.5分钟到达终点；②当划行1分钟时，甲队比乙队落后50米；③
当划行 分钟时，甲队追上乙队；④当甲队追上乙队时，两队划行的路程都是300米．其中正确的是
．10．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）如图，直线 与 轴， 轴交于 两点， 是线段
上一点且 的横坐标为 是 的中点，点 是 轴上一动点，则 的周长最小值为 ．
11．（2024·河南驻马店·一模）2024年春节假日期间，33万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦
作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材
共需49元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需53元．
(1)求A，B两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共48千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，
B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
12．（2023年吉林省长春汽车经济开发区毕业班中考模拟综合模拟试题（二）数学）在一条笔直的公路上
有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行，沿这条公路匀
速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间
x（h）之间的函数图象如图所示．
(1)当 时，求乙车与C地的距离y与x之间的函数关系式．(2)当两车与C地之间的距离之差为50km时，直接写出甲车出发的时间．
13．（2023·河南南阳·一模）乡村要振兴，产业必振兴，河南多地依托生态优势，通过技术支撑，大力发
展羊肚菌特色产业，探索出了群众致富新路径．河南省某村村长带领村民大棚种植羊肚菌振兴乡村产业建
设．据了解，人工种植的羊肚菌和野生羊肚菌的营养价值相当，某零售批发商两次以相同的单价在该村收
购人工种植的新鲜羊肚菌和干羊肚菌的情况如下表：
干羊肚菌（千
新鲜羊肚菌（千克） 总价值（元）
克）
第一次收购 1000 300 152000
第二次收购 800 500 184000
(1)求新鲜羊肚菌和干羊肚菌的收购单价；
(2)由于市场状况良好，该批发商第三次在收购单价不变的情况下收购两种羊肚菌合计1500千克，根据市
场需求收购的干羊肚菌数量不得超过新鲜羊肚菌的三分之一，且零售市场新鲜羊肚菌的售价为100元/千克，
干羊肚菌的售价为280元/千克，则该批发商应该如何设计购买方案使利润最大，最大利润是多少？
14．（2023·重庆渝北·二模）如图，在四边形 中， ， ，过点A作 于点
E， ， ， ，动点P从点B出发，沿 运动，到达点D时停止运动．设点P的
运动路程为x， 的面积为 ．(1)请直接写出 与x之间的函数关系式以及对应的的取值范围；
(2)请在直角坐标系中画出 的图象，并写出函数 的一条性质；
(3)若直线 的图象如图所示，结合你所画 的函数图像，直接写出当 时x的取值范围．
15．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象交
轴、 轴分别于点 ，交直线 于 ．
(1)求点 的坐标；
(2)若 为等腰三角形且 ，求 点坐标及 的值；
(3)在（2）的条件下，点 为线段 上一动点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，且
，过点 的直线 将四边形 分为两部分，两部分的面积分别设为 ．若
，求 的取值范围．
