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专题 12 一次函数实际应用压轴
题型1：利用一次函数解决方案问题
题型2：利用一次函数解决销售利润问题
题型3：利用一次函数解决行程问题
题型4：利用一次函数解决运输问题
题型1：利用一次函数解决方案问题
【典例1】我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的
乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体
如下：
方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；
方案乙：按购买金额打9折付款．
学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒．
（1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额y甲 （元），y乙 （元）与x（盒）之间的函
数关系式．
（2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？
（3）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？【变式1-1】已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2
辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型和
B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．共有几种租车方案，
哪种方案租车费用最少？
【变式1-2】2022年秋，郑州新冠疫情牵动全国，社会各界筹集的医用，建设等物资不断
从各地向郑州汇集．这期间，恰逢春节承运资源短缺，紧急情况下，多家物流企业纷纷
开通特别通道，驰援郑州，为生产药品，口罩，医疗器械等紧急物资的企业提供全方位
支持．已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆
B型车载满货物一次可运货11吨，某物流公司计划租用这两种车辆运输物资．根据以上
信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）若A型车每辆需租金90元/次，B型车每辆需租金110元/次．物流公司计划共租用
8辆车，请写出总租车费用w（元）与租用A型车数量a（辆）的函数关系式．
（3）如果汽车租赁公司的A型车只剩了6辆，B型车还有很多．在（2）的条件下，请
选出最省钱的租车车方案，并求出最少租车费用．
题型2：利用一次函数解决销售利润问题【典例2】2023年第一届全国学生（青年）运动会在南宁市某中学初中部举行火炬传递仪
式，有幸参与该盛事的学校的九年级1000名学生将在火炬传递经过的校道两边为火炬
手摇旗呐喊，年级制定的活动经费初步方案是采购一些手摇式小国旗，每面小国旗售价
为0.8元．经过进一步商讨之后，年级决定再补购印有运动会吉祥物“壮壮”和“美
美”的头戴式小彩旗若干个．询问甲、乙两家吉祥物特许经销商，他们考虑到学校情况
给出了不同的销售方案．甲经销商的销售方案是每个头戴式小彩旗卖 2.2元．乙经销商
的方案是：购买不超过200个头戴式小彩旗，每个售价2.5元；若超过200个，则超过
部分每个售价2元．
（1）设向乙经销商购买x个头戴式小彩旗，所需费用为y元，求出y关于x的函数关系
式；
（2）年级最终决定必须要买1000面小国旗及若干个头戴式小彩旗，最终总费用不低于
1600元，不超过2000元．若向甲、乙两家经销商中的一家购买头戴式小彩旗，年级该
向哪一家购买头戴式小彩旗最合算？
【变式2-1】“互联网+”让我国经济更具活力．牡丹花会期间，某网店直接从工厂购进
A、B两款花会纪念钥匙扣进行销售，进货价和销售价如表：
价格/类别 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元/件） 20 25
销售价（元/件） 30 37
（1）网店第一次用1100元购进A、B两款钥匙扣共50件，求两款钥匙扣分别购进的件
数；
（2）第一次购进的花会纪念钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款钥匙扣共
240件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于 5800元．网店这次应如何
设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
【变式2-2】2023年杭州亚运会期间，吉祥物徽章受到了众多人的喜爱．某网店直接从工
厂购进A款礼盒120盒，B款礼盒50盒，两款礼盒全部售完．两款礼盒的进货价和销售
价如下表：类别
A款礼盒
B款礼盒
进货价（元/盒） 30 25
销售价（元/盒） 45 33
（1）求该网店销售这两款礼盒所获得的总利润．
（2）网店计划用第一次所获的销售利润再次去购买A、B两款礼盒共80盒．该如何设
计进货方案，使网店获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？
【变式2-3】“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进A，
B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需160元；购进6本A类图书和2
本B类图书共需170元．
（1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？
（2）该书店计划用2000元购进这两类图书，设购进A类x本，B类y本．
①求y关于x的关系式；
②进货时，A类图书的购进数量不少于50本，已知A类图书每本的售价为28元，B类
图书每本的售价为40元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？
【变式2-4】为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共 160千
克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲种 5 8
乙种 9 13
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的 3倍，应怎样安排
进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
【变式2-5】随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会
的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知
每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000
元购进B种球拍的数量相同．
（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；
（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购
买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少
副？
（3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第
（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
【变式2-6】新春佳节来临，某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨
去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水
果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：
苹果 芦柑 香梨
每辆汽车载货量（吨） 7 6 5
每吨水果获利（万元） 0.15 0.2 0.1
（1）设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围
（2）用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出
w的最大值．
【变式2-7】商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型
电脑的利润为350元，该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的
进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润y元．
（1）①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（2）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调了m（0＜m≤50）元，且限定商店最多
的进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条
件，设计出售这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【变式2-8】某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种
优质水果的市场价值，决定开始销售这两种水果．已知该超市购进甲种水果10千克和
乙种水果3千克共需要197元；若购进甲种水果15千克和乙种水果6千克，则共需要
324元．
（1）求甲、乙两种水果每千克的进价分别是多少元？
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，甲种水果的售价为20
元/千克，乙种水果的售价为24元/千克．其中甲种水果的数量不少于20千克，但不超
过60千克．若超市当天购进的水果当天售完（运输和销售过程中水果的损耗忽略不
计），写出每天销售这两种水果获得的利润 w（元）与购进甲种水果的数量a（千克）
之间的关系式，并求出a为何值时能获得最大利润？最大利润是多少元？【变式2-9】某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销
售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B
型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总
利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？最大利润是多少？
【变式2-10】在近期“抗疫”期间，某药店销售 A，B两种型号的口罩，已知销售80只A
型和45只B型的利润为21元，销售40只A型和60只B型的利润为18元．
（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；
（2）该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不少于A
型口罩的进货量且不超过它的3倍，则该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销
售总利润y最大？最大值是多少？【变式2-11】第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．
这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，
举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某
专卖店购进A，B两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．A种礼盒每个进价160元，售
价220元；B种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其
中A种礼盒不少于60个．设购进A种礼盒x个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？
（3）在（2）的条件下，该专卖店对A种礼盒以每个优惠m（0＜m＜20）元的价格进行
优惠促销活动，B种礼盒每个进价减少n元，售价不变，且m﹣n＝4，若最大利润为
4900元，请直接写出m的值．
题型3：利用一次函数解决行程问题
【典例3】2023年12月18日，甘肃积石山县发生6.2级地震，全国各地连夜出发实施紧急
救援．一辆货车先从甲地出发运送赈灾物资到灾区，稍后一辆轿车从甲地急送医疗团队
到灾区，已知甲地与灾区的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的
路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图．
（1）求出a的值；
（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（3）问轿车比货车早多少时间到达灾区？【变式3-1】我市莲池区开展了“阳光体育，强身健体”系列活动，小明积极参与，他每周
末和哥哥一起练习赛跑．哥哥先让小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降为原
来的一半，已知他们所跑的路程y（m）与哥哥跑步的时间x（s）之间的函数图象如图．
（1）哥哥的速度是 m/s，哥哥让小明先跑了 米，小明后来的速度为
m/s．
（2）哥哥跑几秒时，哥哥追上小明？
（3）求哥哥跑几秒时，两人相距10米？
【变式3-2】一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市C，它们离A地的路程随
时间变化的图象如图所示，已知汽车的速度为60km/h，摩托车比汽车晚1个小时到达城
市C．
（1）求摩托车到达城市C所用的时间；
（2）求摩托车离A地的路程y（km）关于时间x（h）的函数表达式；
（3）当x为何值时，摩托车和汽车相距30km．【变式3-3】已知A，B两港口相距150海里，甲船从A港行驶到B港后，休息一段时间，
速度不变，沿原航线返回，同时，乙船从A港出发驶向B港，甲、乙两船离A港的距离
s（海里）与甲船行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，当两船相遇时，两船到
A港的距离为90海里，乙船在行驶过程中，速度不变．（假设甲、乙两船沿同一航线航
行）
（1）直接写出M点的坐标 ；
（2）分别求线段DM、EF的表达式；
（3）甲船行驶多少小时后两船在甲船返航过程中相距30海里？
【变式3-4】甲、乙两车早上从A城车站出发匀速前往B城车站，在整个行程中，两车离开
A城的距离s与时间t的对应关系如图所示．
（1）A，B两城之间距离是多少？
（2）求甲、乙两车的速度分别是多少？
（3）乙车出发多长时间追上甲车？（4）从乙车出发后到甲车到达B城车站这一时间段，在何时间点两车相距40km？
【变式3-5】一辆客车从甲地开往乙地，到达乙地即停止．一辆出租车从乙地开往甲地，到
达甲地即停止．两车同时出发，设客车离甲地的距离为 y 千米，出租车离甲地的距离为
1
y 千米，两车行驶的时间为x小时，y 、y 关于x的函数图象如图所示：
2 1 2
（1）根据图象，直接分别写出y 、y 与x之间的函数表达式；
1 2
（2）若两车之间的距离为S千米，请写出S与x之间的函数表达式；
（3）在行驶过程中，经过多长时间两车相距200千米．
【变式3-6】甲车从A地出发匀速向B地行驶，同时乙车从B地出发匀速向A地行驶，甲
车行驶速度比乙车快，甲、乙两车距A地的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间
的关系如图所示，请结合图象回答下列问题：
（1）甲车速度为 km/h，乙车速度为 km/h；
（2）求乙车行驶过程中，y与x的函数关系式；（3）在行驶过程中，两车出发多长时间，两车相距80千米？
题型4：利用一次函数解决运输问题
【典例4】受气候的影响，某超市蔬菜供应紧张，需每天从外地调运蔬菜1000斤．超市决
定从甲、乙两大型蔬菜棚调运蔬菜，已知甲蔬菜棚每天最多可调出800斤，乙蔬菜棚每
天最多可调运600斤，从两蔬菜棚调运蔬菜到超市的路程和运费如表：
到超市的路程（千米） 运费（元/斤•千米）
甲蔬菜棚 120 0.03
乙蔬菜棚 80 0.05
（1）若某天调运蔬菜的总运费为3840元，则从甲、乙两蔬菜棚各调运了多少斤蔬菜？
（2）设从甲蔬菜棚调运蔬菜x斤，总运费为W元，试写出W与x的函数关系式，怎样
安排调运方案才能使每天的总运费最省？
【变式4-1】2023年12月18日甘肃积石山县发生6.2级地震，造成严重的人员伤亡和财产
损失．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥 200吨和300吨支援灾区，
现需要调往灾区A镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和
B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元
和50元．
（1）设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式；（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
【变式4-2】为了救援地震灾区，某市A、B两厂共同承接了生产500吨救灾物资任务，A
厂生产量是B厂生产量的2倍少100吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需
要物资240吨，乙地需要物资260吨，运费如表：（单位：元/吨）
目的地 甲 乙
生产厂家
A 20 25
B 15 24
（1）A厂生产了 吨救灾物资、B厂生产了 吨救灾物资；
（2）设这批物资从B厂运往甲地x吨，全部运往甲、乙两地的总运费为w元，求w与x
之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每吨运费降低a元，（0＜a≤15，且a为整数），若按照（2）中设计的调运方
案运输，且总运费不超过5400元，求a的最小值．
【变式4-3】A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡，
从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥
料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，设
A城运往C乡的肥料为x吨，运往C乡肥料的总运费为y ，运往D乡肥料的总运费为
1
y ．
2
（1）写出y 关于x的函数关系式以及y 关于x的函数关系式；
1 2
（2）怎样调度总运费最少？求出最少的运输费用．【变式4-4】列二元一次方程组解应用题．
2023年12月18日甘肃发生6.2级地震，辽宁省应急、交通等部门给予大力帮助．针对
灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从
某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表：
甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨
第一次 3 4 27
第二次 4 5 35
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货
车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车a辆．求货车所需总费用
w与a之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，要使所需总费用最低，该如何安排拉货？最低总费用是多少？
【变式4-5】某公园将举办免费冰灯游园会，目的是为公众提供一个广泛参与、欢乐共享的
冰雪季活动场所．该公园计划分两批运进冰块用于制作冰灯，第一批运进1800立方米
冰块，比第二批运进冰块少25%．
（1）第二批运进多少立方米冰块？
（2）该公园运进每批冰块时，都只能从甲、乙两家运输公司中选择其中一家运输公司
运进．甲、乙两家运输公司的相关信息如下表：
项目公司 运载量（立方米/车） 运费（元/车） 优惠条件
甲家运输公司 60 600 运费不超过5000元时，无优惠；
运费超过5000元时，超过5000
元的部分打七五折乙家运输公司 45 420 运费每满2000元减300元，少于
2000元的部分不享受优惠
①选择哪家运输公司运进第一批冰块的运费最低，最低运费是多少元？
②选择哪家运输公司运进第二批冰块的运费最低，最低运费是多少元？
【变式4-6】2022年春，新冠肺炎疫情再次爆发后，全国人民众志成城抗击疫情．某省A，
B两市成为疫情重灾区，抗疫物资一度严重紧缺，对口支援的C，D市获知A，B两市分
别急需抗疫物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物
资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些抗疫物资全部调往A，B两市．已知从C
市运往A，B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A，B两市的费用别为
每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨，并绘制出表：
A（吨） B（吨） 合计（吨）
C（吨） a b 240
D（吨） c x 260
总计（吨） 200 300 500
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ （用含x的代数式表示）；
（2）设C，D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取
值范围；
（3）由于途经地区的全力支持，D市到B市的运输路线得以改善和优化，缩短了运输
时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余路线运费不变，若C，D两市的总运费的最小
值为10320元，求m的值．
【变式4-7】某果品公司要请汽车运输公司或火车货运站将60吨水果从A地运到B地．已
知汽车和火车从A地到B地的运输路程都是x千米，两家运输单位除都要收取运输途中每吨每小时5元的冷藏费外，其他要收取的费用和有关运输资料由下表列出：
运输单位 运输速度 运费单价 运输途中冷藏 装卸总费用
（元）
（千米/时） 元/（吨•千米） 元/（吨•时）
汽车货运公 75 1.5 5 4000
司
火车货运站 100 1.3 5 6600
（1）用含x的式子分别表示汽车货运公司和火车货运站运送这批水果所要收取的总费
用（总运费＝运费+运输途中冷藏费+装卸总费用）；
（2）果品公司应该选择哪家运输单位运送水果花费少？
【变式4-8】某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两
地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如表：
货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本 运往B地的成本
（元/辆） （元/辆）
甲种 16 1200 900
乙种 12 1000 750
（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；
（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩
余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲
种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？【变式4-9】某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，
从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分
别为28元/吨和25元/吨．
（1）求A、B两厂各运送多少吨水泥；
（2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥
最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．
求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理
由．
